第三章勾股定理单元检测卷 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025-2026学年八年级上学期单元检测卷（2024苏科版） 第三章 勾股定理 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 第2题 第3题 3．如图，在等腰三角形中，，，则等腰的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 6．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第6题 第7题 7．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 9．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ． 12．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ． 第12题 第14题 13．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 14．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 15．如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 第15题 第16题 16．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 17．如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 第17题 第18题 18．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 19．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 第19题 第20题 20．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 22．（本题8分）如图，在中，，现将沿折叠，使顶点A恰好与顶点B重合． (1)求证是一个直角三角形； (2)求的长． 23．（本题8分）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 24．（本题8分）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 25．（本题8分）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上学期单元检测卷（2024苏科版） 第三章 勾股定理 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴最大角为， ∴不是直角三角形， 故本选项符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 故选项不符合题意； D、∵， ∴， ∴最大角为， ∴是直角三角形， 故本选项不符合题意． 故选：A． 2．如图，数轴上的点所表示的数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，可得出的值，即可求解． 【详解】解：如图： 根据题意可得：，， ∵， ∴， 即， ∴点表示的数为． 故选：C． 3．如图，在等腰三角形中，，，则等腰的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的“三线合一”的性质是解题的关键，过点作于点，利用等腰三角形的“三线合一”得出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 故选：C． 4．下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的证明，对三角形和正方形面积公式的熟练掌握和运用是解题的关键．利用面积法证明勾股定理即可解决问题． 【详解】解：A、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意． B、不能证明勾股定理，本选项符合题意． C、利用A中结论，本选项不符合题意． D、中间小正方形的面积；化简得，可以证明勾股定理，本选项不符合题意， 故选：B． 5．下列各组数中，是勾股数的是（   ）． A． B． C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股数的定义，逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； B．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； C．∵，即，且6，8，10是正整数， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D．∵不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选C． 6．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 7．如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 8．如图，一个圆柱体笔筒的内部底面直径是，一支铅笔长为，当铅笔垂直放入圆柱体笔筒内，这支铅笔在笔筒外面部分长度为．若这支铅笔斜放入圆柱体笔筒中，则这支铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，据图先求出，得出这支铅笔在笔筒外面部分长度在之间，即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得图形： ， 在中，， ∴， 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间， 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 9．将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：C． 10．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11．若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边， 斜边长； 当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边， 这条直角边的长； 故答案为：或 ． 12．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够将勾股定理与几何之间的面积关系相结合是解决本题的关键．根据勾股定理可知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形面积之和，依照此可求出正方形C的面积． 【详解】解：设中间正方形为E， 由勾股定理可知：，， ∴， 正方形、、的面积依次为、、， ∴， 故答案为：5． 13．赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算．本题根据面积关系列式得到：，，然后得到，然后由，代入数据即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m、n， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为34， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 14．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为 ． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 15．如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离， 【详解】解：∵， ， ∴是直角三角形，且， 过点D作，垂足为E， ∵平分， ∴点到的距离， 故答案为：3． 16．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则木板的长为 米． 【答案】2.5 【分析】本题考查了勾股定理的应用，能将实际问题转化为数学问题是解题的关键； 根据题意，作图，设米，米，两次利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】如图，由题知，，米，米，米， 米， 设米，米，，则米， 在直角中，，即， 在直角中，，即， ，解得， ，解得， 米，即木板的长为2.5米． 故答案为：2.5． 17．如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且.再由勾股定理求出的长，得到的长，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且. 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积为 故答案为： 18．如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的剪拼和算术平方根，熟知“如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根”是解答此题的关键． 【详解】解：分割图形如下： 故这个正方形的边长是：． 故答案为：． 19．折叠矩形纸片，使点B 与点D 重合，折痕分别交于点 E，F，若 ，，则 【答案】5.8 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题；根据题意得到，设，利用勾股定理得到，计算求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴在中， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 20．如图，在中，，P是线段边上的动点（不与点A，B重合）．将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、两点之间线段最短、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．根据折叠的性质，得，故，，当点落在上时，，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， 如图1，由翻折得， ∵， ∴， ∴， ∴当点落在上时，，此时的值最小， 如图2，当点落在上时，则， 作于点F，于点E，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共40分） 21．（本题8分）如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）设，，然后利用勾股定理列式求出，进而可得答案． 【详解】（1）解：在中，； （2）∵， ∴设，， 在中，， ∴（负值已舍去）， ∴，． 22．（本题8分）如图，在中，，现将沿折叠，使顶点A恰好与顶点B重合． (1)求证是一个直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，翻折的性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质和定理． （1）利用勾股定理的逆定理即可判定直角三角形； （2）根据翻折的性质得，，假设，然后根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴是一个直角三角形； （2）解：根据翻折的性质得，，假设，则， 由勾股定理得，， 即 解得， ∴的长为． 23．（本题8分）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米． (1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？ (2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)不会 (2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰； （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 24．（本题8分）小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用网格计算三角形的面积，利用勾股定理及格点确定三个顶点的位置是解题的关键． （1）根据，，，利用格点作图即可； （2）利用割补法计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 25．（本题8分）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 试卷第20页，共20页 试卷第19页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $