云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期适应性测试（三）数学试题

绝密★启用前 玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（三） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则 A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位），则 A． B． C．3 D．5 3．在的展开式中，含项的系数为 A．56 B．-56 C．28 D．-28 4．设，随机变量的分布列如下表， 0 1 2 则当在区间内增大时 A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 5．非零向量满足与垂直，则与的夹角为 A． B． C． D． 6．已知，，则的值为 A． B． C． D． 7．若函数在区间单调递增，则a的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是    A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则 A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的一个零点为 10．已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是 A．或 B．或 C．若，则 D．若，则 11．已知函数，为的导数，则下列说法正确的是 A．当时，恒成立 B．当时，在区间单调递减 C．当时，在区间上存在唯一极小值点 D．当时，有2个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为__________． 13．直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为__________． 14．学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知等比数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前48项和. 16．（15分） 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿．“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断与两个变量线性相关性的强弱.（精确到小数点后两位）； （2）《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为； ①当时，设比赛结束时甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望； ②甲以获胜的概率为，求的最大值． 参考公式：相关系数，参考数据：． 17．（15分） 如图，在几何体中，底面为平行四边形， 平面⊥平面.     （1）证明：四边形为菱形； （2）若，且，，求平面与平面的夹角的正弦值. 18．（17分） 已知椭圆：过点，其离心率为．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线，交点为椭圆的右焦点． （1）求椭圆的方程； （2）若，的斜率存在且分别为，，求证：为定值； （3）过点作，垂足为，求的最大值． 19．（17分） 设函数，其中为参数． （1）当时，求的单调区间． （2）求的取值范围，使得对所有实数成立． （3）设，其中为（2）中范围的右端点，记为的两个正实数解，为（2）中定义的正实数（满足）．证明：． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $玉溪一中2025一2026学年上学期高三适应性测试（三） 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 心 6 > P 答案 公 C D y C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC AC BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 答案 52Π 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)(5分)an=2 (2)(8分)号 16.(15分) (1)(5分)r≈0.99：相关性很强 (2)(10分) ①(4分)分布列如下；期望为贸 3 4 5 10 27 品 ②(6分)最大值为器 数学参考答案第1页（共5页） 17.(15分) (1)(6分) (1)设AC∩BD=O,连接OE,过D向OE作垂线，垂足为H, 因为平面BDE⊥平面EAC,平面BDE∩平面EAC=OE,DH⊥OE,DHC平面BDE, 所以DH⊥平面EAC, 因为ACC平面EAC,所以DH⊥AC 因为DE⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以DE⊥AC, 因为DH∩DE=D,DH,DEC平面BDE,所以AC⊥平面BDE,所以4AC⊥BD, 因为ABCD为平行四边形，所以ABCD为菱形 (2)(9分)青 18.(17分) (1)(4分)2+2 年+3=1 数学参考答案第2页（共5页） (2)由(1)可得F1(-1,0),F2(1,0), 由题意知k1,k2均存在且不等于0， 则设直线AB的方程为： x=my-1,k1=7(m≠0)，A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1=my1-1,x3=my2-1,3x+4y2=12. 设直线AC方程为： 1-1 x=y+1,n=,C(,),D(x4y4) 与椭圆方程联立得：(3n2+4)y2+6y-9=0, △=(6n)2+36(3n2+4)=144n2+144>0, 所以 0 9 94 92 y，+4 3y2 +4 30x-P2+4g3+4g2x52-5 (2)(5分) 因为y,≠0， 故y中 因此 3y1+ 5x1-8 =以+1之·2+1=2x5 3y2._5x2-8 同理y42225,4=22了 CD斜率为 3y2 3 专62-2可 2x2=5-2x1-3 3y,(2x1-5)-3y(2x2-5) 2x2-5-2x1-3 3y2(2my1-7)-3y(2mny2-7) 7582-（5m-82-元产x-号-3幻 (3)(8分) 365 14 19.(17分) (1)(4分)单调递减区间为(-∞，0)；单调递增区间为(0，+∞) (2)(5分) 数学参考答案第3页（共5页） (（2) 已知f(x)=e2+e-ax2,对fx求导得 f'(x)=e2-e-x-2ax,再对f'(x)求导得 f"(x)=e*+e-z-2ao 由基本不等式er+ex>≥2ver.e-z=2,当 且仅当ex=ex,即x=0时取等号。 当a≤1时，f"(x)=e+e-2a≥0，所以 f'(x)在R上单调递增。 又f'(0)=e0-e0-2a×0=0,当x<0时， f'(x)<f'(O)=0,f(x)单调递减；当x>0 时，f'(x)>f'(O)=0,f(x)单调递增。 所以f(x)≥f0)=e°+e0-a×02=2≥0 ，满足f(x)≥0对所有实数x成立。 令f"(x)=0,即er+ex-2a=0,设er=t t>0),则t+-2a=0,整理得 t2-2at+1=0o 解这个方程得t=a士v√a2-1,所以 x=ln(a±√a2-1)e 当xe(-oo,ln(a-Va2-1)时，f"(x)>0 ，f'(c)单调递增；当 x∈(ln(a-Va2-1),ln(a+√a2-1)时， f”(x)<0,f'(x)单调递减；当 x∈(n(a+a2-I),+o)时，f"(x)>0, f'(x)单调递增。 又f'(0)=0,所以当x∈(0，n(a+√a2-1) 时，f'(x)<0,f(x)单调递减，此时 f(x)<f(0)=2,不满足f(x)≥0对所有实数 X成立。 综上，a的取值范围是(0,1]。 (3)(8分) 数学参考答案第4页（共5页） (3) 因为f(-x)=e”+e2-a(-x)2=f(c),所 以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称。 由(2)知，当a>1时，f(x)在(-00,0)上单 调递减，在(0，+o∞)上单调递增。 因为x1,x2是f(z)=0的两个根，且 x1<0<x2, 根据函数的对称性，有 化2=-C10 要证2-x0>x0-c1,即证 2x0<x1+x2=0,也就是证0<0。 由(2)知，当a>1时，f(x)在(0，+∞)上单 调递增，且f(x0)=0,所以xo>0。 又因为f(x)是偶函数，所以 f(-o)=f(xo)=0,且f(x)在(-∞，0)上单 调递减，所以x1<一x0,E2>0° 因此，x2-x0>x0-D1° 数学参考答案第5页（共5页）