4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 （题型专练）数学人教A版2019必修第一册

4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 题型一：无理数指数幂的运算 1.的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据无理数指数幂的运算性质计算即可. 【详解】， 故选：． 2.用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式和分数指数幂的化简计算即可. 【详解】, 故选:B. 3.将 化为分数指数幂为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式与分数指数幂的互化以及指数的运算公式即可求出结果. 【详解】＝＝＝＝＝. 故选：D 4.下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用二次根式的意义来判断AB选项，利用指数幂的运算来判断CD选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 题型二：实数指数幂的运算 1.计算 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算 【解析】直接计算得到答案. 【详解】. 故选：. 【点睛】本题考查了指数幂的计算，属于简单题. 2.列运算结果中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】根据有理数指数幂、根式的运算法则计算可得答案． 【详解】对于A选项，，故A错误； 对于B选项， ，故B错误； 对于C选项，当时，，当时，，故C错误； 对于D选项，，故D正确． 故选：D． 3.可以化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数运算的性质化简即可 【详解】. 故选：C 4.将根式化为分数指数幂是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接利用根式与分数指数幂互化的公式求解. 【详解】； 故选：A. 【点睛】本题考查根式与分数指数幂互化的公式，属于基础题. 题型三：指数幂的运算、指数幂的化简、求值 1.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】利用和完全平方公式，可得的值，再运用立方和公式得出答案． 【详解】由题意得 =x+2+x-1=5， 所以=， 所以=()(x-1+x-1)=， 故选：B 【点睛】本题考查指数幂的运算，考查公式的应用，属于基础题． 2.已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算法则可得，结合条件即得；或先平方可得，结合条件即得. 【详解】解法一：， ∵，， ， 又 ， 所以， 所以原式． 解法二：， 由，得， 所以原式． 故选：D. 3.已知，则的值是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由题意结合根式的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意知， ， 由于，故，则原式. 故选B. 【点睛】本题主要考查根式的运算法则及其应用，属于中等题. 4.若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数幂的运算 【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值. 【详解】由题设，，即， 又，且， 所以. 故选：A. 题型四：指数幂的运算 1.化简的结果为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】先看根式下的式子易得，再结合分数指数幂的意义，，可对中括号里面的式子进行化简；再根据指数幂的运算性质，将上式的结果化简，继而得到原式的值. 【详解】解：， 故选：B. 【点睛】本题考查的是实数指数幂的化简运算，考生要掌握实数指数幂的运算性质以及分数指数幂的意义. 2.是实数，则下列式子中可能没有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实数指数幂的运算性质，求得选项中各个式子有意义的条件，即可求解. 【详解】由指数幂的运算性质，可得： 对于A中，式子中，实数的取值为，所以总有意义； 对于B中，式子中，实数的取值为，所以总有意义； 对于C中，式子中，实数的取值为，所以可能没有意义； 对于D中式子中，实数的取值为，所以总有意义. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的性质，求得各项式子有意义的条件是解答的关键，着重考查推理能力. 3．（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式与指数幂的互化，以及指数幂的运算可得出结果. 【详解】由题意可得. 故选B. 【点睛】本题考查指数幂的运算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，属于基础题. 4.下列运算结果中正确的为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，而，所以B错误， 对于C，0的0次幂没有意义，当时,无意义，所以C错误， 对于D，由幂的乘方可得，所以D正确， 故选D. 题型一：实际问题中的指数运算 1.某工厂去年十二月份的产量为，已知月平均增长率为，则今年十二月份的产量比去年同期增加的倍数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据指数幂的运算及月增长率计算即可. 【详解】由于去年十二月份的产量为，且月平均增长率为，则今年十二月份的产量为， 比去年同期增加的倍数为， 故选A. 【点睛】本题考查指数幂的运算的实际应用，属于基础题. 2.（2018·上海浦东新·一模）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时 A．22 B．23 C．24 D．33 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值 【详解】由题意可得：，解得： ∴ ∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时 故选C 3.某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时 A．22 B．23 C．24 D．33 【答案】C 【详解】由题意可得：，解得： ∴ ∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时 故选C 4.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ） (参考数据：) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据列式求解即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以，由于，故， 所以，所以，解得. 故选：B. 【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题. 题型二：指数幂运算中的条件求值 1.已知，则（    ） A．120 B．210 C．336 D．504 【答案】C 【知识点】指数幂的运算 【分析】首先变形条件等式，求得，再计算结果. 【详解】，得，解得：， 所以. 故选：C 2.若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算 【分析】利用指数幂的运算性质可求得结果. 【详解】. 故选：C. 3.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据完全平方公式及指数幂运算求解即可. 【详解】由，则， 所以. 故选：C. 4.已知，下列各式中正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据完全平方和公式，立方和公式分别计算即可求解. 【详解】①,正确； ②，正确； ③因为可知，，， 所以，故错误； ④，正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了平方和公式，立方和公式，属于容易题. 题型三：分数指数幂与根式的互化 1.用分数指数幂表示，为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算 【解析】先将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算性质化简. 【详解】. 故选：B. 【点睛】本题考查了根式与分数指数幂，属于基础题. 2.化简的结果是（    ） A．a B． C．a2 D． 【答案】B 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】利用根式和分数指数幂的转化公式，即可容易求得结果. 【详解】原式＝＝＝a. 故选：. 【点睛】本题考查根式和分数指数幂的转化，属简单题. 3.已知，化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化 【分析】化为分数指数幂，再计算即可． 【详解】， 故选：D. 4.（多选题）下列各式错误的是（    ） A． B． C．（） D． 【答案】ABC 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】A选项，举出反例；BCD选项，根据指数幂的运算法则和根式的运算法则得到答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，时显然等式不成立，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABC. 题型四：根式的化简求值、指数幂的运算 1.化简=（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、根式的化简求值 【分析】把根式转化成指数式的形式,运用指数运算公式进行运算即可. 【详解】. 故选D 【点睛】本题考查了根式转化为指数式,考查了指数的运算法则,考查了数学运算能力. 2.化简 (a>0，b>0)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、根式的化简求值 【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可. 【详解】 故选：B 3.（多选题）下列表达式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】根据根式的性质、基本不等式以及指数幂的运算即可求解. 【详解】对于A，，故A不正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，当且仅当时取等号,故C正确. 对于D，，故D正确. 故选：AB 4.（多选题）下列表达式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】指数幂的运算、根式的化简求值 【分析】对于AB，根据指数幂的运算性质分析判断，对于CD，根据根式的运算性质分析判断. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 故选：CD． 1. 化简：＝（    ） A．4 B． C．或4 D． 【答案】A 【知识点】指数幂的化简、求值 【解析】根据指数幂的运算法则，结合化简可得答案. 【详解】, 所以， 故选：A. 【点睛】本题主要考查指数幂的运算，属于基础题. 2.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】由题意结合分数指数幂的定义考查所给的选项是否符合题意即可. 【详解】分数指数幂的定义中要求底数为正数， 选项A中， 和 均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意； 选项B中，的负指数幂没有意义，故B不满足题意； 选项D中， 和 值不相等，故D不满足题意； 选项C中，，满足题意． 故选C. 【点睛】本题主要考查分数指数幂的定义与运算法则，属于中等题. 3.已知，则下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，即可求得，从而判断A； 由，，即可求得，从而判断B； 由，可求得，再由，即可求得，从而判断C； 由，即可求得，从而判断D. 【详解】解：A选项：， ∴， 又， ∴， ∴， 故A错误； B选项：， ∴，故B正确； C选项：，，， ， ，故C错误； D选项：， 故D错误， 故选：B. 4.已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数幂的运算法则可得，结合条件即得；或先平方可得，结合条件即得. 【详解】解法一：， ∵，， ， 又 ， 所以， 所以原式． 解法二：， 由，得， 所以原式． 故选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 题型一：无理数指数幂的运 算 题型二：实数指数幂的运算 基础达标题 题型三：指数幂的运算、 数幂的化简、求值 题型四：指数幂的运算 题型一：实际问题中的指数 运算 4.1.2无理数 题型二：指数幂运算中的条 指数幂及其运 件求值 算性质 能力提升题 题型三：分数指数幂与根式 的互化 题型四：根式的化简求值、 指数幂的运算 拓展培优题 A 基础达标题 题型一：无理数指数幂的运算 1.(4的值为（) A.22 B.4 C.42 D.8 2.√22.24用分数指数幂可表示为() 4.2 B.2 C.23 D.2 3.将V2√2√化为分数指数幂为() A.2 B.24 3 C.24 7 D.2 4.下列运算中正确的是() 可学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.V(2-π)2=2-π B. 13 C. m n D.(= 题型二：实数指数幂的运算 1-r-(》 B子 c D. 1 2.列运算结果中正确的是() A.a3.a4=a2 B.（-a2）=a C.a=a D.-π =一元 可以化简为() A.x B. C.x D.x 1 4.将根式行a≠0)化为分数指数容是（） A.as B. C. D.a 题型三：指数幂的运算、指数幂的化简、求值 1.已知x+x=3,则x2+x2的值为() A.√5 B.25 C.35 D.45 1 2.已知x+=2,=9且x<y,则经的值为（) 1 x2+y2 A. 1 B. 2 c. 3 D.=3 3 3.已知ab=-5, b “的值是 A.25 B.0 C.-25 D.2V5 可学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 4.若0<a<1,b>0,且ab-ab=-2,则aP+ab的值为() A.2√2 B.±2√2 C.-22 D.6 题型四：指数幂的运算 1.化简[-51的结果为() A.5 B.5 C.-V5 D.-5 2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是() A.m2 B.m C.m D.-m vaa 3 1 ) a A.a B. C.a D. 4.下列运算结果中正确的为 A.a2a2=a6B.(-a2）'=(-a3）月 c.（a-1°=1 D.（-a2）=-a6 B 能力提升题 题型一：实际刷问题中的指数运算 1.某工厂去年十二月份的产量为Q,己知月平均增长率为b,则今年十二月份的产量比去年 同期增加的倍数为() A.(1+bP-1B.a1+b) C.(1+b)”-1 D.12b 2.(2018·上海浦东新一模)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃) 满足函数关系y=er+b(e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数)，若该食品在0C的 保鲜时间是192小时，在22C的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜时间是（) 小时 A.22 B.23 C.24 D.33 3.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=e+h (e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数)，若该食品在0C的保鲜时间是192小时， 丽学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33C的保鲜时间是()小时 A.22 B.23 C.24 D.33 4.专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t(单位： 天)与病情爆发系数0之间，满足函数模型：f0=1+e,当f=0.1时，标志 着疫情将要大面积爆发，则此时t约为() (参考数据：el≈3) A.38 B.40 C.45 D.47 题型二：指数幂运算中的条件求值 1.己知3a-1+3a-2+3a-3=117,则(a+10(a+2)(a+3)=() A.120 B.210 C.336 D.504 8 2.若b-6a=1,则。=（】 A.1 B. C.② 2 D.√ 3.已知a+a1=5,则a-a=（) A.5 B.-V3 C.±3 D.±2 4.己知a+a1=3,下列各式中正确的个数是() 0a+a2=7:②a+a3=18:®a+ai-t5:④aa+=25, ava A.1 B.2 C.3 D.4 题型三：分数指数幂与根式的互化 a 1.用分数指数幂表示Va2a,(a>0)为() A.d B. C.a D. a 3 2.化简a√a的结果是() A.a B. C.a2 D. a 3.已知a>0,化简： a-fa 可学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.d B. C.qi D.a 4.(多选题)下列各式错误的是() A.yy B.a+a'=a7 C.x5=-（x≠0) D. 3 ava =a 题型四：根式的化简求值、指数幂的运算 1.化简aNa÷a5(a>0)=（) A.d B. C.1 D.a Nabab (a>0,b>0)的结果是() A. 0 B C.a D. b2 a 3.(多选题)下列表达式中不正确的是() A.a-aa≠0) B.a2=a5 C.a+ax≥2(a>0) D.(a23=a 4.(多选题)下列表达式不正确的是() A.a÷a:aa>0) B.(a2'=a c.-a.Naa<0) D.a=Ja 拓展培优题 1.化简：V(π-4)2+π=（） A.4 B.2π-4 C.2π-4或4 D.4-2元 2.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 A.(-5和(- B.02和02 C.2和44 D.4和 耐学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 3.已知a+a=4,则下列运算中正确的是() A.aita= B.a2-ai=±v2 C.a-a1=±3V2 D.a3-a3=±452 4.已知x+y=12,y=9且x<y,则2-少 的值为() x2+y2 A B.2 1 C. 3 3 D.-3