专题05 用二次函数解决实际问题（3大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题05用二次函数解决实际问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、增长率、销售问题。 题型二、拱桥、投球、喷水问题。 .6 题型三、图形及图形运动问题。 12 B综合攻坚·能力跃升 题型建模·专项突破 题型一、增长率、销售问题 1.(24-25九年级上·四川内江·阶段练习)某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的 价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星 期能卖出96件. (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (②)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低3元， 销售会增加6件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？ (3)店主再次发现，在降价过程中可获得最大利润，请你帮他算算，当售价定为多少元时，获得最大利润， 最大利润是多少？ 2.(24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习)贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎 接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量y(把) 与单个售价x（元)之间的函数关系如图 50 40 ○ 2030 (I)根据图象，求出y与x的函数关系式； (②)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ (3)若商店决定每销售一把团扇向顾客赠送一件价值为m元的礼物，为确保该种团扇的日销售获得的最大利 润为625元，求m的值. 3.(2425九年级上·福建莆田·期末)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某 头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个， 且从3月份到5月份销售量的月增长率相同 1/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上 售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每 个的售价应为多少元？ 4.(24-25九年级下·江苏无锡阶段练习)某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场 调查发现，该产品每周的销售量y(单位：件)与售价x(单位：元/件)(x为正整数)之间满足一次函数的 关系，如表记录的是某三周的有关数据 x（元/件) 40 55 70 y(件) 1100 950 800 (I)求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）： (②)若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； (3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元(m>0)时，该商场每周销售这种 产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为一· 题型二、拱桥、投球、喷水问题 5.(2025陕西咸阳模拟预测)如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型.工 作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面C的距离为10m,距离左、右侧桥墩 (MN,BC)的水平距离均为15m,已知桥墩露出水面的高度BC=MN=1m,以NC所在直线为x轴，垂直于 NC且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系， y A E M D B W 0 (I)求该抛物线的函数表达式； (②)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带EF,ED,FG(灯带利用卡扣固定)，使得灯 带EF与水面平行，ED=FG,且DE,FG均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D,G距水面的距离 为1.5m,当灯带总长度(DE+EF+FG)最大时，求EF的长. 6.(23-24九年级下·陕西榆林·开学考试)如图1是洒水车为绿化带浇水的场景.洒水车喷水口H离地竖直 高度OH为1.2m，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口0.4m,把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG,绿化带的水平宽度DE=3m,竖直高度EF=0.6m,洒水车到绿化带的距离OD为d(单位：m), 建立如图2所示的平面直角坐标系. 2/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 下边缘 上边缘 G C 图1 图2 (I)求上边缘抛物线的函数解析式： (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并 写出你的判断过程. 7.(24-25九年级下·湖北武汉·期中)发石车（图1)是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创 制发石车，攻破袁绍军壁楼.如图2，发石车发射点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖 直截面为矩形ABCD,墙宽BC为2米，高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点P的正下 方O点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其 飞行路线可以近似看作抛物线y=a(x-15)+k. B C AD衣 图1 图2 (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米. ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C),求出Q的取值范围. 8.(25-26九年级上·广西南宁.开学考试)【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究. 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化， 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉， 建立模型：如图1，设无人机控制中心为点O,两个喷水口分别为点AB,且点A,B,O在同一条水平直线上， AB=60cm.如图2，以0为坐标原点，竖直方向为y轴，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.喷 水口点A和点B到点O的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线， 抛物线与y轴的交点为C,0C=300cm. 3/10 可学科网·上好课 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 (1)求点A所在抛物线的函数表达式. 问题解决： (2)无人机控制中心距地面的初始高度为300cm,为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置，如 图3，要使宽度为EF=30cm的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度， (3)如图4，在直线AB上再增加2个喷水口M和N,M在A左侧，N在B右侧，且MA=AB=BN,当 无人机上升到距地面的高度为675cm时，求此时喷洒水覆盖区域宽度PQ的长 题型三、图形及图形运动问题 9.(24-25九年级上·陕西商洛期末)如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙MN,某人想利用I旧 墙和木栏围成一个矩形花园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏， MIN A D B C (1)若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用I旧墙AD的长； (2)求矩形花园ABCD面积的最大值 10.(2025·天津宝坻模拟预测)在平面直角坐标系中，O为原点，四边形A0BC是正方形，顶点A-4,0), 点B在y轴正半轴上，点C在第二象限，△M0N的顶点M(0,5),点N(5,0), y y M C 图① 图② (1)如图①，求点B,C的坐标： (2)将正方形A0BC沿x轴向右平移，得到正方形A'0'B'C',点A,O,B,C的对应点分别为A,O,B,C.设 OO'=t,正方形A'0'B'C'与△MON重合部分的面积为S ①如图②，当正方形A'0'B'C'与△MON重合部分为五边形时，直线B'C'分别与y轴，MN交于点E,F, O'B'与MN交于点H,试用含t的式子表示S,并直接写出t的取值范围； 4/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若平移后重合部分的面积为 号，则1的值是（请直接写出结果即可 11.（24-25九年级下·广东深圳开学考试)综合与实践： 利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子 四边形ABCD是边长为30cm的正方形硬纸片，“创新小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示 意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②，图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设 计，折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计)，请你观察，操作，验证并思考完成该小组 提出的问题 F EF 图① 图② 图③ 图④ 设计方案一：如图①，将正方形硬纸片ABCD的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴 影部分所示)，再沿虚线折合得到一个底面为长方形MWQP的包装盒（如图②所示). (1)设MG=acm,MP= cm,(用含a的代数式表示)；若底面积MNQP为162cm2,则MG的长 为 cm. 设计方案二：如图③，将正方形硬纸板ABCD切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E, F在AB上；再沿虚线折起，点A,B,C,D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形 MWQP的包装盒，设GF=xcm. (2)请直接写出线段BF的长 cm(用含x的代数式表示)； (3)求长方体盒子的侧面积S(cm)的最大值 12.(2024河北保定·二模)如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC=2√2，动点P 为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF.因发生故 障，只有光带CM和MB正常工作，CM=4,光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀 速运动，到达点B时停止，设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S.图2为P点 在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形 S个 72 M G 图1 图2 备用图 (1)1=1时，照亮的区域面积S= 并求a值， (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数. 5/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①求出点P在线段MB上运动时S关于t的函数解析式： ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域GPEF的面积S为17. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2025湖南模拟预测)某拱桥呈抛物线形，水面宽度AB为8米时，拱顶C离水面4米.当水面上升2 米后，宽度变为(). A.4米 B.42米 C.45米 D.6米 2.(2025辽宁朝阳·二模)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单 位：s)之间的关系式是h=20t-5(0≤t≤4).有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4s: ②小球运动的高度可以是25m: ③小球运动1s时的高度大于运动3s时的高度. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2025·天津河东·模拟预测)某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360 元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有 一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本.有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元： ③宾馆每天的最大利润为12250元. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 4.(2025江苏连云港.中考真题)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)+2.5运行，其中x是 铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m,则铅球掷出 6/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的水平距离OB为」 m y B 5.(2025河南许昌·二模)如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为 x轴，过最高点C且垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系.则该标枪运动轨迹的函数关系式为： y=-0.011x2+9.9,己知运动员出手点A距离最高点C的水平距离为27m,则该运动员投掷标枪的水平距 离为 y/m B 0 x/m 6.如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC、BD为某抛物线的一部分，杯口AB=8cm,杯底 CD=4cm,且AB∥CD,杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜45°，水面正好经过点B(即 ∠ABP=45°).嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的 是 ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y=x2-16;②直线PB的解析式为y=x-4;③点P到杯口AB的 距离为5cm;③点P到点D的距离为5√2cm. yA A 图1 图2 三、解答题 7.公安部提醒市民，骑车必须严格遵守”一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月 份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在 此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个.经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月 销售量为y. 7/10 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①直接写出y关于x的函数关系式； ②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？ 8.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=4cm.点P以1cm/s的速度从点A出发沿AB匀速运动到B; 同时，点Q以vcm/s(v>I)的速度从点B出发沿BC匀速运动到C.两点同时开始运动，到达各自终点后停 止，设运动时间为t(S),△PBQ的面积为Scm).当点9在BC上运动时，S与t的函数图象如图2所示. 个S(cm2) A P ▣ 2t(s) 图1 图2 (1)求线段AB的长和点Q的运动速度： (2)求△PBQ的面积为S(cm)关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； B当时间1在什么花国内变化时，AP8Q的面积为Sem)的值不小于？请直接写出：的取筐范周。 9.发石车（图1)是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼如图2， 发石车发射点点P离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形ABCD,墙宽BC为2米， 高CD为6米，点P与点B的水平距离为23米，以发射点P的正下方O点为原点，地平线为x轴，垂直于地 面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线母以近似看作抛物线 y=a(x-15)2+k. AD 图1 图2 (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为12米. ①求抛物线的函数解析式： ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部BC上（包括点B,C),求出Q的取值范围. 10.如图①，某市规划了一座单孔拱桥，其桥梁主体是抛物线.设计者测得水面宽AB为600m,为方便货 8/10 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 16 轮通行，桥面MN离水面距离OC需为72m,己知项点与桥面距离DC为顶点与水面距离D0的二时，拱桥 25 结构最稳定，如图②，以拱架与水面接触点的连线为x轴，以拱架最高点所在的铅垂线为y轴，建立平面直 角坐标系. y拱索 拱桥 M N 水面 600米 600米 图① 图② 图③ (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图②，拱架与桥面MN之间均匀分布了23根拱索，求拱架中心右侧第三根拱索的长度； 3)在(2)条件下，如图③，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，夏季最热时，拱架的顶点会上升25cm, 拱索会随之伸长，其他季节不变，求夏季最热时，拱架中心右侧第三根拱索会伸长多少厘米。 11.(2025山西长治.二模)综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种 型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面.光照的区域边缘可近似的看为 抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样.小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据， 左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm,与左墙面的水平距离为30cm,光线与墙的交点A距离地面 245cm,点B,D,E均为两条光线的交点，点F且A,B,D,E,F在同一高度的水平线上 A B 左墙面 右墙面0 图1 图2 图3 图4 (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光 线距离地面的高度为y(cm),距墙面OA水平距离为x(cm),求y与x之间的函数关系式. (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm,按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计 算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距 离地面145cm,请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值 12.(2025浙江·模拟预测)背景材料：某社区准备改造原半径为6m的水池中的喷泉设施（如图①），综合实 9/10 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 践小组开展了优化设计方案的综合实践活动 【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点0的 正上方且竖直高度为2.25m,水流最高高度为3m,水流最高点距喷水管的水平距离为1m. (1)以水池中心O为原点，水平向右方向为x轴正半轴，喷水管竖直向上方向为y轴正半轴，建立平面直 角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离： 【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点； 二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外， (2)若将喷出的水流的最高点水平向外移1m,高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为5，请 确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出 的水流所在抛物线的最高高度m与水平宽度的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为 5.5m,喷水口离水面竖直高度为1.1m,喷出的水流的最高高度为3.6m. 2.25 5.5 图① 图② 图③ (3)求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度. 10/10 专题05 用二次函数解决实际问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、增长率、销售问题 1 题型二、拱桥、投球、喷水问题 6 题型三、图形及图形运动问题 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、增长率、销售问题 1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）某服装店销售一批衬衫，每件进价150元，开始以每件200元的价格销售，每星期能卖出20件，后来因库存积压，决定降价销售，经两次降价后的每件售价162元，每星期能卖出96件． (1)已知两次降价百分率相同，求每次降价的百分率； (2)聪明的店主在降价过程中发现，适当的降价既可增加销售又可增加收入，且每件衬衫售价每降低3元，销售会增加6件，若店主想要每星期获利1750元，应把售价定为多少元？ (3)店主再次发现，在降价过程中可获得最大利润，请你帮他算算，当售价定为多少元时，获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)每次降价的百分率是 (2)应把售价定为元或元 (3)当售价定为元时，获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）设售价定为元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期销售该种衬衫获得的总利润=每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）设利润为，根据（2）的方法列出二次函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 解得，，(舍去)， 答：每次降价的百分率是； （2）设售价定为元，则每件的销售利润为元，每星期可卖出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：应把售价定为元或元． （3）设利润为，售价定为元，依题意， ， 当时，取得最大值， 答：当售价定为元时，获得最大利润，最大利润是元． 2．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）贵阳贵安谋划推出“爽爽贵阳，繁花似锦”赏花主题活动，为了迎接本次活动，某商店以10元每个的价格购进一批以花为主题的团扇，经过一段时间的销售发现日销量y（把）与单个售价x（元）之间的函数关系如图． (1)根据图象，求出y与x的函数关系式； (2)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ (3)若商店决定每销售一把团扇向顾客赠送一件价值为m元的礼物，为确保该种团扇的日销售获得的最大利润为625元，求m的值． 【答案】(1) (2)销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）设每天的利润为元，根据利润（销售单价成本单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得； （3）根据题意得出，根据日销售获得的最大利润为625元，得出，解方程即可． 【详解】（1）解：设（为常数），将点代入得： ， 解得：， 与x的函数关系式为； （2）解：设每天获得的利润为W元，由题意得： ， ，抛物线开口向下， ∴当时，W有最大值，． ∴销售单价为40元时，每天获得的利润最大，最大利润是900元． （3）解：根据题意得： ， ∵日销售获得的最大利润为625元， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， 即． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为多少元？ 【答案】(1) (2)65元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和一元二次函数的应用，根据题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个建立方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个的售价为元，获得的利润为W元，根据利润（售价进价）销售量建立关于y的一元二次函数，利用 一元二次函数的图像和性质求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个的售价为元，获得的利润为W元， 由题意得：， 整理得：， 这是一个关于y的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处， ∴当时，W取得最大值， 答：要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元． 4．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． x（元/件） 40 55 70 y（件） 1100 950 800 (1)求y与x的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润； (3)规定这种产品的售价不超过进价的2倍，若产品的进价每件提高m元（）时，该商场每周销售这种产品的利润仍随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)32000 (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式、二次函数的应用、二次函数的图象与性质，理解题意、熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）设，由表格得：当时，；当时，，代入得：，求解得出与的函数表达式即可； （2）根据某周该产品的销售量不少于800件，得出，求解得出，设这周该商场销售这种产品获得的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质，得出当时，随的增大而增大，则当时，取得最大值，求出最大利润即可； （3）根据“规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元”，得出，设该商场每周销售这种产品的利润为元，得出，根据二次函数的图象与性质、该商家每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，得出，求解得出，结合，综合得出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系， ∴设， ∵由表格得：当时，；当时，， ∴代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵某周该产品的销售量不少于800件，由（1）得， ∴， 解得：， 设这周该商场销售这种产品获得的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 答：这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元； （3）解：∵规定这种产品的售价不超过进价的2倍，产品的进价每件提高元， ∴， 设该商场每周销售这种产品的利润为元， ∴， ∴，对称轴为， ∵该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型二、拱桥、投球、喷水问题 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 6．（23-24九年级下·陕西榆林·开学考试）如图1是洒水车为绿化带浇水的场景．洒水车喷水口离地竖直高度为，喷出的水的上、下边缘近似的看作两条抛物线，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．把绿化带横截面抽象为矩形，绿化带的水平宽度， 竖直高度．洒水车到绿化带的距离为（单位：m），建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为5.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【答案】(1) (2)行人会被洒水车淋到水，理由见详解 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，具体涉及以下知识点：二次函数顶点式的应用，二次函数的求值与实际意义分析，考查了函数值计算与实际场景的结合能力。 （1）根据抛物线顶点式设出函数解析式，再利用已知点的坐标求出解析式中的参数； （2）将行人所在位置的横坐标代入抛物线解析式，通过比较纵坐标与行人高度来判断是否会被淋到。 【详解】（1）解：已知上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为， 高出喷水口，喷水口H离地竖直高度为， 所以顶点A的坐标为， 那么上边缘抛物线设为。 又因为点在该抛物线上，将，代入可得： 解得： 所以上边缘抛物线的函数解析式为。 （2）解：已知行人距喷水口水平距离为5.5米，即x = 5.5， 将其代入上边缘抛物线的函数解析式中， 可得：= 因为，说明在行人所在位置，水的高度大于0， 所以该行人会被洒水车淋到水。 7．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）①根据石块在空中飞行的最大高度为米，可得出，再将代入，求出抛物线的函数解析式； ②依据题意，由墙高为6米，则令，得到关于的一元二次方程求解，再结合墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，可判断得解； （2）把，代解析式求出，把，代入解析式求出，得出的取值范围． 【详解】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 8．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）【项目式学习】 项目主题：无人机灌溉研究． 项目背景：无人机灌溉能高效精准供水，减少浪费，助力农业现代化． 驱动问题：如何优化无人机灌溉方案，实现更高效、精准的灌溉． 建立模型：如图1，设无人机控制中心为点，两个喷水口分别为点，且点在同一条水平直线上，．如图2，以为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷水口点和点到点的距离相等，每个喷水口喷出的水流在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为，． （1）求点所在抛物线的函数表达式． 问题解决： （2）无人机控制中心距地面的初始高度为，为了精准灌溉，需要调整无人机的高度到合适位置，如图3，要使宽度为的田埂（高度忽略不计）恰好不被喷洒到水，求无人机应下降的高度． （3）如图4，在直线上再增加2个喷水口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，求此时喷洒水覆盖区域宽度的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，包括根据点坐标求二次函数表达式、利用函数性质解决高度和距离问题；解题关键是通过题干建立的平面直角坐标系，准确找出各点坐标并代入二次函数表达式进行求解． （1）首先根据喷水口A、B到O距离相等且长度，确定A点在x轴上的坐标；由抛物线与y轴交点特征确定C点坐标．设抛物线的函数表达式为，将代入求解即可； （2）以无人机控制中心为原点建立平面直角坐标系，且明确喷水抛物线函数表达式不变． 由于田埂宽度为且关于y轴对称，设点的坐标为． 将其代入已知抛物线表达式，求出该点纵坐标，此纵坐标即为调整高度时无人机距地面高度， 用无人机初始高度减去调整高度时距地面高度，得到无人机应下降的高度． （3）根据已知条件求出M的坐标．设所在抛物线表达式为，根据无人机相对高度对应的点坐标代入，求出表达式．求出与x轴交点的坐标，由于覆盖区域关于y轴对称，用求出的横坐标距离乘以2，得到喷洒水覆盖区域宽度． 【详解】解：（1），点与点到点的距离相等， ， 点的坐标为． ， 点的坐标为． 设点所在抛物线的函数表达式为， 将点代入得． 解得． 点所在抛物线的函数表达式为． （2）以无人机控制中心所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系， 喷药口喷出的水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变． ，由题可知点和点关于轴对称， 可以设点的坐标为． 将点代入， 得． 点的坐标为． 此时无人机喷水口距离地面的高度为． ． 答∶ 无人机应该下降的高度为． （3） ∵，点坐标为， ∴点坐标为 ． ∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同， ∴所在抛物线表达式为， ∵无人机高度为， ∴点P的纵坐标为， 把代入中，得 ． 解得， ． ， 关于y轴对称， ， 长． 题型三、图形及图形运动问题 9．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，在足够大的空地上有一段长为40米的旧墙，某人想利用旧墙和木栏围成一个矩形花园，其中，已知矩形花园的一边靠墙，另三边一共用了50米木栏． (1)若所围成的矩形花园的面积为92平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形花园面积的最大值． 【答案】(1)4米 (2)平方米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数关系式，是解题的关键： （1）设，则：，所围成的矩形花园的面积为，根据面积公式列出函数关系式，令，求出的长即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设，所围成的矩形花园的面积为，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 解得：，（舍去）， ∴（米）； 答：所利用旧墙的长为米； （2）由（1）可知：， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，的值最大为：， 答：矩形花园面积的最大值为平方米． 10．（2025·天津宝坻·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答； （2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解； ②分当和时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 四边形正方形， ． ，； （2）解：①，，， ，． 由平移知，四边形是正方形，得，． 四边形是矩形． ，，． ， ，． ， ． ． 当时，正方形与重合部分为五边形， ． ②当时， 由题意得， 解得或（舍去）； 当时，点与点N重合， 此时， ∴， ∴， 由题意得， 解得或（舍去）； 综上，的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，二次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键． 11．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）综合与实践： 利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子 四边形是边长为的正方形硬纸片，“创新小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②，图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计，折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察，操作，验证并思考完成该小组提出的问题． 设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）． （1）设，________，（用含a的代数式表示）；若底面积为，则MG的长为________． 设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设． （2）请直接写出线段的长________（用含x的代数式表示）； （3）求长方体盒子的侧面积的最大值． 【答案】（1），6；（2）；（3）． 【分析】（1）设，则，．根据题意可列出关于ａ的等式，解出ａ的值，再根据，确定a的范围，即可确定a的值，即得； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得，即得； （3）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出，再根据矩形的面积公式求出，最后根据求解即可 【详解】解：（1）设， 则，． ∵底面积为， ∴． 解得：，． ∵， ∴， ∴，． 故答案为：，6． （2）∵将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （3）由题意可知为等腰直角三角形，长方体盒子的侧面为4个全等的矩形， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴当时，S有最大值450． 答：长方体盒子的侧面积的最大值为． 【点睛】本题考查折纸长方体．熟练掌握折纸性质，矩形和正方形性质，长方体展开图性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的实际应用，是解题关键． 12．（2024·河北保定·二模）如图1，一块矩形电子屏中，G为上一感应点，，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以为边的正方形区域．因发生故障，只有光带和正常工作，，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图像，其中点Q表示P点运动到B点时情形． (1)时，照亮的区域面积______，并求a值． (2)当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数． ①求出点P在线段上运动时S关于t的函数解析式； ②点P从开始运动到停止的整个过程中，直接写出t为何值时，照亮区域的面积S为17． 【答案】(1)； (2)①；②的值为、或时，照亮区域的面积为17 【分析】（1）先得出，利用勾股定理求出的长即可得出，根据及图像得出点运动到点时，理由勾股定理求出即可得值； （2）①如图连接，根据垂线段最短得出点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小时，利用证明，得出可求出此时的值，根据点纵坐标可得，利用勾股定理求出的长，根据，及时的值，利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；②分点在和上两种情况，分别求出值即可． 【详解】（1）解：∵，点的速度为每秒个单位， ∴， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 由图2可知，时， ∵， ∴时，点运动到点， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图，连接， ∵点经过点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小， ∴此时，， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴时，， 由图2可知，点运动到点时，， ∴， ∴，， ∴时，， 设， ∴， 解得：， ∴． ②当点在上时，， ∴， 解得：，（负值舍去） 当点在上时，， 解得：，， 综上所述：的值为、或时，照亮区域的面积为17． 【点睛】本题考查动点问题的函数图像、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质及待定系数法求二次函数解析式，正确提取函数图像中的信息并分类讨论是解题关键． 一、单选题 1．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 2．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴小球从抛出到落地需要，正确，故①符合题意； ，由于， ∴当时，小球运动的高度是20m，不可能为，故②错误，不符合题意； 当时，，当时，， 那么小球运动时的高度等于运动时的高度，故③错误，不符合题意， ∴正确的个数为1， 故选：B． 3．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①； 设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元， 每增加10元，空闲房间数增加1个， 故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确； 结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得， 解得或． 当时，对应定价为元（超过360元上限）， ∴，故②结论错误； 结论③：设利润为w，根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵ ∴ ∴当， ∴最大利润为：元，故③结论错误． 综上，仅结论①正确，正确个数为1． 选B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 5．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 6．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是 ． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 【答案】①②④ 【分析】由题意可知，，，，，利用待定系数法求出玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式，可判断①结论；令直线与轴的交点为，证明是等腰直角三角形，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，可判断②结论；联立直线和抛物线，求出，可判断③④结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， 设玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为， ，解得：， 玻璃水杯轮轮廓所在抛物线的解析式为，①结论正确； 令直线与轴的交点为， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为，②结论正确； 联立，解得：或（舍）， ， 点P到杯口的距离为，③结论错误； 点P到点D的距离为，③结论正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了坐标与图形，二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程等，勾股定理知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 三、解答题 7．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)①；②当时，利润最大，最大值为12250元 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解； ②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 由题意可得， 解得，（舍去） ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①根据题意得： ． ②根据题意得： ． ∴当元时，w取最大值12250元． 8．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题是二次函数与几何综合题，考查了动点函数图象，二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握全二次函数的性质是解题的关键． （1）根据时，从点正好运动到点，即可求出点运动的速度，根据时，求出的长； （2）分别求出当时及当时，函数的关系式，并补全图象即可； （2）分2种情况及，结合，利用图象法求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， ， 根据题意得， ， ， ； （2）当时，， ， 当时，， ， ， 补全图象如图所示：    （3）在二次函数中，当时， ， 解得，，（舍去）， 在一次函数中，当时， ， 解得， 在时，的面积为的值不小于； 9．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼如图2，发石车发射点点离地面高米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，高为米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线母以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点，C），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②能飞越 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①利用待定系数求函数解析式即可； ②将代入，求出x值即可求解． （2）求出过，和，的抛物线的解析式，即可得到a的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意， 抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ， 把代入得：， 解得， 所求抛物线的解析式为； 墙高为米， 令，则， 解得舍去或， 又墙宽为米，点与点的水平距离为米，且， 石块能飞越防御墙； （2）解：由题意，得， 把，代入得：， 解得； 把，代入解析式的：， 解得：． 若要使石块恰好落在防御墙顶部上包括端点，，则． 10．如图①，某市规划了一座单孔拱桥，其桥梁主体是抛物线．设计者测得水面宽为，为方便货轮通行，桥面离水面距离需为，已知顶点与桥面距离为顶点与水面距离的时，拱桥结构最稳定．如图②，以拱架与水面接触点的连线为轴，以拱架最高点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，求拱架中心右侧第三根拱索的长度； (3)在（2）条件下，如图③，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，夏季最热时，拱架的顶点会上升，拱索会随之伸长，其他季节不变，求夏季最热时，拱架中心右侧第三根拱索会伸长多少厘米． 【答案】(1) (2)拱索长度为 (3)右侧第三根拱索会伸长 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键． （1）由题意设抛物线解析式为，求出，然后代入求解即可； （2）首先由求出，然后将代入解析式求解即可； （3）设在夏季最热时拱架形状对应抛物线解析式为，然后将代入得到①，由（1）知：②，相减得到，然后将代入两个抛物线解析式表示出，，进而求解即可． 【详解】（1）由题意设抛物线解析式为 由， 解得 将点代入解析式得： 故抛物线解析式为． （2）由题意，解得，， 得，即每根拱索间水平距离为． ∴拱架中心右侧第三根拱索对应的横坐标为 代入解析式解得 故该拱索长度为． （3）设在夏季最热时拱架形状对应抛物线解析式为 由题意此时函数顶点为，代入解析式得：① 由（1）知：② 得： 由（2）知：将分别代入两个抛物线解析式得： ， 相减得 故右侧第三根拱索会伸长． 11．（2025·山西长治·二模）综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（其中为顶点坐标）设出抛物线解析式，然后因为点在抛物线上，将点A的坐标代入所设解析式，就可以求出a的值，进而确定y与x之间的函数关系式． （2）要确定射灯数量，需先求出一盏灯的光照区域水平跨度，令，代入（1）中求出的抛物线函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程得到两个x的值，两值之差就是一盏灯的光照区域水平跨度，再用墙面总长度除以一盏灯的光照区域水平跨度，就可得到至少需要的射灯数量． （3）令，代入抛物线函数关系式求出对应的x的值，得到光照区域在高度为处的水平位置，设矩形照片一边长与x有关，进而表示出矩形另一边的长度，从而得到矩形周长关于t的函数表达式，最后根据二次函数的性质，求出该函数的最大值，即矩形照片的最大周长． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 因为点在抛物线上，把代入， 可得：， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）解：因为抛物线关于对称轴对称， 且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等， 令，则， 解得， 解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为， 墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）． （3）解：令，则， ， 解得， 设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x， 则另一边长为， 矩形周长， 由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则， 此时，矩形另一边， 矩形周长， 对于二次函数，其中，， 根据二次函数顶点公式， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的射灯照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键． 12．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． （1）以水池中心为原点，水平向右方向为轴正半轴，喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． （2）若将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线的最高高度与水平宽度的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口离水面竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． （3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】（1）（2）m；（3），所设计的喷泉比较美观 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断t的取值范围，是解决本题的难点． （1）设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； （2）由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； （3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为，当时，，解得， 求得接近黄金比0.618，再求解即可． 【详解】解：（1）由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将（0，2.25）代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 （2）将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为 （3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $