专题03 不等式（期中真题汇编，山东专用）高一数学上学期

专题03 不等式 3大高频考点概览 考点01 基本不等式 考点02 一元二次不等式 考点03 不等式的综合应用 地 城 考点01 基本不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故选：D 2．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】算式中的2改写为，得，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 3．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）函数的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】变形条件，再运用基本不等式计算即可. 【详解】， 故最小值是4,当且仅当，解得.时,取得最小值. 故选：A 4．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式，凑乘积为定值，即可得和的最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，取到最小值. 故选：D. 二、多选题 5．（24-25高一上·山东济宁·期中）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数的二元函数，则以下说法正确的是（    ） A． B．对任意的 C．若对任意实数，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 【答案】BC 【分析】A选项，代入计算；B选项，由基本不等式求出最小值，B正确；C选项，转化为恒成立，由根的判别式得到不等式，求出；D选项，转化为在上有解，又函数单调性得到，所以，解得，D错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，对任意的，有， 当且仅当，即时，等号成立，B正确； C选项，恒成立， 故，需满足，解得， 则实数a的取值范围是，C正确； D选项，由题意得在上有解， 在上有解，故在上有解， 其中在上单调递增，故，所以，解得， 实数a的取值范围是，D错误. 故选：BC. 6．（24-25高一上·山东济南·期中）已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】BD 【分析】求得的最大值可判断A选项，求得的最小值判断选项B； 求得的最小值判断选项C；求得的最大值判断选项D. 【详解】选项A：由基本不等式有，故， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为，故A错误； 选项B：由正数，满足， 可得 （当且仅当时等号成立） 则的最小值是，B正确； 选项C：由正数，满足，可得 （当且仅当时等号成立） 则 则的最小值是，C错误； 选项D：由正数，满足，可得， 则， （当且仅当时等号成立） 则的最大值是，D正确. 故选：BD 7．（24-25高一上·山东日照·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则的最小值为1 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A, 由于，则，故，，因此，A正确， 对于B，取，，但，故B错误， 对于C，，则，故， 当且仅当，即取等号，故C正确， 对于D，，由可得， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为， 故选：ACD 8．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知，，则（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断AC；举例说明判断B； 借助二次函数最值及取得最值的条件判断D. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，取满足条件，而，B错误； 对于C，由，得，， 当且仅当时取等号，由， 解得或， 因此的最小值为，C正确； 对于D，，当且仅当取等号， 而当时，，不满足，因此不能取到，D错误. 故选：AC 9．（24-25高一上·山东德州·期中）若，，且，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，，由基本不等式得，即， 解得，当且仅当，时，等号成立， 所以的最大值是，故A不正确； 对于B，因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值是，故B正确； 对于C，因为，，由，得， 即，因为， 所以，即， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值是，故C正确； 对于D，因为，， ， 当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值是，故D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．方程有两个实数解 【答案】AC 【分析】对于A，由题意得即可判断；对于B，先由题意求证，接着由推出矛盾即可判断；对于C，由题意得，结合基本不等式即可计算判断；对于D，先求出判别式，举满足条件的的值得到可判断. 【详解】已知， 对于A，因为，所以， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以 由A得，所以，矛盾，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 所以， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，对于方程，， 则当时，满足，但， 此时方程无解，所以方程不一定有两个实数解，故D错误. 故选：AC. 11．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数，则（   ） A．当时，有最小值 B．的图象关于原点对称 C．在上为减函数 D．有且只有两个零点 【答案】ABD 【分析】A选项，由基本不等式求出最小值；B选项，由函数的奇偶性定义作出判断；C选项，由对勾函数的性质得到C错误；D选项，令，解方程，求出答案. 【详解】A选项，，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，的定义域为， 则，故为奇函数， 图象关于原点对称，B正确； C选项，的定义域为， 由对勾函数性质知，在上为减函数， 而在上不为减函数，C错误； D选项，令得，解得， 故有且只有两个零点，D正确. 故选：ABD 12．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．的最小值是 D．当时，若，的值域是，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，可得，代入分析判断A；解不等式判断B；利用均值不等式计算判断C；探讨二次函数值域判断D. 【详解】由题意可知：是关于x的方程的二根，且， 则，可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：不等式化为：， 由可得，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于选项C：因为，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，但，而，故等号不成立，故C错误； 对于选项D：当时，， 则， 当时，取到最大值， 因为，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得或， 因此，故D正确. 故选：ABD 13．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义，则（   ） A． B． C． D．若，都是正数，，则 【答案】BD 【分析】根据新定义进行去体验判断AC，用新定义转化为结合二次函数性质判断B，用新定义转化后，利用基本不等式判断D. 【详解】选项A，，只有时，两者才相等，A错； 选项B，，当且仅当时等号成立，B正确； 选项C，， ，C错； 选项D，，则， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是利用新定义把问题进行转化，一是直接利用新定义进行运算，二是进行转化转化为函数知识求解，转化为基本不等式问题求解等. 三、填空题 14．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的最大值为 【答案】 【分析】先由已知条件对作变形得，再结合基本不等式“1”的妙用方法求出的最小值即可求解的最大值. 【详解】因为， 所以， 又因为， 当且仅当即时等号成立， 所以有最小值为，则有最大值为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】对已知条件变形，再结合基本不等式和一元二次不等式计算,运用指数函数单调性求最值即可. 【详解】对已知等式变形,由，等式两边同时除以（，是正数，）， 得到，则 ，令， 将乘以，这里的。 ， 即，即 ，得，当且仅当，即,取最小值. 结合，得到. ,由指数函数单调性知道. 故的最小值为. 故答案为：. 16．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的最大值为 ，取得最大值时的的值为 . 【答案】 【分析】利用配凑法，结合基本不等式进行求解，得到答案. 【详解】， 因为，故， 故， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：；. 四、解答题 17．（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，分和两种情况，得到解析式； （2）当时，，每天利润为0元，当时，换元得到，，分和两情况，结合基本不等式和函数单调性，得到最大值，进而得到结论. 【详解】（1）， 因为， 故当时，， 当时，， 所以； （2）m为小于24的正整数， 当时，，每天利润为0元， 当时，， 令，则， 则， 当，即时，， 当且仅当，即，时，等号成立， 当，即时，在上单调递减， 故当，即时，取得最大值， 综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润， 当时，日产量为万件，可获得最大利润. 18．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 【答案】(1)3 (2)方案①较合算，理由见详解 【分析】（1）由，能求出该车运输3年开始盈利. （2）方案①中，.从而求出方案①最后的利润为59（万）；方案②中，，时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万），比较时间长短，进而得到方案①较为合算. 【详解】（1）由题意可得，即， 解得， ， 该车运输3年开始盈利.； （2）该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出， ， 当且仅当时，取等号， 方案①最后的利润为：（万）； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出， ， 时，利润最大， 方案②的利润为（万）， 两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， 方案①较为合算. 19．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值； (2)已知函数的图象关于点中心对称. （ⅰ）求实数、的值； （ⅱ）设函数，其中，若正数、满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ） 【分析】（1）根据函数的对称性可求出的值； （2）（i）根据函数对称性的定义得出，根据等式恒成立可得出关于、的方程组，结合可得结果； （ii）推导出，利用倒序相加法可得出，利用参变量分离法结合基本不等式可求出的取值范围. 【详解】（1）因为函数的图象关于点中心对称， 所以为奇函数，所以， 令，则有，故；令，则有， 所以. （2）（ⅰ）由题意可得为奇函数， 所以，则， 所以，有， 所以恒成立， 所以，解得或， 因为，所以，； （ⅱ）因为， 所以， 所以， 因为， ， 两式相加得，即， 又由， 故， 又， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的取值范围为. 【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性求参数，可利用以下结论来转化： ①函数的图象关于点对称，则； ②函数的图象关于直线对称，则. 20．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由不等式解的结构特征可得且和是方程的两个根即可由根与系数的关系求解. （2）先由（1）结合基本不等式“1”的妙用方法求出，再由恒成立得不等式，解该不等式即可得解. 【详解】（1）由题可知，且和是方程的两个根， 所以，此时原不等式为即， 该不等式解集为或，符合， 所以. （2）由（1）得， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以有最小值为8. 因为恒成立，所以即， 解方程得或， 所以不等式的解集为. 所以满足题意的实数的取值范围为. 21．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 【答案】(1) (2)70个，640万元 【分析】（1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可； （2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值. 【详解】（1）根据题意得 当时，， 当时，， 所以 （2）当时，， 在内单调递增，所以当时，的最大值为450， 当时，， 因为，当且仅当， 即时，等号成立， 所以， 因为，所以当时，的最大值为640， 所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元. 22．（24-25高一上·山东德州·期中）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在校门口利用原有墙体，建造一间墙高为3米，底面面积为40平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米500元，左右两面新建墙体报价为每平方米400元，屋顶和地面以及其他报价共计4800元，设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队整体报价最低，并求出最低整体报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围. 【答案】(1)当左右两面墙的长度为米时，甲工程队整体报价最低，最低整体报价为元 (2) 【分析】（1）建立函数模型，利用基本不等式求最小值即可； （2）不等式恒成立问题转化为最值问题，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）设工程队的总造价为元， 则，； 因为，，所以由基本不等式得， ， 当且仅当，即时，等号成立； 所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队整体报价最低，最低整体报价为元. （2）由题意得，对任意成立， 即， 令，则， 所以，对任意成立； 又，当且仅当，即时，等号成立； 则的最小值为； 所以的取值范围是. 23．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)16 【分析】（1）由基本不等式即可直接求证； （2）由乘“1”法即可求解. 【详解】（1）证明：由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，，且，所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，所以. 故，当且仅当时，等号成立. （2）解：因为，所以. 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是16. 24．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值； （3）问题化为有解，求右侧最小值，即可得范围. 【详解】（1）由题设，而， 所以； （2）令，则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时无最值，不满足； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得（正值舍）. （3）由题意有解，即有解， 对于，当且仅当时取等号， 又趋向正负无穷时，分别趋向于0、正无穷，故均趋向于正无穷， 故只需，即. 25．（24-25高一上·山东济南·期中）（1）求函数的最大值； （2）已知，若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）49 【分析】（1）利用基本不等式可求最大值； （2）利用基本不等式可得关于的不等式，求出其解后可得的最小值. 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因为，所以， 得，得，即， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 26．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量. （注：年利润年销售收入固定成本可变成本） (1)求年利润关于年产量的函数解析式； (2)当为何值时，年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)6万件，最大年利润为13万元. 【分析】（1）根据年利润年销售收入固定成本可变成本，分和两种情况建立函数关系式，再写出分段函数的形式； （2）分和两种情况分别用函数单调性与基本不等式求出最大值，即可得到结论． 【详解】（1）当时，； 当时，； 所以 （2）当时，， 当时，单调递增，当时，单调递减. 所以，； 当时，， 当且仅当，即时取“”. 因为，当该电子元件的年产量为6万件时，最大年利润为13万元. 27．（24-25高一上·山东青岛·期中）某杂货店出售盲盒，需要固定投入万元费用.要求购进盲盒必须全部售出.若以元的单价出售该盲盒，可售出万盒，且每降价元，销量增加五千盒.若购进盲盒不超过万盒，则经销商按照每本元成本收费； 若购进万盒以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元） 与销量（万盒）·的关系为 (1)写出利润万元关于购进盲盒数量（万盒）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)购进并销售盲盒多少时，利润最大? 此时利润是多少? 【答案】(1) (2)（万盒），利润最大，此时利润是（万元） 【分析】（1）根据条件，分，和三种情况，即可求解； （2）根据（1）中结果，根据分段函数的性质，再结合一次函数、二次函数的性质及基本不等式，即可求解 【详解】（1）当时，， 当时，不妨设降价元，购进盲盒全部售出， 则，得到， 所以， 当时，， 所以. （2）由（1）知，当时，，当（万盒），利润最大，此时利润是（万元）， 当时，，当（万盒），利润最大，此时利润是（万元）， 当时，， 当且仅当（万盒），利润最大，此时利润是（万元）， 因为， 所以当（万盒）时，利润最大，此时利润是（万元）. 28．（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【答案】(1)，； (2)，，销售单价39元. 【分析】（1）取数据对代入求出即可求出解析式. （2）求出日销售利润函数，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）取数据对，则，解得， 由实际意义知，，解得， 所以与之间的函数解析式，. （2）由（1）得，日销售利润，， ，当且仅当，即时取等号， 所以当销售单价为39元时，获得最大日销售利润400元. 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案. 【详解】由题意得在R上恒成立， 若，则，满足要求， 若，则只需，解得， 综上，， 由于为的真子集， 故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数，对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】研究出为奇函数，在R上单调递减，且，从而得到，得到，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为奇函数， 且当时，在上单调递减， 又，故在R上单调递减， 又， ， 故，即， 所以，解得. 故选：C 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求得，成立时的解集，结合条件可得，求解即可. 【详解】解不等式，可得或，所以成立时，或， 因为，由，可得， 又是的必要不充分条件，所以，解得. 故选：B. 4．（24-25高一上·山东聊城·期中）若函数的图象恒在函数图象的下方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造不等式，再利用一元二次不等式恒成立列式求解即得. 【详解】由函数的图象恒在函数图象的下方， 得，恒成立， 当时，对任意实数不恒成立， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，明确集合，再根据交集的概念求. 【详解】由， 所以. 所以. 故选：C 6．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，是两个不相等的实数，满足，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】依题意可得，是方程的两个不相等实数根，利用根与系数关系计算可得结果. 【详解】根据题意可知，满足方程， 即可得，是方程的两个不相等的实数根，即，可得； 由根与系数关系可知，因此可得； 又，即可得， 解得. 故选：A 7．（24-25高一上·山东德州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质完善函数解析式，根据定义域分段解不等式即可. 【详解】当时，，由题意得，解得； 设，则，所以， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 当时，，由题意得，解得； 所以的解集是， 故选：C. 8．（24-25高一上·山东德州·期中）若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，求解即可. 【详解】设函数， 因为，使成立， 所以在区间上的最大值， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在上单调递增， 因为，结合二次函数的对称性可知， 当时，函数取最大值，最大值，解得； 故选：A. 9．（24-25高一上·山东日照·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解出集合，利用交集的定义可得出集合. 【详解】因为，，则. 故选：C. 10．（24-25高一上·山东德州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解集合中的不等式，再根据交集的定义计算即可. 【详解】由，得，解得， 所以， 故选：D. 11．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出方程的根，接着分类讨论求出、和三种情况下不等式的解集，再结合题意即可得解. 【详解】解方程得， 当时，不能等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 当时，不等式解集为，不符合； 当时，不等式解集为， 因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为， 所以，符合； 综上，满足题意的实数的取值范围是. 故选：C. 12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，即，解得， 对于A：由，即，解得， 所以是不等式成立的充要条件，故A错误； 对于B：由，即，解得， 因为真包含于， 所以是不等式成立的必要不充分条件，故B错误； 对于C：由，解得， 所以是不等式成立的充要条件，故C错误； 对于D：由，解得或， 因为真包含于， 所以是不等式成立的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 二、多选题 13．（24-25高一上·山东济宁·期中）下列说法正确的是（   ） A．““是“”的必要不充分条件 B．若，则的最大值为 C．若不等式的解集为，则 D．命题“，使得”的否定为“，使得” 【答案】AB 【分析】A选项，解不等式，根据两个不等式解集的包含关系，得到A正确；B选项，化简得到，B正确；C选项，由不等式解集得到，，从而得到；D选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】A选项，，解得或，，解得或， 由于或可以推出或，但或不能推出或， 故““是“”的必要不充分条件，A正确； B选项，，故， 当且仅当时，等号成立，故B正确； C选项，由题意得，，故， 则，C错误； D选项，命题“，使得”的否定为“，使得”，D错误. 故选：AB 14．（24-25高一上·山东东营·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据不等式的解集与不等式的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 因此，不等式的解集为或，D对. 故选：AD. 15．（24-25高一上·山东德州·期中）下列说法正确的是（    ） A．命题“，”是真命题 B．命题“，使得”是假命题 C．是的充要条件 D．是集合中只有一个元素的充要条件 【答案】BC 【分析】对于A，由时，不等式不成立可判断；对于B，根据实数的平方的非负性可判断；对于C，根据集合间的包含关系和交集的定义可判断；对于D，易得时，集合中只有一个元素，进而判断. 【详解】对于A，，显然时，不成立，故A错误； 对于B，因为方程在实数集上无解，所以不存在，使得，故B正确； 对于C，当时，可得，当时，可得，故C正确； 对于D，当时，方程的解为，此时集合中只有一个元素， 当时，方程为，解得， 当时，由，解得， 故集合中只有一个元素，等价于或；故D错误； 故选：BC. 16．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 【答案】AB 【分析】利用根的判别式一一计算可得. 【详解】对于A：因为，当时， 所以方程有两实数根，故A正确； 对于B：若方程有两异号的实数根，则，解得， 即当时，方程有两异号的实数根，故B正确； 对于C：当时，方程无实数根，故C错误； 对于D：若方程有两个实数根，，则，即， 当时，方程的两根，，显然无意义，故D错误. 故选：AB 17．（24-25高一上·山东聊城·期中）下列结论中正确的是（   ） A．函数和函数为同一个函数 B．集合的子集个数是4 C．若集合，满足，则 D．若不等式的解集为，则， 【答案】BCD 【分析】利用相同函数定义判断A；求出子集个数判断B；利用交集的性质判断C；利用方程的根求出判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数定义域为，A错误； 对于B，集合的子集个数是4，B正确； 对于C；，C正确； 对于D，由不等式的解集为，得是方程的二根，且， 则，解得，D正确. 故选：BCD 18．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．的最小值是 D．当时，若，的值域是，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，可得，代入分析判断A；解不等式判断B；利用均值不等式计算判断C；探讨二次函数值域判断D. 【详解】由题意可知：是关于x的方程的二根，且， 则，可得. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：不等式化为：， 由可得，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于选项C：因为，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，但，而，故等号不成立，故C错误； 对于选项D：当时，， 则， 当时，取到最大值， 因为，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得或， 因此，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 19．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知全集，集合，集合，，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据交集结果得到，解不等式，结合补集概念得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以， 其中或，故， 又，故，解得， 故实数k的取值范围是 故答案为： 20．（24-25高一上·山东菏泽·期中）若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围为 .若存在实数，使得关于的方程在上述范围有两个不相等的实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】依题意可得不等式对一切实数均成立，分、两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；依题意关于的方程在有两个不相等的实数解，令，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，又不等式对一切实数均成立， 所以不等式对一切实数均成立， 当，即时，不等式即，解得，显然不恒成立； 当，则，解得， 即实数的取值范围为； 因为关于的方程在有两个不相等的实数解， 令，则，解得或， 即实数的取值范围为. 故答案为：； 21．（24-25高一上·山东德州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用二次函数的图象与性质列不等式，求解即可. 【详解】由题意，对于方程，， 解得，则实数的取值范围为， 故答案为：. 四、解答题 22．（24-25高一上·山东东营·期中）已知，，． (1)求及； (2)若，求． 【答案】(1)，或. (2)或 【分析】（1）将集合化简，结合交集以及并集的运算，即可得到结果； （2）结合交集以及补集的运算，即可得到结果. 【详解】（1）由已知或． ． ． 或． （2）． 或． 所以或. 23．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式得到，根据交集运算求出答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1），等价于， 解得，故， 当时，， 故； （2）由（1）知，， 因为，， 当，，解得， 当，需满足或，解得或， 故实数m的取值范围为. 24．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式的解集可得1和2是方程的两个根，再利用韦达定理即可得解； （2）分，和三种情况讨论即可； （3）由题意，对成立，则对成立，即对成立，进而可得出答案. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以1和2是方程的两个根， 所以，所以，； （2）若，不等式可化为， 即， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）因为，，成立， 即，对成立， 所以对成立， 即对成立， 所以即 所以，即， 所以的最大值为. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 25．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求函数的解析式并写出函数的增区间（增区间只需写出结论）； (2)当时，解关于x的不等式． 【答案】(1)的解析式为, 函数的增区间为. (2)当，解集为；当时不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）因为函数为奇函数，，首先求出a的值，再利用奇函数的性质，可求出当时，函数的表达式，再通过二次函数的性质即可得到增区间； （2）对于解不等式，先求出时的表达式代入不等式，然后根据二次函数的性质求解不等式. 【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，所以当时，， 又因为， 所以当时，，所以， 所以函数的解析式为. 由图像可得函数的增区间为. （2）当时，代入，整理得，即， ①当时，即，不等式，此时； ②当时，即，不等式的解为，又因为，所以； ③当时，即不等式的解为，又因为，所以， 综上所述：当，解集为；当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 26．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由不等式解的结构特征可得且和是方程的两个根即可由根与系数的关系求解. （2）先由（1）结合基本不等式“1”的妙用方法求出，再由恒成立得不等式，解该不等式即可得解. 【详解】（1）由题可知，且和是方程的两个根， 所以，此时原不等式为即， 该不等式解集为或，符合， 所以. （2）由（1）得， 所以， 当且仅当即时等号成立，所以有最小值为8. 因为恒成立，所以即， 解方程得或， 所以不等式的解集为. 所以满足题意的实数的取值范围为. 27．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，再利用并集交集补集的定义求和； （2）依题意有，利用集合的包含关系列不等式求实数的取值范围. 【详解】（1）由，解得，所以 所以或， 因为，所以. （2）若是的充分条件，则， 所以，即所以， 所以的取值范围为 28．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据1，是方程的根，代入即可求解， （2）分类讨论即可求解. 【详解】（1）∵的解集为，所以1，是方程的根， ∴， ∴， ∴. （2）； 令， 设方程的两个根为，，解得：，， （ⅰ）当时，无解； （ⅱ）当时，； （ⅲ）当时，； 综上所述： 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 29．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 所以，解得， 即实数的取值范围为； （2）因为， 当，即，解得，此时，满足； 当，则，解得， 综上可得，即实数的取值范围为. 30．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）结合一元二次不等式解集的形式，分情况讨论一元二次不等式的解集. （2）问题可转化为含参数的二次函数在给定区间上的值域问题求解. 【详解】（1），即，即， 所以当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （2）因为对，，都有恒成立，所以， 当时，即时，，， 由，即，故； 当时，即时，，， 由，故， 当时，即时，， ， 由，故， 当时，即时，， ， 由，故. 综上可知：. 所以的取值范围为. 31．（24-25高一上·山东德州·期中）已知集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）解不等式化简集合，再由补集运算即可得结果； （2）根据集合间的包含关系对集合是否为空集进行分类讨论解不等式即可得出结果. 【详解】（1）解不等式可得； 所以可得. （2）由可得， 当时，可得，解得，满足题意； 当时，可得，即， 由可得或，解得； 综上可得，实数的取值范围为或. 32．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，可求； （2）由已知可得，可得，求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，当时，， 所以； （2）因为是的充分条件，所以， 所以，即， 所以的取值范围为. 33．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数. (1)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）分离参数构造函数，利用单调性求出最小值即得. （2）按方程根的大小分类求解含参的一元二次不等式. 【详解】（1），不等式恒成立， 令，函数在上都单调递增， 则函数在上单调递增，，因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 34．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知不等式的解集为，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【详解】（1）当时，， 解不等式，可得. 则或，； （2）“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集. 若，此时，解得； 若，则，解得，经检验等号成立， 综上，时，“”是“”的必要不充分条件. 35．（24-25高一上·山东烟台·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）解绝对值不等式得集合，由一元二次不等式解得集合，再根据集合的并集与补集计算得答案； （2）根据充分不必要条件得集合间的关系，列不等式求解即可得实数的取值范围. 【详解】（1）由得，，所以. 当时，，， 所以或. （2）令，得， 因为，解得，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 所以且等号不同时成立， 解得. 36．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出集合B和时的集合A即可根据交集定义计算求解. （2）先由得，再根据子集定义得或即可求解. 【详解】（1）解即得或， 所以或， 当时，，所以. （2）由（1）或， 因为，所以， 所以或，解得或， 所以满足题意的实数的取值范围为. 37．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，. (1)若，且，求出的解析式； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）把代入，利用方程组的方法求出的解析式. （2）分段解含参数的一元二次不等式即可. 【详解】（1）当时，，则，， 联立解得，所以的解析式为. （2）不等式， 当时，，解得； 当时，不等式无解； 当时，，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为。 38．（24-25高一上·山东青岛·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）    (1)请用表示的长； (2)请写出关于的函数关系式； (3)若总造价不超过138000元，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，即可求解；. （3）根据不等式求解可求得的取值范围. 【详解】（1）设，因为两个相同的矩形和构成的面积为， 所以可得，解之可得，且 所以 （2）由（1）知，所以 矩形的面积为 正方形为， 所以 . （3）由（2）知， 若总造价不超过138000元，即 化简可得，即， 解之可得，所以的取值范围. 39．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）确定集合，由交集、补集运算即可； （2）由条件确定，构造不等式组求解即可. 【详解】（1）由可得：， 所以或， 又， 所以或. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以， 所以解得：， 所以实数的取值范围是 40．（24-25高一上·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集是. (1)求，； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由题意可知，为方程的两根，且，由根与系数的关系即可求出答案. （2）将的值代入不等式，解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知，为方程的两根，且， 所以，解得：. （2）由（1）可得不等式为， 所以， 因为，所以，解得：. 所以不等式的解集为：. 地 城 考点03 不等式的综合应用 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】A选项不符合基本不等式的条件，B，C选项通过举反例即可求得，D选项，不等式两式作差，即可比较大小. 【详解】A选项，当异号时，不等式不成立； B选项，由，则，当，不满足题意； C选项，，，故不成立； D选项 ， 因为，则，所以，即. 故选：D 2．（24-25高一上·山东德州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】举例说明可判断，；作差法结合不等式的性质可判断，. 【详解】对于，， 因为，所以，， 所以，即，故错误； 对于，若，，则，，所以，故错误； 对于，， 因为，，所以，所以， 所以，即，故正确； 对于，若，，，， 则，，所以，故错误. 故选：. 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】AC可举出反例；BD通过作差法进行比较. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，，A错误； B选项，，若，此时，即， 不妨设，此时，满足，但，B错误； C选项，不妨设，满足，但，C错误； D选项，， 因为，，故，则， 即，D正确. 故选：D 4．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，当时，，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，取，则，D错误. 故选：C 5．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题求得，再结合不等式性质即可得解. 【详解】设， 所以，解得， 所以，又， 所以. 故选：A. 二、多选题 6．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质，逐个验证各选项的条件下结论是否成立. 【详解】对于A，时，满足，此时，A选项错误； 对于B，时，有，又，所以，B选项正确； 对于C，且，则，即，C选项正确； 对于D，，则，所以，D选项错误. 故选：BC. 7．（24-25高一上·山东日照·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则的最小值为1 D．若，，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质，即可求解AB，根据基本不等式即可求解CD. 【详解】对于A, 由于，则，故，，因此，A正确， 对于B，取，，但，故B错误， 对于C，，则，故， 当且仅当，即取等号，故C正确， 对于D，，由可得， 则 ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为， 故选：ACD 8．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由不等式的基本性质即可判断ACD选项正确；用特殊值得到B选项错误. 【详解】∵，∴，∴，故A选项正确； 当，时，，，∵，∴，故B选项不正确； ∵，∴，∴，即，C选项正确； ∵，∴，，∴，则， 即，则，∴D选项正确. 故选：ACD. 9．（24-25高一上·山东菏泽·期中）如果，，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质，计算可判断ABD，赋值法可判断C. 【详解】因为，，所以，，所以，故A正确； 因为，所以，又，所以， 所以，故B错误； 对于C，取，，此时， 所以，故C错误； 因为，所以，又因为，所以， 所以，又，所以，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．（24-25高一上·山东临沂·期中）生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式 . 【答案】 【分析】依题意结合不等式性质即可得解. 【详解】设原有汤为a，其中含盐b，则汤的浓度为， 则加入盐为c后可得汤的浓度为，此时，理由如下： 因为， 所以，所以， 所以将题中所述事实用表示为一个不等式为. 故答案为：. 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式 2大高频考点概览 考点01 基本不等式 考点02 一元二次不等式 考点03 不等式的综合应用 地 城 考点01 基本不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知正实数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 3．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）函数的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 4．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题 5．（24-25高一上·山东济宁·期中）我们把有两个自变量的函数称为“二元函数”，已知关于实数的二元函数，则以下说法正确的是（    ） A． B．对任意的 C．若对任意实数，则实数a的取值范围是 D．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是 6．（24-25高一上·山东济南·期中）已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 7．（24-25高一上·山东日照·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则的最小值为1 D．若，，则的最小值为 8．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知，，则（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 9．（24-25高一上·山东德州·期中）若，，且，则（    ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 10．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则（   ） A． B． C． D．方程有两个实数解 11．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数，则（   ） A．当时，有最小值 B．的图象关于原点对称 C．在上为减函数 D．有且只有两个零点 12．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．的最小值是 D．当时，若，的值域是，则 13．（24-25高一上·山东青岛·期中）定义，则（   ） A． B． C． D．若，都是正数，，则 三、填空题 14．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的最大值为 15．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）已知正数，满足，则的最小值为 . 16．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，则的最大值为 ，取得最大值时的的值为 . 四、解答题 17．（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 18．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）某物流基地今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该基地预计从第1年到第n年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为23万元. (1)该车运输几年开始盈利?（即总收入减去成本及维护费用的差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算?请说明理由. 19．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，经研究可将其推广为：函数图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)已知函数的定义域为，且图象关于点中心对称，求的值； (2)已知函数的图象关于点中心对称. （ⅰ）求实数、的值； （ⅱ）设函数，其中，若正数、满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 21．（24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润. (1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式； (2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润. 22．（24-25高一上·山东德州·期中）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在校门口利用原有墙体，建造一间墙高为3米，底面面积为40平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米500元，左右两面新建墙体报价为每平方米400元，屋顶和地面以及其他报价共计4800元，设屋子的左右两面墙的长度均为米. (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队整体报价最低，并求出最低整体报价； (2)现有乙工程队也要参与此警务室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围. 23．（高一上·山东百师联盟·期中）已知，，且. (1)证明：. (2)求的最小值. 24．（24-25高一上·山东百师联盟·期中）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为3，求k的值； (3)在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围. 25．（24-25高一上·山东济南·期中）（1）求函数的最大值； （2）已知，若，求的最小值. 26．（24-25高一上·山东烟台·期中）已知某工厂生产一种电子元件，每年需投入固定成本5万元，当年产量为（单位：万件）时，需额外投入可变成本（单位：万元）.根据市场调研，每个元件售价为7元；在年产量不超过8万件时，；在年产量超过8万件时，.假设该元件的年销量等于年产量. （注：年利润年销售收入固定成本可变成本） (1)求年利润关于年产量的函数解析式； (2)当为何值时，年利润最大？最大年利润是多少？ 27．（24-25高一上·山东青岛·期中）某杂货店出售盲盒，需要固定投入万元费用.要求购进盲盒必须全部售出.若以元的单价出售该盲盒，可售出万盒，且每降价元，销量增加五千盒.若购进盲盒不超过万盒，则经销商按照每本元成本收费； 若购进万盒以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元） 与销量（万盒）·的关系为 (1)写出利润万元关于购进盲盒数量（万盒）的函数解析式（利润=销售收入-成本） (2)购进并销售盲盒多少时，利润最大? 此时利润是多少? 28．（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 地 城 考点02 一元二次不等式 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）“”是“函数的定义域为R”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数，对恒成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，，若是的必要不充分条件，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东聊城·期中）若函数的图象恒在函数图象的下方，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，是两个不相等的实数，满足，，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25高一上·山东德州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东德州·期中）若，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东日照·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东德州·期中）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式恰有5个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·山东菏泽·期中）不等式成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一上·山东济宁·期中）下列说法正确的是（   ） A．““是“”的必要不充分条件 B．若，则的最大值为 C．若不等式的解集为，则 D．命题“，使得”的否定为“，使得” 14．（24-25高一上·山东东营·期中）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 15．（24-25高一上·山东德州·期中）下列说法正确的是（    ） A．命题“，”是真命题 B．命题“，使得”是假命题 C．是的充要条件 D．是集合中只有一个元素的充要条件 16．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知为任意实数，关于的方程，则（   ） A．当时，方程有两实数根 B．当时，方程有两异号的实数根 C．当时，方程有两实数根，，则 D．若方程有两个实数根，，则 17．（24-25高一上·山东聊城·期中）下列结论中正确的是（   ） A．函数和函数为同一个函数 B．集合的子集个数是4 C．若集合，满足，则 D．若不等式的解集为，则， 18．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知的解集是，则下列说法正确的是（   ） A． B．不等式的解集为 C．的最小值是 D．当时，若，的值域是，则 三、填空题 19．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知全集，集合，集合，，则实数k的取值范围是 ． 20．（24-25高一上·山东菏泽·期中）若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围为 .若存在实数，使得关于的方程在上述范围有两个不相等的实数解，则实数的取值范围为 . 21．（24-25高一上·山东德州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 四、解答题 22．（24-25高一上·山东东营·期中）已知，，． (1)求及； (2)若，求． 23．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数m的取值范围． 24．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数，的值； (2)若，解关于的不等式； (3)若，对于，成立，求的最大值. 25．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时， (1)求函数的解析式并写出函数的增区间（增区间只需写出结论）； (2)当时，解关于x的不等式． 26．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知关于的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当且满足时，有恒成立，求实数的取值范围. 27．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且是的充分条件，求实数的取值范围. 28．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)求不等式的解集. 29．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 30．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数. (1)解关于的不等式； (2)，，都有恒成立，求实数的取值范围. 31．（24-25高一上·山东德州·期中）已知集合，. (1)求集合； (2)若，求实数的取值范围. 32．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 33．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知函数. (1)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 34．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知不等式的解集为，集合. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 35．（24-25高一上·山东烟台·期中）设集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 36．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 37．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，. (1)若，且，求出的解析式； (2)解关于的不等式. 38．（24-25高一上·山东青岛·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）    (1)请用表示的长； (2)请写出关于的函数关系式； (3)若总造价不超过138000元，求的取值范围. 39．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 40．（24-25高一上·山东青岛·期中）若关于的不等式的解集是. (1)求，； (2)求不等式的解集. 地 城 考点03 不等式的综合应用 一、单选题 1．（24-25高一上·山东济宁·期中）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高一上·山东德州·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．， 4．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·山东潍坊·期中）已知实数，，，则（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高一上·山东日照·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则的最小值为1 D．若，，则的最小值为 8．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知，，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东菏泽·期中）如果，，那么下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（24-25高一上·山东临沂·期中）生活中“汤菜加盐，越加越咸”.请将这一事实用表示为一个不等式 . 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $