精品解析：广东省深圳市莲花中学北校区2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

2025-2026学年第一学期数学综合评价 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物变化，如图分别为“巽”“艮”“坤”“兑”四个“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可能为（　　） A. B. C. D. 0 8. 如图，在正方形中，向内作四个全等的三角形，其中．以，为邻边作．若点B，F，G在同一直线上，，点P到的距离为1，则图中阴影面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 15 D. 18 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 9. 写出使分式有意义的的一个值______． 10. 已知：如图，正方形中，点、、分别在、、边上，，，求的度数．______． 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 12. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的某省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为___________． 13. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 三、解答题（本题共7小题，共计61分.） 14. （1）解方程：； （2）解不等式组： 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实根， （1）求的值． （2）求代数式的值． 16. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为______； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 17. 如图，在矩形中，是一条对角线． （1）用圆规和无刻度直尺作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连结、（保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是菱形． 18. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 19. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 20. 已知：在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B、C重合）．以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：①．②． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系： （3）如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A、F分别在直线的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线、，交点为O，连接，探究的形状，并说明理由． 21. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，且．点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）设点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期数学综合评价 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物变化，如图分别为“巽”“艮”“坤”“兑”四个“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形定义．寻找对称中心是解题的关键； 中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； D．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的判断，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； B、，原因式分解错误，不符合题意； C、，原因式分解错误，不符合题意； D、，属于因式分解，符合题意； 故选：D． 3. 随着科技的飞速发展，人工智能应运而生，多种软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，设“”“豆包”“”三个主题分别用表示，画出树状图，共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种，，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：设“”“豆包”“”三个主题分别用表示， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有种， ∴她们恰好选中一个主题的概率为， 故选：． 4. 随着5G网络技术的发展，市场对5G产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型5G产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产30万件产品，现在生产500万件产品所需的时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产x万件，依据题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品，根据工作时间=工作总量÷工作效率，再结合现在生产500万件产品所需时间与更新技术前生产400万件产品所需时间相同，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设更新技术前每天生产x万件产品，则更新技术后每天生产（x+30）万件产品， 依题意，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题列分式方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 5. 如图，在中，，，为边上的中线，，则图中与互余的角共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据等边对等角得出，再结合根据三角形内角和定理求出，最后根据余角的性质求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中与互余的角是，共有4个， 故选：C． 6. 如图，已知一次函数的图象经过点和点，正比例函数的图象经过点A，则关于x的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．结合图形，当时，一次函数和的图象在轴上方，且图象在下方，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，一次函数和的交点坐标为， 当时，一次函数和的图象在轴上方，且图象在下方， 则关于x的不等式组的解集是， 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值可能为（　　） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有两个不相等的实数根时，对应的判别式大于0是解题的关键． 根据方程有两个不相等的实数根时，对应的判别式大于0，可得关于m的不等式，求出m的范围再结合选项即可得解，注意m的取值要满足二次项系数不为0． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且 解得，； ∴实数的取值可能为； 故选：B． 8. 如图，在正方形中，向内作四个全等的三角形，其中．以，为邻边作．若点B，F，G在同一直线上，，点P到的距离为1，则图中阴影面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 15 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题涉及正方形的性质、全等三角形的性质、平行四边形的性质以及三角形面积的计算．作于M，连接．设，则．由正方形中，向内作四个全等的三角形，四边形为平行四边形，可得，，由，解得，可得． 【详解】解：作于M，连接． 设， ， ． 正方形中，向内作四个全等的三角形， ，，． 四边形为平行四边形， ，． ，． ． ． ． 四边形正方形， ． ，，． ， ， ，解得． ． 正方形中，向内作四个全等的三角形， ， ． 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.） 9. 写出使分式有意义的的一个值______． 【答案】1（不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 先根据分式有意义的确定x的取值范围，然后确定x的可能取的值即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． ∴的取值可以为． 故答案为：1（不唯一）． 10. 已知：如图，正方形中，点、、分别在、、边上，，，求的度数．______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，构造三角形全等是解题的关键．过作交于，可证明，可得到，在中可求得，可求得答案． 【详解】解：如图，过作交于， 四边形为正方形， ，且， 在和中 ， ， 又， ， ． 故答案为：． 11. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则常数a的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，将代入关于x的一元二次方程，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得，； 故答案为：1． 12. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的某省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题关键是根据多次实验得出小球落在不规则图案上的概率大约是0.65，据此求出不规则图案的面积即可． 【详解】解：根据若干次有效试验的结果绘制成的统计图，可知小球落在不规则图案上的概率大约是0.65，不规则图案的面积占整体面积的0.65， 所以不规则图案的面积为， 故答案为：． 13. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可． 【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，． 四边形是菱形，， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本题共7小题，共计61分.） 14. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，熟知解一元二次方程和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式的解集为：． 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实根， （1）求的值． （2）求代数式的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，根据方程有两个相等的实数根，得到是本题解题关键； （1）根据方程有两个相等的实数根，得到即可求出a的值； （2）根据分式的运算法则化简后，把a的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵方程两个相等的实根， ∴， ∴． 【小问2详解】 ， ∵当时，原式， 当时，原式． 综上可知，代数式的值为． 16. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献． （1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为______； （2）某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可； （2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解． 【小问1详解】 解：∵小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读， 则他选中《九章算术》的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：记《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》分别为，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M． 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有等可能的结果中，满足事件M的结果有2种， ∴． 17. 如图，在矩形中，是一条对角线． （1）用圆规和无刻度直尺作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连结、（保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图，直线即为所求． （2） 证明：直线为线段的垂直平分线， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由线段垂直平分线的性质可得，证明，可得，则，可知四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“________倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】（1）四 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； 【小问2详解】 解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 19. 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示． 素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①②两种长方形纸板，其中． 长方形纸板① 长方形纸板② 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 裁去角上个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标 熟悉材料 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． 【答案】目标1：； 目标2：（1）； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为， 折叠后的储物箱如图： 则， 解得， 制作的收纳盒的高为，底面长和宽为、， ∵储物盒的高玩具机械狗的高， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 【解析】 【分析】目标1：根据图2中储物盒放置区域的长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出a； 目标2：（1）设角上截去的四个小正方形边长为，用x表示出储物盒的底面长和宽，根据底面的面积列出方程，解方程求出x即可求得储物盒的高，再根据长方体体积公式即可得到答案； （2）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为．表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到x和y的值，从而可求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 本题考查了长方体的展开图，找准几何关系并列出方程是解题关键． 【详解】目标1： 解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长． 故答案为：40； 目标2： （1）已知，储物盒底面积为，设角上截去的4个小正方形边长为，， 则， 化为或（舍去）， ∴收纳盒的高为，体积为， 则储物盒的容积为； （2）略 20. 已知：在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B、C重合）．以为边作正方形，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，求证：①．②． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系： （3）如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A、F分别在直线的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线、，交点为O，连接，探究的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①由“”可证，可得，可得结论； ②由全等三角形的性质得，进而得出结论； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）由“”可证，可得，可证，由直角三角形的性质和正方形的性质可证，可得结论． 【小问1详解】 证明：①，， ， 四边形是正方形， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ②由①得：， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中，， ， ， ， 则为直角三角形， 四边形是正方形， ，，， ， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 21. 如图，矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点、，且．点是直线上的一个动点． （1）求的值； （2）连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； （3）设点是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出的坐标． 【答案】（1）b＝2；（2）（，）或（-，）；（3）（−2，1）或(，)或(，)或(，)． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，用b表示点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）首先求出四边形OAED的面积，再分两种情况求出△ODM的面积，即可解决问题； （3）由以、、、为顶点的四边形是菱形，分三种情况讨论：①当OD为菱形对角线时，当OM为菱形对角线时，③当DM为菱形对角线时，分别求出M的坐标，进而即可求解． 【详解】解：（1）中，令x＝0，解得y＝b，则点D的坐标是（0，b），OD＝b， ∵OD＝BE， ∴BE＝b， 则点E的坐标为（2，3−b）， 把E点坐标代入，得：3−b＝−1＋b， 解得b＝2； （2）∵S四边形OAED＝（OD＋AE）•OA＝×（2＋1）×2＝3， ∵△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：3， ∴当点M在线段DE上时，S△ODM＝，当点M在线段ED的延长线上时，S△ODM＝， 设点M的横坐标是a，则•2a＝或•2×(-a)＝ 解得a＝或-， 把x＝a＝或-代入，得：y＝或， ∴点M的坐标是（，）或（-，）； （3）①当OD为菱形对角线时，如图，点M的纵坐标是1． 把y＝1代入直线，得，解得x＝2， 则点M的坐标是（2，1）， ∵四边形OMDN是菱形， ∴M、N关于y轴对称， ∴点N的坐标是（−2，1）； ②当OM为菱形对角线时，如图，则DM=DO=2 设M(m，)， ∴，解得：或， ∴M(，)或M(，)， 设N(x，y)， ∴x=，y=-2=或x=，y=-2=， ∴N(，)或N(，)； ③当DM为菱形对角线时，如图，则MO=DO=2， 同理：，解得：或m=0（舍去）， ∴M(，)， 设N(x，y)， ∴x=，y=+2=， ∴N(，)． 综上所述：点N的坐标是（−2，1）或(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、菱形的性质、四边形的面积等知识，解题的关键是掌握菱形的性质进行分类讨论，掌握一次函数图像上点的坐标特征，用点的坐标表示线段长，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $