第三章 勾股定理全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

第三章 勾股定理全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型 1·勾股定理直接计算(已知两边求第三边)(高频) 题型 2·勾股定理逆定理，判断直角三角形(高频) 题型 3·勾股数识别与简单应用(高频) 题型 4·勾股定理的验证(面积法拼图)(高频) 题型 5·平面最短路径(基础折叠、翻折边长计算)((高频) 综合攻坚·知能拔高 ◆ 题型 1·勾股定理直接计算(已知两边求第三边)(高频) 1．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中利用勾股定理求出斜边的长，根据轴对称的性质得到． 【详解】解：，，， 在中，， 与关于直线对称， ． 2．如图，，点P表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出，则，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴， ∵， ∴点P表示的数是． 3．在中，，，，则的长为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再根据勾股定理得出，即，最后求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 将，代入得：， ∴， ∴，负值舍去． ◆题型 2·勾股定理逆定理，判断直角三角形(高频) 4．下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】如果一个三角形中，两小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项，∵， ∴不能构成直角三角形； B选项，∵， ∴能构成直角三角形； C选项，∵， ∴此时不能构成三角形，故不能构成直角三角形； D选项，， ∴不能构成直角三角形． 5．线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先化简含乘方的边长，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一判断是否为直角三角形． 【详解】解：A．，是直角三角形； B．，，，，不能构成三角形； C．，是直角三角形； D．，是直角三角形． 6．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的定义及勾股定理的逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， ， ， ， ， 是直角三角形，不符合题意； B、设，则，， ， ， 解得， ，，， 不是直角三角形，符合题意； C、设，则，， ，， ， 是直角三角形，不符合题意； D、， ， 是直角三角形，不符合题意． 7．如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算两短边的平方和以及长边的平方，判断得数是否相等，即可得到答案． 【详解】解：∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∵的三边， 又∵，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形． ◆题型 3·勾股数识别与简单应用(高频) 8．下列四组数中，是勾股数的一组是（     ） A．1，1，2 B． C． D．8，15，17 【答案】D 【详解】解：A．，不是勾股数． B、C．选项中的数不全是正整数，不是勾股数． D．，是勾股数． 9．如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 【答案】 【分析】由勾股数组：，，，…可知，，，，…可得第n个勾股数中间的数为，据此计算即可得出结论． 【详解】解：由，，， … 第n个勾股数组中间的数为， 第10组勾股数组中间的数为，即勾股数组为． 10．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ (1)请补全表中的勾股数． (2)对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． (3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． 【答案】(1) 补全表中的勾股数如下： (2) 解：根据表格信息可知，，，， 证明：∵，，， ∴， ∴； (3)． 【分析】本题考查了勾股数，数字规律，完全平方公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表格中提供的数据可得答案； （）根据表格中规律可得，，，然后通过完全平方公式即可求解； （）设，由于最短边可种株花，则有，从而求出，，从而求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， ∵最短边可种株花， ∴， 由（）可得，， ∴该直角三角形上一共可以种植花（株）， 故答案为：． ◆题型 4·勾股定理的验证(面积法拼图)(高频) 11．勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图，把两个全等的直角和按图放置，已知． (1)请用含的式子表示下列图形的面积： _____（用含的代数式表示）： _____（用含的代数式表示）； _____（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． 【答案】(1)；；； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）根据题意利用梯形，三角形的面积公式表示即可，四边形的面积可表示成，再用三角形的面积公式进行变形即可； （2）根据，把（1）中的代数式代入进行化简即可证明． 【详解】（1）解：，， ； ，， ， ； ，， （2）略． 12．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明如下： ， ， ． 【分析】（1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质求出，再根据求解即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：方法一∶ ， 方法二： ， 证明略． 13．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 【答案】(1)，， (2) 由题意可知，， ， ∵， ∴，即． (3) 如图所示：可解释的代数恒等式为． 【分析】（1）根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为即可； （2）分别表示和，根据即可得结论； （3）根据完全平方公式，画出图形即可． 【详解】（1）证明：由图1，知，正方形的边长为， ∵，，， ，即． （2）略 （3）略 14．如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． (1)写出与的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证． 【答案】(1) ．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 证明：由题意得，，， ， ∵， ∴， 整理，得． 【分析】（1）由题意得，推出，利用等角的余角相等即可求解； （2）利用，结合面积公式列式计算即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型 5·平面最短路径(基础折叠、翻折边长计算)(高频) 15．如图，已知长方形，，点E，F分别是边，上的动点，沿直线折叠，使点B的对应点G始终落在边上，则线段的最小值是_________． 【答案】4 【分析】由题意易知点F越靠近于点C时，的值也就越小，然后可得当点C与点F重合时，的值最小，进而画出图形，最后进行求解即可． 【详解】解：由点G始终落在边上可知当点F越靠近于点C时，的值也就越小，所以当点C与点F重合时，的值最小，如图所示： ∵， ∴由折叠的性质可知， 由长方形的特征可知， ∴在中，由勾股定理可得， ∴， ∴的最小值为4； 故答案为4 【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键． 16．如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 17．如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，折叠问题；连接．利用勾股定理求出，根据，由此可得结论． 【详解】解：连接． ∵将沿折叠，使点落在，连接， ∴ ∵ ∵正方形的边长是6，点是上一点，， ∴ ∴， 故答案为：． 18．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． 【答案】 （1）由图及题意可知： 大正方形的面积为，小正方形的面积为，四个直角三角形的面积为， ∴， 整理得：； 模型应用：（1）；（2） 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据等积法可进行求证； 模型应用：（1）根据题意及勾股定理可进行求解； （2）同理，根据题中的方法构造图形，进而根据勾股定理可求最小值． 【详解】解：（1）略 模型应用：（1）由题意得：线段即为的最小值， ∴由勾股定理可得：； 即的最小值为； 故答案为； （2）如图，由题意可构造如下三角形， ∴线段即为的最小值， ∴， 即的最小值为． ◆ 题型 1·分类讨论:斜边不确定，多解问题(重点) 1．中，两条边的长分别为和，则第三边的长为______________． 【答案】或 【分析】分边长为和的边都是直角边和边长为的边为斜边，边长为的边为直角边两种情况，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解： 分两种情况讨论： 当边长为和的边都是直角边时，第三边为斜边， 根据勾股定理，第三边长为； 当边长为的边为斜边，边长为的边为直角边时，第三边为另一条直角边， 根据勾股定理，第三边长为． 所以第三边的长为或． 2．直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． 【答案】或/8或10 【分析】分类讨论，分是直角边和是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可得到斜边长. 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： ① 当为直角边时，也为直角边，由勾股定理得，斜边长为： ， ② 当为斜边时，斜边长即为，满足直角三角形三边关系，符合题意. ◆题型 2·折叠问题中的勾股定理综合(重点) 3．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与重合，求的长． 【答案】的长为 【分析】由折叠可知，在中，运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠可知， 设，则， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 解得， 即的长为． 4．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 【答案】的长为 【分析】根据长方形以及折叠的性质可得，，，，设，则，，然后对和运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形，将边沿直线折叠， ，，，， 设，则． ， 在中，， ． 在中，由勾股定理得：，即：， 解得． 的长为． 5．如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)①证明：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴， ∵将沿着翻折，B点的对应点为， ∴，， ∴，即， ∴； ② (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）①由长方形得到，，，则，根据翻折，得到，即可得； ②，则，，在中，，代入解方程得，过作于，根据求出，再证明得到； （2）点E在线段或线段延长线分情况讨论，过点作于点M，延长交于点N，则，，，设，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，则， 过作于， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： 当点E在线段上时，过点作于点M，延长交于点N，如图： ∴四边形是矩形， ∴，，， 根据翻折的性质得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 当点E在射线的延长线上时， 同理可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 综上可得的值为． 6．综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； (3)①，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）略 （3）解：①略 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 7．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． ◆题型 3·立体图形最短路径(圆柱、长方体展开)(重点) 8．如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴它需要爬行的最短路程为10． 9．如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】D 【分析】根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈雕龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：如图， ∵底面周长约为3米，柱身高约8米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的雕龙的长度至少（米）． 10．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理最短路径问题、轴对称的性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，将圆柱的侧面展开，构造直角三角形，利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， ． 故选：A． 11．长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为、和，在罐内点E处有小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，然后将长方体放到一个平面内，进行分类讨论，利用勾股定理进行求解． 把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图1， 由题意可得：，， ； 若蚂蚁从平面和平面经过， 蚂蚁到达饼干的最短距离，如图2， 由题意可得：，，， ； ∵， ∴最短距离为． 故选：C． ◆题型 4·勾股定理与面积综合(赵爽弦图、面积转化)(重点) 12．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理进行求解． 【详解】解：由题意可知：， 由勾股定理得：， ． 13．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】小正方形的边长为，根据正方形的面积公式可得，结合已知条件求出的值，由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小正方形的边长为， ∵小正方形面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得大正方形的边长的平方为19，即大正方形的边长为． 14．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形性质和中心对称性，确定为及中点，过作垂线构造直角三角形，利用勾股定理求出长，进而求出长； 【详解】四边形和均为正方形， 图形关于点中心对称，，，共线， ， ，， ，，， 点是的中点， ， 过点作于点，则为中点，， 设， ， ，，， ， 在中，， ， 解得：（负值已舍去）， ，， 在中，， ，，，共线， ． 15．在学习“第11章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 (2)连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边和斜边有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 (3)在直角中，为直角边，为斜边，已知，求的面积； (4)如图4，四边形中，线段，在直角中，，其周长为，当为何值时，三角形的面积为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)24 (4)时，三角形的面积为定值，理由如下： ，，，周长为n， ，， ， 在直角中，， ，即， 整理得： 代入 若要面积为定值，则需，即 【分析】（1）根据完全平方公式即可得到结论； （2）根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据已知条件结合勾股定理列出方程求解即可； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【详解】（1）解：这个等式是； （2）大正方形可以看成边长为c的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有， ． 整理得：； （3）， ，即， 又， ， （4）略 16．回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （3）解：如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 17．综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 【答案】（1）；或或； （2）一种等于，另一种等于； 如图，连接，， 则或， ，， ， ， 即， ， ，即； （3）两斜边互相垂直，理由如下： 如图，拼成，延长交于H,连接， 设， 则， 又， ， 整理得． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的求解，准确作出辅助线，想到图形中面积的关系为解题关键． （1）利用三角形面积表示出图形的面积即可；利用梯形面积，三角形面积以及矩形面积减三角形面积三种方法表示出梯形面积即可； （2）连接，，利用四边形面积的两种表示方法求出最后结果即可； （3）拼成，延长交于H,连接，设，利用三角形面积的两种表示方法得出结论即可． 【详解】解：（1）； 梯形面积为：或或， 故答案为：；或或； （2）略 （3）略 18．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． 【答案】 （1）证明：； ， ； （2）13； （3） 【分析】本题考查勾股定理的几何应用，正方形的特征，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理． （1）用两种方法求出正方形的面积，即可求解； （2）利用正方形的面积减去两个三角形的面积即可求解； （3）根据勾股定理得出，根据正方形的性质分别求出，，，然后代入化简即可． 【详解】解：（1）略 （2） ，， ， ， 故答案为：13； （3）在中，由勾股定理得： 在正方形中，，， ， 同理， 且， ． ◆题型 5·勾股定理实际应用(航海、测高)(重点) 19．如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米）， （米）， 答：处与地面的距离是米； （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米）， （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 20．如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． (1)村庄会受水雾影响吗？为什么？ (2)若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 【答案】(1)会受影响，理由如下： 过点作于点， 根据题意可知，，， ，， ， ， ， ， ， 村庄会受水雾影响． (2)分钟． 【分析】（1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形面积的两种求法求出，作比较即可解答； （2）设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响，先利用勾股定理求出，再根据等腰三角形三线合一求出，即可求出受影响的时间． 【详解】（1）略； （2）解：设洒水车到达点时，村庄开始受水雾影响，到达点之后不受影响， 则， 在中，由勾股定理可得， ， ， （分钟） 答：洒水车水雾影响该村庄持续的时间有分钟． 21．春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． (1)风筝的垂直高度______米； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过作于， 由题意得：，米，米，米， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：设风筝沿方向下降米至点，连接， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线米． 22．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ 【答案】(1)解：∵，，， ∴，， ∵ ∴ ∴是直角三角形， ∴ ∴从村庄到公路，是距离最近的路； (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可说明； （2）利用勾股定理运算出的长，再作比较即可． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴在中，， ∴． ◆题型 6·勾股逆定理证明垂直综合题(重点) 23．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1) 是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 24．如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为：． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴中边上的高的长度为． 25．如图，点是等边内一点，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：由题意知，，， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴≌ (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据条件推出，结合等边三角形的性质证明即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明，进而求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 26．如图，在中，点，是的三等分点，且是等边三角形． (1)求的度数； (2)如图，点是边上一点，将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点．取中点，连接，． ①求证：； ②求证：． (3)在（2）的条件下，延长到，使，连接．若，，求的长． 【答案】(1)； (2)①证明：由（1）得，，， ∵，点是的中点， ∴，， ∴， ∵将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ②如图，连接， 由（2）①得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）由、为的三等分点且为等边三角形，得到相邻等腰三角形，利用三角形外角性质求出两个底角均为，再与等边三角形的角相加得． （2）①由是中点、是中点，用三角形中位线定理得，导出角相等；再结合旋转与导出夹角相等，用证明．②由全等得，又，判定为等边三角形；再由为中点得到等腰，利用外角与内角和推出． （）由且，得垂直平分，从而；再证（），将转化为；过作，利用直角三角形表示、，由勾股定理列方程求出，最后借助回代求． 【详解】（1）解：∵点，是的三等分点，且是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理：， ∴； （2）略 （3）解：连接、，过点作于， 由（1）（2）得，，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 当时，，此时，； 当时，，此时，． 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形及勾股定理与一元二次方程的应用，熟练掌握旋转背景下全等三角形的构造与证明、利用垂直平分线转化线段并结合勾股定理建立方程分类求解是解题的关键． 1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据正方形面积公式及勾股定理，将已知等式转化为关于的方程，求出的值，再根据三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， ， ， ，即， 观察图形可知，阴影部分是以的上边为底，点到该边所在直线的距离为高的三角形，底边长为，高为， ． 2．如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由折叠的性质可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可得， 在中，， ∴， ∴， ∴． 3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据勾股定理的几何意义，大正方形的面积等于正方形、、、的面积之和． 【详解】解：设正方形的面积为，根据勾股定理的几何意义，正方形与下方的正方形面积为， 正方形与下方的正方形面积为， ∵最大正方形的面积等于其上方两个正方形面积之和，， 即 ， 解得． 4．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 5．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 6．如图，在中，，平分交于点，，，点是线段上的一动点，则的最小值是（     ） A．25 B．24 C．11 D．7 【答案】D 【分析】先在中利用勾股定理求出的长，再根据垂线段最短可知当时最小，最后利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ， 点是线段上的一动点， 当时，的值最小， 平分，，， ， 即的最小值是7． 7．我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 【答案】B 【分析】分别求出三角形的面积，正方形的面积，计算即可． 【详解】解：如下图， 由题意得：， ， ， 同理， ． 8．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等求出、的长，结合图形得出的长及，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，，都是全等三角形， ，、， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 9．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴ ． ∵， ∴． 10．如图，长方体的底面长和宽都是，高为．若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______． 【答案】 【分析】将长方体侧面展开，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径为线段，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意把长方体沿其侧面展开 由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 11．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】 20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 12．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)判断是否为直角，并说明理由； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2)解：是直角，理由如下． 由（1）得，已知，． ， ． ， 根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，且． (3)114 【分析】（1）在中，已知两条直角边，直接利用勾股定理求出斜边长度． （2）算出之后，在中，计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，以此判断是不是直角． （3）四边形的面积拆成与两个三角形面积之和，分别算出两个三角形面积再相加． 【详解】（1）解：，，， 在中，由勾股定理得： ， ． （2）略 （3）解：， ， ． 13．已知：在中，，． 【初步发现】 (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段之间满足的数量关系是 ． 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线上．连接，在的左侧作，当，时，求的面积． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立；理由如下： 如图2，连接， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）分当点D在线段上和当点D在线段的延长线上时两种情况，结合（1）（2）及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：连接， 分两种情况讨论： 当点D在线段上时，如图3， 由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图4， 由（2）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 14．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）识别直角三角形，利用绳子总长建立两条绳长的数量关系，设未知数，用勾股定理列方程求解竖直距离； （2）定滑轮离地高度恒定，结合物体上升高度求出滑轮与物体间绳段长度，得到滑块侧斜绳长，再次使用勾股定理求出新水平距离，作差得到滑块滑动距离． 【详解】（1）解：由题意可知，，即为直角三角形，． 已知滑块与物体的水平距离，绳子总长度为，因此斜段绳长满足． 设，则． 在中，由勾股定理可得： 代入数值： 解得：． ． （2）解：由题意得，点D是定滑轮A在地面轨道上的垂足， 由（1）可知定滑轮距离地面的竖直高度，该高度始终不变，， ∴定滑轮到物体的剩余绳长为：． 由于绳子总长度保持不变， ∴滑块一侧的斜段绳长． 在中，， ∴． ∵， ∴滑块向左滑动的距离：． 15．有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受台风影响． 理由： 已知，，， 满足， 根据勾股定理逆定理，可得是直角三角形，且． 过点C作于D， 利用直角三角形的面积公式：， 代入数值计算：， 解得． ∵台风影响范围是以内，， 即点C到台风移动路线的最短距离小于台风影响半径， ∴海港C会受台风影响． (2)台风影响该海港的持续时间为7小时． 【分析】（1）首先根据三角形三边长度，用勾股定理逆定理判断的形状，确定为直角过点作的垂线段，利用直角三角形面积的两种计算方法求出到的最短距离，再将该距离与比较，判断海港是否受影响． （2）若受影响，以为圆心、为半径作圆，该圆与交于两点，计算两点间的弦长，再用弦长除以台风速度，得到影响持续时间． 【详解】（1）略． （2）解：设台风中心在上的E点时，（海港C刚进入受影响状态），移动到F点时，（海港C刚脱离受影响状态）， 则就是台风影响海港时台风中心移动的路程． 在中，由勾股定理得： 由等腰三角形三线合一（），可得． 已知台风速度为， 因此影响持续时间为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 勾股定理全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型 1·勾股定理直接计算(已知两边求第三边)(高频) 题型 2·勾股定理逆定理，判断直角三角形(高频) 题型 3·勾股数识别与简单应用(高频) 题型 4·勾股定理的验证(面积法拼图)(高频) 题型 5·平面最短路径(基础折叠、翻折边长计算)((高频) 综合攻坚·知能拔高 ◆ 题型 1·勾股定理直接计算(已知两边求第三边)(高频) 1．如图，与关于直线对称，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，点P表示的数是（     ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则的长为（     ） A． B．2 C． D． ◆题型 2·勾股定理逆定理，判断直角三角形(高频) 4．下列几组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，依据所标数据，下列判断正确的是（     ）． A．只有是直角三角形 B．只有是直角三角形 C．和都是直角三角形 D．和都不是直角三角形 ◆题型 3·勾股数识别与简单应用(高频) 8．下列四组数中，是勾股数的一组是（     ） A．1，1，2 B． C． D．8，15，17 9．如果把看作a，b，c的方程，那么满足该方程的正整数解a，b，c通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…，分析其中规律，第10个勾股数组为________． 10．综合与探究 定义：一般地，若直角三角形三边长都是正整数，那么称为勾股数． 设是两个正整数，且，直角三角形三边长都是正整数．下表中的，，（均小于）可以组成一些有规律的勾股数． ________ _________ ________ (1)请补全表中的勾股数． (2)对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含的代数式表示．请你用含的代数式分别表示，然后证明． (3)某校计划在一块绿地画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且满足上表规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为米．如果最短边可种株花，那么该直角三角形上一共可以种植_______株花． ◆题型 4·勾股定理的验证(面积法拼图)(高频) 11．勾股定理的证明方法中，面积法是最经典的思路．下面是基于“两个全等的直角三角形拼接”的证明． 【证法再现】如图，把两个全等的直角和按图放置，已知． (1)请用含的式子表示下列图形的面积： _____（用含的代数式表示）： _____（用含的代数式表示）； _____（用仅含的代数式表示）； (2)根据上述面积关系，完成勾股定理的证明过程． 12．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 13．阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法．下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中，和分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形． 达·芬奇用如图所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由个正方形和个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由个全等的直角三角形和个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为_____． ，_____，_____， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． (3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式． 14．如图，将一个长为a，宽为b的长方形纸片（如图Ⅰ，）剪成2个完全相同的直角三角形纸片（如图Ⅱ）后，斜边记为c，并摆成图Ⅲ．两个直角三角形纸片分别记为和，点D在边上，与交于点F，连接和． (1)写出与的位置关系及理由； (2)利用图Ⅲ，验证． ◆题型 5·平面最短路径(基础折叠、翻折边长计算)(高频) 15．如图，已知长方形，，点E，F分别是边，上的动点，沿直线折叠，使点B的对应点G始终落在边上，则线段的最小值是_________． 16．如图，在中，，，点D在边上．将沿折叠，使点C落在点处，连接，则的最小值为________． 17．如图，正方形的边长是6，点是上一点，，点是上一动点，连接，将沿折叠，使点落在，连接，则的最小值是______． 18．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． （1）赵爽弦图：4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，其中，请你利用图形验证勾股定理． （2）求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值． ◆ 题型 1·分类讨论:斜边不确定，多解问题(重点) 1．中，两条边的长分别为和，则第三边的长为______________． 2．直角三角形两边分别为，，那么该直角三角形的斜边长为______． ◆题型 2·折叠问题中的勾股定理综合(重点) 3．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与重合，求的长． 4．如图，点E是长方形边上的一点，将边沿直线折叠，使点D落在边上的F点处，若，，求的长． 5．如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 6．综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 7．如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． ◆题型 3·立体图形最短路径(圆柱、长方体展开)(重点) 8．如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 9．如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．6米 B．8米 C．9米 D．10米 10．如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的容器外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是（    ） A． B． C． D． 11．长方体敞口玻璃罐，长、宽、高分别为、和，在罐内点E处有小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外壁，在长方形中心的正上方处，则蚂蚁到达饼干的最短距离是（    ）． A． B． C． D． ◆题型 4·勾股定理与面积综合(赵爽弦图、面积转化)(重点) 12．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 13．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 14．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．在正方形两边、分别取点，，使，与交于点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 15．在学习“第11章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 (2)连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边和斜边有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 (3)在直角中，为直角边，为斜边，已知，求的面积； (4)如图4，四边形中，线段，在直角中，，其周长为，当为何值时，三角形的面积为定值，并说明理由． 16．回顾人类文明历史，勾股定理揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，该定理也被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，，那么空白部分的面积等于______． (3)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积． 17．综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 18．课本再现：（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．课堂上老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明：． 类比迁移：（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若，，则空白部分的面积为______． 方法运用：（3）如图3，分别以的三条边向外作三个正方形，连接，，若设，，，求，，之间的关系． ◆题型 5·勾股定理实际应用(航海、测高)(重点) 19．如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20．如图，有一台工程洒水车沿公路由点向点行驶，已知点为一处村庄，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，洒水车周围以内为受水雾影响区域． (1)村庄会受水雾影响吗？为什么？ (2)若洒水车的行驶速度为每分钟40米，洒水车水雾影响该村庄持续的时间有多少分钟？ 21．春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． (1)风筝的垂直高度______米； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 22．如图，一条东西走向的公路一侧有一村庄，从村庄到公路原有两个出口、，其中，，由于暴雨导致到的小路路面塌陷，现已不通，该村为方便村民出行，决定在旁边新修一条小路（，，在同一条直线上），测得，． (1)从村庄到公路，请通过计算说明是否为距离最近的路； (2)求新修的路比原来的路短多少？ ◆题型 6·勾股逆定理证明垂直综合题(重点) 23．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 24．如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 25．如图，点是等边内一点，连接，并将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，． (1)求证：； 26．如图，在中，点，是的三等分点，且是等边三角形． (1)求的度数； (2)如图，点是边上一点，将射线绕点逆时针方向旋转交线段于点．取中点，连接，． ①求证：； ②求证：． (3)在（2）的条件下，延长到，使，连接．若，，求的长． 1．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为、、，如果，则阴影部分的面积是（     ） A．12 B．8 C．6 D．4 2．如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、C、D的面积分别是7、10、13，最大正方形E的面积是36，则正方形B的面积是（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 5．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 6．如图，在中，，平分交于点，，，点是线段上的一动点，则的最小值是（     ） A．25 B．24 C．11 D．7 7．我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给了如图所示的图形：四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，后世称之为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图所示的新图案．若图中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为3，图中阴影部分的面积为，则的值为（     ） A．18 B．22 C．26 D．30 8．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，以直角三角形三边为直径，向外作半圆，其面积分别为，，，则的值为_____． 10．如图，长方体的底面长和宽都是，高为．若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______． 11．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 12．如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)判断是否为直角，并说明理由； (3)求四边形的面积． 13．已知：在中，，． 【初步发现】 (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．连接，先由边角边证明，从而得到，， ∴，进而得到线段之间满足的数量关系是 ． 【深入研究】 (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 (3)如图3，若点D在直线上．连接，在的左侧作，当，时，求的面积． 14．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降． (1)如图1，物体C静止在直轨道上，滑块B与物体C的水平距离为．绳子的总长度为（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）．求物体C到定滑轮A的垂直距离的长； (2)如图2，在图1的基础上滑块B向左滑动，若物体C升高（即），求滑块B向左滑动的距离． 15．有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $