专题03 实数的运算（期中真题汇编，上海专用）八年级数学上学期沪教版2024

专题03 实数的运算（期中真题汇编） 4大高频考点概览 考点01 实数的混合运算 考点02 程序设计与实数运算 考点03 新定义下的实数运算 考点04与实数运算相关的规律题 备注说明：本学期为上海八年级新课改第一个学期，故选题仍以23-24学年七下实数章节的真题为主。 地 城 考点01 实数的混合运算 一、计算题 1．(23-24七下·上海黄浦区·期末)计算：． 2．(23-24七·上海嘉定区丰庄中学·期中)计算： (1) (2) 3．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)已知，求代数式的值． 4．(23-24七下·上海杨浦区·期末)计算：． 5．(23-24七上·上海黄浦区·期末)计算：． 6．(23-24七上·上海浦东模范学校东校区·期中)计算： 7．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)计算： 8．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)计算： 9．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)先观察：． 然后化简：． 10．(23-24七下·上海长宁区·期末)计算：． 地 城 考点02 程序设计与实数运算 一、单选题 1．(23-24七下·上海华育中学·期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 2．(23-24七下·上海宝山区·期末)有一个数值转换器，原理如下图所示：当输入的数是324时，输出的结果等于（    ）    A．3 B．18 C． D． 3．(23-24七下·上海上宝中学·期中小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 二、填空题 4．(23-24七下·上海松江·期末)按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ． 5．(23-24七下·上海黄浦区·期中)根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 地 城 考点03 新定义下的实数运算 一、填空题 1．(23-24七下·上海上外附中·期末)对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：a*b=，如3*2==，那么12*（3*1）= ． 2．(23-24七下·上海闵行区·期中)对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为 ． 3．(23-24七下·上海虹口区·期中)定义一种新的运算： 例如： 那么 4．(23-24七上·上海西延安学校·期中)定义一种新运算：，已知，则 ． 二、解答题 5．(23-24七下·上海兰生复旦·期末)在幂的运算中规定：若（且是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求y的值； (3)若，，，求t的值． 6．(23-24七下·上海普陀区·期末)在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数” (1)请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）； (2)已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 7．(23-24七下·上海青浦区·期末)对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 8．(23-24七下·上海黄浦区·期末)我们数学人智慧的光芒，永远照耀在对未知的探索道路上，亲爱的同学们，你能挑战一下自己吗？ 阅读理解∶一般地，n个相同因数a相乘∶，记为，如∶，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，（即）． (1)计算∶ _____； _____；_____． (2)观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出，，之间的关系式____________________________． (3)由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果∶ ________（ 且，）； (4)根据上述结论解决下列问题∶已知，求和的值(且)． 地 城 考点04 与实数运算相关的规律题 一、填空题 1．(23-24七下·上海闵行区·期中)观察等式：，，，按上述规律，若，则 ． 2．(23-24七上·上海奉贤区·期末)一组数：，满足“从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“”是由“”得到的，那么这组数中的值是 ． 二、解答题 3．(23-24七下·上海普陀区·期末)数学课堂上，张老师写出了下面四个等式，仔细观察下列等式，你会发现什么规律：，… （1）请你按照这个规律再写出两个等式： ； （2）请将你发现的规律用仅含字母 (为正整数)的等式表示出来：你发现的规律是 ． （3）请你利用所学习的知识说明这个等式的正确性： 4．(23-24七下·上海华育中学·期末)观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ， （1）观察上面的规律，计算下列式子的值． ； （2）利用上面的规律，试比较与的大小． 5．(23-24七上·上海民办浦东交中初级中学·期末)阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实数的运算（期中真题汇编） 4大高频考点概览 考点01 实数的混合运算 考点02 程序设计与实数运算 考点03 新定义下的实数运算 考点04与实数运算相关的规律题 备注说明：本学期为上海八年级新课改第一个学期，故选题仍以23-24学年七下实数章节的真题为主。 地 城 考点01 实数的混合运算 一、计算题 1．(23-24七下·上海黄浦区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键； 根据零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质化简，然后根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】 ． 2．(23-24七·上海嘉定区丰庄中学·期中)计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先通分，再进行加减计算，最后化为最简分式； （2）分别计算负整数指数幂，零指数幂，再进行混合计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题关键．利用完全平方公式结合题意求出，进而得到，将转化为，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 4．(23-24七下·上海杨浦区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则．先算乘方，再算加减即可． 【详解】解： 5．(23-24七上·上海黄浦区·期末)计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可，熟练掌握有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 6．(23-24七上·上海浦东模范学校东校区·期中)计算： 【答案】5 【分析】本题考查了实数的运算，根据乘方的意义、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 7．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，实数的混合运算，利用平方差公式将原式变形为，再化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 8．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，令，先分解因式，再加减，最后代入计算即可． 【详解】解：令， 原式 ； ， 原式． 9．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)先观察：． 然后化简：． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，完全平方公式和平方差公式，根据题意，仿照例子求解即可． 【详解】解： ． 10．(23-24七下·上海长宁区·期末)计算：． 【答案】3 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先将负数次幂，算术平方根，0次幂化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 地 城 考点02 程序设计与实数运算 一、单选题 1．(23-24七下·上海华育中学·期末)按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 2．(23-24七下·上海宝山区·期末)有一个数值转换器，原理如下图所示：当输入的数是324时，输出的结果等于（    ）    A．3 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义以及实数分类，根据程序进行计算即可． 【详解】解：输入时，取正平方根为，是有理数， 输入时，取正平方根为，是无理数，输出， 故选：C． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，二次根式的性质化简，根据程序设计进行计算是解题的关键． 3．(23-24七下·上海上宝中学·期中小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y的值是（    ）． A．8 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 二、填空题 4．(23-24七下·上海松江·期末)按照如图所示的程序计算，若输出y的值是2，则输入x的值是 ． 【答案】1 【分析】根据程序分析即可求解． 【详解】解：∵输出y的值是2， ∴上一步计算为或 解得（经检验，是原方程的解），或 当符合程序判断条件，不符合程序判断条件 故答案为：1 【点睛】本题考查了解分式方程，理解题意是解题的关键． 5．(23-24七下·上海黄浦区·期中)根据下图中的程序，当输入为36时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的为36时，输出的值是多少即可． 【详解】解：当输入x为36时，， 是有理数，， 是无理数， ∴当输入的为36时，输出的值是． 故答案为：． 地 城 考点03 新定义下的实数运算 一、填空题 1．(23-24七下·上海上外附中·期末)对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算*如下：a*b=，如3*2==，那么12*（3*1）= ． 【答案】 【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：∵3*1====1， ∴12*（3*1）=12*1==， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了实数运算，正确理解计算公式是解题关键． 2．(23-24七下·上海闵行区·期中)对于整数，定义为不大于的最大整数，例如：，，，对26进行如下操作：26，即对26进行两次操作后变成2．若对整数进行上述两次操作后变为4，那么的最大值为 ． 【答案】624 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小的方法是解题的关键．由的定义为不大于的最大整数，624进行两次操作后变为4，625进行两次操作后变为5，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴对624进行两次操作后可变为4， 又∵，， ∴进行两次操作后可变为4的所以整数中，最大的是624， 即的最大值为624． 故答案为：624． 3．(23-24七下·上海虹口区·期中)定义一种新的运算： 例如： 那么 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，根据新运算得到，再根据以及负整数指数幂的运算法则计算即可，熟知分数指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．(23-24七上·上海西延安学校·期中)定义一种新运算：，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，涉及到平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据新运算的含义，利用平方差公式化简再次利用新定义及化简的结果展开，求出，然后再次利用新定义即可得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 二、解答题 5．(23-24七下·上海兰生复旦·期末)在幂的运算中规定：若（且是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求y的值； (3)若，，，求t的值． 【答案】(1)3； (2)1； (3)2． 【分析】根据题意再利用幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则进行计算即可，本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是掌握对相应的运算法则． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 故，的值为3； （2）因为，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 故，的值为1； （3）因为，，， 所以， ， ， 所以，， 又因为，， 所以，， 所以，， 所以，解得， 故，的值为2． 6．(23-24七下·上海普陀区·期末)在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数” (1)请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）； (2)已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 【答案】(1)；是 (2) 【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“智慧数”的定义可得； （2）利用配方法，将S配成智慧数，可求k的值． 【详解】（1）， 是“智慧数”． 小于的（5除外）“智慧数”为；（答案不唯一）， 是“智慧数”． （2） ， 是“智慧数”， ， ． 当时，S为“智慧数”． 7．(23-24七下·上海青浦区·期末)对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 【答案】（1）， （2），， （3） （4） 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 8．(23-24七下·上海黄浦区·期末)我们数学人智慧的光芒，永远照耀在对未知的探索道路上，亲爱的同学们，你能挑战一下自己吗？ 阅读理解∶一般地，n个相同因数a相乘∶，记为，如∶，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为，（即）． (1)计算∶ _____； _____；_____． (2)观察（1）中三数9、81、729之间满足怎样的关系式？写出，，之间的关系式____________________________． (3)由（2）的结果，请你归纳出一个一般性的结果∶ ________（ 且，）； (4)根据上述结论解决下列问题∶已知，求和的值(且)． 【答案】(1)2；4；6 (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据题目给出的定义，即可求解， （2）根据题意，找到规律，即可求解， （3）根据（2）中的规律，即可求解， （4）根据题目给出的运算法则，即可求解， 本题考查了新定义运算，解题的关键是：理解题意，找到规律． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2；4；6， （2）∵，，，， ∴， 故答案为：， （3）解：， 故答案为：， （4）解：， ． 地 城 考点04 与实数运算相关的规律题 一、填空题 1．(23-24七下·上海闵行区·期中)观察等式：，，，按上述规律，若，则 ． 【答案】 【分析】观察等式的左边等于等号的右边为，据此即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴第个式子为， ∴第个式子为 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数有关的规律题，找到规律是解题的关键． 2．(23-24七上·上海奉贤区·期末)一组数：，满足“从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是”，例如这组数中的第三个数“”是由“”得到的，那么这组数中的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的含乘方有理数混合运算，根据数的生成规则，找到第三个数为x和y的三个数，利用规则计算求得x和y即可求得答案． 【详解】解：根据从第三个数起，前两个数依次为，紧随其后的数就是， ∵ ∴，解得， ∵， ∴， 则． 故答案为：． 二、解答题 3．(23-24七下·上海普陀区·期末)数学课堂上，张老师写出了下面四个等式，仔细观察下列等式，你会发现什么规律：，… （1）请你按照这个规律再写出两个等式： ； （2）请将你发现的规律用仅含字母 (为正整数)的等式表示出来：你发现的规律是 ． （3）请你利用所学习的知识说明这个等式的正确性： 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析 【分析】（1）两个相差为2的自然数相乘加1，等于这两个自然数平均数的平方，由此规律可解决问题； （2）根据已知等式可得出规律； （3）利用整式的计算方法计算验证正确性即可． 【详解】（1）， 故答案为：， （2）通过前6个等式可得： 故答案为： （3）∵左边=，右边= ∴左边=右边， ∴等式成立，． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 4．(23-24七下·上海华育中学·期末)观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ， （1）观察上面的规律，计算下列式子的值． ； （2）利用上面的规律，试比较与的大小． 【答案】（1）2012；（2）> 【分析】（1）根据分母乘以分母中这两个数的差，可分母有理化，根据实数的运算，可得答案； （2）根据平方差公式，可化成分子相同的数，根据相同的分子，分母越大的数越小，可得答案． 【详解】解：（1）由 总结规律得：，则 = = =2012 （2），， ∵<, ∴>， ∴> 【点睛】本题考查了分母有理化和分子有理化在二次根式混合运算和实数大小比较中的应用，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 5．(23-24七上·上海民办浦东交中初级中学·期末)阅读与理解： (1)观察一组有规律的等式：① ，②，③，…发现规律，第⑩个等式是________； (2)利用第一小题发现的规律计算：； (3)已知一组有规律的数： …，它们的和为 ，试探究这组数共有几个？ 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）根据规律即可求解； （2）利用第（1）小题发现的规律进行计算； （3）先找到这组数的规律，然后利用规律进行加法计算． 【详解】（1） （2） （3） ∵ …，它们的和为， ∴， ∴， ∴ ∴这组数共有9个 【点睛】本题考查规律题目，解题的关键是明确规律的意思，根据规律进行运算． / 学科网（北京）股份有限公司 $