专题06 二次函数中线段、周长、面积最值问题（5大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题06二次函数中线段、周长、面积最值问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题… 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 .7 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 13 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 23 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 .30 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1.(2025九年级上浙江·专题练习)如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,D 为第一象限内抛物线上一点，DE∥y轴交BC于点E. (I)若DE=2,求点D的坐标： (2)求DE的最大值， 2.(2025九年级上·浙江·专题练习)如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A,B两点，且0A=20B,与y 轴交于点C,连接BC,抛物线对称轴为直线x=),D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE1OH于 点E,与AC交于点F,设点D的横坐标为m. 备用图 (1)求抛物线的表达式： 1/12 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标： 3.(24-25九年级上·江西新余阶段练习)如图，直线y=x+n与抛物线y=x2+bx+5(a≠0)相交于A(1,2) 和B(4,m两点，点P是线段AB上异于A,B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C d 5 4 3 2 D -4-3-221912345x -2 -3H (1)求抛物线的解析式 (②)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由. 4.(23-24九年级上广西梧州期末)如图，抛物线y=-x+(x-4到与X轴相交于点A,B(点B在点A 的右边)，与y轴相交于点C. AO B主 (I)求直线BC的解析式： (②)点P在第一象限内该抛物线上的一点，过点P作PQ⊥BC,垂足为点Q,连接PC.求线段PQ的最大值， 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 5.（24-25九年级上·广东东莞阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴、y轴分别交于A,B,C三点，D是其顶点，已知点C的坐标为0,2)，点D的坐标为2,4. B (I)求抛物线对应的函数解析式： (②)在抛物线的对称轴上找一点P,使AP+CP最小，求出点P的坐标 2/12 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，直线y=-x-2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线 y=a(x-h)2的顶点为A,且经过点B. (1)求抛物线对应的函数解析式. 9 ②)若点Cm,2在该抛物线上，求m的值. (3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使P0+PB的值最小，并求出点P的坐标. 7.(24-25九年级上·广东江门期末)如图，在平面直角坐标系中，△A0C绕原点O逆时针旋转90°得到 △D0B,其中OA=1,OC=3, y D (I)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； (2)在(1)条件下，在二次函数的对称轴1上是否存在一点P,使得PA+PC最小？若点P存在，求出点P 坐标；若点P不存在，请说明理由， 8.(2025·甘肃平凉二模)如图，抛物线y=ax2+bx-4(a、b为常数，a≠0)与x轴交于A-2,0)、 B(4,0)两点，与y轴交于点C.点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限. 图1 图2 (I)求抛物线的函数表达式： (2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线BP与y轴交于点M,连接AP,交y轴于点N, 求线段MN的长； 3/12 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图2，连接BC、OP,两线段交于点E.在线段OB上取点F,使BF=CE.连接CF,求CF+OE的最 小值. 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 9.(2025河北一模)如图，己知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A7,-7),且它的对称轴为x=3. (1)求此抛物线的解析式： (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当△0AP的面积为21时，求点P的坐标： (3)在(2)条件下，当点P在OA上方时，M是抛物线上的动点，求AM-PM的最大值. 0,如图，在平面直角坐标系中，抱物线y三一子x+子x+3与x轴交于点A和点B,A在B的左侧，与v邪 8 交于点C,点P为直线BC上方抛物线上一动点. y A 0 (1)求直线BC的解析式： ②过点P作y轴的平行线交BC于点M,求线段PM=时点P的坐标： (3)过P作PM⊥x轴，交BC于M,当PM-CM的值最大时，求P的坐标和PM-CM的最大值 ,直线y=-x+4与抛物线y子)x+bx+C交于A,B两点，点A在y轴上，点B在 4/12 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： 2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形OAPB面积最大，此时P点的坐标为一， 四边形OAPB的面积的最大值为 (3)在（2)的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使BQ-PQ值最大，求Q点坐标及BQ-PQ的最大值 1山.（2025九年级上渐江专题练习)如图，在平面直角坐标系x0,申，直线y=x+2与x袖交于点B。 与y维交于点C,抛物线y=2+bx+c的对称轴定宜线x-,该对称轴与x轴的交点为点，且经过点 B、C两点. A 0 B (1)求抛物线的解析式： (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当BM-CM的值最小时，请你求出点M的坐标； 12.(2025安微二模)如图，已知抛物线y=-2x2+4x+6与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点P 为抛物线对称轴1上的动点. 少 AO B (I)求A,B,C三个点的坐标以及抛物线的对称轴： (②)PB-PC有无最值，如果有最值，最值是多少，并求此时点P的坐标；如果无最值，请说明理由 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 1 13.已知，抛物线y=三x2-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点. 2 5/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积： (3)在(2)的条件下，在线段AP上是否存在一点M,使△MBC的周长最小？若存在，请直接写出△MBC周 长的最小值；若不存在，请说明理由 14.如图，抛物线y=ax2+bx-5的图象与x轴交于A-1,0,B(5,0)两点，与y轴交于点C,顶点为D. D (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标并计算△OAC的 周长；若不存在，请说明理由； (3)设点M在第四象限，且在抛物线上，当△MBC的面积最大，求此时点M的坐标.（直接写出结果） 15.(2025甘肃定西三模)如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(-3,0)两点，与y轴交于C(0,-3),， 直线y=x+m经过点B,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E. E B 图1 图2 6/12 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式： (2)连接BC,CE,求△BCE的面积； (3)如图2，直线BE与抛物线对称轴交于点F,在x轴上有M,N两点(M在N的右侧)，且MN=2,若将 线段MN在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长最小，求出此时周长的最小值 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 16.（2025九年级上·全国.专题练习)平面直角坐标系中，直线y=-x+4与抛物线y=x2+bx+4交于过y轴 上的点M和点N(n,1). 图1 图2 (1)求n和b的值； (2)A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM,AN,求△AMN的面积的最大值. 17.(2025河北唐山三模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中 B(2,0,C0,6. A OB衣 (1)求抛物线的解析式： (②)在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大.若存在，请直接写出点P坐标和 △APC的面积最大值；若不存在，请说明理由 18.(2025九年级上全国.专题练习)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A1,0),B(-3,0)两点，与y 轴相交于点C,请完成下面的填空： 7/12 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)该抛物线的解析式为 (2)在该抛物线的对称轴上存在点Q,使得△QAC的周长最小，则9点的坐标为 (3)在抛物线上的第二象限上存在一点P,使△PBC的面积最大，则点P的坐标为 ,△PBC的最 大面积为· 19.(23-24九年级上·青海西宁.期中)已知：二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A,B两点，其中A 点坐标为-3,0)，与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线的对称轴上有一动点P,若PA+PD最小，求P的坐标： (3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q,使得△BDQ的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标， 及△BDQ的最大面积；若不存在，请明理由. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(2025广东中山一模)如图，抛物线y=。x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物 线的对称轴上移动（点C在点D下方），且CD=3.当四边形ABCD的周长最小时，点D的坐标为() 8/12 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.（4,3 B.（4,4 C.(4,5 D.（4,6 二、填空题 2.(2025安微阜阳·模拟预测)如图，已知抛物线y=ax2+bx过点A-2,-2),点B(6,-6). (1)该抛物线的顶点坐标为 (2)点C是AB上方抛物线上一动点（不与点A,B重合），连接AC,BC,则ABC面积的最大值 为 三、解答题 3.如图，二次函数y=-x2+x+3的图象与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B(-2,0). 0 (1)求二次函数的解析式. (2)若点P是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点P作y轴的垂线与线段AB交于点C,求线段PC长 度的最大值。 4.如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A(-1,0),B(m,0)两点，与y轴相交于点C0,-3),抛物线 的顶点为D. 9/12 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M B B (1)求抛物线的解析式： (2)若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H,与BC交于点M,求线段PM长度 的最大值 (3)若点E在x轴上，且∠ECB=∠CBD,直接写出点E的坐标. 5.如图，二次函数的图像与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点，交y轴与点C(0,3),点C,D是二次函数图 象上的一对对称点，一次函数的图像过点B,D. (1)求二次函数解析式： (2)求出顶点坐标和点D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M,使。BCM的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请 说明理由， (4)若Q是线段BD上任意一点，过点Q作PQ⊥x轴交抛物线于点P,则点P坐标为多少时，P9最长？ 6.如图，已经抛物线经过点0(0,0)，A(5,5),且它的对称轴x=2. y X=2 (1)求此抛物线的解析式： (2)若点B是抛物线线上的一点，当△0AB的面积为15时，直接写B的坐标； 10/12 专题06 二次函数中线段、周长、面积最值问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 7 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 13 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 23 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 30 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用二次函数求线段最值的问题 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D为第一象限内抛物线上一点，轴交BC于点E． (1)若，求点D的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1)点D的坐标为或 (2)的最大值为 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，关键是对二次函数性质的应用． （1）根据抛物线解析式求出B，C坐标，再用待定系数法求直线的解析式，设，则，然后根据得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值即可； （2）根据（1）中关于m的解析式和m的取值范围，由二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为或； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴的最大值为． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，且，与y轴交于点C，连接，抛物线对称轴为直线，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求D点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）求出A点的坐标为，B点的坐标为，利用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为：，设点D的横坐标为m，则点，则点，则，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设点A的坐标为， ∵，A在x轴正半轴上，B在x轴负半轴上， ∴点B的坐标为， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴， ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 将A、B两点的坐标代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线的表达式为； （2）对于， 令，则，故点， 设直线的表达式为： 由点A、C的坐标得， 解得 直线的表达式为：， 设点D的横坐标为m，则点，则点， 则， ∵，， 故有最大值，最大时， ∴点； 3．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，直线与抛物线相交于和两点，点是线段 上异于的动点，过点作轴于点，交抛物线于点 (1)求抛物线的解析式 (2)是否存在这样的P点，使线段的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据题意先求出直线的解析式，然后把点代入直线解析式求解，最后求出抛物线解析式即可； （2）由（1）可设点，则点C可用含k的代数式表示出来，进而根据两点距离得到PC的长，最后根据二次函数的性质求解最值即可． 【详解】（1）解：把点代入直线得： ，解得， ， 把代入直线解析式得：，即， 把，代入抛物线得： ，解得， 抛物线解析式为； （2）存在，最大值为；理由如下： 由（1）及题意可设点，则点， ， ， 开口向下， 当时，PC为最大值，即． 4．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，交于点，证明，得到等式，设，则，，将其代入等式整理得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 题型二、利用二次函数求线段和最值的问题 5．（24-25九年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴、轴分别交于，，三点，是其顶点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使最小，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，与对称轴的交点即为点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 抛物线对应的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线对应的函数解析式为． （2）由，得：抛物线的对称轴为直线 把代入，得， 解得或． 点的坐标为，点的坐标为， 如图，连接，交对称轴于点，则此时最小， 设直线对应的函数解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴， 把代入，得：． 点的坐标为 ． 6．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)1或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解. 利用轴上的点坐标为，轴上的点坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； 把时，代入抛物线的表达式求出； 把点关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点，利用直线与对称轴的交点求法即可得到点的坐标. 【详解】（1）解：对于，当时，；当时， ． 抛物线的顶点为， ．又抛物线经过点， ，解得， 抛物线对应的函数解析式为， （2）点在抛物线上， ，解得， 的值为1或． （3）如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P． 点的坐标为，对称轴是直线， ，则直线的函数解析式为． 联立解得 故点P的坐标为． 7．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，绕原点O逆时针旋转得到，其中． (1)若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式； (2)在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得最小？若点P存在，求出点P坐标；若点P不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，得到，进而求出的坐标，两点式设出函数解析式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称性得到，进而得到当点在线段上时，最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵绕原点O逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设二次函数的解析式为：，把代入解析式，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴对称轴为直线， ∵关于对称轴对称，点在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，最小， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入解析式，得：， ∴， ∴当时，， ∴． 8．（2025·甘肃平凉·二模）如图，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点P与点C关于抛物线的对称轴对称，作直线与y轴交于点M，连接，交y轴于点N，求线段的长； (3)如图2，连接，两线段交于点E．在线段上取点F，使．连接，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求最短线段，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将点、代入抛物线，利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线，根据点P与点C关于抛物线的对称轴对称，得点，运用待定系数法求出的解析式，可得的坐标，从而可求出的长； （3）根据勾股定理求出，过点C作轴，使得，过点T作轴于点G，证明得，当O、E、T共线时，最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：在中，当时，， ， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点P与点C关于抛物线的对称轴对称，且 ∴点， 设直线的函数表达式为（m、n为常数，）， 将，代入上式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，． ． 同理可求得直线的函数表达式为， 当时，． ． ． （3）解：， ． 如图2，过点C作轴，使得，过点T作轴于点G， 轴， ， ， . ， 故O、E、T共线时，最小，最小值为的长， ， ， 故的最小值为． 题型三、利用二次函数求线段差最值的问题 9．（2025·河北·一模）如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线对称轴上的一点，当的面积为21时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，当点P在上方时，M是抛物线上的动点，求的最大值． 【答案】(1) (2)P的坐标为或 (3) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题和线段问题，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的函数解析式为，进一步得到点Q的坐标为．设点P的坐标为，得到，即可求出答案； （3）连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长．过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且它的对称轴为 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）如图1， 设直线的函数解析式为，把点代入，得，解得． ∴直线的函数解析式为， 设和对称轴的交点为点Q． 当时， ∴点Q的坐标为． ∵点P在对称轴上， ∴设点P的坐标为， ∴， ∴， 即， 解得或． ∴点P的坐标为或； （3）如图2，连接并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．的最大值为的长． 过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N， ∵，， ∴，， ∴． 即最大值为． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为和的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，， ∵点为直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为和的最大值为． 9．如图，直线与抛物线交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，点P位于何处时四边形面积最大，此时P点的坐标为______，四边形的面积的最大值为______． (3)在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上找点Q使值最大，求Q点坐标及的最大值． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为 (3)，的最大值为 【分析】（）先由直线与轴交于点，与轴交于点，求出点，点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （）过作轴于点，交于点，设，则，则，然后由得出，再根据二次函数的性质即可求解； （3）首先得到抛物线对称轴为直线，然后得到当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，然后由勾股定理求出的最大值为；求出所在直线表达式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，当时，， ∴点，点， ∵抛物线交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，交于点， 设，则， ∴， 则 ， 当时，有最大，最大值为， ∴， 此时点的坐标为． （3）如图所示， ∵抛物线； ∴抛物线对称轴为直线 ∵ ∴当点B，Q，P三点共线时，取得最大值，即的长度，如图所示， ∵， ∴． ∴的最大值为； 设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴将代入 ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，求二次函数的解析式，二次函数的几何问题，线段最值问题，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题是解题的关键． 11．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为抛物线对称轴上一动点，当的值最小时，请你求出点M的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，三角形三边关系定理求线段差的最大值，利用线段和差求最值问题是解题的关键． （1）利用待定系数法直接得出结论； （2）先判断出最小时，，建立方程求解即可得出结论； 【详解】（1）解：对于， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点C在抛物线上， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最小， ∴， ∴， ∴， 设点， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 12．（2025·安徽·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为抛物线对称轴l上的动点． (1)求A，B，C三个点的坐标以及抛物线的对称轴； (2)有无最值，如果有最值，最值是多少，并求此时点P的坐标；如果无最值，请说明理由． 【答案】(1)，，，对称轴为直线 (2)有，最小值为0，点P的坐标为；最大值为，此时点P的坐标为． 【分析】（1）令时，，令，求得，，据此求解即可； （2）分两种情况讨论，①当时，的最小值为0；②连接，则，求得，的最大值为，此时点P是直线与对称轴的交点．据此求解即可． 【详解】（1）解：令时，， 令，有， 解得：，， ∴，，， 对称轴为直线； （2）解：∵点P为抛物线对称轴上的动点， ∴可设， ①当时，的最小值为0， 此时有， 解得， 即点P的坐标为； ②连接，则， ∴， ∴的最大值为，此时点P是直线与对称轴的交点． 设直线的解析式为，代入点， 求得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数综合应用等知识，注意找到点P的位置是解此题的关键． 题型四、利用二次函数求周长最值的问题 13．已知，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求点A、B、C三点的坐标； (2)过点A作交抛物线于点P，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请直接写出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)16 (3)存在， 【分析】（1）分别令，求出点和点，点的坐标即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出的解析式，联立抛物线解析式组成方程组求出点的坐标，再利用分割法来求解即可； （3）延长到点，使，过点作轴于点，连接，则与的交点即为点，易得到，进而求出点，易得到解析式，联立直线解析式组成方程组求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得； 点坐标为点坐标为； 当时，， 点坐标为． （2）解：， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：； 直线解析式：． ，设直线的解析式为：，把代入得： ； 则直线解析式为：， 联立解析式有： 解得，； 点坐标为； ． （3）解：存在． 延长到点，使，过点作轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 与关于对称，且为的中点， 点坐标为，， ∴的周长为：， ∴当在线段上时，的周长最小， 同（2）法可得：直线的解析式为； 联立方程组， 解得 点的坐标为； 此时，， 的周长最小值为； 在线段上存在一点，使的周长最小为． 【点晴】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点的坐标的求法，函数图象交点坐标的求法，图形面积的求法，最短路径，二元一次方程组的解法，理解二次函数的图象和性质是解答关键． 14．如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； (3)设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)存在，，的周长为 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）连接，交直线于点，则此时的周长最小，求得直线的解析式为，得出，勾股定理求得即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，由的面积为，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入， 解得： ∴此抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交直线于点， ∵关于直线对称， ∴， 的周长为，此时的周长最小， ∵，令，得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长的最小值为：； （3）解：如图，过点作轴，交于点，设，则， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大 当时， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，线段问题，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，求的面积； (3)如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【详解】（1）解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． （3）∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 题型五、利用二次函数求面积最值的问题 16．（2025九年级上·全国·专题练习）平面直角坐标系中，直线与抛物线交于过轴上的点和点． (1)求n和b的值； (2)为直线下方抛物线上一点，连接，，求的面积的最大值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，构建二次函数求最值是解题的关键． （1）把点的坐标代入一次函数和二次函数的解析式，求解即可； （2）作轴交于点，设点的横坐标为，用含的代数式表示点和的坐标，进而构建的二次函数，求出的最大值，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与抛物线交于轴上的点和点， ∴， 解得：； （2）解：作轴交于点，如图所示， 抛物线的解析式为：， 设，， ， ∵， ∴当时，有最大值，其最大值为， 此时最大，其最大值为：． 17．（2025·河北唐山·三模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求抛物线的解析式； (2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，面积最大为 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，用待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算等，解题关键是熟练运用待定系数法和二次函数最值的求解方法． （1）设出抛物线的解析式，利用待定系数法求解即可； （2）通过分割图形法表示三角形面积，转化为二次函数最值问题，利用二次函数性质求解． 【详解】（1）解：将，代入． 得解得：， ； （2）设点P的坐标为，且在第二象限内， 把代入，可得， ， 设直线的解析式为， 将代入上式，得， 解得，， 直线的解析式为， 过点P作垂直于x轴交于点Q，则， ， ， ， 当时，，， ． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C，请完成下面的填空： (1)该抛物线的解析式为___________ ． (2)在该抛物线的对称轴上存在点Q，使得的周长最小，则Q点的坐标为___________ ． (3)在抛物线上的第二象限上存在一点P，使的面积最大，则点P的坐标为___________ ，的最大面积为__ ． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、轴对称﹣最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式利用对称解决最小值问题，构建二次函数，利用二次函数的性质解决实际问题． （1）利用待定系数法，把问题转化为解方程组即可． （2）如图1中，连接交对称轴于Q，此时最小，即的周长最小，求出直线的解析式即可解决问题． （3）如图2中，设，作轴，交于M．则．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． 故答案为． （2）如图1中，连接交对称轴于Q，此时最小，即的周长最小， 设的解析式为，则有，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ． 故答案为． （3）如图2中，设，作轴，交于M．则． ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时点． 故答案为，． 19．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 一、单选题 1．（2025·广东中山·一模）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 二、填空题 2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 三、解答题 3．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点． (1)求二次函数的解析式． (2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键． （1）将点B坐标代入即可求出解析式； （2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）∵二次函数的解析式为， ∴时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 所以直线的解析式为 设点的坐标为． 则点的坐标为． 因为点在点的右边， 所以 ． 因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点， 所以， 所以当时，线段的长度有最大值，最大值为． 4．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线下方抛物线上任意一点，过点作轴于点，与交于点，求线段长度的最大值． (3)若点在轴上，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）根据的解析式和抛物线的解析式，设，则，表示的长，根据二次函数的最值可得的最大值即可； （3）如图1，连接，，交于点．然后分点在点的左侧和右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线中 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：， 当时，， 解得：或， ∴； 设的解析式为：， ∵，， ， 解得：， ∴的解析式为：， 设， 则， ， 当时，有最大值为． （3）解：如图1，连接，交于点． ， ∴顶点， 设所在直线的解析式为：， 将代入函数解析式得， 解得， 故所在直线的解析式为：， ∵， ∴， 设所在直线的解析式为：， 将点坐标代入函数解析式，得， 故所在直线的解析式为：， 当时，， 即点的坐标为， 当点在点的右侧时， ∵，，， ，，， ， ∴是直角三角形， 是斜边， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴经过的中点， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标是． ∴综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论和数形结合的思想是解题的关键． 5．如图，二次函数的图像与x轴交于和两点，交y轴与点，点C，D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图像过点B，D． (1)求二次函数解析式； (2)求出顶点坐标和点D的坐标； (3)二次函数的对称轴上是否存在的一点M，使的周长最小？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． (4)若是线段上任意一点，过点作轴交抛物线于点P，则点P坐标为多少时，最长？ 【答案】(1) (2)顶点坐标为；点关于对称轴的对称点D的坐标为； (3)存在， (4)点P坐标为时，最长． 【分析】（1）由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为，将点代入求得a的值，即可得到答案； （2）由，得到顶点坐标，由抛物线的对称轴为直线，得到点D的坐标； （3）要使的周长最小，只需最小即可，点A和B关于直线对称，连接交直线于点M，求出直线的解析式，求得交点M的坐标即可； （4）先求直线的解析式，设点P的坐标是，则点Q的坐标是，表示出的长度，根据二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：由抛物线与x轴的交点坐标和，设抛物线的解析式为， 将点代入，得：， 解得：， 则抛物线的解析式为. （2）∵， ∴顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点D的坐标为； （3）存在，要使的周长最小，只需最小即可， ∵点A和B关于直线对称，连接交直线于点M， ∴， 则， ∴点M满足题意， 设直线的解析式为，把点和代入得， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标是， 则， 即点为所求． （4）如图， 设直线的解析式为，把点和点D代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标是，则点Q的坐标是， 则， ∵ ， ∴当时，有最大值为， 此时， 即点P坐标为时，最长． 【点睛】此题主要考查了二次函数几何综合题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标； (3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值． 【答案】(1) (2)或或或 (3)点时，的值最大为， 【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设，设的解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当时，求的面积是否为15进而可得出点B 的另一个坐标． （3）做点O的对称点，连接交对称轴于点P，则，有，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线的直线方程为，当时求得，则点时，的值最大，并利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解： 抛物线经过点， ∴设抛物线为： 抛物线过，且它的对称轴为． 解得： ∴抛物线为：； （2）解：设， 设的解析式为：， 则， 解得：， 则 的解析式为：， 当时，则， 解得：， 侧， ∴ ∵ ∴， 解得：或或或（舍去）， 此时点，或， 当时，则直线为，平行于x轴 此时， ，满足题意， 综上：则或或或． （3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图， 则， ∴， 当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值， 设直线的直线方程为， 则，解得， ∴直线的直线方程为， 当时，， 那么，点时，的值最大，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性． 7．如图，抛物线（）与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标； (3)是第四象限内抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值为，点的坐标为 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）连接交对称轴于点，由关于对称轴对称得，进而得到，可知当三点共线时，的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，再把代入计算即可求解； （）过点作轴 ，交于点，设点，则， 可得，进而根据三角形面积公式求出与的函数解析式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把点，点代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接交对称轴于点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵关于对称轴对称， ∴， ∴， 当三点共线时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入，得， ∴； （3）解：如图，过点作轴 ，交于点， 连接，， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为， 此时，点的坐标为． 8．已知对称轴为的二次函数的图像与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)点是对称轴上的一个动点，连接，，是否存在点使最大，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线的解析式为 (2)存在点， (3)存在点，使是直角三角形，点的坐标为或或或 【分析】（1）由题意得：，再将代入，求解即可；设直线的解析式为，把，代入，然后解方程组即可； （2）连接，，则，当、、三点共线时，有最大值，延长交对称轴于点，，解方程得到，设直线的解析式为，得到直线解析式为，当时，求出的值即可； （3）根据题意对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵对称轴为的二次函数的图像与轴交于，， ∴，， 解得：，， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）存在点，连接，，则， 当、、三点共线时，有最大值， 延长交对称轴于点，则， ∵二次函数的图像与轴交于，， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （3）存在点，使是直角三角形， ∵点对称轴上， 设， ∵，， ∴，，， ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴， 解得：， ∴； ③当时，， ∴， 解得：或， 点坐标为或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称的性质，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．已知二次函数的图像经过点，点，点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点轴交于点，求周长的最大值； (3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)由待定系数法即可求解； (2)由题意得：，再表示△PMN周长为即可求解； (3)当点H在点P的右侧时，得到，求出点 N的坐标，联立抛物线和的表达式即可求解；当点在点P的左侧时，利用轴求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴设抛物线的表达式为：， 把点的坐标代入，得， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由点的坐标知， ， 则， 设直线的表达式为：， 把点代入，得 ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则周长 ， ∵， ∴当时，周长的最大，最大值为，此时点 ； （3）解：当点H在点P的右侧时，如下图，    延长交x轴于点N， ∵，则 ， 设点， 由得： ， 解得：， 则点 ， 由点的坐标得，直线的表达式为： 联立抛物线和的表达式得： ， 解得： (舍去) 或， 即点H的横坐标为：； 当点在点P的左侧时，如上图， ∵， 则轴， 则点横坐标为：， 综上，点H的横坐标为：或． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，解直角三角形、一次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键． 10．如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $