19.1平方根与立方根 讲义2025－2026学年沪教版（五四制）（2024）数学八年级上册

平方根与立方根 一、平方根 考点1：算术平方根 概念：如果一个正数的平方等于（≥0），即（≥0）,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0，记作=0）；的算术平方根记作，读作“根号”，叫做被开方数（≥0）. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 例1、求下列各数的算术平方根： （1）100； （2）； （3）0.0001． 例2、求下列各数的算术平方根． （1）196 （2） （3）0.04 （4）100 （5）（﹣6）2． 例3、求下列各式的值： （1）； （2）； （3） 【考点2： 算术平方根的性质】 例1、已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（　　） A． ﹣2 B．2 C．﹣1 D．0 例2、已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3 例3、若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2022 考点3：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 例1、 已知，则0.005403的算术平方根是（　　） A．0.735 B．0.0735 C．0.00735 D．0.000735 例2、 若＝5.036，则＝　 　． 例3、若≈7.149，≈22.608，则的值约为（　　） A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8 考点4：平方根 如果，那么叫做（≥0）的平方根.也称二次方根，叫作被开方数； 求一个数（≥0）的平方根的运算叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 注意：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0的平方根是0； （3） 负数没有平方根 平方根的性质 例1、写出下列各数的平方根： （1）； （2）． 例2、写出下列各数正的平方根： （1）225； （2）． 例3、下列各式是否正确，若不正确，请说明理由． （1）1的平方根是1； （2）9是的算术平方根； （3）是的平方根； （4）的平方根是． 例4、求值： （1）； （2）； （3）； （4）． 例5、若一个正数的平方根是2m﹣4与3m﹣1，求这个正数的算术平方根． 例6、若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求： （1）m+n的值； （2）（m+n）2的平方根． 例7、已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18． （1）求a的值； （2）求这个数m． 立方根 知识点1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 例1、﹣8的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．不存在 D．﹣ 例2、﹣的立方根为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 例3、的平方根是（　　） A．±8 B．±4 C．±2 D． 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 例4、求下列各式中x的值： （x﹣1）3＝﹣125． 例5、求下面各式中的x： （x﹣1）3+8＝0． 例6、求下列各式中x的值： ﹣8（x﹣3）3＝27． 例7、求下列各式中的x： ； 例8、若实数x，y，满足+（y﹣4）2＝0，则xy的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 例9、若实数x，y，z满足+（y﹣4）2+|z+8|＝0，则xyz的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 例10、已知x，y为实数，且，则xy的立方根是（　　） A． B．﹣8 C．﹣2 D．16 例11、如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（　　） A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3 例12、若≈0.6694，≈1.442，则下列各式中正确的是（　　） A．≈14.42 B．≈6.694 C．≈144.2 D．≈66.94 例13、已知＝1.738，＝0.1738，则a的值为 　 　 考点3 ：立方根的实际应用 例14、某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的棱长． 例15、面积为27的正方形的边长为 　 　；体积为27的正方体的棱长为 　　． 例16、已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积． 例17、如图，把两个底面直径分别为12cm和16cm，高为20cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确到1cm，π取3.14，≈18.45，≈14.64） 考点4 ：平方根与立方根的综合运用 例18、已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值． 例19、已知27的立方根为a+3，则a+4的算术平方根是（　　） A．0 B．3 C．2 D．4 例20、已知3a+2b+4的平方根为±，4是7a+1的立方根． （1）求a，b的值； （2）求4a﹣3b+5的算术平方根． 课堂练习： 平方根与算术平方根 1．25的算术平方根是（　　） A．±5 B．5 C．± D． 2．计算的结果是（　　） A．2 B．±2 C． D．4 3．若|x|＝3，y是4的算术平方根，且x＞y，则x+y的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 4．的算术平方根是（　　） A．4 B． C．±2 D．2 5．已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则代数式（y﹣x）2018的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣2018 6．已知x，y为实数，且+（y﹣4）2＝0，则x+y的值为（　　） A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8 7．已知≈2.0736，≈6.5574，下列运算正确的是（　　） A．≈0.65574 B．≈65.574 C．≈20.736 D．≈2073.6 8．平方根等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±1 9．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．﹣25的算术平方根是5 C．（﹣5）2的平方根是﹣5 D．0的平方根和算术平方根都是0 10．下列计算正确的是（　　） A． B．＝±4 C．＝﹣4 D．＝4 11．已知a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，则这个正数x＝（　　） A．2 B．2或﹣8 C．25 D．25或225 12．一个正数的两个平方根分别为2m﹣1与2﹣m，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 13．已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平方根． 14．已知a的平方根为±3，ab的算术平方根为2． （1）求a，b的值； （2）求a+2b的平方根． 立方根 1．等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D． 2．体积为5的正方体棱长为（　　） A． B． C．± D． 3．49的算术平方根是 　　；的平方根是 　　；﹣27的立方根是 　 　． 4．若，则的值为（　　） A．5 B．15 C．25 D．﹣5 5．已知2﹣5n的立方根是﹣2，则n＝　　． 6．若一个数的立方根是4，则这个数为 　　． 7．已知x3+1＝﹣63，则x＝　 　． 8．已知，不使用计算器求，近似等于 　 　． 9.解方程： （2x+3）3﹣54＝0． 10．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长扩大为原来的 　　倍． 11．魔方是匈牙利建筑师鲁比克发明的一种智力玩具，每一个2阶魔方由8个完全相同的小立方体组成．已知该魔方的体积为64立方厘米． （1）求这个魔方的棱长． （2）求每一个小立方体的表面积． 巩固练习 1、估计68的立方根的大小在（ ） A．2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 2、（1）如果，那么的算术平方根是___________； （2）如果是某数的平方根，那么这个数是_______． 3、若，则估计的值所在的范围是（ ） A． B． C． D． 4、判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由： （1） 如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0； （ ） （2） 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0； （ ） （3） 的立方根是； （ ） （4） 的平方根是． （ ） 5、（1）已知：｜x|＝4，y2＝且x>0，y<0，求x－y的值； 6、填空： （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2）的立方根是 ，的立方是 ； （3）的四次方根是___________． 7、求值： （1）； （2）； （3）； （4）． 8、求值： （1）； （2）； （3） 9、已知一个正数的平方根是2a﹣3与5﹣a，2b+4的立方根是2． （1）求a、b的值； （2）求a+2b的算术平方． 10、一个正数a的两个不相等的平方根分别是2b﹣1和b+4． （1）求b的值； （2）求a+b的立方根． 11、正数x的两个平方根分别为6﹣a和2a+3． （1）求a的值； （2）求9﹣x的立方根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 平方根与立方根 一、平方根 考点1：算术平方根 概念：如果一个正数的平方等于（≥0），即（≥0）,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0，记作=0）；的算术平方根记作，读作“根号”，叫做被开方数（≥0）. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 例1、求下列各数的算术平方根： （1）100； （2）； （3）0.0001． 【解答】解：（1）100的算术平方根是10， （2）的算术平方根是； （3）0.0001的算术平方根是0.01． 例2、求下列各数的算术平方根． （1）196 （2） （3）0.04 （4）100 （5）（﹣6）2． 【解答】解：（1）＝14； （2）＝； （3）＝0.2； （4）＝10； （5）＝6． 例3、求下列各式的值： （1）； （2）； （3） 【解答】解：（1）∵12＝1， ∴＝1； （2）∵（）2＝， ∴＝； （3）∵22＝4， ∴＝＝2． 【考点2： 算术平方根的性质】 例1、已知a，b满足（a﹣1）2+＝0，则a+b的值是（　　） A． ﹣2 B．2 C．﹣1 D．0 【答案】C 【解答】解：∵（a﹣1）2+＝0， （a﹣1）2≥0，≥0， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， 则a+b＝1+（﹣2）＝﹣1． 故选：C． 例2、已知实数x，y满足+（y+1）2＝0，则x﹣y等于（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3 【答案】D 【解答】解：∵+（y+1）2＝0，而，（y+1）2≥0， ∴x﹣2＝0，y+1＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， ∴x﹣y＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3． 故选：D． 例3、若（a﹣1）2+＝0，则（a﹣b）2022＝（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2022 【答案】A 【解答】解：∵（a﹣1）2+＝0，而（a﹣1）2≥0，≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝1，b＝2， ∴（a﹣b）2022＝（﹣1）2022＝1． 故选：A． 考点3：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 例1、 已知，则0.005403的算术平方根是（　　） A．0.735 B．0.0735 C．0.00735 D．0.000735 【答案】B 【解答】解：∵＝7.35 ∴0.005403的算术平方根是0.0735． 故选：B． 例2、 若＝5.036，则＝　 　． 【答案】503.6 【解答】解：∵＝5.036， ∴＝503.6． 故答案为503.6． 例3、若≈7.149，≈22.608，则的值约为（　　） A．71.49 B．226.08 C．714.9 D．2260.8 【答案】C 【解答】解：＝＝×100≈7.149×100＝714.9， 故选：C． 考点4：平方根 如果，那么叫做（≥0）的平方根.也称二次方根，叫作被开方数； 求一个数（≥0）的平方根的运算叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 注意：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0的平方根是0； （3） 负数没有平方根 平方根的性质 例1、写出下列各数的平方根： （1）； （2）． 【解答】解： （1）的平方根是± （2）的平方根是±3 例2、写出下列各数正的平方根： （1）225； （2）． 【解答】解： （1）225的平方根是±15 （2）的平方根是± 例3、下列各式是否正确，若不正确，请说明理由． （1）1的平方根是1；不正确，正数的平方根有两个，1的平方根是±1； （2）9是的算术平方根；正确 （3）是的平方根；不正确，是负数，负数没有平方根； （4）的平方根是．不正确，是9，9的平方根是±3； 例4、求值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解答】解 （1）∵122 =144，∴ =12 （2） ∵（-0.1）2 =（0.1）2，∴ =-0.1 （3） ∵22 =4.∴=4 （4） ∵=( )2,∴=11 答案：12、-0.1、4、11 例5、若一个正数的平方根是2m﹣4与3m﹣1，求这个正数的算术平方根． 【解答】解：根据题意得：2m﹣4+3m﹣1＝0， 解得m＝1， ∴2m﹣4＝2×1﹣4＝﹣2， ∴这个正数是（﹣2）2＝4， ∴4的算术平方根是2． 例6、若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求： （1）m+n的值； （2）（m+n）2的平方根． 【解答】解：（1）∵132＝169， ∴m＝13， ∵（﹣11）2＝121， ∴n＝﹣11， ∴m+n＝13+（﹣11）＝2； （2）（m+n）2＝4＝（±2）2， ∴（m+n）2的平方根是±2． 故答案为：（1）2，（2）±2． 例7、已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣18． （1）求a的值； （2）求这个数m． 【解答】解：（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣18， ∴（a+2）+（3a﹣18）＝0， ∴4a＝16， 解得a＝4； （2）∴a+2＝4+2＝6，3a﹣18＝3×4﹣18＝﹣6， ∴m＝（±6）2＝36， ∴m的值是36 立方根 知识点1：立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 例1、﹣8的立方根是（　　） A．2 B．﹣2 C．不存在 D．﹣ 【答案】B 【解答】解：∵（﹣2）3＝﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2． 故选：B． 例2、﹣的立方根为（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】A 【解答】解：∵（﹣）3＝﹣， ∴﹣的立方根为﹣． 故选：A． 例3、的平方根是（　　） A．±8 B．±4 C．±2 D． 【答案】C 【解答】解：∵＝4， 又∵（±2）2＝4， ∴的平方根是±2． 故选：C． 知识点2：立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 例4、求下列各式中x的值： （x﹣1）3＝﹣125． 【解答】解：（x﹣1）3＝﹣125， x﹣1＝﹣5， 解得x＝﹣4． 例5、求下面各式中的x： （x﹣1）3+8＝0． 【解答】解∵（x﹣1）3+8＝0， ∴（x﹣13＝﹣8， ∴x﹣1＝＝﹣2， ∴x＝﹣1． 例6、求下列各式中x的值： ﹣8（x﹣3）3＝27． 【解答】解：∵﹣8（x﹣3）3＝27， ∴． ∴x﹣3＝﹣． ∴x＝． 例7、求下列各式中的x： ； ； 【解答】解：（x﹣1）3＝﹣4， （x﹣1）3＝﹣8， x﹣1＝﹣2， x＝﹣1； 例8、若实数x，y，满足+（y﹣4）2＝0，则xy的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【答案】D 【解答】解：∵+（y﹣4）2＝0， ∴x+16＝0，y﹣4＝0， 解得x＝﹣16，y＝4， ∴xy＝﹣64， ∴xy的立方根是＝﹣4， 故选：D． 例9、若实数x，y，z满足+（y﹣4）2+|z+8|＝0，则xyz的立方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【答案】C 【解答】解：∵≥0，（y﹣4）2≥0，|z+8|≥0， ∴当+（y﹣4）2+|z+8|＝0，则x+2＝0，y﹣4＝0，z+8＝0． ∴x＝﹣2，y＝4，z＝﹣8． ∴xyz＝（﹣2）×4×（﹣8）＝64． ∴xyz的立方根是＝4． 故选：C． 例10、已知x，y为实数，且，则xy的立方根是（　　） A． B．﹣8 C．﹣2 D．16 【答案】C 【解答】解：∵， ∴x﹣4＝0，y+2＝0， 解得x＝4，y＝﹣2， ∴xy＝﹣8， ∴xy的立方根是＝﹣2， 故选：C 例11、如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（　　） A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3 【答案】A 【解答】解：∵≈2.872， ∴约等于28.72． 故选：A． 例12、若≈0.6694，≈1.442，则下列各式中正确的是（　　） A．≈14.42 B．≈6.694 C．≈144.2 D．≈66.94 【答案】B 【解答】解：∵被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位， ∴≈0.6694×10＝6.694， 故选：B． 例13、 已知＝1.738，＝0.1738，则a的值为 　 　 【答案】0.00528 【解答】解：∵＝1.738，＝0.1738， ∴a＝0.00528， 故答案为：0.00528． 考点3 ：立方根的实际应用 例14、某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化，铸成一个长方体钢铁，此长方体的长、宽、高分别为160cm，80cm和40cm，求原来每个立方体钢铁的棱长． 【解答】解：根据题意得：＝＝（cm）， 则原来正方体钢铁的棱长为 cm． 例15、面积为27的正方形的边长为 　 　；体积为27的正方体的棱长为 　　． 【答案】3，3 【解答】解：面积为27的正方形的边长为＝3；体积为27的正方体的棱长为 ＝3， 故答案为：3，3． 例16、已知一个正方体的体积是16cm3，另一个正方体的体积是这个正方体体积的4倍，求另一个正方体的棱长和表面积． 【解答】解：根据题意大正方体的体积为16×4＝64cm3， 则大正方体的棱长为：＝4cm， 故大正方体的表面积为：6×4×4＝96cm2． 例17、如图，把两个底面直径分别为12cm和16cm，高为20cm的圆柱形钢锭熔化后做成一个正方体的钢锭，求这个正方体钢锭的棱长．（精确到1cm，π取3.14，≈18.45，≈14.64） 【解答】解：设这个正方体钢锭的棱长为xcm． 由题意得，． ∴x3＝2000π． ∴x＝≈≈18（cm）． ∴这个正方体钢锭的棱长为18cm 考点4 ：平方根与立方根的综合运用 例18、已知1+3a的平方根是±7，2a﹣b+2的立方根是3，求a﹣b的值． 【解答】解：根据题意，可得1+3a＝49， 解得，a＝16， ∵2a﹣b+2的立方根是3， ∴2a﹣b+2＝27， 将a＝16代入，得2×16﹣b+2＝27， 解得b＝7， ∴a﹣b＝9． 例19、已知27的立方根为a+3，则a+4的算术平方根是（　　） A．0 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【解答】解：∵27的立方根为a+3， ∴a+3＝3， 解得a＝0， ∴a+4＝0+4＝4， ∴a+4的算术平方根为＝2， 故选：C． 例20、已知3a+2b+4的平方根为±，4是7a+1的立方根． （1）求a，b的值； （2）求4a﹣3b+5的算术平方根． 【解答】解：（1）∵3a+2b+4的平方根为±，4是7a+1的立方根， ∴3a+2b+4＝5，7a+1＝64， 解得：a＝9，b＝﹣13； （2）将a＝9，b＝﹣13代入4a﹣3b+5中得： 4a﹣3b+5＝4×9﹣3×（﹣13）+5＝80， ∴80的算术平方根＝4， ∴4a﹣3b+5的算术平方根4． 课堂练习： 平方根与算术平方根 1．25的算术平方根是（　　） A． ±5 B．5 C．± D． 【答案】B 【解答】解：∵52＝25， ∴25的算术平方根是5， 故选：B． 2．计算的结果是（　　） A．2 B．±2 C． D．4 【答案】A 【解答】解：原式＝2， 故选：A． 3．若|x|＝3，y是4的算术平方根，且x＞y，则x+y的值是（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵|x|＝3， ∴x＝±3． ∵y是4的算术平方根， ∴y＝2． ∵x＞y， ∴x＝3， ∴x+y＝3+2＝5． 故选：A． 4．的算术平方根是（　　） A．4 B． C．±2 D．2 【答案】D 【解答】解：∵＝4． ∴的算术平方根即为4的算术平方根． ∵4的算术平方根为＝2． ∴的算术平方根是2． 故选：D． 5．已知实数x，y满足|x﹣3|+＝0，则代数式（y﹣x）2018的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣2018 【答案】A 【解答】解：由题意得，x﹣3＝0，y﹣2＝0， 解得x＝3，y＝2． 所以原式＝（2﹣3）2018＝1． 故选：A． 6．已知x，y为实数，且+（y﹣4）2＝0，则x+y的值为（　　） A．﹣2 B．﹣8 C．2 D．8 【答案】C 【解答】解：∵+（y﹣4）2＝0，而≥0，（y﹣4）2≥0， ∴， 解得， 则x+y＝2， 故选：C． 7．已知≈2.0736，≈6.5574，下列运算正确的是（　　） A．≈0.65574 B．≈65.574 C．≈20.736 D．≈2073.6 【答案】A 【解答】解：∵≈2.0736，≈6.5574， A．≈0.65574，选项A符合题意； B．≈≈2.0736×10≈20.736，选项B不符合题意； C．≈6.5574×10≈65.574，选项C不符合题意； D．＝＝×≈2.0736×100≈207.36，选项D不符合题意； 故选：A． 8．平方根等于本身的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0，±1 【答案】B 【解答】﹣1没有平方根，0有平方根是0，1有平方根是±1， 故选：B． 9．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是 B．﹣25的算术平方根是5 C．（﹣5）2的平方根是﹣5 D．0的平方根和算术平方根都是0 【答案】D 【解答】解：A． 的平方根为±，所以A选项不符合题意； B．﹣25没有算术平方根，所以B选项不符合题意； C． （﹣5）2＝25，25的平方根为±5，所以C选项不符合题意； D．0的平方根为0，0的算术平方根为0，所以D选项符合题意． 故选：D． 10．下列计算正确的是（　　） A． B．＝±4 C．＝﹣4 D．＝4 【答案】D 【解答】解：A、±＝±4，故A错误； B、＝4，故B错误； C、负数没有算术平方根，故C错误； D、＝4，故D正确． 故选：D 11．已知a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根，则这个正数x＝（　　） A．2 B．2或﹣8 C．25 D．25或225 【答案】D 【解答】解：∴a﹣7和2a+1是一个正数x的平方根， 当a﹣7＝2a+1时，解得a＝﹣8， ∴﹣8﹣7＝﹣15， ∴（﹣15）2＝225； 当a﹣7和2a+1互为相反数时， ﹣（a﹣7）＝2a+1，解得a＝2， ∴7﹣a＝5， ∴x＝52＝25． 故x的值为25或225． 故选：D． 12．一个正数的两个平方根分别为2m﹣1与2﹣m，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 【答案】C 【解答】解：∵一个正数的两个平方根分别为2m﹣1与2﹣m， ∴2m﹣1＝m﹣2，解得m＝﹣1． 故选：C． 13．已知2a﹣1的算术平方根为3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2的平方根． 【解答】解：2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4， ∴， 解得． ∴． 答：a+2的平方根为． 14．已知a的平方根为±3，ab的算术平方根为2． （1）求a，b的值； （2）求a+2b的平方根． 【解答】解：（1）∵a的平方根为±3，ab的算术平方根为2， ∴a＝9，ab＝4， ∴b＝； （2）∵a＝9，b＝， ∴a+2b＝9+2×＝9+＝， ∴a+2b的平方根为：±＝± 立方根 1．等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D． 【答案】A 【解答】解：∵﹣1的立方根为﹣1， ∴＝﹣1． 故选：A． 2．体积为5的正方体棱长为（　　） A． B． C．± D． 【答案】B 【解答】解：体积为5的立方体棱长为． 故选：B． 3．49的算术平方根是 　　；的平方根是 　　；﹣27的立方根是 　 　． 【答案】7，±3，﹣3． 【解答】解：49的算术平方根是7， ∵＝9，9的平方根是±3， ∴的平方根是±3； ﹣27的立方根是﹣3． 故答案为：7，±3，﹣3． 4．若，则的值为（　　） A．5 B．15 C．25 D．﹣5 【答案】6 【解答】解：由于63＝216， 故216的立方根是6， 故答案为：6． 5． 已知2﹣5n的立方根是﹣2，则n＝　　． 【答案】2 【解答】解：∵2﹣5n的立方根是﹣2， ∴2﹣5n＝﹣8， ∴n＝2， 故答案为：2． 6． 若一个数的立方根是4，则这个数为 　　． 【答案】64 【解答】解：∵43＝64， ∴64的立方根是4， ∴一个数的立方根是4，则这个数为64， 故答案为：64． 7． 已知x3+1＝﹣63，则x＝　 　． 【答案】﹣4 【解答】解：移项得，x3＝﹣1﹣63，即x3＝﹣64， ∴x＝﹣4． 故答案为：﹣4． 8． 已知，不使用计算器求，近似等于 　 　． 【答案】25.15 【解答】解：∵≈2.515， ∴≈25.15． 故答案为：25.15． 9.解方程： （2x+3）3﹣54＝0． 【解答】解：∵（2x+3）3﹣54＝0， ∴（2x+3）3＝216． ∴2x+3＝6． ∴x＝． 10．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长扩大为原来的 　　倍． 【答案】2 【解答】解：设正方体的棱长为a， ∴正方体的体积为a3， ∴正方体的体积扩大为原来的8倍后，体积为8a3， ∴此时棱长为2a，即它的棱长扩大为原来的2倍， 故答案为：2． 11．魔方是匈牙利建筑师鲁比克发明的一种智力玩具，每一个2阶魔方由8个完全相同的小立方体组成．已知该魔方的体积为64立方厘米． （1）求这个魔方的棱长． （2）求每一个小立方体的表面积． 【解答】解：（1）， 答：这个魔方的棱长为4厘米． （2）4÷2＝2， ∴6×22＝24， 答：每一个小立方体的表面积为24平方厘米． 巩固练习 1、估计68的立方根的大小在（ ） A．2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 【答案】C 【解析】． 2、（1）如果，那么的算术平方根是___________； （2）如果是某数的平方根，那么这个数是_______． 【答案】（1）3； （2）36． 【解析】（1）因为， 所以a=9， 所以a的算术平方根为3； （2）是36的平方根． 3、若，则估计的值所在的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以． 4、判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由： （1） 如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0； （ ） （2） 如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0； （ ） （3） 的立方根是； （ ） （4） 的平方根是． （ ） 【答案】（1）×； （2）√； （3）√； （4）×． 【解析】（1）1的立方根也是它本身，×；（2）√；（3）√；（4）的平方根是，×． 5、（1）已知：｜x|＝4，y2＝且x>0，y<0，求x－y的值； 【解析】（1），又， 所以； （2）因为，所以a=2，，所以． 6、填空： （1）的算术平方根是 ，的平方根是 ； （2）的立方根是 ，的立方是 ； （3）的四次方根是___________． 【答案】（1）3、； （2）、； （3）． 【解析】（1），9的算术平方根是3；，6的平方根是； （2） ，2的立方根是；，的立方是； （3） ，16的四次方根是． 7、求值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=； （4）原式=2． 8、求值： （1）； （2）； （3） 【解析】（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=． 9、已知一个正数的平方根是2a﹣3与5﹣a，2b+4的立方根是2． （1）求a、b的值； （2）求a+2b的算术平方． 【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是2a﹣3与5﹣a， ∴2a﹣3＝a﹣5，解得a＝﹣2； ∵2b+4的立方根是2， ∴2b+4＝8，解得b＝2； （2）∵a＝﹣2，b＝2， ∴a+2b＝﹣2+4＝2， ∴＝． 10、一个正数a的两个不相等的平方根分别是2b﹣1和b+4． （1）求b的值； （2）求a+b的立方根． 【解答】解：（1）∵正数a的两个不相等的平方根为2b﹣1和b+4， ∴（2b﹣1）+（b+4）＝0， 解得b＝﹣1； （2）由（1）知，b＝﹣1， ∴2b﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3，b+4＝﹣1+4＝3， ∴a＝（±3）2＝9， ∴a+b＝9+（﹣1）＝8， ∴＝＝2． 11、正数x的两个平方根分别为6﹣a和2a+3． （1）求a的值； （2）求9﹣x的立方根． 【解答】解：（1）∵正数x的两个平方根分别为6﹣a和2a+3， ∴6﹣a+2a+3＝0， ∴a＝﹣9； （2）∵6﹣a＝15，2a+3＝﹣15， ∴x＝（±15）2＝225， ∴＝ ∴求9﹣x的立方根为﹣6 学科网（北京）股份有限公司 $