广东省东莞市东城实验中学2024-2025学年八年级上学期数学期中试卷

广东省东莞市东城实验中学2024-2025学年八年级上册数学期中试卷 1．（2024八上·东莞期中）如图所示图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024八上·东莞期中）若一个三角形的两边长分别为4cm，6cm，则它的第三边的长可以是（　　） A．2cm B．4cm C．10cm D．11cm 3．（2024八上·东莞期中）下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 4．（2024八上·东莞期中）正八边形的外角和为（　　） A． B． C． D． 5．（2024八上·东莞期中）如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A．， B． ， C．， D．， 6．（2024八上·东莞期中）平面直角坐标系中的点 与点 关于（　　） A．原点对称 B． 轴对称 C． 轴对称 D．第一、三象限角平分线对称 7．（2024八上·东莞期中）在中，，D为的中点，，则的长为（　　） A． B． C．1 D．2 8．（2024八上·东莞期中）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 9．（2024八上·东莞期中）如图，在 中，， 平分 ， 于，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 10．（2024八上·东莞期中）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 11．（2024八上·东莞期中）高速路上的路标警示牌，支撑结构采用三角形，是利用了三角形的　 　． 12．（2024八上·东莞期中）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为　 　. 13．（2024八上·东莞期中）如图，已知中，平分，且，则点D到边的距离为　 　． 14．（2024八上·东莞期中）如图，分别是，，的中线，若，则　 　． 15．（2024八上·东莞期中）如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值为　 　． 16．（2024八上·东莞期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，，∠A＝∠D．求证：AC＝DF． 17．（2024八上·东莞期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）这个多边形一共有多少条对角线？ 18．（2024八上·东莞期中）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO． 求证：（1）△ABO≌△DCO； （2）若∠OBC＝35°，求∠OCB的度数． 19．（2024八上·东莞期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，点，点． （1）画出关于y轴对称的； （2）连结、，四边形的面积为______． 20．（2024八上·东莞期中）如图，中，于D． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写做法）； （2）若，求的度数． 21．（2024八上·东莞期中）综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量体育馆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在体育馆外，选定一点； ②测量体育馆顶点视线与地面夹角； ③测量的长度； ④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； ⑤测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算体育馆高度的值． 22．（2024八上·东莞期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．求证： （1）； （2）． 23．（2024八上·东莞期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF． （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由． 24．（2024八上·东莞期中）如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°． （1）求证：OB=DC； （2）求∠DCO的大小； （3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形． 25．（2024八上·东莞期中）如图1，点、分别在轴负半轴和轴正半轴上，点，，且． （1）求点的坐标； （2）、分别交坐标轴于、，求证：； （3）连接，如图2，求证：． 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B正确； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，也是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 2．【答案】B 【知识点】三角形三边关系 【解析】【解答】解：设三角形第三边长为， ∵一个三角形的两边长分别为4cm，6cm， ∴第三边的取值范围为，即， 符合要求的为选项B， 故选：B． 【分析】利用三角形三边关系两边之和大于第三边得到，由此得到答案． 3．【答案】A 【知识点】三角形的高 【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合． 故选A． 【解析】 本题主要考查对三角形角平分线、中线和高的定义和性质进行考查，根据三角形的高的定义：过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高。根据定义判断四个选项，A项符合定义． 4．【答案】A 【知识点】多边形内角与外角 【解析】【解答】解：∵多边形的外角和都是， ∴正八边形的外角和为， 故选：A． 【分析】根据多边形的外角和都是即可得解． 5．【答案】B 【知识点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解：选项A：∵，，， ∴()，正确，故选项A不符合题意； 选项B：，，，两边以及一边对角对应相等， 不能判定，故选项B符合题意； 选项C：∵，，， ∴()，正确，故选项C不符合题意； 选项D：∵，，， ∴()，正确，故选项D不符合题意， 故答案为：B． 【分析】A.已知两组对应角相等，一组公共边，可以利用AAS判定全等； B.已知两组对应边相等，一组对应角相等，但这组角不是两边的夹角； C.已知两组对应角相等，还有一条公共边，可以用ASA进行判定； D.已经三组对边分别对应相等，可以使用SSS判定全等. 6．【答案】C 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵点 和点 的横坐标互为相反数，纵坐标相同 ∴点 与点 关于y轴对称． 故答案为C． 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，进行判断即可。 7．【答案】C 【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图， ∵，D为的中点， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可判断，再根据含30度角的直角三角形的性质30度角所对的直角边等于斜边长的一半求解即可． 8．【答案】B 【知识点】尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC， ∴PA=PB， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上， 故可判断B选项正确． 故答案为：B． 【分析】根据边之间的关系可得PA=PB，再根据段垂直平分线定理的逆定理即可求出答案. 9．【答案】B 【知识点】角平分线的性质 【解析】【解答】解： 平分 ， ，， ， ， 故选：B． 【分析】根据角平分线的性质定理角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而可以求出的周长； 10．【答案】A 【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：①如图，延长CF交AB于H， ∵分别为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴BF=AC； ∴原结论正确，符合题意； ②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC， ∴DF=DC， ∵∠ADC=90°， ∴DCF=∠DFC=45°， ∴， ∴， ∴原结论正确，符合题意； ③∵BF=2EC， 由①得：BF=AC， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长； ∴原结论正确，符合题意； ④由②得：，， ∴， ∵， ∴， ∴原结论错误，不符合题意； ∴正确的有①②③． 故答案为：A． 【分析】①延长CF交AB于H，用角边角可证△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等即可求解； ②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等可得DF=DC，然后根据等边对等角可得DCF=∠DFC=45°，然后用三角形的内角和定理可求出的度数，再根据垂线的定义可判断求解； ③由①的结论并结合已知易得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AF=CF，BA=BC，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解； ④由②得：，，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角”可得． 11．【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性 【解析】【解答】解：高速路上的路标警示牌，支撑结构采用三角形，是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性 【分析】支撑结构选用三角形，是利用了三角形的稳定性． 12．【答案】15 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵当腰长为3 时，∵3+3＝6，∴不能组成三角形， ∵当腰长为6 时，∵3+6＞6，∴能组成三角形， ∴它的周长为：6+6+3＝15． 故答案为：15. 【分析】因为题中的等腰三角形没有明确腰和底边，就有两种可能情况，还要根据三角形三边关系判断能否组成三角形，由判断得出等腰三角形腰长只能为6，然后即可求解． 13．【答案】3 【知识点】角平分线的性质 【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=3， 故点D到AB边的距离是3． 故答案为：3． 【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD． 14．【答案】16 【知识点】三角形的中线；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：∵点F是的中点，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故答案为：16 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，所以，同理，以此类推． 15．【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点B， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：8． 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点C关于直线的对称点为点B，故的长为的最小值，即可得出答案． 16．【答案】证明：∵FB＝CE， ∴BC＝EF， 又∵， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS） ∴AC＝DF 【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】先利用平行线的性质可得∠B＝∠E，再利用“AAS”证出△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质可得AC＝DF. 17．【答案】解：（1）设这个多边形的边数是n， 根据题意得，解得， 答：这个多边形的边数是8； （2）这个多边形一共有对角线：（条）． 【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角；多边形的内角和公式 【解析】【分析】（1）根据多边形的内角和公式和外角和是360°列方程求解即可； （2）根据多边形的对角线条数公式计算即可． 18．【答案】解：（1）在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（AAS）； （2）由（1）知，△ABO≌△DCO， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠OBC=35°， ∴∠OCB＝35°． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）由已知条件加上对顶角相等，直接利用AAS证明△ABO≌△DCO即可； （2）根据△ABO≌△DCO可得对应边相等OB＝OC，由等边对等角可得∠OBC＝∠OCB，由此求解即可． 19．【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）28 【知识点】梯形；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称 【解析】【解答】解：（2）四边形的面积为． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可． （2）四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． （1）解：如图，即为所求； （2）解：四边形的面积为． 20．【答案】（1）解：如图 （2）解：， ， 又平分， ， 又， ， ， ． 【知识点】角的运算；直角三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、AB于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，进而连接这个点和A点，交CD于点P，BC于点Q，从而得解； （2）先利用角的运算求出∠CAB的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出的度数即可. （1）解：如图 （2）解：， ， 又平分， ， 又， ， ， ． 21．【答案】解：由题图可知，，， ， 在和中， ， ， ． 答：体育馆高度为． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】由三角形内角和定理推出，进而根据两角夹边相等证明，由全等三角形的性质即可得到答案． 22．【答案】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质 【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得．再根据，得；（2）利用角平分线性质证明，得到，再将线段进行转化． （1）证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 23．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠EAF=90°，∠ADE+∠F=90°， ∵∠DAE=∠ADE， ∴∠EAF=∠F， ∴EA=EF， ∵∠DAE=∠ADE， ∴EA=ED， ∴DE=EF； （2）解：BD=CF．理由： 过点D作DG∥AC交BC于G， ∴∠EDG=∠F， ∵ED=EF，∠DEG=∠FEC， ∴∆DGE≌∆FCE， ∴DG=CF， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B， ∵DG∥AC ∴∠ACB=∠DGB， ∴∠B=∠DGB， ∴BD=DG ∴BD=CF． 【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合 【解析】【分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题； （2）过点D作DG∥AC交BC于G，证明∆DGE≌∆FCE ，则DG=CF，再证出DG=BD即可得出结论． 24．【答案】（1）∵∠BAC=∠OAD=90°， ∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO， ∴∠DAC=∠OAB， 在△AOB与△ADC中， ， ∴△AOB≌△ADC， ∴OB=DC； （2）∵∠BOC=130°， ∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°， ∵△AOB≌△ADC ∠AOB=∠ADC， ∴∠ADC+∠AOC=230°， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠DAO=90°， ∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°； （3）当CD=CO时， ∴∠CDO=∠COD==70°， ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠ODA=45°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°， 又∠AOB=∠ADC=α， ∴α=115°； 当OD=CO时， ∴∠DCO=∠CDO=40°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°， ∴α=85°； 当CD=OD时， ∴∠DCO=∠DOC=40°， ∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°， ∴α=145°， 综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形． 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；多边形的内角和公式 【解析】【分析】（1）由已知可以证明△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得； （2）由∠BOC=130°，根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°，再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四边形AOCD中，根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数； （3）分三种情况进行讨论即可：①CD=CO；②OD=CO；③CD=OD. 25．【答案】（1）解：作轴，轴，如下图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ​​​​​​ （2）证明：如图1，由（1）可得 又∵ ∴ （3）证明：在上截取，连接，如下图： 由题意可得：为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；三角形全等及其性质 【解析】【分析】（1）作轴，轴，通过AAS证明，求解即可； （2）求得，根据三角形面积公式，即可求证； （3）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质，求证即可． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省东莞市东城实验中学2024-2025学年八年级上册数学期中试卷 1．（2024八上·东莞期中）如图所示图形中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轴对称图形 【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误； B．是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B正确； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C错误； D．不是轴对称图形，也是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 2．（2024八上·东莞期中）若一个三角形的两边长分别为4cm，6cm，则它的第三边的长可以是（　　） A．2cm B．4cm C．10cm D．11cm 【答案】B 【知识点】三角形三边关系 【解析】【解答】解：设三角形第三边长为， ∵一个三角形的两边长分别为4cm，6cm， ∴第三边的取值范围为，即， 符合要求的为选项B， 故选：B． 【分析】利用三角形三边关系两边之和大于第三边得到，由此得到答案． 3．（2024八上·东莞期中）下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的高 【解析】【解答】解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合． 故选A． 【解析】 本题主要考查对三角形角平分线、中线和高的定义和性质进行考查，根据三角形的高的定义：过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高。根据定义判断四个选项，A项符合定义． 4．（2024八上·东莞期中）正八边形的外角和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】多边形内角与外角 【解析】【解答】解：∵多边形的外角和都是， ∴正八边形的外角和为， 故选：A． 【分析】根据多边形的外角和都是即可得解． 5．（2024八上·东莞期中）如图，要使，下面给出的四组条件中，错误的一组是(　　) A．， B． ， C．， D．， 【答案】B 【知识点】三角形全等的判定 【解析】【解答】解：选项A：∵，，， ∴()，正确，故选项A不符合题意； 选项B：，，，两边以及一边对角对应相等， 不能判定，故选项B符合题意； 选项C：∵，，， ∴()，正确，故选项C不符合题意； 选项D：∵，，， ∴()，正确，故选项D不符合题意， 故答案为：B． 【分析】A.已知两组对应角相等，一组公共边，可以利用AAS判定全等； B.已知两组对应边相等，一组对应角相等，但这组角不是两边的夹角； C.已知两组对应角相等，还有一条公共边，可以用ASA进行判定； D.已经三组对边分别对应相等，可以使用SSS判定全等. 6．（2024八上·东莞期中）平面直角坐标系中的点 与点 关于（　　） A．原点对称 B． 轴对称 C． 轴对称 D．第一、三象限角平分线对称 【答案】C 【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵点 和点 的横坐标互为相反数，纵坐标相同 ∴点 与点 关于y轴对称． 故答案为C． 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，进行判断即可。 7．（2024八上·东莞期中）在中，，D为的中点，，则的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】含30°角的直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图， ∵，D为的中点， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【分析】根据等腰三角形的性质三线合一可判断，再根据含30度角的直角三角形的性质30度角所对的直角边等于斜边长的一半求解即可． 8．（2024八上·东莞期中）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】尺规作图-垂直平分线 【解析】【解答】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC， ∴PA=PB， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上， 故可判断B选项正确． 故答案为：B． 【分析】根据边之间的关系可得PA=PB，再根据段垂直平分线定理的逆定理即可求出答案. 9．（2024八上·东莞期中）如图，在 中，， 平分 ， 于，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的性质 【解析】【解答】解： 平分 ， ，， ， ， 故选：B． 【分析】根据角平分线的性质定理角平分线上的点到角的两边距离相等可得，进而可以求出的周长； 10．（2024八上·东莞期中）如图，在中，分别为边上的高，相交于点F，，连接CF，则下列结论：①；②；③若，则周长等于的长；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：①如图，延长CF交AB于H， ∵分别为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴BF=AC； ∴原结论正确，符合题意； ②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC， ∴DF=DC， ∵∠ADC=90°， ∴DCF=∠DFC=45°， ∴， ∴， ∴原结论正确，符合题意； ③∵BF=2EC， 由①得：BF=AC， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长； ∴原结论正确，符合题意； ④由②得：，， ∴， ∵， ∴， ∴原结论错误，不符合题意； ∴正确的有①②③． 故答案为：A． 【分析】①延长CF交AB于H，用角边角可证△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等即可求解； ②由①得：∠ABC=45°，△DBF≌△DAC，由全等三角形的对应边相等可得DF=DC，然后根据等边对等角可得DCF=∠DFC=45°，然后用三角形的内角和定理可求出的度数，再根据垂线的定义可判断求解； ③由①的结论并结合已知易得垂直平分，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得AF=CF，BA=BC，然后根据三角形的周长等于三角形三边之和可求解； ④由②得：，，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角”可得． 11．（2024八上·东莞期中）高速路上的路标警示牌，支撑结构采用三角形，是利用了三角形的　 　． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性 【解析】【解答】解：高速路上的路标警示牌，支撑结构采用三角形，是利用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定性 【分析】支撑结构选用三角形，是利用了三角形的稳定性． 12．（2024八上·东莞期中）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为　 　. 【答案】15 【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵当腰长为3 时，∵3+3＝6，∴不能组成三角形， ∵当腰长为6 时，∵3+6＞6，∴能组成三角形， ∴它的周长为：6+6+3＝15． 故答案为：15. 【分析】因为题中的等腰三角形没有明确腰和底边，就有两种可能情况，还要根据三角形三边关系判断能否组成三角形，由判断得出等腰三角形腰长只能为6，然后即可求解． 13．（2024八上·东莞期中）如图，已知中，平分，且，则点D到边的距离为　 　． 【答案】3 【知识点】角平分线的性质 【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB， ∵∠C=90°，AD平分∠BAC， ∴DE=CD=3， 故点D到AB边的距离是3． 故答案为：3． 【分析】过点D作DE⊥AB，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD． 14．（2024八上·东莞期中）如图，分别是，，的中线，若，则　 　． 【答案】16 【知识点】三角形的中线；利用三角形的中线求面积 【解析】【解答】解：∵点F是的中点，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵点D是的中点， ∴． 故答案为：16 【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，所以，同理，以此类推． 15．（2024八上·东莞期中）如图，等腰的底边长为4，面积为12，边的垂直平分线分别交，于点M，N，若点D为的中点，点P为线段上一动点，则的周长的最小值为　 　． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一 【解析】【解答】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点B， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：8． 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，可得出，再由，即可得出，由是线段的垂直平分线，可知点C关于直线的对称点为点B，故的长为的最小值，即可得出答案． 16．（2024八上·东莞期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，，∠A＝∠D．求证：AC＝DF． 【答案】证明：∵FB＝CE， ∴BC＝EF， 又∵， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS） ∴AC＝DF 【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】先利用平行线的性质可得∠B＝∠E，再利用“AAS”证出△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质可得AC＝DF. 17．（2024八上·东莞期中）一个多边形的内角和是外角和的3倍． （1）求这个多边形的边数； （2）这个多边形一共有多少条对角线？ 【答案】解：（1）设这个多边形的边数是n， 根据题意得，解得， 答：这个多边形的边数是8； （2）这个多边形一共有对角线：（条）． 【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角；多边形的内角和公式 【解析】【分析】（1）根据多边形的内角和公式和外角和是360°列方程求解即可； （2）根据多边形的对角线条数公式计算即可． 18．（2024八上·东莞期中）已知：如图，AC、DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO． 求证：（1）△ABO≌△DCO； （2）若∠OBC＝35°，求∠OCB的度数． 【答案】解：（1）在△ABO和△DCO中， ， ∴△ABO≌△DCO（AAS）； （2）由（1）知，△ABO≌△DCO， ∴OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∵∠OBC=35°， ∴∠OCB＝35°． 【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS 【解析】【分析】（1）由已知条件加上对顶角相等，直接利用AAS证明△ABO≌△DCO即可； （2）根据△ABO≌△DCO可得对应边相等OB＝OC，由等边对等角可得∠OBC＝∠OCB，由此求解即可． 19．（2024八上·东莞期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点，点，点． （1）画出关于y轴对称的； （2）连结、，四边形的面积为______． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）28 【知识点】梯形；轴对称的性质；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称 【解析】【解答】解：（2）四边形的面积为． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可． （2）四边形是梯形，利用梯形的面积公式计算即可． （1）解：如图，即为所求； （2）解：四边形的面积为． 20．（2024八上·东莞期中）如图，中，于D． （1）尺规作图：作的角平分线，交于点P，交于点Q（保留作图痕迹，不写做法）； （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：如图 （2）解：， ， 又平分， ， 又， ， ， ． 【知识点】角的运算；直角三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线 【解析】【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AC、AB于一点，然后再以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，进而连接这个点和A点，交CD于点P，BC于点Q，从而得解； （2）先利用角的运算求出∠CAB的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出的度数即可. （1）解：如图 （2）解：， ， 又平分， ， 又， ， ， ． 21．（2024八上·东莞期中）综合与实践：八年级数学兴趣小组开展了测量体育馆高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量体育馆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 ①在体育馆外，选定一点； ②测量体育馆顶点视线与地面夹角； ③测量的长度； ④放置一根与长度相同的标杆，垂直于地面； ⑤测量标杆顶部视线与地面夹角． 测量数据 ，，， 请你根据兴趣小组测量方案及数据，计算体育馆高度的值． 【答案】解：由题图可知，，， ， 在和中， ， ， ． 答：体育馆高度为． 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-ASA 【解析】【分析】由三角形内角和定理推出，进而根据两角夹边相等证明，由全等三角形的性质即可得到答案． 22．（2024八上·东莞期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质 【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得．再根据，得；（2）利用角平分线性质证明，得到，再将线段进行转化． （1）证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． 23．（2024八上·东莞期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF． （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°， ∴∠DAE+∠EAF=90°，∠ADE+∠F=90°， ∵∠DAE=∠ADE， ∴∠EAF=∠F， ∴EA=EF， ∵∠DAE=∠ADE， ∴EA=ED， ∴DE=EF； （2）解：BD=CF．理由： 过点D作DG∥AC交BC于G， ∴∠EDG=∠F， ∵ED=EF，∠DEG=∠FEC， ∴∆DGE≌∆FCE， ∴DG=CF， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠B， ∵DG∥AC ∴∠ACB=∠DGB， ∴∠B=∠DGB， ∴BD=DG ∴BD=CF． 【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合 【解析】【分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题； （2）过点D作DG∥AC交BC于G，证明∆DGE≌∆FCE ，则DG=CF，再证出DG=BD即可得出结论． 24．（2024八上·东莞期中）如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°． （1）求证：OB=DC； （2）求∠DCO的大小； （3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形． 【答案】（1）∵∠BAC=∠OAD=90°， ∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO， ∴∠DAC=∠OAB， 在△AOB与△ADC中， ， ∴△AOB≌△ADC， ∴OB=DC； （2）∵∠BOC=130°， ∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°， ∵△AOB≌△ADC ∠AOB=∠ADC， ∴∠ADC+∠AOC=230°， 又∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠DAO=90°， ∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°； （3）当CD=CO时， ∴∠CDO=∠COD==70°， ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴∠ODA=45°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°， 又∠AOB=∠ADC=α， ∴α=115°； 当OD=CO时， ∴∠DCO=∠CDO=40°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°， ∴α=85°； 当CD=OD时， ∴∠DCO=∠DOC=40°， ∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°， ∴α=145°， 综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形． 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；多边形的内角和公式 【解析】【分析】（1）由已知可以证明△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得； （2）由∠BOC=130°，根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°，再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四边形AOCD中，根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数； （3）分三种情况进行讨论即可：①CD=CO；②OD=CO；③CD=OD. 25．（2024八上·东莞期中）如图1，点、分别在轴负半轴和轴正半轴上，点，，且． （1）求点的坐标； （2）、分别交坐标轴于、，求证：； （3）连接，如图2，求证：． 【答案】（1）解：作轴，轴，如下图 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ​​​​​​ （2）证明：如图1，由（1）可得 又∵ ∴ （3）证明：在上截取，连接，如下图： 由题意可得：为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；三角形全等及其性质 【解析】【分析】（1）作轴，轴，通过AAS证明，求解即可； （2）求得，根据三角形面积公式，即可求证； （3）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质，求证即可． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $