专题02 数轴（期中真题汇编，北京专用人教版2024）七年级数学上学期

专题02 数轴 2大高频考点概览 考点01 数轴的基本运用 考点02 数轴动点问题 地 城 考点01 数轴的基本运用 一、单选题 1．(24-25七上·北京大兴区·期中)在数轴上，点表示有理数，将点向左移动6个单位后得到点，若点表示的相反数，则的值为（   ） A．6 B． C． D．3 2．(24-25七上·河南洛阳洛宁县·期中)如图，数轴上的单位长度为1，有三个点、、，若点、表示的数互为相反数，则图中点对应的数是（    ） A． B．0 C．1 D．4 3．(24-25七上·北京大兴区·期中)有理数在数轴上表示的点的位置如图所示，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．(24-25七上·北京朝阳区将府实验学校·期中)已知，数轴上，在A，B，C，D四个点中，表示数a的点为（   ） A．A B．B C．C D．D 5．(24-25七上·北京海淀区·期中)若有理数在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(22-23七上·北京石景山区·期末)有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)数轴上表示数的点如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．(18-19七·山东济宁微山县·期中)有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（　　） A．a＜0＜b B．|a|＞|b| C．﹣a＞b D．b﹣a＜a+b 9．(19-20七上·北京朝阳区·期末)如图，数轴上有，，，四个点，所对应的数分别是，，，，下列各式的值最小的为（    ） A． B． C． D． 10．(24-25七上·北京朝阳区将府实验学校·期中)已知有理数a满足，在数轴上，表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与），下面有四个结论：①a的值可以是；②；③；④a的取值范围是，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．(24-25七上·山东菏泽曹县八校联考·期中)若数轴上点表示的数是，则与点相距个单位长度的点表示的数是 ． 12．(20-21七上·山东枣庄台儿庄区·期中)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 13．(24-25七上·北京朝阳外国语学校·期中)如图，在数轴上有一点，将点向右移动1个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ． 14．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是 ． 15．(23-24七上·北京通州区·期末)如图，a、b、c是数轴上点表示的有理数计算： ． 三、解答题 16．(24-25七上·北京日坛中学·期中)请画出数轴，并在数轴上表示下列各数：0，，，2.5，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 17．(24-25七上·北京海淀区·期中)如图，数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 18．(23-24七上·北京二中教育集团·期末)已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示： (1) 0， 0；（填或或） (2)化简：． 19．(24-25七上·北京西城外国语学校·期中)有理数在数轴上的对应点位置如图所示， (1)在图中标出，所对应的点，并用“”连接，，，，； (2)化简：． 20．(24-25七上·北京第五中学分校·期中)已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1) 0， 0， 0；（请用“”或“”填空） (2)化简：． 21．(24-25七上·北京日坛中学·期中)已知a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； (3)在（2）的条件下，若，则 ． 22．(23-24七上·北京西城区北京师范大学第二附属中学西城实验学校·期中)数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若数轴上两点M、N表示的数分别为， ①M、N之间的距离可用含x的式子表示为__________； ②若该两点之间的距离为2，那么x值为____________． (2)的最小值为_____________，此时x的取值范围是_________； (3)若，则的最小值为_________． 地 城 考点02 数轴动点问题 1．(24-25七上·北京日坛中学·期中)阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，若点A，B，C表示的数分别为，和4． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： (1)直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为 ； (3)若点B以每秒2个单位长度的速度向左移动至点，同时点A、点C分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右移动至点、点，设移动时间为t秒．试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 2．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)如图，数轴上有A、B、C三个点分别表示数，，16，有两条动线段和 (点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左侧．点M在点N的左侧)，点P到点Q的距离，点M到点N的距离．线段以每秒1个单位长度的速度从点B开始一直向右匀速运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动(整个运动过程中，线段和保持长度不变)．设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． 3．(24-25七上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·月考)随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．王老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A、B的距离之和为6，则称点C为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是___________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且．若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是___________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】（3）若点A表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁Q从点P出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过t秒电子蚂蚁Q是点、的“幸福中心”，求出t的值． 【综合应用】 （4）在（3）的条件下，在数轴上存在点C（点C与点B不重合），使得电子蚂蚁Q既是、B的“幸福中心”又是、的“幸福中心”，请直接写出点C表示的数． 4．(24-25七上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，在数轴上A，B，C三个点表示的数分别为，，．A，B，C三个点同时运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B，C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒． (1)当时，求的值； (2)的值是否随t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 5．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 6．(24-25七上·北京第五中学分校·期中)已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； (2)若8表示的点与表示的点重合，回答下列问题： ①数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示数分别为 ， ． ②在①的条件下，点C为数轴上的一个动点，从点O出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t为多少秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 7．(22-23七上·北京通州区·期末)已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图， A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ① ； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为 ； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为50，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒（）当时，请求出t的值． 8．(23-24七上·北京东城区·期末)对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以n，所得数对应的点为．若（m，n是正整数），则称点为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为．例如，当，时，若点A表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． (1)当，时，已知点B的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点B表示的数为 　　； (2)已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”表示的数为11，则点C表示的数为 　　； (3)若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴 2大高频考点概览 考点01 数轴的基本运用 考点02 数轴动点问题 地 城 考点01 数轴的基本运用 一、单选题 1．(24-25七上·北京大兴区·期中)在数轴上，点表示有理数，将点向左移动6个单位后得到点，若点表示的相反数，则的值为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和相反数，利用数轴上的点移动规律得出点B所表示的数，再用相反数的意义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：D． 2．(24-25七上·河南洛阳洛宁县·期中)如图，数轴上的单位长度为1，有三个点、、，若点、表示的数互为相反数，则图中点对应的数是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查数轴上表示的数，根据相反数在数轴上的位置确定原点的位置是解题的关键．根据点A、B表示的数互为相反数得到数轴原点的位置，读出点C表示的数即可求解. 【详解】解：根据点A、B表示的数互为相反数，可得图中点D为数轴原点， ∴点C对应的数是1， 故选：C． 3．(24-25七上·北京大兴区·期中)有理数在数轴上表示的点的位置如图所示，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识和绝对值的定义．利用数轴知识和绝对值的定义解答． 【详解】解：由数轴图可知，， ∴， ∴①正确，②正确，正确， ∴正确结论的序号为①②③． 故选：D． 4．(24-25七上·北京朝阳区将府实验学校·期中)已知，数轴上，在A，B，C，D四个点中，表示数a的点为（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数及数轴上有理数的表示，熟练掌握相反数及数轴上有理数的表示是解题的关键；因此此题可根据相反数及数轴进行求解即可． 【详解】解：由可知：数a表示的数是0， 故选A． 5．(24-25七上·北京海淀区·期中)若有理数在数轴上的对应点的位置如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据数轴上点的位置得到，进而得到，，，由此即可得到答案． 【详解】解：根据数轴上点的位置得到 ∴， ，，故A，B选项错误 ∴，故C选项正确 ∵ ∴ ∴，故D选项错误 故选：C． 6．(22-23七上·北京石景山区·期末)有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象，以及有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由图可知：， 则，， A. ，故此选项错误； B. ，故此选项正确； C. ，故此选项错误； D. ，故此选项错误； 故选：B．． 【点睛】本题主要考查了数轴与绝对值，有理数的加减乘法运算，解题的关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义和相关的运算法则． 7．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)数轴上表示数的点如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，由数轴可得，，据此即可求得答案． 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 故选：C． 8．(18-19七·山东济宁微山县·期中)有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中，错误的是（　　） A．a＜0＜b B．|a|＞|b| C．﹣a＞b D．b﹣a＜a+b 【答案】D 【分析】根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，且|a|＞b，则﹣a＞b，b﹣a＞b+a． 【详解】解：∵a＜0＜b，且|a|＞b， ∴﹣a＞b，b﹣a＞b+a． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．也考查了数轴． 9．(19-20七上·北京朝阳区·期末)如图，数轴上有，，，四个点，所对应的数分别是，，，，下列各式的值最小的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到a,b,c,d的值，再代入即可求解. 【详解】由熟知可得a=-2,b=-，c=2，d=3 ∴=2，=3-（-2）=5，=， ∴值最小的为 故选C. 【点睛】此题主要考查数轴的应用，解题的关键是熟知数轴上的对应的点. 10．(24-25七上·北京朝阳区将府实验学校·期中)已知有理数a满足，在数轴上，表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与），下面有四个结论：①a的值可以是；②；③；④a的取值范围是，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、有理数的乘法及有理数的加法运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及运算是解题的关键；由题意可知当时，则，所以要在表示数a和的点之间只有两个整数m，n，则，然后问题可求解． 【详解】解：∵，且表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与）， ∴这两个整数必有一个为0， ∴，故②正确； 由当时，则，可知要在表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与），则，所以a的值可以是，故①正确，④错误； ∴在表示数a和的点之间只有两个整数m，n（不包括a与）的整数为0和1， ∴，故③正确； 故选A． 二、填空题 11．(24-25七上·山东菏泽曹县八校联考·期中)若数轴上点表示的数是，则与点相距个单位长度的点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离求法和有理数的加减法，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 根据数轴上两点之间的距离的求法，可以向左移或向右移．注意数的大小变化和平移之间的规律：左减右加．即可得到答案． 【详解】解：解：以点表示的数是为起点，向左移个单位，即； 向右移个单位，即． 故答案为：或 12．(20-21七上·山东枣庄台儿庄区·期中)数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上点的平移：向左平移，表示的数减小，向右平移，表示的数增大，平移距离等于增加或减少的数，向右平移7个单位，即增加7，向左平移就减少7．掌握数轴上的点平移法则是解题关键． 【详解】解：如果A向右平移得到，点B表示的数是：， 如果A向左平移得到，点B表示的数是：， ∴点B表示的数是4或． 故答案为：4或． 13．(24-25七上·北京朝阳外国语学校·期中)如图，在数轴上有一点，将点向右移动1个单位得到点，点向右移动2个单位得到点，点、、分别表示有理数、、．、、三点在数轴上的位置如图所示，、、三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，解题的关键是掌握有理数的乘法法则、灵活运用分类讨论思想解决． 根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故答案是：． 14．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，解一元一次方程，依题意得，求解即可，熟练掌握数轴上的两点之间距离的求解是解题的关键． 【详解】解：依题意得： 解得：， 故答案为：． 15．(23-24七上·北京通州区·期末)如图，a、b、c是数轴上点表示的有理数计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了数轴和绝对值，正确得出各式的符号是解题关键．直接利用数轴得出，，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：由数轴可得： ， 所以，，， 故： ． 故答案为：． 三、解答题 16．(24-25七上·北京日坛中学·期中)请画出数轴，并在数轴上表示下列各数：0，，，2.5，并按从小到大的顺序用“”号把这些数连接起来． 【答案】图见解析，． 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，先在数轴上表示出各个数，再比较大小即可． 【详解】解：， 如图所示： 故． 17．(24-25七上·北京海淀区·期中)如图，数轴上点表示的数是．点表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 【答案】(1)见解析 (2)，数轴上表示各数见解析 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）根据点表示的数是．点表示的数是，找出原点即可； （2）把各数在数轴上表示出来，从左到右用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：原点如图所示； （2）在数轴上表示各数如下： ． 18．(23-24七上·北京二中教育集团·期末)已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示： (1) 0， 0；（填或或） (2)化简：． 【答案】(1)， (2)c 【分析】本题主要考查了数轴，整式的加减运算，根据点在数轴的位置判断式子的正负，以及根据绝对值的意义化简绝对值. （1）根据数轴可知a．b，c的正负性即可求解． （2）根据数轴可知，，，然后根据绝对值的性质化解求解即可． 【详解】（1）解：根据数轴可得：， ∴，． 故答案为：， （2）根据数轴可得： ，， ∴ 19．(24-25七上·北京西城外国语学校·期中)有理数在数轴上的对应点位置如图所示， (1)在图中标出，所对应的点，并用“”连接，，，，； (2)化简：． 【答案】(1)作图见详解， (2) 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，掌握数轴的特点，相反数，绝对值的定义及性质是解题的关键． （1）根据数轴的特点，相反数的定义和性质进行作图，再根据数轴的特点比较大小即可； （2）根据数轴的特点确定代数式的符号，再根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”化简即可求解． 【详解】（1）解：标出，所对应的点，如图所示， ∴； （2）解：根据数轴上数的位置可得，， ∴ ． 20．(24-25七上·北京第五中学分校·期中)已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1) 0， 0， 0；（请用“”或“”填空） (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了化简绝对值，整式的加减计算，有理数与数轴： （1）根据数轴可得，再由逐一判断式子符号即可； （2）根据数轴可得，再化简绝对值后利用整式的加减计算法则求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 21．(24-25七上·北京日坛中学·期中)已知a，b在数轴上的位置如图所示． (1)化简：； (2)若，x为数轴上任意一点所对应的数，则代数式的最小值是 ；此时x的取值范围是 ； (3)在（2）的条件下，若，则 ． 【答案】(1) (2)3， (3)或3 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数大小的比较，整式的加减，绝对值的化简等知识，注意数形结合及分类讨论． （1）先根据a，b在数轴上的位置确定，的符号，再化简绝对值，然后去括号合并同类项； （2）根据两点间的距离求解即可； （3）在（2）的条件下，可得，解含绝对值的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵表示数x的点到数和1表示点的距离之和，数和1表示点的距离为， ∴当数x的点在数和1表示点之间，即时，取得最小值3． 故答案为：3，； （3）解：在（2）的条件下，可得， 当时，可得， 解得：； 当时，可得，不成立，舍去； 当时，可得， 解得：． 故答案为：或3． 22．(23-24七上·北京西城区北京师范大学第二附属中学西城实验学校·期中)数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例：如图所示，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为． 根据以上知识解题： (1)若数轴上两点M、N表示的数分别为， ①M、N之间的距离可用含x的式子表示为__________； ②若该两点之间的距离为2，那么x值为____________． (2)的最小值为_____________，此时x的取值范围是_________； (3)若，则的最小值为_________． 【答案】(1)①；②或1 (2)8， (3) 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式可以求解； （2）的最小值表示到3这个点和到这个点的距离和最小，而这个点应该在和3之间，所以最小值为8，； （3），而，所以可以分别求出、和的范围，从而求得的最小值． 【详解】（1）解：①之间的距离可用含的式子表示为； ②令， 解得或； （2）解：当时，的值最小为8； （3）解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离求法以及最小距离，数轴上两点间的距离是这两点所对应数的差的绝对值；其次是绝对值的最小值问题可以利用数轴的特点把转化成两点间的距离进行求解． 地 城 考点02 数轴动点问题 1．(24-25七上·北京日坛中学·期中)阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b（），则线段的长（点A到点B的距离）可表示为，若点A，B，C表示的数分别为，和4． 请用上面材料中的知识解答下面的问题： (1)直接写出线段的长度； (2)若数轴上有一点D，且，则点D表示的数为 ； (3)若点B以每秒2个单位长度的速度向左移动至点，同时点A、点C分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右移动至点、点，设移动时间为t秒．试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的值不会随着t的变化而变化，理由见解析 【分析】（1）根据两点之间的距离公式即可计算出的长； （2）设点表示的数是，根据，点表示的数为，结合题意即可列出关于的一元一次方程，解方程即可求出点表示的数； （3）分别求出与的长，再计算它们的差，然后根据结果进行判断即可． 【详解】（1）解：， 线段的长度是； （2）解：设点表示的数是， 点表示的数为，， 或， 解得：或， 点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意可得： ， ， ， 结果是一个定值，与的取值无关， 的值不会随着的变化而变化， 答：的值不会随着t的变化而变化． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数， 数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，数轴上的动点问题，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，弄清题意，运用数形结合思想并正确列式计算是解题的关键． 2．(24-25七上·北京东城区东直门中学·期中)如图，数轴上有A、B、C三个点分别表示数，，16，有两条动线段和 (点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左侧．点M在点N的左侧)，点P到点Q的距离，点M到点N的距离．线段以每秒1个单位长度的速度从点B开始一直向右匀速运动；同时线段以每秒3个单位长度的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段、同时停止运动(整个运动过程中，线段和保持长度不变)．设运动时间为t秒． (1)当时，点M表示的数为 ，点Q表示的数为 ； (2)在整个运动过程中，当时，求出点M表示的数． 【答案】(1)8； (2)或2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． （1）利用时间＝路程÷速度，可求出点Q到达点C、点Q返回点A及点N到达点C所需时间，由线段，的运动方向、运动速度、运动时间及两线段的长，可得出当时，点M，Q表示的数； （2）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中可得出点M表示的数；当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值，再将其代入中可得出点M表示的数． 【详解】（1）解：（秒），（秒），（秒）． 根据题意得：当时， 点N表示的数为， 点Q表示的数为． ∵，且点M在点N的左侧， ∴当时，点N表示的数为． 故答案为：8；． （2）解：当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点M表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴； 当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， 点M表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴． 答：在整个运动过程中，当时，点M表示的数为或2． 3．(24-25七上·陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学·月考)随着祖国的日益强大，经济发展迅速，人民的生活越来越好，幸福指数也越来越高．王老师在数学课上给出了定义：在数轴上，若点到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”；若点C到点A、B的距离之和为6，则称点C为点、的“幸福中心”． 【初步应用】 （1）若点A表示的数是，则点A的“幸福点”点C表示的数是___________； （2）已知点M表示的数是m，点N表示的数是n，且．若点为点、的“幸福中心”，则点表示的数可以是___________（填一个满足要求的数即可）； 【深入理解】（3）若点A表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，一个电子蚂蚁Q从点P出发，以2单位/秒的速度沿数轴向左运动，若经过t秒电子蚂蚁Q是点、的“幸福中心”，求出t的值． 【综合应用】 （4）在（3）的条件下，在数轴上存在点C（点C与点B不重合），使得电子蚂蚁Q既是、B的“幸福中心”又是、的“幸福中心”，请直接写出点C表示的数． 【答案】（1）或；（2）（答案不唯一）；（3）或 秒；（4）或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴和两点间的距离，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键；注意数轴的三要素：原点、正方向、单位长度；能够正确表示数轴上两点间的距离，两点所对应的数的差的绝对值； （1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）先求得，，再根据“幸福中心”的定义可直接进行求解； （3）由题意可分两种情况列式：①点在点和点之间，②点在点的左侧讨论； 进而分类求解即可； （4）根据题意，结合数轴，在（3）的条件下，根据新定义得，分类讨论，即可求解； 【详解】解：（1）表示的数为或， 故答案为：或； （2）由题意可得：，， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴点、的距离为， ∵点为点、的“幸福中心”， ∴点在点、之间， 即点表示的数可以是与之间的数， ∴点表示的数可以是，故答案为：（答案不唯一）； （3）由题意可得、之间的距离为，故有两种可能： 设经过秒点是、的“幸福中心”，则点表示的数为， ①点Q在点B和点P之间，则有：， 解得：， ②点在点的左侧，则有， 解得：， 综上所述：当经过或 秒时，点Q是、的“幸福中心”； （4）由（3）可得，当时，点Q表示的数为 ， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”， ， ∵点与点不重合， ∴点在点的右侧， ∴点表示的数是； 当，点表示的数为， ∴，之间的距离为， ∵点是、的“幸福中心”， ， ∵点与点不重合，则点在点的左侧， ∴点表示的数是； 综上所述，点表示的数为或； 4．(24-25七上·北京朝阳区将府实验学校·期中)如图，在数轴上A，B，C三个点表示的数分别为，，．A，B，C三个点同时运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B，C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒． (1)当时，求的值； (2)的值是否随t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1) (2)的值不随t的变化而变化， 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算： （1）分别求出运动2秒后点A，点B，点C表示的数，进而求出即可得到答案； （2）分别求出运动t秒后点A，点B，点C表示的数，进而求出即可得到结论． 【详解】（1）解：运动2秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ∴； （2）解：运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴， ∴， ∴的值不随t的变化而变化； 5．(24-25七上·北京西城区德胜中学·期中)【阅读定义】 在数轴上有三个点，若其中一点分别与另外两点组成的线段长度恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“二倍和谐点”． 【理解定义】 （1）如图1，点A，B，C在数轴上，如果，我们就可以认为点A是点B与点C的“二倍和谐点”，此时点B 点A与点C的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”），点C 点A与点B的“二倍和谐点”（填“是”或“不是”）； 【迁移运用】 （2）点D，E，F在数轴上，点D表示的数为2，点E表示的数为4，如果点D是点E与点F的“二倍和谐点”，则点F表示的数是 ； （3）如图2，点O是数轴的原点，点P表示的数为－5，点Q表示的数为1．点K从P点出发，在数轴上以每秒4个单位的速度向右运动．若在点K运动的同时，线段在数轴上以每秒2个单位的速度向右运动，点M在线段上，满足，且点M也随一起运动，点N也同时从原点出发，在数轴上以每秒1个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．当点K位于点M右侧且点M是点K与点N的“二倍和谐点”时，求点K此时表示的数． 【答案】（1）不是，是；（2）点F表示的数是或或或；（3）点此时所代表的数为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用里的动点问题，数轴上表示数，数轴上两点间的距离等知识， 理解“双倍和谐点”的定义是解决本题的关键． （1）根据“二倍和谐点”的定义求解即可； （2）根据“二倍和谐点”的定义分四种情况分别求解即可； （3）根据“二倍和谐点”的定义点表示的数为，由题意得到点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是，则，，分①，②两种情况求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点B不是点A与点C的“二倍和谐点”， 点C是点A与点B的“二倍和谐点”， 故答案为：不是，是； （2）设点表示的数为， ①当点在点左侧，时， ， 解得：， ②当点在点左侧，时， ， 解得：， ③当点在点右侧，时， ， 解得：， ④当点在点右侧，时， ， 解得：， ∴点F表示的数是或或或； （3）设点表示的数为， 则：， ∴， ∴点表示的数为， 由题意得：点移动后表示的数为， 点移动后表示的数为， 点移动后表示的数是， ∴， ∵点位于点右侧， ∴， ①， ∴， 当时，， 即， ∴， 当时， ， ∴，方程无解，舍去， ②， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当时， ， 即， ∴， 当 时， ， 当时， ， 当时，，线段为负，不合题意，舍去， ∴当点位于点右侧且点是点与点N的“双倍和谐点”时， 点此时所代表的数为或． 6．(24-25七上·北京第五中学分校·期中)已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合； (2)若8表示的点与表示的点重合，回答下列问题： ①数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B两点表示数分别为 ， ． ②在①的条件下，点C为数轴上的一个动点，从点O出发，以2个单位每秒的速度向右运动，求当时间t为多少秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 【答案】(1) (2)①；；②170秒或1518秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解绝对值方程： （1）先根据题意可求出折叠中心表示的数为，再根据折叠后互相重合的两点到折叠中心的距离相等进行求解即可； （2）①先求出折叠中心表示的数为，再求出点A和点B到折叠中心的距离都为1011，据此根据数轴上两点距离计算公式求出点A和点B表示的数即可；②点C表示的数为，则，，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵折叠数轴1表示的点与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∴表示的点与的点重合， 故答案为：； （2）解：①∵折叠数轴8表示的点与表示的点重合， ∴折叠中心表示的数为， ∵数轴上A，B两点间的距离为2022（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合， ∴点A和点B到折叠中心的距离都为1011， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， 故答案为：；； ②由题意得，点C表示的数为， ∴，， ∵之间的距离恰好是之间距离的2倍， ∴， ∴或， 解得或， ∴当时间t为170秒或1518秒时，之间的距离恰好是之间距离的2倍． 7．(22-23七上·北京通州区·期末)已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是的“k倍点”，记作：．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为，点B表示的数为1，则P是的“2倍点”，记作：． (1)如图， A、B、P为数轴上三点，回答下面问题： ① ； ②若点C在数轴上且，则点C表示的数为 ； ③点D是数轴上一点，且，求点D所表示的数． (2)数轴上，点E表示的数为，点F表示的数为50，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒（）当时，请求出t的值． 【答案】(1)①4；②2；③3或11 (2)t的值为7或16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题： （1）分别根据新定义可解答； （2）根据点M运动的速度可得M运动t秒表示的数为，分点M在点F的左边和右边，根据新定义列方程可解答． 动点问题中熟练应用公式：路程=速度×时间，认真理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点P表示，点A表示，点B表示5， ，， 则P是的“4倍点”，记作：； 故答案为：4； ②∵点C在数轴上且， ∴点C表示的数为：； 故答案为：2； ③， ， ∵点A表示，点B表示5， 或6， ∴点D所表示的数为3或11； 故答案为：3或11． （2）解：设点M在数轴上表示的数为a， ， ， ∵点E表示的数为，点F表示的数为50， ， 或80， 当点M运动到点F的左边时，，解得：； 当点M运动到点F的右边时，，解得：； 综上所述，t的值为7或16． 8．(23-24七上·北京东城区·期末)对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以n，所得数对应的点为．若（m，n是正整数），则称点为点P的“k倍关联点”．已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为．例如，当，时，若点A表示的数为，则它的“2倍关联点”对应点表示的数为． (1)当，时，已知点B的“2倍关联点”是点，若点表示的数是4，则点B表示的数为 　　； (2)已知点C在点M右侧，点C的“6倍关联点”表示的数为11，则点C表示的数为 　　； (3)若点P从M点沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，且在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，直接写出k的值． 【答案】(1)1 (2)或5 (3)8 【分析】此题的关键是根据已知理解新定义，同时能够灵活运用定义解决问题，同时要注意分情况进行讨论． （1）设B表示的数为x，利用“k倍关联点”的定义列出方程即可解决问题； （2）由于没有给出具体m，n的值，m，n为正整数，所以“6倍关联点”要分4种情况进行，根据定义列出方程求出C表示的数，然后根据已知得到满足条件的C值即可； （3）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“k倍关联点”的定义列出方程列出方程，再根据k的取值与t无关即可确定对应的m，n的值，进而确定k的值． 【详解】（1）解：设B表示的数为x，则有：， ∴， 即B表示的数为1． 故答案为：1． （2）设C表示的数为y，C在M的右侧，则， ∵6的正因数有1、2、3、6， ∴①当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ②当，时，则有，解得：，不符合题意，舍去； ③当，时，则有，解得： ，符合题意； ④当，时，则有，解得： ，符合题意； 综上所述，y为或5，即C表示的数为或5． 故答案为：或5． （3）设运动时间为t秒，则P表示的数为，Q点表示的数为， ∵点P始终为点Q的“k倍关联点”， ∴， ∴， 对于任意t都成立 ∴，， 解得：，， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $