专题05 简单几何体（八大题型+好题推送）（期中真题汇编 上海专用）高二数学上学期

专题05 简单几何体（八大题型+好题推送） 8大高频考点概览 考点01 多面体的定义及其相关概念 考点02 柱体定义、相关概念、结构特征与分类 考点03 柱体的体积与表面积 考点04 锥体定义、相关概念、结构特征与分类 考点05 锥体的体积与表面积 考点06 旋转体与球的概念 考点07 球体的体积与表面积 考点08 综合题 地 城 考点01 多面体的定义及其相关概念 1．(24-25高二上·上海市上海中学··期中) 给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 2．(24-25高二上·上海市延安中学··期中) 以下命题中真命题的是（    ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 3．(24-25高二上·上海市松江一中··期中) 如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 地 城 考点02 柱体定义、相关概念、结构特征与分类 4．(24-25高二上·上海市浦东新区上海外国语大学附属浦东外国语学校··期中) 如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 5．(24-25高二上·上海市延安中学··期中) 以下命题中真命题的是（    ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 6．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期中) 以下四个命题中，所有真命题的序号为 .①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 地 城 考点03 柱体的体积与表面积 7．(24-25高二上·上海市长征中学··期中) 已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 8．(24-25高二上·上海市市西中学··期中) 圆柱的侧面积是，母线长为4，则圆柱的体积为 9．(24-25高二上·上海市松江区立达中学··期中) 已知圆柱的底面半径为1，高为，，分别为上、下底面圆的直径，当，则四面体的体积为 . 地 城 考点04 锥体定义、相关概念、结构特征与分类 10．(24-25高二上·上海市川沙中学··期中) 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 11．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期中) 以下四个命题中，所有真命题的序号为 .①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 12．(23-24高二上·上海市虹口区2023-2024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷··期中) 已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为 . 地 城 考点05 锥体的体积与表面积 13．(24-25高二上·上海市川沙中学··期中) 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 14．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期中) 已知在圆锥中，底面圆的直径，的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为 . 15．(24-25高二上·上海市三林中学··期中) 正四棱锥的高和底面边长均为4，与交于点 （1）求该棱锥的表面积；（2）若为中点，求二面角的大小． 地 城 考点06 旋转体与球的概念 16．(24-25高二上·上海市长征中学··期中) 设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．、的大小不确定 17．(23-24高二上·上海市奉贤区四校联考··期中) 下列命题正确的是（     ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 18．(22-23高二上·上海市回民中学··期中) 下列命题中不正确的是（     ） A．相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等 C．圆柱的母线垂直于底面 D．过球面上两点的大圆有且只有一个 地 城 考点07 球体的体积与表面积 19．(22-23高二上·上海市复兴高级中学··期中)设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球 20．(23-24高二上·上海市青浦高级中学··期中) 球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 21．(24-25高二上·上海市宝山区上海存志高级中学··期中) 长方体中，，分别为，的中点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为 地 城 考点08 综合题 22．(24-25高二上·上海市三林中学东校··期中) 如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 23．(24-25高二上·上海市静安区风华中学··期中)亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米.    (1)，求几何体的体积； (2)如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设为圆柱底面半圆弧的一个点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 24．(23-24高二上·上海市朱家角中学··期中)如图所示圆锥中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为.    (1)求圆锥的侧面积S； (2)求异面直线AE与PC所成角的大小 【好题推送】 1．(17-18高二上·上海市同洲模范学校··期中)下列几何体中，多面体是（  ） A． B． C． D． 2．(23-24高二上·上海市三林中学东校··期中)若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 3．(23-24高二上·上海市川沙中学··期中)如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 4．(23-24高二上·上海市延安中学··期中)棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 故答案为：5 5．(22-23高二上·上海海事大学附属北蔡高级中学··期中) 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于 . 6．(23-24高二上·上海市七宝中学2023届高三下学期4月月考数学试题··期中)圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为 ． 7．(23-24高二上·上海市宝山区海滨中学··期中)若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 简单几何体（八大题型+好题推送） 8大高频考点概览 考点01 多面体的定义及其相关概念 考点02 柱体定义、相关概念、结构特征与分类 考点03 柱体的体积与表面积 考点04 锥体定义、相关概念、结构特征与分类 考点05 锥体的体积与表面积 考点06 旋转体与球的概念 考点07 球体的体积与表面积 考点08 综合题 地 城 考点01 多面体的定义及其相关概念 1．(24-25高二上·上海市上海中学··期中) 给出命题：有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱；命题：对任意且，均存在所有侧面都是直角三角形的棱锥，则（    ）. A．都是真命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．都是假命题 【答案】C 【分析】举例说明即可判断命题；根据线面垂直的性质和三垂线定理即可判断命题. 【详解】对于命题：如图即为反例，故命题为假命题；    对于命题：如图所示，在该棱锥中，底面. 在底面中，，，….    根据三垂线定理，则所有侧面都是直角三角形，即命题为真命题. 故选：C 2．(24-25高二上·上海市延安中学··期中) 以下命题中真命题的是（    ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 3．(24-25高二上·上海市松江一中··期中) 如图，在长方体中，，，.    (1)求证：； (2)若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据长方体结构特征及线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）利用长方体、棱锥的体积公式求多面体体积. 【详解】（1）由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以；    （2）由题设，剩下的多面体的体积. 地 城 考点02 柱体定义、相关概念、结构特征与分类 4．(24-25高二上·上海市浦东新区上海外国语大学附属浦东外国语学校··期中) 如图，正六棱柱中与直线异面的侧棱共有 条． 【答案】 【分析】分别写出与平行的侧棱，以及相交的侧棱，即可得出答案. 【详解】根据正六棱柱的性质结合图象可得， 侧棱中，没有与平行的直线； 与相交的有，共2条. 又正六棱柱的侧棱，共有6条， 所以与直线异面的侧棱共有条. 故答案为：4. 5．(24-25高二上·上海市延安中学··期中) 以下命题中真命题的是（    ）. A．所有侧面都是矩形的棱柱是长方体 B．有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．侧棱垂直底面两条棱的棱柱是直棱柱 D．各侧面都是全等的矩形的直棱柱是正棱柱 【答案】B 【分析】利用长方体、直棱柱、正四棱柱的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，直棱柱的侧面都是矩形，但不一定是长方体， 如直三棱柱，故A不正确， 对于B，有两个相邻侧面是矩形，则利用线面垂直的判定定理证明出侧棱垂直于底面，则该四棱柱是直棱柱，故B正确， 对于C，斜四棱柱可以满足侧棱垂直底面两条棱，但不是直棱柱，故C不正确； 对于D，底面是菱形的直棱柱，满足底面四条边相等，各侧面都是全等的矩形， 但不是正四棱柱，故D不正确. 故选：B. 6．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期中) 以下四个命题中，所有真命题的序号为 .①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 【答案】②④ 【分析】根据几何体的结构特征及性质判断各个命题的真假即可. 【详解】①以直角三角形的一条直角边为轴，将三角形旋转一周所得几何体为圆锥，而其它三角形所得为组合体，故①错误； ②底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱，故侧棱垂直于底面，故②正确； ③正棱锥的各侧棱与底面所成角相等，而不是所有棱锥各侧棱和底面所成的角相等，故③错误； ④圆锥轴截面有两条边对应圆锥的母线，第三条边为底面直径，故一定为等腰三角形，故④正确. 所以真命题有②④. 故答案为：②④. 地 城 考点03 柱体的体积与表面积 7．(24-25高二上·上海市长征中学··期中) 已知一个正六棱柱底面边长为，高为，则这个正六棱柱的侧面积为 . 【答案】36 【分析】根据正棱柱的侧面积公式求解. 【详解】由正棱柱的侧面积公式可得， 故答案为：36 8．(24-25高二上·上海市市西中学··期中) 圆柱的侧面积是，母线长为4，则圆柱的体积为 【答案】/ 【分析】设出圆柱的底面圆半径，根据侧面积得到方程，求出半径，利用圆柱体积公式求出答案. 【详解】设圆柱底面圆半径为，则，解得， 故圆柱的体积为. 故答案为： 9．(24-25高二上·上海市松江区立达中学··期中) 已知圆柱的底面半径为1，高为，，分别为上、下底面圆的直径，当，则四面体的体积为 . 【答案】 【分析】通过圆柱的特征可得线面垂直，把四面体看做两个共底面的三棱锥即可求体积. 【详解】 如图所示，圆柱底面圆心记为，连接， ∵，，，平面，平面， ∴平面， ∴. 故答案为：. 地 城 考点04 锥体定义、相关概念、结构特征与分类 10．(24-25高二上·上海市川沙中学··期中) 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 【答案】 【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 有题意知，，解得， 所以. 故答案为：. 11．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期中) 以下四个命题中，所有真命题的序号为 .①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形. 【答案】②④ 【分析】根据几何体的结构特征及性质判断各个命题的真假即可. 【详解】①以直角三角形的一条直角边为轴，将三角形旋转一周所得几何体为圆锥，而其它三角形所得为组合体，故①错误； ②底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱，故侧棱垂直于底面，故②正确； ③正棱锥的各侧棱与底面所成角相等，而不是所有棱锥各侧棱和底面所成的角相等，故③错误； ④圆锥轴截面有两条边对应圆锥的母线，第三条边为底面直径，故一定为等腰三角形，故④正确. 所以真命题有②④. 故答案为：②④. 12．(23-24高二上·上海市虹口区2023-2024学年高二下学期期末学生学习能力诊断测试数学试卷··期中) 已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面，若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为 . 【答案】/ 【分析】由题意正四面体和圆锥底面积、体积均相等，故只需求出正四面体的高即可得解. 【详解】正四面体底面外接圆的半径为，所以正四面体的高为， 若用任意平行于平面的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等， 则圆锥的体积和正四面体的体积相等， 且当平行于平面的平面无限接近于平面时，此时截面面积可以直接视为四面体底面面积，圆锥底面积， 从而可设正四面体和圆锥底面积均为（它们也是相等的），圆锥的高为， 所以，即. 故答案为：. 地 城 考点05 锥体的体积与表面积 13．(24-25高二上·上海市川沙中学··期中) 已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的高为 【答案】 【分析】由题意可知圆锥的母线长为2，根据圆锥侧面展开图的弧长为圆锥的底面圆的周长，可求得底面圆的半径，进而求得圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 有题意知，，解得， 所以. 故答案为：. 14．(24-25高二上·上海市南洋模范中学··期中) 已知在圆锥中，底面圆的直径，的面积为，点在母线上，且，一只蚂蚁若从点出发，沿圆锥侧面爬行到达点，则它爬行的最短距离为 . 【答案】 【分析】将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为，因为的面积为， 所以，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 15．(24-25高二上·上海市三林中学··期中) 正四棱锥的高和底面边长均为4，与交于点 （1）求该棱锥的表面积；（2）若为中点，求二面角的大小． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先根据已知条件求出棱锥的侧棱长，再求出棱锥侧面三角形的高，结合正三棱锥的几何特点即可求棱锥的表面积； （2）先说明，建空间直角坐标系，利用空间向量的方法，求解二面角的余弦值，即可求解二面角大小. 【详解】（1） 根据已知条件，，， 四边形为正方形，， 底面，平面，所以， 在中，，，， 因为为四棱锥，所以， 为等腰三角形，过点作，垂足为，为中点， 在中，，，， 所以， 所以棱锥的侧面积为， 棱锥的底面积为， 所以棱锥的表面积 （2） 因为底面为正方形，所以，建立如图所示， 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， 平面的法向量为； ，， 设平面的法向量为，则， 即，令，则，， 所以，设二面角为， 则，所以. 地 城 考点06 旋转体与球的概念 16．(24-25高二上·上海市长征中学··期中) 设矩形边长分别为、，分别以、两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为和，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．、的大小不确定 【答案】C 【分析】由题意分别得出以、两边为轴旋转形成的几何体，根据体积公式求解即可. 【详解】以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 以为轴旋转形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱， ， 因为，所以， 所以. 故选：. 17．(23-24高二上·上海市奉贤区四校联考··期中) 下列命题正确的是（     ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【答案】A 【分析】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 18．(22-23高二上·上海市回民中学··期中) 下列命题中不正确的是（     ） A．相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B．正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等 C．圆柱的母线垂直于底面 D．过球面上两点的大圆有且只有一个 【答案】D 【分析】选项A根据直棱柱的定义，结合线面垂直判定定理即可；选项B画出正四棱锥验证线面角是否相等即可，选项C有圆柱的特征及结构即可判断，选项D根据球截面的特性即可判断. 【详解】选项A，如图所示，在四棱柱中， 若侧面和侧面为相邻的矩形， 因为， 底面，则底面， 由直棱柱定义可知四棱柱为直棱柱，故A正确； 选项B，如图在正四棱锥中， 由正四棱锥可得，底面，底面为正方形，且侧棱相等， 所以侧棱与底面所成角分别为：，故选项B正确， 选项C，由圆柱的特征及结构可知，圆柱的母线都垂直于底面， 故C正确， 若球面上所取的任意两点与球心在同一直线上，则过这两点的大圆有无数个， 故D错误； 故选：D. 地 城 考点07 球体的体积与表面积 19．(22-23高二上·上海市复兴高级中学··期中)设正方体的所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【分析】结合正方体的性质与球的表面积公式计算即可得. 【详解】正方体的对角线就是球的直径，即，则， 则. 故答案为：. 20．(23-24高二上·上海市青浦高级中学··期中) 球的两个平行截面面积分别为和，球心到这两个截面的距离之差等于1，则球的直径为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题设知较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为，结合截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系列方程求球体半径，即得结果. 【详解】令球心到较近的截面距离为，则到另一个截面距离为，且球的半径为， 易知较近的截面圆面积为，另一个截面圆面积为， 所以较近的截面圆半径为，另一个截面圆半径为， 由截面圆半径与球体半径、球心与截面距离关系知：， 所以，故，则球的直径为6. 故选：D 21．(24-25高二上·上海市宝山区上海存志高级中学··期中) 长方体中，，分别为，的中点，，，四面体的四个顶点在球的球面上，则球的表面积为 【答案】 【分析】分析可知四面体外接球O即为以为邻边的长方体的外接球，结合长方体的性质求外接球的半径和表面积. 【详解】由题意可知：两两垂直，且， 可知四面体外接球O即为以为邻边的长方体的外接球， 则球的半径，所以球的表面积为. 故答案为：. 地 城 考点08 综合题 22．(24-25高二上·上海市三林中学东校··期中) 如图，半径为的球中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱侧面积之和为 ． 【答案】 【分析】作出圆柱的轴截面，其外接圆是球的大圆，由此易得圆柱底面半径、高与球半径关系，从而可求得圆柱侧面积的最大值，再由球面积得结论． 【详解】如图是圆柱的轴截面， 其外接圆是球的大圆，是圆柱上底面圆心，是圆柱母线， 设圆柱底面半径为，高为， 则，，， 因此， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 圆柱侧面积为，最大值为， 此时球的表面积与该圆柱的侧面积之和为． 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解决跟球和圆柱有关的问题时，一般是作出其轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题来解决. 23．(24-25高二上·上海市静安区风华中学··期中)亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米.    (1)，求几何体的体积； (2)如图2，若圆锥底面半径为2.5米，设为圆柱底面半圆弧的一个点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求. 【答案】(1)；(2)，该亭子满足建筑要求 【分析】（1）根据和圆锥的高可求出圆锥的底面半径，利用柱体，锥体的体积公式计算即可； （2）连接，，可得为圆柱母线和圆锥母线所成的角，求解即可. 【详解】（1）圆柱的体积， 由于，则圆锥的底面半径 圆锥的体积为， 几何体的体积； （2）连接，，根据题意可得，为圆柱母线和圆锥母线所成的角， ，，，， 圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值为. 又，因为，， 所以，故该亭子满足建筑要求.    24．(23-24高二上·上海市朱家角中学··期中)如图所示圆锥中，CD为底面的直径，A，B分别为母线PD与PC的中点，点E是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为.    (1)求圆锥的侧面积S； (2)求异面直线AE与PC所成角的大小 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据已知条件求出圆锥的底面半径和母线长，然后根据圆锥的侧面积公式求解即可； （2）连接，可得为异面直线与所成的角或其补角，在中，利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）设圆锥底面半径为，母线长为，因为为直径，是的中位线， 所以，，所以侧面积. （2）连接，由分别为的中点，得， 所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，取中点为，连接，则， ，所以， 在中，，    所以异面直线AE与PC所成角的大小为. 【好题推送】 1．(17-18高二上·上海市同洲模范学校··期中)下列几何体中，多面体是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断各选项中几何体的形状，从而可得出多面体的选项. 【详解】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体； C选项中的几何体是圆柱，旋转体；D选项中的几何体是圆锥，是旋转体. 故选B. 【点睛】本题考查多面体的判断，要熟悉多面体与旋转体的基本概念，考查对简单几何体概念的理解，属于基础题. 2．(23-24高二上·上海市三林中学东校··期中)若一个圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则它的体积是 ． 【答案】 【分析】由轴截面为正方形，易得到底面半径和高，代入体积公式即可． 【详解】由轴截面是边长为2的正方形可得，圆柱底半径为1，高为2， 所以圆柱的体积为. 故答案为：. 3．(23-24高二上·上海市川沙中学··期中)如图，在三棱柱中，P为中点，记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 【答案】 【分析】利用棱锥、棱柱的体积公式求、，即可得结果. 【详解】令，棱柱的高为， 由题意，， 所以. 故答案为： 4．(23-24高二上·上海市延安中学··期中)棱锥的高为9，底面积为162，平行于底面的截面面积为32，则截得的棱台的高为 . 【答案】5 【分析】设出截得的棱台的高，利用棱锥平行于底面的截面比例关系列式求解. 【详解】设截得的棱台的高为， 由棱锥被平行于底面的平面所截，截面面积与底面积的比等于截得锥体的高与原锥体高的平方比， 得，解得， 所以截得的棱台的高为5. 故答案为：5 5．(22-23高二上·上海海事大学附属北蔡高级中学··期中) 如图，圆锥形容器的高为，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于 . 【答案】 【分析】由圆锥的体积公式列式求解 【详解】设容器底面半径为，则水的体积为， 倒置后水的体积， 解得， 故答案为： 6．(23-24高二上·上海市七宝中学2023届高三下学期4月月考数学试题··期中)圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得，解出弧长，最后利用侧面积公式即可. 【详解】设圆锥的母线为,则,所以, 则圆锥的侧面积为. 故答案为：. 7．(23-24高二上·上海市宝山区海滨中学··期中)若球的半径为5，平面与球心的距离为3，则平面截球所得的圆面面积为 ． 【答案】 【分析】设出截面圆的半径，然后根据勾股定理完成计算即可. 【详解】设所截圆面的半径为， 由题意可知，，解得， 所以截面圆的面积为， 故答案为：. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $