微专题03 二次函数的应用问题六大题型（专项训练）数学北师大版九年级下册

微专题03 二次函数的应用问题六大题型 题型一 二次函数的应用之增长率、销售问题 一、解题方法总结（2点） 1. 增长率问题：核心模型为y=a(1± x)n（a为初始量，x为平均增长率/降低率，n为次数），根据“初始量×(1±变化率)ⁿ=最终量”列方程，求解后舍去负根。 2. 销售问题：依据“总利润=(售价-成本)×销量”，设涨价/降价为x，转化为二次函数y=ax²+bx+c，通过配方法或顶点公式求利润最值。 二、解题技巧总结（2点） 1. 简化变量设定：增长率直接设“x”，销售问题设“涨/降金额x”，无初始量时将基数看作1，减少复杂计算。 2. 结合实际验根：变量需符合实际（增长率为正、销量非负），顶点横坐标超出取值范围时，取端点值为最优解。 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）今年某超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，月份销售件，第月和第月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，月份的销售量达到件． (1)求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率； (2)经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每降价元，月销售量增加件，当商品每件降价多少元时，商场月可以达到最大利润？最大利润是多少元？ 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，六月份销售件、七、八月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到件， (1)求七、八这两个月销售量的月平均增长百分率， (2)经市场预测，九月份的销售量将与八月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销售量增加件，当商品降价多少元时，商场九月份获利最大？ 3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件． (1)求该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式？ (2)每件售价定为多少元时，才能使利润最大？其最大利润是多少？ 4．（25-26九年级上·辽宁·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）根据以下素材，完成探索任务： 如何制定商店的销售定价方案 素材1 商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：           A包装 B包装 售价（元/件） 112 108 日销售量（件） 40 80         素材2 为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元． 素材3 销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件． 任务1 探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件． 任务2 探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价． 任务3 确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可） 题型二 二次函数的应用之拱桥问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立坐标系：以拱桥顶点为原点（或桥面中点为原点），竖直方向为y轴、水平方向为x轴，将已知点坐标代入二次函数y=ax²+bx+c（或顶点式y=ax²），求出函数解析式。 2. 求解实际问题：根据所求问题（如求高度、跨度），代入对应x值求y值，或代入y值求x值，结合坐标系含义转化为实际答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 巧选原点简化计算：优先选顶点为原点，使解析式为y=ax²，减少未知数，降低运算难度。 2. 精准转化坐标：将实际长度（如跨度、拱高）准确转化为坐标值，注意单位统一，避免因坐标错误导致结果偏差。 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 (1)求的值； (2)求支柱的高． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？ 3．（25-26九年级上·北京·期中）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 4．（25-26九年级上·山东日照·期中）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2.准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1.大门形状为矩形（矩形）； 2.底部跨度（的长）为10m； 3.立柱的长为2m，且，垂足为，． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．借助二次函数的相关知识，来解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）学校准备在大连理工大学西北门的彩虹桥上悬挂宣传牌，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在彩虹桥上悬挂宣传牌 活动准备 1．到大学基建处查阅彩虹桥框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是位于大连理工大学西北门，在道路上方搭建的一座抛物线型彩虹桥．道路的宽为30，桥拱最高处距离路面的距离为9．为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩和进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱的对称轴对称．桥墩之间的距离．在两个桥墩上搭一个限高横杆． 设计方案 如图2，准备在桥拱下方，横杆上方安装矩形宣传牌，且在上，矩形宣传牌关于桥拱的对称轴对称． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的解析式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决相关问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)若学校要求矩形宣传牌的面积为18，且，请你通过计算，判断能否安装上符合要求的宣传牌． 题型三 二次函数的应用之投球问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立函数模型：以抛出点或地面为原点，水平为x轴、竖直为y轴，设二次函数为y=ax²+bx+c（或顶点式），代入已知点（如抛出点、最高点、落地点）坐标，求出解析式。 2. 解决核心问题：求最大高度用顶点纵坐标，求飞行时间/水平距离代入y=0解方程，求特定高度对应的水平位置代入y值求x值。 二、解题技巧总结（2点） 1. 优先用顶点式：已知最高点时，设顶点式y=a(x-h)²+k，快速求出a值，简化计算。 2. 注意实际意义：舍去负的x值（时间/水平距离非负），统一单位，避免因坐标含义混淆出错。 1．（江西省宜春市2025-2026学年上学期九年级期中联考数学测试卷）小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点、在x轴上，球网与轴的水平距离，，击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系式 ；若选择扣球，羽毛球的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足一次函数关系式．   (1)求点的坐标和的值． (2)若球网的高度为，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网?如果能过网，再计算并判断球的落地点能不能在近网区内． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．    (1)抛物线的顶点坐标为__________； (2)求出抛物线的解析式； (3)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 3．（25-26九年级上·北京·月考）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 4．（25-26九年级上·北京·期中）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (2)求h关于d的函数表达式； (3)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）小珠为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球（看成点）以某种特定的角度和初速度从轴上的点处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． (1)点的坐标为________；抛物线最高点的坐标为________； (2)若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的， ①求乒乓球与斜面接触点的坐标； ②求抛物线的解析式． (3)小海发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”则平移的最短路程为________； (4)在轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽0.5，高是0.4．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内时（不考虑箱壁厚度），求可竖直摆放的回收箱的个数． 题型四 二次函数的应用之喷水问题 一、解题方法总结（2点） 1. 构建函数解析式：以喷水起点或地面中点为原点，水平为x轴、竖直为y轴，设二次函数为y=ax²+bx+c（或顶点式），代入已知点（如起点、最高点、落地点）坐标，求解解析式。 2. 解决实际问题：求最大喷高用顶点纵坐标，求喷水最远距离代入y=0解方程，求特定高度的喷水宽度则代入y值求x值，计算两点间距离。 二、解题技巧总结（2点） 1. 巧选坐标系简化计算：优先以喷水起点为原点，使c=0，解析式简化为y=ax²+bx，减少未知数。 2. 聚焦关键数据：重点提取“起点高度、最大高度、落地点距离”等核心条件，忽略无关信息，避免干扰；结果需统一单位。 1．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． (1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地． (2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． 2．（25-26九年级上·陕西延安·期中）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．    (1)求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 3．（25-26九年级上·天津西青·期中）如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求水管的高度； (2)若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 4．（25-26九年级上·江西上饶·阶段练习）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，与轴交于点，点距喷水口的水平距离为米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)下边缘抛物线与轴的交点的坐标为______； (3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离． 【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比． 如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果． 题型五 二次函数的应用之图形问题 一、解题方法总结（2点） 1. 构建函数解析式：设图形中关键边长、高或平移距离为x，结合面积、周长、体积等公式，用x表示所求量（如面积、长度），转化为二次函数y=ax²+bx+c。 2. 求解实际问题：求最值（最大/最小面积）用顶点坐标，求特定值（面积相等、边长相等）代入函数列方程，结合图形边长非负取舍答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 数形结合分析：画出图形标注已知条件，直观梳理线段、面积关系，避免抽象思维偏差，快速找到等量关系。 2. 限定变量范围：根据图形边长、长度非负，确定自变量x的取值范围，顶点若超出范围，取端点值作为实际最优解。 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求的值． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，．是上任意一点(点与点，不重合)，的顶点，分别在，上．设，的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)上述函数有最大或最小值吗？若有，求当取何值时，有最大或最小值；若没有，请说明理由． 3．（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含a的式子表示花圃的面积． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． (3)已知某园林公司修建通道的造价为80元，花圃的造价为100元，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，则通道宽为多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 题型六 二次函数的应用之图形运动问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立函数关系：设运动时间为t，用t表示图形中线段长度（如边长、高），结合图形面积、周长等公式，转化为二次函数y=ax²+bx+c。 2. 求解核心问题：求最值（最大/最小面积）用顶点坐标，求特定值（面积相等、线段相等）代入函数列方程，结合运动范围取舍答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 动态转化静态：截取运动中关键时刻（起点、终点、顶点对应时刻），画出静态图形，直观分析线段关系，减少思维难度。 2. 明确变量范围：根据图形边长非负、运动时间非负，确定t的取值范围，避免因忽略范围导致错解。 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在边上时，求的值； (2)求与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 3．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，，动点P，Q同时从点出发，分别沿射线和射线的方向均以的速度匀速运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形与重叠部分的面积为．（注：无重叠时，重叠部分面积看作） (1)当点落在线段上时，求的值． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 4．（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 5．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 二次函数的应用问题六大题型 题型一 二次函数的应用之增长率、销售问题 一、解题方法总结（2点） 1. 增长率问题：核心模型为y=a(1± x)n（a为初始量，x为平均增长率/降低率，n为次数），根据“初始量×(1±变化率)ⁿ=最终量”列方程，求解后舍去负根。 2. 销售问题：依据“总利润=(售价-成本)×销量”，设涨价/降价为x，转化为二次函数y=ax²+bx+c，通过配方法或顶点公式求利润最值。 二、解题技巧总结（2点） 1. 简化变量设定：增长率直接设“x”，销售问题设“涨/降金额x”，无初始量时将基数看作1，减少复杂计算。 2. 结合实际验根：变量需符合实际（增长率为正、销量非负），顶点横坐标超出取值范围时，取端点值为最优解。 1．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）今年某超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，月份销售件，第月和第月这两个月该商品十分畅销，销售量持续上涨，月份的销售量达到件． (1)求第10月和第11月这两个月销售量的月平均增长百分率； (2)经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，若该商品每降价元，月销售量增加件，当商品每件降价多少元时，商场月可以达到最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每件商品降价元时，商场月份可以达到最大利润，最大利润为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用； （1）设第十，十一这两月销售量的月平均长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元．根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：设第十，十一这两月销售量的月平均长率为． 根据题意，得，    化简，得， 解得，（不合题意，舍去）．     答：第十，十一这两月销售量的月平均长率为． （2）设该商品每件减价m元，商场第12月份的利润为w元． 由题意得，，     即，     ∴当时，w有最大值，． 答：当每件商品降价3元时，商场12月份可以达到最大利润， 最大利润为8820元． 2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为每件元时，六月份销售件、七、八月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，八月份的销售量达到件， (1)求七、八这两个月销售量的月平均增长百分率， (2)经市场预测，九月份的销售量将与八月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销售量增加件，当商品降价多少元时，商场九月份获利最大？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，和二次函数的实际应用，解题的关键是根据销量、利润、进价、售价之间的关系正确列出一元二次方程和函数解析式． （1）设平均增长率为x，根据六月份、八月份销量列一元二次方程，即可求解； （2）设商品降价y元，九月份利润为，用含y的代数式表示出九月份销量及单件利润，以及根据二次函数的顶点式求最值，即可求解． 【详解】（1）设平均增长率为x， 由题意可得， 解得， 其中不合题意舍去， 平均增长率为． （2）设当商品降价y元，九月份利润为， 则售价为，每件的利润为， 销量为， ， 当时，最大， 当商品降价3元时，商场九月份获利最大． 3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件． (1)求该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式？ (2)每件售价定为多少元时，才能使利润最大？其最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)商品销售单价定为14元时，利润最大，最大为360元 【分析】本题考查列函数关系式和二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据“每件的销售价每提高1元其销售量就减少10件”即可解答； （2）设每天总利润为元，求出w关于x的函数表达式，利用二次函数的性质即可求最大利润． 【详解】（1）解：由题意，， 与的函数关系式为； （2）解：由题意，设每天总利润为元， ，此图象开口向下， 当时，有最大值为360元， 答：<>商品销售单价定为14元时，利润最大，最大为360元． 4．（25-26九年级上·辽宁·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元 (2)①，②当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是69100 【分析】本题主要考查了二次函数的最大利润问题、一次函数的解析式等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，据此即可解答． （2）①运用待定系数法求解销量y与销售单价x之间的函数关系式； ②经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，w有最大值，再代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元． （2）解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为， 则，解得：． ∴所求关系式为． ②成本应基于生产量（即销量y），即，其中， 设利润， ． ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为69100． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）根据以下素材，完成探索任务： 如何制定商店的销售定价方案 素材1 商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：           A包装 B包装 售价（元/件） 112 108 日销售量（件） 40 80         素材2 为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元． 素材3 销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件． 任务1 探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件． 任务2 探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价． 任务3 确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可） 【答案】任务1：，；任务2：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；任务3：A包装的售价为108元，B包装的售价为117元 【分析】本题考查二次函数的应用． 任务1.根据A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．可得A、B两种商品在原来销售量的基础上得到的新的销售量； 任务2.总利润＝A包装商品的利润＋B包装商品的利润，设总利润为w，A包装商品降价x元，得到相关的二次函数，求得最大利润即可； 任务3.设设总利润为w，A包装商品降价x元，根据总销售量为110件得到B包装商品的销售量，结合任务1可得B包装商品需提价多少，根据函数值超过1430可得x的取值范围，写出一种方案即可． 【详解】解：任务1. ∵A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，原来的销售量是40件， ∴每件A包装商品售价降低x元（x为整数），A包装商品每日的总销售量为件； ∵B包装商品售价每提高1元就少卖出2件，原来的销售量是80件， ∴每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件． 故答案为：，； 任务2. 设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件． ∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价x元． ∴ ； ∴时，利润最大． ∴（元），（元）． 答：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元； 任务3.由素材3可得销售量减少10件． 设总利润为w元，A包装商品卖出件，则B包装商品卖出件． ∵每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为件． ∴． ∴． ∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价元． ∴ ∴ 整理得： 解得： ∴当时，销售总利润超过1430元． ∴A包装的售价为元，B包装的售价为元，一天的销售总利润超过1430元． 题型二 二次函数的应用之拱桥问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立坐标系：以拱桥顶点为原点（或桥面中点为原点），竖直方向为y轴、水平方向为x轴，将已知点坐标代入二次函数y=ax²+bx+c（或顶点式y=ax²），求出函数解析式。 2. 求解实际问题：根据所求问题（如求高度、跨度），代入对应x值求y值，或代入y值求x值，结合坐标系含义转化为实际答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 巧选原点简化计算：优先选顶点为原点，使解析式为y=ax²，减少未知数，降低运算难度。 2. 精准转化坐标：将实际长度（如跨度、拱高）准确转化为坐标值，注意单位统一，避免因坐标错误导致结果偏差。 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）图①是一座拱桥的示意图，相邻两支柱间的距离为米（即米），拱桥顶点到桥面的距离米，将其置于如图②所示的平面直角坐标系中，抛物线的表达式为 (1)求的值； (2)求支柱的高． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是特定点坐标的确定； （1）由已知可得点的坐标，代入解析式即可求出的值； （2）由已知可得点的横坐标，代入解析式可得其纵坐标，因此的高即可求得． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：， ∵点在抛物线上， ∴， 即：； （2）由（1）可知， ∵， ∴点的横坐标是 当时，， 当时，，即， ∵， ∴，即：点的纵坐标是， ∴． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)该隧道内设双行道，中间隔离带，一辆货车高，宽，能否安全通过，为什么？ 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立二次函数模型并利用其性质求解． （1）根据抛物线的顶点坐标设出顶点式，再代入已知点坐标求出表达式； （2）根据货车的宽度和隔离带宽度确定横坐标，代入抛物线表达式求出纵坐标，与货车高度比较判断能否通过． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为 设抛物线的表达式为， 把代入表达式得， 即， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：中间隔离带，货车宽， 货车右侧到轴的距离为，把代入得 ， ， 货车能安全通过． 3．（25-26九年级上·北京·期中）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 【答案】(1)0.88 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键． （1）根据表格中时y的取值即可求解高度； （2）由待定系数法求解即可； （3）先令，求解x的值，即可得在距点水平距离的地点，由此可求． 【详解】（1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）解：由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）解：令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山东日照·期中）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2.准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1.大门形状为矩形（矩形）； 2.底部跨度（的长）为10m； 3.立柱的长为2m，且，垂足为，． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．借助二次函数的相关知识，来解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为2m的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】(1) (2)故这根材料的长度够用 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）求出A点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的纵坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 由条件可得， ∴， 由条件可得：， ， ； （2）解：， ∴，关于y轴对称， 当时，， , ， 故这根材料的长度够用． 5．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）学校准备在大连理工大学西北门的彩虹桥上悬挂宣传牌，为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 在彩虹桥上悬挂宣传牌 活动准备 1．到大学基建处查阅彩虹桥框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是位于大连理工大学西北门，在道路上方搭建的一座抛物线型彩虹桥．道路的宽为30，桥拱最高处距离路面的距离为9．为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩和进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱的对称轴对称．桥墩之间的距离．在两个桥墩上搭一个限高横杆． 设计方案 如图2，准备在桥拱下方，横杆上方安装矩形宣传牌，且在上，矩形宣传牌关于桥拱的对称轴对称． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图3所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的解析式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决相关问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)若学校要求矩形宣传牌的面积为18，且，请你通过计算，判断能否安装上符合要求的宣传牌． 【答案】(1) (2)能，计算见详解 【分析】本题考查二次函数解应用题，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法求抛物线解析式即可得到答案； （2）由（1）中求得的函数解析式，根据题意求出广告牌长与宽，再比较点是否在抛物线型彩虹桥下方，进而确定答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 道路的宽为30， ， 则，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知， 桥墩之间的距离， 、， 则当时，；当时，； 、， ， 设，则，， 矩形宣传牌的面积为18， ，则， 解得或（舍去）， 即，， 则点的横坐标为， 当时，， ，， 到轴的距离， 故能安装上符合要求的宣传牌． 题型三 二次函数的应用之投球问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立函数模型：以抛出点或地面为原点，水平为x轴、竖直为y轴，设二次函数为y=ax²+bx+c（或顶点式），代入已知点（如抛出点、最高点、落地点）坐标，求出解析式。 2. 解决核心问题：求最大高度用顶点纵坐标，求飞行时间/水平距离代入y=0解方程，求特定高度对应的水平位置代入y值求x值。 二、解题技巧总结（2点） 1. 优先用顶点式：已知最高点时，设顶点式y=a(x-h)²+k，快速求出a值，简化计算。 2. 注意实际意义：舍去负的x值（时间/水平距离非负），统一单位，避免因坐标含义混淆出错。 1．（江西省宜春市2025-2026学年上学期九年级期中联考数学测试卷）小明同学运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点、在x轴上，球网与轴的水平距离，，击球点在轴上．若选择吊球，羽毛球（看作一点）的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足二次函数关系式 ；若选择扣球，羽毛球的飞行高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足一次函数关系式．   (1)求点的坐标和的值． (2)若球网的高度为，请通过计算说明上面两种击球方式是否能使球过网?如果能过网，再计算并判断球的落地点能不能在近网区内． 【答案】(1)点的坐标为； (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，正确求出函数的解析式是解此题的关键． （1）在中，当时，，即可得出点的坐标，再将点的坐标代入二次函数关系式，计算即可得解； （2）将代入可得，故扣球不能过网；由（1）可得，即二次函数的关系式为，将代入二次函数的关系式可得，故吊球能过网；在中，令，则，解得或（不符合题意，舍去），估算出，即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴点的坐标为， 将代入二次函数关系式可得：， 解得：； （2）解：将代入可得：，故扣球不能过网； 由（1）可得，即二次函数的关系式为， 将代入二次函数的关系式可得，故吊球能过网； 在中，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴落地点能在近网区内． 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．    (1)抛物线的顶点坐标为__________； (2)求出抛物线的解析式； (3)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1) (2) (3)能投中 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据球出手后水平距离为时到达最大高度即可求出顶点的坐标； （2）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （3）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：根据题意，球出手点A的坐标为：， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （3）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 3．（25-26九年级上·北京·月考）佩奇和朋友们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形．佩奇从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式． (2)通过计算判断佩奇此次射门能否射入球门内． (3)点为上一点，且，若射门路线的形状和大小、最大高度均保持不变，当佩奇带球向正后方移动再射门，足球恰好经过区域（含点和），直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，平移规律： （1）先根据题意建立平面直角坐标系，先得到抛物线的顶点坐标为，设设抛物线，把点代入，即可作答． （2）依题意，当时，，即可作答． （3）依题意，设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示，以为原点，为轴，建立如图所示直角坐标系， ， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线，把点代入得：，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：依题意，当时，， 球不能射进球门． （3）解：设佩奇带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得：， 解得（舍去）或， 把点代入得：， 解得：（舍去）或， 即． 4．（25-26九年级上·北京·期中）如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米．获得如下数据： 水平距离d/米 0 2 4 6 8 垂直高度h/米 4 8 8    请解决以下问题： (1)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米； (2)求h关于d的函数表达式； (3)运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作． 【答案】(1) (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，掌握函数图象的画法、二次函数的性质是本题解题的关键． （1）根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值； （2）用待定系数法求解二次函数解析式即可； （3）令函数值为0，求出值，然后作差看是否符合定义即可． 【详解】（1）解：由得， 抛物线对称轴为直线， ∴当时，高度最大，最大值为， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，抛物线的顶点坐标为， ∴假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴； （3）解：令，即， 解得， 令，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴该运动员能完成空中动作． 5．（25-26九年级上·广东珠海·期中）小珠为了研究抛出的乒乓球落在斜面上反弹后的运动情况，用绘图软件在如图所示的平面直角坐标系中进行模拟演示．当乒乓球（看成点）以某种特定的角度和初速度从轴上的点处抛出后，乒乓球的运动路线是抛物线：的一部分．有一斜面，乒乓球沿落到斜面上经反弹后，继续沿抛物线运动． (1)点的坐标为________；抛物线最高点的坐标为________； (2)若斜面所在直线的解析式为，抛物线与的开口大小和方向均不变，但最大高度是的， ①求乒乓球与斜面接触点的坐标； ②求抛物线的解析式． (3)小海发现：“（2）中的抛物线可以通过平移得到．”则平移的最短路程为________； (4)在轴上的线段处竖直向上摆放着若干个无盖的长方体回收箱，已知，且每个回收箱的宽0.5，高是0.4．当（2）中沿抛物线下落的乒乓球能落入回收箱内时（不考虑箱壁厚度），求可竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)，； (2)①；② (3) (4)6个或7个． 【分析】（1）由点P在抛物线上，且在y轴上，得到当时，，求得点P的坐标为，得到抛物线最高点的坐标为； （2）①解方程得到，，求得，当时，，于是得到乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为，设抛物线的解析式为，把，代入得到，于是得到抛物线的解析式为； （3）根据的顶点为，的顶点为，得到可将抛物线向下平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，于是得到平移的最短路程为； （4）由，，得到，设竖直摆放的回收箱有m个，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点P在抛物线上，且在y轴上， 当时，， 即点P的坐标为， 抛物线的解析式为：， 抛物线最高点的坐标为； 故答案为：，； （2）①由题意，令， 整理得， 解得，， ， ， 当时，， 乒乓球与斜面接触点的坐标为； ②由题意得，抛物线的最大高度为， 设抛物线的解析式为， 把，代入得， 解得，， ， ， 抛物线的解析式为； （3）的顶点为，的顶点为， 可将抛物线向下平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度得到， 平移的最短路程为； 故答案为： （4），， ， 对于， 当时，， 当时，， 设竖直摆放的回收箱有m个， ， ， 答：竖直摆放的回收箱的个数为6个或7个． 题型四 二次函数的应用之喷水问题 一、解题方法总结（2点） 1. 构建函数解析式：以喷水起点或地面中点为原点，水平为x轴、竖直为y轴，设二次函数为y=ax²+bx+c（或顶点式），代入已知点（如起点、最高点、落地点）坐标，求解解析式。 2. 解决实际问题：求最大喷高用顶点纵坐标，求喷水最远距离代入y=0解方程，求特定高度的喷水宽度则代入y值求x值，计算两点间距离。 二、解题技巧总结（2点） 1. 巧选坐标系简化计算：优先以喷水起点为原点，使c=0，解析式简化为y=ax²+bx，减少未知数。 2. 聚焦关键数据：重点提取“起点高度、最大高度、落地点距离”等核心条件，忽略无关信息，避免干扰；结果需统一单位。 1．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线．图是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为米时，达到最大高度米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为米． (1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地． (2)记水流的高度为，斜坡的高度为，求的最大值． 【答案】(1)能浇灌到小树后面的草坪 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的顶点式、解析式的求解以及二次函数最值的求法是解题的关键． （1）先根据抛物线顶点式设出表达式，代入已知点求出解析式，再代入求出水流高度，与小树高度比较判断能否浇灌． （2）先求出斜坡高度的表达式，再求出的表达式，根据二次函数性质求最大值． 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点为，设水流形成的抛物线为， 将点代入可得 解得， ∴抛物线为， 当时， ， 答：能浇灌到小树后面的草坪； （2）解：由题可知点坐标为，则直线为， ， ， 当时，的最大值为； 答：的最大值为； 2．（25-26九年级上·陕西延安·期中）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．    (1)求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； (2)若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 【答案】(1)； (2)有触电危险；理由见解析． 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）根据消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为米，可知顶点的坐标为，根据米，可知点的坐标为，设抛物线的解析式为，用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）求出当时消防喷淋头的高度是米，超过了吊灯的高度，所以有触电的危险． 【详解】（1）解：由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为 整理可得：； （2）解：此吊灯在消防喷淋头喷洒时有触电危险； 理由如下： 将代入， 可得：， ， 消防喷淋头喷洒时有触电危险． 3．（25-26九年级上·天津西青·期中）如图所示是一个音乐喷泉的示意图，在点O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱为抛物线（记为抛物线M，N），且形状相同，喷出的抛物线形水柱在与水管的水平距离为处达到最高，最大高度为，水柱落地处与水管的水平距离为，以水平地面为x轴，水管所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求水管的高度； (2)若在第一象限竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端E恰好碰到水柱． ①求景观射灯与水管的水平距离； ②现计划降低水管高度，使水柱落地处恰好在点F处，已知水管下降后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，则水管要降低多少米？ 【答案】(1) (2)①；②水管要降低 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）根据题意可得顶点N的坐标和点B的坐标，据此把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求出对应的函数关系式，并求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案； （2）①根据题意可得点E的纵坐标为，根据（1）所求解析式求出点E的横坐标即可得到答案；②设降低后的解析式，利用待定系数法求出降低后的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设经过A、N、B三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、N、B三点的抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， 答：水管的高度为； （2）解：①在中，当时，， 解得或， ∴， ∴， ∴， 答：景观射灯与水管的水平距离为； ②设下降后的抛物线解析式为， ∵下降后的抛物线经过， ∴， ∴， ∵， ∴水管要降低， 答：水管要降低． 4．（25-26九年级上·江西上饶·阶段练习）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为米，高出喷水口米，与轴交于点，点距喷水口的水平距离为米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)下边缘抛物线与轴的交点的坐标为______； (3)若米，则灌溉车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移米得到的，可得点的坐标． （3）根据米，米，米，可求得点的坐标为，当时，求出的值，再与比较，从而得出答案． 【详解】（1）解： ∴抛物线顶点为， 设其解析式为： 喷水口H的坐标为，代入上式得： ， 解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为． （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得(舍去)， ∴点的坐标为， ∴下边缘抛物线与x轴的交点B的坐标为． （3）解：能，理由如下： ∵米，米，米， ∴点的坐标为， 当时，， 当时，随的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 5．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到喷水管的最大水平距离． 【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比． 如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设计喷泉的是否达到美观效果． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，；喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米（2）优化后抛物线的函数表达式为，该小组所设计喷泉的达到美观效果 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点式，待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解题意，掌握数形结合的数学思想． （1）假设抛物线的解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可，然后根据函数解析式的性质求出抛物线与横轴的交点坐标即可； （2）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可，根据函数的性质求出抛物线与横轴的坐标，然后进行求比值即可． 【详解】解：（1）根据题意得，假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为，； 当时，， 解得，（负值已舍） ∴喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米； （2）根据抛物线得，设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得，， ∵， ∴得， 解得（负值已舍去）， 代入①得， ∴优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ∴， ∴接近黄金比， ∴该小组所设计喷泉的达到美观效果． 题型五 二次函数的应用之图形问题 一、解题方法总结（2点） 1. 构建函数解析式：设图形中关键边长、高或平移距离为x，结合面积、周长、体积等公式，用x表示所求量（如面积、长度），转化为二次函数y=ax²+bx+c。 2. 求解实际问题：求最值（最大/最小面积）用顶点坐标，求特定值（面积相等、边长相等）代入函数列方程，结合图形边长非负取舍答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 数形结合分析：画出图形标注已知条件，直观梳理线段、面积关系，避免抽象思维偏差，快速找到等量关系。 2. 限定变量范围：根据图形边长、长度非负，确定自变量x的取值范围，顶点若超出范围，取端点值作为实际最优解。 1．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图某农场要建一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长)，另外三边由长的栅栏围成．设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为(如图)． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)若矩形空地的面积为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了列二次函数关系式，一元二次方程的应用． （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵墙长， ∴， 即， 解得， ∴与之间的函数关系式为，自变量的取值范围为． （2）解：由题意：， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为． 2．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在中，，．是上任意一点(点与点，不重合)，的顶点，分别在，上．设，的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)上述函数有最大或最小值吗？若有，求当取何值时，有最大或最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，当时，有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，二次函数求最值问题，熟练掌握以上性质是做题的关键． （1）由四边形是平行四边形，可得，，则可证出和，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得出，同理可得：，最后根据即可得出与的函数关系式； （2）先把（1）中得到的与的函数关系式化成顶点式，然后由，可得当时，有最大值即可解答． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形， ，． ，， ，即， 同理，， ， 即． （2）解：y有最大值，理由如下， ， ， ∴当时，有最大值，最大值为． 3．（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 【答案】(1) (2)苗圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）过点D作于E，求得，利用梯形的面积公式即可求解； （2）利用二次函数的性质求得当时，y的最大值是600，苗圃的面积不能达到． 【详解】（1）由题意，． 过点D作于E， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）判断：苗圃的面积不能达到． 理由如下： ． ∴当时，y的最大值是600． ∴苗圃的面积不能达到 ． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为美化环境，某小区计划在一块长为，宽为的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建同样宽的通道，设通道的宽为． (1)用含a的式子表示花圃的面积． (2)若通道面积与花圃面积之比等于时，求此时通道的宽． (3)已知某园林公司修建通道的造价为80元，花圃的造价为100元，如果小区物业决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米，则通道宽为多少米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)通道宽为6米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371680元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出一元二次方程和二次函数解析式． （1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用矩形面积公式列出式子即可； （2）根据通道面积与花圃面积之比等于，列出方程进行计算即可； （3）列出总费用的关系式，根据修理的通道的宽度不少于2米且不超过6米，确定最小值即可． 【详解】（1）解：， 即花圃的面积为； （2）解：∵通道面积与花圃面积之比等于， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 即此时通道的宽； （3）解：设修建通道和花圃的总造价为w元，根据题意得： ， ∵修建的通道的宽度不少于2米且不超过6米， ∴， ∵， ∴当时，w随a的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，最小值为， 即通道宽为6米时，修建通道和花圃的总造价最低，最低总造价为371680元． 题型六 二次函数的应用之图形运动问题 一、解题方法总结（2点） 1. 建立函数关系：设运动时间为t，用t表示图形中线段长度（如边长、高），结合图形面积、周长等公式，转化为二次函数y=ax²+bx+c。 2. 求解核心问题：求最值（最大/最小面积）用顶点坐标，求特定值（面积相等、线段相等）代入函数列方程，结合运动范围取舍答案。 二、解题技巧总结（2点） 1. 动态转化静态：截取运动中关键时刻（起点、终点、顶点对应时刻），画出静态图形，直观分析线段关系，减少思维难度。 2. 明确变量范围：根据图形边长非负、运动时间非负，确定t的取值范围，避免因忽略范围导致错解。 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，中，，，，、两点同时分别从、出发，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，点以每秒个单位的速度沿着向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)求经过几秒，的长为； (2)设的面积为，点、的运动时间为秒，求与的函数解析式，并写出的取值范围； (3)当点、的运动时间为秒时，求的面积． 【答案】(1)经过秒或秒时，的长为 (2)， (3)当点、的运动时间为秒时，的面积为 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程的解法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 由与，利用勾股定理求出的长，进而表示出，以及，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即可得到结果； 由三角形的面积等于与乘积的一半，表示出与的函数解析式，并求出的范围即可； 将代入中得出的函数解析式中求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， 设点、的运动时间为秒， 由运动知，，， ， 若时，则，即， 解得，， 经检验，均符合题意， 经过秒或秒时，的长为； （2）解：由知，，， ，的取值范围是； （3）解：由知，， 当时，， 即当点、的运动时间为秒时，的面积为． 2．（25-26九年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，矩形的边在边上，边在边上，点与点重合，，矩形从点的位置出发，以每秒的速度沿着的方向做匀速直线运动，当点与点重合时停止运动．设矩形运动的时间为，矩形与重叠部分的面积为． (1)当点落在边上时，求的值； (2)求与之间的函数关系式； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得三角形是等腰直角三角形，根据几何关系求得的长，则可求出矩形的运动时间； （2）分4种情况：当时，此时重叠部分图形为矩形本身；当时，此时重叠部分图形为矩形减去一个三角形，求出三角形面积即可；当时，此时重叠部分图形为梯形，求出梯形的上底和下底即可求得梯形面积；当时，此时重叠部分为三角形，由三角形面积公式易得，最后综合即可； （3）将代入所求函数解析式中即可求得的值． 本题考查了求动点问题的函数关系式，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程等，注意分类讨论． 【详解】（1）解：∵在矩形中，， ， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴如图1当点落在边上时，三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∵矩形速度为每秒， ∴， ∴当点落在边上时，的值为2． （2）①当时，如图1，； ②当时，如图2，设交于点，交于点， 由（1）得三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又在矩形中， ∴三角形是等腰直角三角形，， 又，， ∴； ③当时，如图3，设交于点， 在矩形中，， ∴四边形是直角梯形， ，， ∴； ④当时，如图4，设交于点， 在矩形中，， 又∵ ∴三角形是等腰直角三角形， ∵， ∴； 综上所述，与之间的函数关系式为． （3）当时，， 整理得， 解得，（舍去）， 随着矩形的移动，矩形与重叠部分的面积越来越小，故当时，． 3．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，，动点P，Q同时从点出发，分别沿射线和射线的方向均以的速度匀速运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形与重叠部分的面积为．（注：无重叠时，重叠部分面积看作） (1)当点落在线段上时，求的值． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． （1）当点M落在线段上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （2）根据题意分三种情况：当时，时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1） ∵在中，，， ∴， 当点M落在线段上时，四边形是正方形， 根据题意得， 在等腰直角三角形中， 由题意可得和、是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， ∵， ∴， ∴； （2）①当时，正方形完全在内部，此时重叠部分面积就是正方形的面积， ∴正方形面积； ②当时， 设与交于点E，与交于点F， 此时正方形与重叠部分为矩形， 和为等腰直角三角形，即，， ∵， ∴， 在中由勾股定理得， 即， ∴， ∴矩形面积； ③当时，正方形与无重叠，所以； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 4．（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    5．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $