专题02 直线与圆（期中真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题02 直线与圆 4大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆与方程 考点03 直线与圆 考点04 圆与圆 地 城 考点01 直线与方程 一、单选题 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东济南·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线l的方程为，则l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 6．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线，直线，若或，则a的值可能为（    ） A．4 B． C． D．1 9．（24-25高二上·山东济南·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线必过定点 C．若过点的直线的截距相等，则该直线方程为或 D．若两直线平行，则或 10．（24-25高二上·山东临沂·期中）若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 . 12．（24-25高二上·山东德州·期中）已知的三个顶点，，，则边上的高为 . 四、解答题 13．（24-25高二上·山东济南·期中）求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程. (1)与直线平行； (2)到原点的距离等于1. 14．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 15．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 地 城 考点01 圆与方程 一、单选题 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆与圆有3条公切线，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 4．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知直线与圆，则（   ） A．当时，直线平分圆C B．直线与圆C总有两个公共点 C．直线被圆C截得的最短弦长为 D．被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条 三、填空题 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为 . 6．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知圆与x轴相切，则 . 7．（24-25高二上·山东烟台·期中）写出一个圆心在y轴上，且与直线相切的圆的标准方程 ． 8．（24-25高二上·山东·期中）以坐标原点为圆心的圆与轴的负半轴交于点，直线与圆相交于、两点（其中点在轴的右侧），以为直径的圆与相交于、两点，若直线与的斜率互为倒数，且，则圆的方程为 . 9．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，写出一条过点且与相切的直线方程 . 四、解答题 10．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围. 11．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知圆的圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，当弦最短时，求的值，并求出此时关于对称的圆的方程. 12．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 13．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 14．（24-25高二上·山东济宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 地 城 考点03 直线与圆 一、单选题 1．（24-25高二上·山东济宁·期中）如果实数满足等式，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 4．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东烟台·期中）过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为 C．存在唯一点，使得 D．直线恒过定点 7．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 8．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线，圆，为圆上任意一点，则（    ） A．直线过定点 B．若圆关于直线l对称，则 C．的最大值为 D．的最大值为3 三、填空题 9．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的最大值是 . 10．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是 . 四、解答题 11．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M． (1)求点M的轨迹方程； (2)过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点． （Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （Ⅱ）若，求直线的方程． 12．（24-25高二上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆C过点，，且圆关于x轴对称. (1)求圆C的标准方程； (2)已知直线l经过点，与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程. 13．（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 14．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 地 城 考点04 圆与圆 一、单选题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知圆不经过坐标原点，且与圆相切，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（    ） A．当时，的方程是 B．当时，以为直径的圆与的公共弦长为 C．当时，圆的圆心在线段的延长线上 D．以为直径的圆始终与相交 4．（24-25高二上·山东·期中）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆与圆的公共弦方程为 B．满足的点有2个 C．若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为 D．的最小值是 5．（24-25高二上·山东日照·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线与直线之间的距离是 D．圆与圆有两条公切线 三、填空题 6．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为 ；若点是圆上的动点，则的最大值为 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线与圆 4大高频考点概览 考点01 直线与方程 考点02 圆与方程 考点03 直线与圆 考点04 圆与圆 地 城 考点01 直线与方程 一、单选题 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的斜截式可直接得解. 【详解】对于直线，它在轴上的截距为. 故选：A. 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线方程计算直线斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线的斜率，故直线的倾斜角为. 故选：D. 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】由题意，直线的斜率为2，故与之垂直的直线的斜率为， 又所求直线过点，故其直线方程为，即. 故选：C. 4．（24-25高二上·山东济南·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，然后根据斜率的定义即可求得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，方程可化为， 所以直线的斜率为，即，又， 所以倾斜角. 故选：A. 5．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线l的方程为，则l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【分析】由直线方程计算直线斜率，由斜率得到倾斜角. 【详解】由题意得，直线斜率为， 即，又，则. 故直线的倾斜角为. 故选：A. 6．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 7．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，若与交于两点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出最短弦长. 【详解】直线：过定点，圆：的圆心，半径， ，即点在圆内，当且仅当时，最短， 所以的最小值为 故选：C 二、多选题 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线，直线，若或，则a的值可能为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】BC 【分析】利用两直线平行与垂直的性质，分别列式即可得解. 【详解】对于直线，直线， 若，则，所以，解得，故B正确； 若，则，解得，经检验，满足要求，故C正确； 由上述解析可知AD错误. 故选：BC. 9．（24-25高二上·山东济南·期中）下列说法中，正确的有（    ） A．直线在轴上的截距为 B．直线必过定点 C．若过点的直线的截距相等，则该直线方程为或 D．若两直线平行，则或 【答案】BC 【分析】对A，令，求出直线在轴上的截距；对B，将直线方程变形后得到所过定点；对C，分截距为0和不为0，两种情况，求出直线方程；对D，根据两直线平行的充要条件求解. 【详解】对于A，令，可得，所以直线在轴上的截距为，故A错误； 对于B，由，可得，所以直线过定点，故B正确； 对于C，当直线在轴和轴上截距都为时， 设直线方程为，将代入，可得，所以， 当直线在轴和轴上截距都不为时， 设方程为，代入，解得：， 故此时直线方程为， 综上，直线方程为或，故C正确； 对于D，由题可得，解得或， 当时，的方程为，的方程为， 重合，矛盾， 当时，的方程为，的方程为，满足条件， ，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二上·山东临沂·期中）若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对截距分类讨论，利用截距式及其斜率计算公式即可得出． 【详解】当直线经过原点时，可得直线方程为：，即． 当直线不经过原点时，可设的直线方程为：，把点代入可得：，可得． 综上可得：直线的方程为：或． 故选：BC． 三、填空题 11．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】依题意，直线的斜率，其倾斜角为. 故答案为： 12．（24-25高二上·山东德州·期中）已知的三个顶点，，，则边上的高为 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，再利用点到直线的距离公式即可. 【详解】，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 则边上的高为. 故答案为：. 四、解答题 13．（24-25高二上·山东济南·期中）求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程. (1)与直线平行； (2)到原点的距离等于1. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用两直线平行的充要条件可求，即得解； （2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解. 【详解】（1）设所求直线为，即， 因为此直线与平行， 所以，解得， 故所求直线为. （2）由于原点到直线的距离为， 设所求直线为，即， 所以，解得或， 故所求直线方程为或. 14．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为． (1)求直线的方程和点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)7 【分析】（1）联立，得，因为的平分线所在的直线方程为，所以点关于直线的对称点在直线上，所以，由此可得直线的方程；根据垂直直线的直线系方程可设直线的方程为，代入点可求，进而联立直线和即可; （2）求出点到直线的距离，利用两点间的距离公式求出，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 的平分线所在的直线方程为， 所以联立，得， 设点关于直线的对称点为， 所以解得，即， 所以，所以直线的方程为． 因为边上的高所在直线方程为， 所以设直线的方程为，代入，得 所以直线的方程为， 联立，解得． （2）因为边所在直线方程为， 所以，点A到直线的距离， ， 所以． 15．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与轴交于点， 与轴交于点，与交于点． (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立直线、的方程，求出点的坐标，根据两直线平行求出所求直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程； （2）求出点、，可求出的值，以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）由得，即点. 因为所求直线与直线平行，所以，所求直线斜率为， 故所求直线方程为，即. （2）直线与轴交点的坐标为，直线与轴交点的坐标为， 则，点到的距离， 所以，的面积 地 城 考点02 圆与方程 一、单选题 1．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆与圆有3条公切线，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】若两圆有3条公切线，则外切.我们需要先通过圆的方程，求出圆心坐标和半径，再根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和来求解的值. 【详解】圆，其圆心坐标为，半径. 圆，其圆心坐标为，半径. 因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距. 根据两点间距离公式，圆心与的距离. 又因为，即. 移项可得. 两边平方可得，解得. 故选：A. 3．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【详解】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 二、多选题 4．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知直线与圆，则（   ） A．当时，直线平分圆C B．直线与圆C总有两个公共点 C．直线被圆C截得的最短弦长为 D．被圆C截得的弦长为的直线有且只有1条 【答案】ABD 【分析】A.又圆的圆心是否在直线上判断；B.根据直线过定点，由定点P与圆的位置关系判断；C.由圆心和定点的连线与直线l垂直时，直线被圆C截得的弦长最短判断；D.由被圆C截得的弦长为求得圆心到直线的距离求解判断. 【详解】A.当时，直线，圆的圆心在直线上，所以直线平分圆C，故正确； B. 直线过定点，且，则定点在圆内，所以直线与圆C总有两个公共点，故正确； C.直线被圆C截得的最短弦长时，圆心和定点的连线与直线l垂直，又， 直线被圆C截得的最短弦长为，故错误； D. 当被圆C截得的弦长为时，圆心到直线的距离为，解得，所以这样的直线有且只有1条，故正确； 故选：ABD 三、填空题 5．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意设的坐标，利用平面向量线性运算与模的坐标表示，结合求轨迹的相关点法即可得解. 【详解】依题意，设，又，， 则，，， 因为，所以， 则，故， 因为，所以， 所以，则， 所以D点的轨迹方程为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知圆与x轴相切，则 . 【答案】 【分析】整理圆的方程为标准式，明确圆心与半径，由切线建立方程，可得答案. 【详解】由圆的方程整理可得圆，则圆心，半径， 由圆与轴相切，则，解得. 故答案为：. 7．（24-25高二上·山东烟台·期中）写出一个圆心在y轴上，且与直线相切的圆的标准方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】依题意假设圆的标准方程为，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，由此得到，取不同的值，半径唯一确定. 【详解】假设圆心，半径为，则圆的标准方程为 直线的一般式为， 依题意圆心到直线的距离等于圆的半径 所以 所以，取则，所以圆的标准方程为， 故答案为：（答案不唯一） 8．（24-25高二上·山东·期中）以坐标原点为圆心的圆与轴的负半轴交于点，直线与圆相交于、两点（其中点在轴的右侧），以为直径的圆与相交于、两点，若直线与的斜率互为倒数，且，则圆的方程为 . 【答案】. 【分析】根据题意可得，进而判断出△为等边三角形，再在△中，由正弦定理，求得，即可求得圆的半径，即可求得圆方程. 【详解】如图所示，以为直径的圆与相交于、两点，显然， 直线：过圆心，所以，，而， 所以，，所以，直线与直线的倾斜角互补，即， 又因为与为圆的半径，所以△为正三角形，所以， 在△中，由正弦定理可得：，故圆的半径为，即圆的方程为：. 故答案为：. 9．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，写出一条过点且与相切的直线方程 . 【答案】或（只写一条即可）． 【分析】求出圆心和半径，分析斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在的直线设出直线方程后，由圆心到切线的距离等于半径求得结论． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为5， 过且斜率不存在的直线为，它与圆相切， 过且斜率存在的直线设其方程为，即， 由，解得， 直线方程为，即， 故答案为：或（只写一条即可）． 四、解答题 10．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知以点为圆心的圆与直线相切. (1)求圆A的方程； (2)过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程； (3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围. 【答案】(1); (2)或; (3). 【分析】（1）由题意知到直线的距离为圆半径，由点到直线的距离公式即可求解； （2）求得圆心到直线的距离，分斜率是否存在两种情况计算可得结论； （3）求得圆心到的距离的最小值的平方，即可得结论. 【详解】（1）由题意知点到直线的距离为圆的半径， 由点到直线的距离公式可得, 所以圆的方程为. （2）因为直线与圆相交与两点，且，利用垂径定理和勾股定理， 可得圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由题意可得，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述：直线的方程为或. （3）表示点到的距离的平方， 又圆心到到的距离为， 所以点到的距离的最小值为，最大值为 所以的最小值为，最小值为， 即的取值范围是. 11．（24-25高二上·山东临沂·期中）已知圆的圆心在直线上，并且经过圆与圆的交点. (1)求的方程； (2)直线与交于，两点，当弦最短时，求的值，并求出此时关于对称的圆的方程. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）设出过圆与圆的交点的圆系方程，得到圆心后代入直线中计算即可得； （2）由题意可得直线所过定点，再借助垂径定理即可得，再求出的圆心关于直线的对称点的坐标即可得解. 【详解】（1）设经过圆与圆的交点的圆的方程为： ， 即为， 圆心为，代入得，， 所以的方程为； （2）由得， 所以直线经过与的交点， 由，得交点， 所以当时最短， 因为，所以，解得， 即直线的方程为 由（1）得，半径， 设圆心关于直线的对称点， 则，解得， 所以关于对称的圆的方程为.    12．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【分析】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程； （2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值， 求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 13．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知点，，点A关于直线的对称点为C. (1)求的外接圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆E截得的弦长为2，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）先利用点关于直线对称求得点的坐标，再利用待定系数法求得圆的一般方程，从而配方得解； （2）利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率存在与否，利用点线距离公式列式即可得解. 【详解】（1）依题意，设点， 因为点与点关于直线对称， 所以，解得，故， 设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 则圆的一般方程为， 所以圆的标准方程为. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为， 因为直线被圆截得的弦长为2， 所以圆心到直线的距离为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，易知满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时的方程为，即 综上，所求直线的方程为或. 14．（24-25高二上·山东济宁·期中）已知三点，记的外接圆为. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入点的坐标计算，即可得到圆的一般式方程，再化为标准式即可； （2）由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得，再由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设的方程为， 由题意可得，解得， 所以的方程为， 化为标准方程可得. （2）由（1）可得圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 且， 因此的面积为. 地 城 考点03 直线与圆 一、单选题 1．（24-25高二上·山东济宁·期中）如果实数满足等式，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用两点连线的斜率公式知，表示圆上的点与点连线的斜率，从而将问题转化成直线与圆的位置关系来处理，即可求解. 【详解】设，则表示圆上的点与点连线的斜率， 所以求的取值范围就等价于求同时经过点和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值， 从图中可知，当过点的直线与圆相切时取最大值和最小值，此时对应的直线斜率分别为和， 由圆心到直线的距离，解得或， 所以的取值范围是， 故选：B. 2．（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆及直线，当直线与圆相交所得弦长最短时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定直线过圆内定点，由直线与过定点的半径垂直，求得直线斜率得直线方程． 【详解】圆标准方程是，圆心为，半径为2， 直线过定点，，在圆内部， 直线与圆相交所得弦长最短时，， ，所以， ∴的方程为，即， 故选：D． 3．（24-25高二上·山东菏泽·期中）直线l：与圆的公共点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】利用直线恒过定点，且定点在圆的内部，即可得到结论. 【详解】由整理得：， 可知圆圆心坐标为，半径为， 再由直线l：恒过点， 由圆心到点的距离为，可知， 所以点在圆的内部， 即直线l与圆一定有两个交点. 故选：C. 4．（24-25高二上·山东菏泽·期中）已知不全为零的实数、、满足，则直线被圆所截得的线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，当时，圆心到直线的距离最大，此时，直线截圆所得弦长最小，结合勾股定理即可得解. 【详解】因为不全为零的实数、、满足， 则直线的方程可化为，即， 由可得，即直线过定点， 因为，即点在圆内， 圆的圆心为原点，半径为， 当时，圆心到的距离取最大值，且最大值为， 所以，直线被圆截得的弦长的最小值为. 故选：B. 5．（24-25高二上·山东烟台·期中）过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】圆的圆心，半径 ∵，是圆的两条切线， 则，且、、、四点共圆， ∴，即， ∵，所以， 当最小，即直线时，取得最小值， 此时直线方程为，即， 联立，解得，即， 则以为直径的圆的方程为， 即， ∵圆，两圆相交， 两圆方程相减即为的方程. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为 C．存在唯一点，使得 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，由题可得四边形的面积，可判断B；当时，四边形为正方形，将问题转化为时，求点的个数，即可判断C；由题可知点，在以为直径的圆上，利用两圆方程相减可得公共弦的方程，即可判断D. 【详解】由圆，可知圆心，半径. 对于A，由圆心到直线的距离为， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为（当时，直线与圆的两个交点处分别取等号）. 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于B，四边形的面积， 由圆的性质可得切线长， 所以当最小时（时）, ， 所以四边形的面积的最小值为1，故B正确； 对于C，若，由，，则四边形为正方形，则， 设，则，解得， 即存在唯一P点，使得，故C正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线，所以点在以为直径的圆上. 又，所以以为直径的圆为，即. 与圆联立，相减，即为直线的方程为：. 由，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是分析得点在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解. 7．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】利用点圆位置关系的判定方法可判断A，将问题转化为直线与圆的位置关系，从而列式可判断B，将问题转化为圆心到直线的距离问题，从而列式可判断C，利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 所以点在圆外，故A错误； 对于B，因为圆，可化为， 所以圆心，半径为， 设，则，又点在圆上， 所以直线与圆有交点， 即，解得， 所以的最大值为，故B正确； 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得，故C正确； 对于D，设关于直线的对称点为， 则，解得，则， 则， 而的最小值为， 所以， 当且仅当四点共线，且在线段时，等号成立， 则的最小值为. 故选：BCD. 8．（24-25高二上·山东德州·期中）已知直线，圆，为圆上任意一点，则（    ） A．直线过定点 B．若圆关于直线l对称，则 C．的最大值为 D．的最大值为3 【答案】BC 【分析】A：将直线方程化为，根据可确定出定点坐标；B：考虑直线经过圆心的情况；C：根据的几何意义，考虑与圆相切；D：根据的几何意义，先计算，然后可求结果. 【详解】化为标准方程为，圆心为，半径为； A：因为，令，可得，所以过定点，故错误； B：若圆关于对称，则过圆心，所以，解得，故正确； C：表示连线的斜率，设，即，如下图，    当与相切时，此时取最值， 所以，解得，所以的最大值为，即的最大值为，故正确； D：表示，因为，所以，故错误； 故选：BC. 三、填空题 9．（24-25高二上·山东淄博·期中）已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据中点关系可得，即可由数量积的坐标运算得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，即可根据求解. 【详解】由于直线恒过定点，圆的圆心， 设，则，故， 即，化简可得， 故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆， 由于在圆外，, 故，即， 则的最大值是. 故答案为：. 10．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系列不等式，求解即可得的取值范围. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有个点到直线的距离等于， 所以，则，解得。 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 11．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M． (1)求点M的轨迹方程； (2)过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点． （Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； （Ⅱ）若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（Ⅰ）是，定值为12；（Ⅱ） 【分析】（1）设出点的坐标，根据中点坐标表示点的坐标并代入圆的方程计算即可； （2）（Ⅰ）设出直线方程以及点的坐标，代入直线方程与圆的方程联立，根据向量可求得定值；（Ⅱ）设点的坐标，根据向量找到等式，即可求得结果. 【详解】（1）设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是， 且M是线段的中点，所以，， 于是，① 因为点A在圆上上运动， 所以点A的坐标满足圆的方程，即②， 把①代入②，得，整理，得； （2）（Ⅰ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入， 并整理，得， ∴，， 则， ， ∴ ， 所以为定值，且定值为12； （Ⅱ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设， 设，，将代入， 并整理，得， ∴，， ∴， ∴或， 经检验， 时，此时直线与圆没有两个交点， 即中，所以， 所以，直线的方程为． 12．（24-25高二上·山东德州·期中）在平面直角坐标系中，已知圆C过点，，且圆关于x轴对称. (1)求圆C的标准方程； (2)已知直线l经过点，与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C的标准方程； （2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程. 【详解】（1）由圆关于x轴对称可知圆心在x轴上， 设圆心，半径为； 即可得，解得，半径， 所以圆C的标准方程为 （2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为，显然不合题意； 当直线l的斜率存在时，设方程为； 易知圆心到直线的距离 又可解得或， 即直线l的方程为或. 13．（24-25高二上·山东日照·期中）已知圆过点，，圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据已知条件，联立方程组，即可求得圆的方程； （2）由弦心距公式，求得圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式，求得直线的斜率，即可得到直线的方程. 【详解】（1）设圆的标准方程为：，由题意可得： ，解之得：， 所以圆的标准方程为：； （2）由弦心距公式可知，圆心到直线的距离为：. 当直线斜率不存在时，的方程为，显然此时圆心到直线的距离为，不符合题意； 当直线斜率存在时，设的方程为：，即， 由点到直线的距离公式可得：， 解之得：或， 所以直线的方程为：或. 14．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，圆：，若平面内一点到的切线长与到的切线长之比为定值（，且），则称点为“型切圆关联点”，记时，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点. ①求四边形面积的最大值； ②设为线段的中点，为线段的中点，证明：直线过定点. 【答案】(1)（坐标原点除外） (2)①；②证明见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得的方程. （2）①根据弦长公式求得，从而求得四边形面积的表达式，进而求得面积的最大值.②利用根与系数关系，由的坐标求得直线的方程，进而求得直线所过定点. 【详解】（1）圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 设，点到圆的切线长为， 点到圆的切线长为， 所以， 两边平方并化简得（坐标原点除外）. 所以的方程为（坐标原点除外）. （2）①当直线的斜率不存在时，直线与只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零，设直线的斜率为（），直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 所以， 用替换，可得， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以四边形面积的最大值为. ②由消去并化简得， 所以， 用替换，可得， 当时，， 所以直线的方程为， 即， 所以直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 当时，，此时直线恒过定点， 综上所述，直线恒过定点. 【点睛】思路点睛：1.利用切线长比求轨迹：通过已知点到两个圆的切线长之比，结合切线长公式，利用平方化简得到点的轨迹方程，这一步的推导是解决轨迹问题的关键. 2.结合根与系数关系证明定点性质：通过直线与圆的交点，结合根与系数关系，推导出直线方程，从而证明直线恒过定点. 地 城 考点04 圆与圆 一、单选题 1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知圆不经过坐标原点，且与圆相切，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆相切以及不过原点先求解出的关系式，然后结合基本不等式求解出最大值. 【详解】因为与相切， 所以或， 所以或， 因为不经过原点，所以， 所以， 又因为，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最大值为， 故选：C. 2．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知点在直线上，若以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用两圆有公共点得到，进而利用两点距离公式得到关于的二次不等式，解之即可得解. 【详解】因为点在直线上， 所以，即，则， 因为圆可化为， 所以圆A的圆心为，半径为， 因为以P为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点， 所以，即， 即，解得， 则，即，则. 故选：B. 二、多选题 3．（24-25高二上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为，则（    ） A．当时，的方程是 B．当时，以为直径的圆与的公共弦长为 C．当时，圆的圆心在线段的延长线上 D．以为直径的圆始终与相交 【答案】ACD 【分析】根据题意设，由可得轨迹，当时，可得轨迹的方程，根据圆与圆的位置关系确定相交弦长从而可判断A，B；根据圆心的坐标确定与，坐标关系即可判断C；分别判断与时，圆的端点在圆内还是外即可判断圆与圆的位置，从而判断D. 【详解】设，因为，，则， 整理得点的轨迹为为， 对于A，B，当时，的方程是，故A正确； 此时圆心，半径，又以为直径的圆圆心为，半径为2，圆的方程为， 所以两圆方程作差可得公共弦长所在直线方程为：， 故公共弦长，故B不正确； 对于C，由于方程为，则此时圆心坐标为， 当时，，则圆的圆心在线段的延长线上，故C正确； 对于D，由于以为直径的圆方程为，圆的圆心为，半径为， 当时，，因为圆的圆心在线段的延长线上， 又， 则，， 故点在圆内，在圆外，即此时以为直径的圆始终与相交； 当时，，的圆心在线段的延长线上， 又，， 则，， 故点在圆外，在圆内，即此时以为直径的圆始终与相交； 综上，以为直径的圆始终与相交，故D正确. 故选：ACD. 4．（24-25高二上·山东·期中）已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（   ） A．圆与圆的公共弦方程为 B．满足的点有2个 C．若圆与圆、直线AB均相切，则圆的半径的最小值为 D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】对于A，两圆的方程作差可得公共弦方程；对于B，可判断点的轨迹是圆，进而判断两圆的位置关系即可；对于C，根据圆的几何性质可知，圆的直径的最小值为圆心到直线AB的距离与圆的半径的差；对于D，设存在定点，使得，解得点的坐标，将转化为，进而可求最小值. 【详解】对于A，和两式作差， 可得，故A正确. 对于B，由，可得点的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆， 圆心的坐标为，两圆的圆心距为， 半径和与半径差分别为， 由3，得两圆相交，则满足条件的点有2个，故B正确. 对于C，直线AB的方程为，即， 圆心到直线AB的距离为， 所以圆的半径的最小值为，故C错误. 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意移动时均有． 设，则有， 化简得．因为，所以， 解得，则，所以，故D正确． 故选：ABD 5．（24-25高二上·山东日照·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为 B．向量是直线的一个方向向量 C．直线与直线之间的距离是 D．圆与圆有两条公切线 【答案】BD 【分析】根据点的坐标设出直线方程，求截距，列出方程组求解判断A，根据直线方向向量的概念判断B， 利用两平行线间的距离公式判断C，根据圆与圆的位置关系判断D. 【详解】选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，设直线方程为， 令解得，令解得， 因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍， 所以，解得或， 所以直线方程为或，A说法错误； 选项B：直线的斜率为，方向向量为，当时，B说法正确； 选项C：由得， 则直线与直线之间的距离，C说法错误； 选项D：由题意圆圆心为，半径， 圆圆心为，半径， 因为，， 所以两圆相交，有且仅有两条公切线，D说法正确； 故选：BD 三、填空题 6．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知点是直线与直线的交点，则点的轨迹方程为 ；若点是圆上的动点，则的最大值为 【答案】 / 【分析】根据直线经过定点以及两直线垂直可判断的轨迹是以的中点为圆心，即可根据圆心和半径求解轨迹，利用圆心距与半径的求解最值. 【详解】因为直线，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线：过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心，为半径的圆， 故点的轨迹为圆； 的圆心，半径， 所以的最大值是． 故答案为：， 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $