专题04 相似三角形的动点问题探究压轴题（期中真题汇编，上海专用）九年级数学上学期沪教版

专题04 相似三角形的动点问题探究压轴题（期中真题汇编） 一、填空题 1．(24-25九上·上海杨浦区·期中)如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为 ． 2．(24-25九上·上海格致初级中学·期中)如图， 在等边中，边长为30，点M为线段上一动点，将等边沿过M的直线折叠，折痕与直线交于点N，使点A落在直线上的点D处，且设折痕为，则的值为 ． 3．(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，在中，，点为上一个动点，正方形的顶点E、F都在边上，点在外，若，则正方形边长为 ． 二、解答题 4．(22-23九上·上海普陀区·期中)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是线段BD上的一动点（不与点B、D重合），过点P作PE⊥BD，交射线DC于点E，联结BE． (1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长； (2)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP＝x，AF＝y； ①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长． 5．(22-23九上·上海松江区九亭第二中学·期中)已知：如图，在平行四边形中，，，，E为上一动点，作，射线交射线于点G． (1)如图1当时，求的长； (2)如图2，当点G在线段上时，射线交射线于点F，设，，求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 6．(23-24九上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于轴、轴上的两点，抛物线的顶点为点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，求证：； (3)连接交轴于点，点是轴上一动点，若与点组成的三角形相似，求点的坐标． 7．(23-24九上·上海浦东模范中学·期中)如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 8．(21-22九上·上海闵行区·期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是射线BC上的一个动点，过点B作BE⊥DA，垂足为点E，延长BE交射线CA于点F，设BD＝x，AF＝y． (1)如图1，当点C是线段BD的中点时，求tan∠ADB的值； (2)如图2，当点D在BC的延长线上，求y关于x的函数解析式及其定义域． (3)当AE＝3EF时，求△ABD的面积． 9．(23-24九上·上海闵行区·期中)在矩形中，，．点P是射线上的动点，联结； (1)如图1，当交于点E时，求的值； (2)如图2，当点P在边上时（与端点B，C不重合），过点P作的垂线，交于点F，交于点G．设，，求y关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (3)将沿直线翻折，点B落在点Q处，直线交边于点M，当时，求的长． 10．(24-25九·上海青浦区五浦汇实验学校·期中)如图，已知，，，，点是射线上一个动点，联结，作于点E，联结，过点E作垂线交线段于点F． (1)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (2)当时，若，求的值； (3)若是等腰三角形，直接写出的值． 11．(24-25九上·上海同济大学附属嘉定实验中学·期中)在平面直角坐标系中（如图），一次函数图像与反比例函数图像相交于点和，点是该反比例函数图像上的一个动点，连接，与y轴的正半轴交于点D．    (1)求一次函数解析式及的面积； (2)当时，求点C到x轴的距离； (3)当与x轴夹角与相等时，求m的值． 12．(24-25九上·上海静安区久隆模范中学·期中)如图，已知抛物线与x轴交于，的两点，与y轴交于点，D为顶点，点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，轴于点M，与交于点E． (1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标； (2)设点P的横坐标为， ①当t为何值时，线段的长最大； ②连接，求的正弦值； (3)是否存在点P，使得以点P，M、B为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．(24-25九上·上海普陀区·)已知在等腰梯形中，，，，，，P是对角线上的一个动点，且，与射线、射线分别交于点E、点G． (1)如图1，当点E与点D重合时，求的长； (2)如图2，当点E在的延长线上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域： (3)当线段时，求的长． 14．(24-25九上·上海西南模范中学·期中)在中，，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧作，使得，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)已知点F与点C关于直线对称，连接、、 ①如图2，如果，四边形的面积为20，求线段的长； ②如图3，如果，求的正切值． 15．(24-25九上·上海曹杨第二中学附属学校·期中)如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 16．(24-25九上·上海嘉定区部分学校·期中)如图，在矩形中，，点E是线段上一点，，F是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为． (1)若，则k的值是_____ (2)若时，求y关于x的函数解析式. (3)在点F从点B到点C的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点G，求此时k的值. 17．(24-25九上·上海市北初级中学·期中)在中，．点（与点、不重合）为射线上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形． (1)如果．如图①，且点在线段上运动．试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论． (2)如果，如图②，且点在线段上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ (3)若正方形的边所在直线与线段所在直线相交于点，设，，，求线段的长．（用含的式子表示） 18．(24-25九上·上海市西中学·期中)如图，在中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点不与点重合），且． (1)当时，连接，求的余切值； (2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)连接，若为等腰三角形，求的长． 19．(23-24九上·上海闵行区·期中)在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接．    (1)求点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 20．(24-25九上·上海杨浦区·调研)如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点．    (1)如果点为边的中点，求的正切值； (2)当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； (3)联结，如果与相似，求线段的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04相似三角形的动点问题探究压轴题（期中真题汇编） 一、填空题 1.(24-25九上·上海杨浦区·期中)如图，在ABC中，AB=AC=V5,BC=4,D为边AB上一动点（不与 点B重合)，以CD为边作正方形CDEF,连接BE,则当△BDE的面积最大时，AD的长为 E D 【答案】 兮 【分析】作EH⊥AB于H,CG⊥AB于G,作AM⊥BC于M,由等腰三角形三线合一可得 MCM兮C=2,aCBG0aBW,锦出CG-15.Ch-3设D证明 △EDG≌aDCG(AAS),可得EH=DG=S5_ 5 x,从而用含x的二次函数表示出S△BDe,化为顶点式即可求 解 【详解】解：作EH⊥AB于H,CG⊥AB于G,作AM⊥BC于M,如图： E G D B M AB=AC=5,BC=4, .BM-CM-BC-2.AM5)-22-1. :∠CBG=∠ABM,LCGB=∠AMB=90°， .△CBG∽△ABM, 路岩g者 12V5 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .CG 4v5 85 GB= 5 设BD=x,DG=GB-BD=85 r, :四边形CDEF是正方形， DE=DC,∠G=∠EHA=90°， 又.∠EDG+∠GDC=LGDC+∠DCG=90°， ∴.LEDG=LDCG, :△EDG≌ADCG(AAS), ÷EH=DG=85_ 5 2下0 :当x=45时，Sae最大， 5 此时AD=AB-BD=V5-45=5】 55 故答案为：⑤ 【点晴】本题考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函数求最值综合，寻找线段与角 度之间的等量关系是解题关键，二次函数求最值通常化为顶点式求解 2.(24-25九上·上海格致初级中学期中)如图，在等边ABC中，边长为30，点M为线段AB上一动点， 将等边ABC沿过M的直线折叠，折痕与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D处，且 BD:DC=1:4设折痕为MN,则AN的值为· M B D 【答案】21或65 【分析】分当点D在BC上与BC的反向延长线上两类讨论，根据ABC是等边三角形得到 AB=AC=BC=30,∠A=∠B=∠C=60°，根据△AMN沿MN折叠得到△DMN可得AN=DN,AM=DM ,∠A=∠MDN=60°，结合三角形内外角关系即可得到LBMD=∠DNC,即可得到△BMD∽△CDN,则可 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 得BD=BMMD 6x CN DC DN 设AN=r,则DN=x,CN=30-x,代入比例式中，可得BM=14 30-x MD=- 30-x 根据AM+BM=30,求出x的值，即可得到答案； 【详解】解：①当点D在BC上时， :ABC是等边三角形， AB=AC=BC=30,LA=∠B=∠C=60°， :△AMN沿MN折叠得到△DMN, AN=DN,AM=DM,∠A=∠MDN=60°， 在△BMD中， :∠MDN+∠DNC=∠B+∠BMD, .∠BMD=∠DNC, 又：∠B=LC, .△BMD∽aCDN, :BD-BM MD CN DC DN' :BC=30,BD:DC=1:4, BD=6,DC=24, 设AN=x,则DN=x,CN=30-x, 6BM MD 30-x24x BM=144 30-x ，MD= 6x 30-x 6x ∴.AM= 30-x 又AM+BM=30, ,6x+14=30, ÷30-x30- 解得x=21, AN=21; ②当点D在BC的反向延长线上时， 与①同理可得，△BMD∽aCDN, BD BM MD CN DC DN :BC=30,且BD:DC=1:4 .BD=10,DC=40, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设AN=x,则DN=x,CN=x-30, :10 BM MD “x-3040 x .BM = 400 ，MD= 10x x-30 x-30 .AM=10x x-30 :AM+BM=30, 10x 400 =30, “x-30x-30 解得x=65, .AN=65. 故答案为：21或65. 【点晴】本题考查三角形相似的判定与性质，等边三角形性质，折叠的性质，解题的关键是根据折叠相等 及三角形内外角关系得到相似的条件. 3.(24-25九上·上海松江区·期中)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=2AC,点D为AB 上一个动点，正方形DEFG的顶点E、F都在BC边上，点G在ABC外，若LDGC=LB,则正方形边长 为 B F 【答案】 3 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识点， 熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键， 根据正方形的性质得到DE=FG=EF,∠GFC=∠DEB=90°，DG∥BC,求得LDGC=∠GCB得到 ∠GCB=∠B,根据全等三角形的性质得到BE=CF，根据相似三角形的性质得到BE=2DE,求得 2 CE-EF=BF-3BC-3 【详解】解：：四边形DEFG是正方形， :DE=FG=EF,∠GFC=∠DEB=9O°，DG∥BC, ∴.∠DGC=∠GCB, :∠DGC=∠B, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠GCB=LB, 在△GFC与△DEB中， ∠GFC=∠DEB ∠GCF=∠DBE, GF=DE :.△GFC≌△DEB(AAS), .BE=CF, :∠ACB=90°， .DE∥AC, .△BDE∽△BAC, DE AC BE BC DE AC 1 BE BC 2' .BE =2DE, .BF=EF, .BE=CF, 1 2 .CE=EF=BF= BC 3 3 :正方形边长为 故答案为： 2 3 二、解答题 4.(22-23九上·上海普陀区·期中)在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点P是线段BD上的一动点（不与点B、 D重合)，过点P作PELBD,交射线DC于点E,联结BE D F A D C(E) 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点E与点C重合时，求BP的长； 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (②)当直线BE与直线AD交于点F时，设BP=x,AF=y: ①如图2，点F在线段DA的延长线上，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； ②如果△BPE与△BAF相似，求BP的长. 【答案】0号， 144 (2)①y= 32 0<x< ②BP的值为4或8. 32-5x 【分析】(1)证明△CPB∽△BAD,利用相似三角形的性质求解； (2)①证明△BDCn△EDP,可得 DP ED DC DB 推出D5-00-小，由48∥0E,推出把仁，由此构 建关系式，可得结论； ②分两种情形：α、点F在线段DA的延长线上（如图2中），b、点F在线段AD的延长线上（如图3中）， 分别求解即可. 【详解】(1)四边形ABCD是矩形，AB=6,AD=8, CD=6,BC=8,BD=10,∠A=90°，AD∥CB, .∠ADB=∠CBP, :CP⊥BD, .∠CPB=∠A=90, .△CPB∽△BAD, BP BC AD DB BP 8 810 BP=32 (2)解：①：PE⊥BD, ·∠DPE=∠DCB=90, :∠BDC=LEDP, ∴△BDCn△EDP, DP ED ·DCDB :BP=x,DB=10,DP=10-x,CD=6, :10-x-DE 610 DE=(10-x), 3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB∥DE, AB AF DE DF 6 y 300-)少+8， .y= 144 32 2-5x 0<x< 5/ ②：∠FAB=∠BPE=90,且点F不可能在线段AD上， ∴.△BPE与△BAF相似有两种可能： a、点F在线段DA的延长线上（如图2中）， :∠PBE≠∠AFB, ∴.∠PBE=∠ABF, :AB∥DE, ·∠ABF=∠DEB, .∠PBE=∠DEB, ∴DE=DB=10, .DP=DC=6, ∴.BP=4. b、点F在线段AD的延长线上（如图3中）， D P B C 图3 :∠ABF≠∠PBE, ∠ABF=∠PEB, :AB∥CD, ∠ABF=LCEB, .ZPEB=ZCEB, :∠BPE=∠BCE=90, .BP=BC=8. 综上所述，BP的值为4或8. 函学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 【点晴】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题 的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型. 5.(22-23九上·上海松江区九亭第二中学期中已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB1AC,CB=25, cos∠4CB-E为BC上一动点，作∠4BG=∠B,射线EG交射线4D于点G, 4 G (图1) E(图2) B (备用图) (I)如图1当AE⊥BC时，求AG的长； (2)如图2，当点G在线段AD上时，射线EG交射线CD于点F,设BE=x,DG=y,求y与x间的函数关 系式，并写出x的取值范围； (3)当△AEG是等腰三角形时，直接写出BE的长. 【答案】(1)16 (2)y=- 225 43-√949 -x+43 ≤x≤25 x ③BE的长为25或15或18. 2 【分析】1)根据c0s∠4CB=号，求出4C=20,由勾股定理求出48=15，再求AE=12,根据 6了·有出a<5G-怨手，可求出答案 tan∠B=AC-4 C-C,得出HC=16, (2)证明△ABE~aAEG,得出AE2=x(25-y以，作AH1BC,由cos∠ACB=HC=4C 进而得出EH=25-16-x=9-x,根据勾股定理得出AE2=AH2+EH2=x2-18x+225,从而得出 x2-18x+225=25x-xy,即可得出答案，当DG=0时，求出x的值，即可得出取值范围； (3)分三种情况讨论：当AE=AG时，当AE=EG时，当AG=EG时，根据等腰三角形的性质即可求出答 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 案。 【详解】1)解：：AB14C,CB=25,c0s∠ACB= 5’ .AC=20, :AB=BC2-AC2=15, AAB=4Bx1C-15x20=12, BC 25 :tan∠B=4C-204 AB153’ tan∠AEG=4AC_4 AE 3' AG=16; (2)解：：平行四边形ABCD, AD∥BC, ∴∠AEB=∠EAG, :∠AEG=LB, ∴.△ABE~△GEA, AE2=BE×AG=x(25-y), 作AH⊥BC, B EH C 由(1)可得：AH=12, :cos∠ACB= 架即S器 HC AC .HC=16, ..EH =9-x, AE2=AH2+EH2=122+(9-x)2=x2-18x+225, 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AE2=x(25-y), x2-18x+225=25x-xy, .xy=25x+18x-x2-225, 225 -x+43; 当y=-22 -x+43=0时，即DG=0时，x=43±949 2 :43-V949 2 ≤x≤25， 综上，y=-25 +43 (3) A G B K E (备用图) 分三种情况： ①当AE=AG时，∠1=∠2， :∠1=∠B, .∠2=∠B, :平行四边形ABCD, AD∥BC, ∠2=∠3， LB=∠3， .ABI EG, ,四边形ABEG是平行四边形， LBAC=LGHC=90°， .AB=EG=15, 根据等腰三角形三线合一，HE=HG=EG= 2，