专题02 不等式和基本不等式（期中真题汇编，辽宁专用）高一数学上学期

专题02 不等式和基本不等式 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程根与系数的关系 考点02 不等式性质的应用 考点03 一元二次不等式的解法和应用 考点04 一元二次方程跟的分布问题单 考点05 利用基本不等式求最值 地 城 考点01 一元二次方程根与系数的关系 一、单选题 1．(22-23高一上·辽宁大连第八中学·月考)已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（    ） A．或6 B．6 C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题 【分析】先根据条件可知，再结合韦达定理即可建立等量关系，即可得解. 【详解】关于x的方程有两个实数根， ，解得， 实数k的取值范围为， 根据韦达定理可得，， ， ，即， 解得或 (不符合题意，舍去)， 实数k的值为. 故选：C. 2．(22-23高一上·辽宁大连第八中学·期中)已知是的三边长，关于的方程的解集只有一个元素，且方程的根为，则的形状为（    ） A．等腰但不等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【来源】辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【分析】根据题意可得方程的判别式，和，联立解的关系即可. 【详解】因为方程的解集只有一个元素， 所以，即①， 又因为方程的根为，所以②， 由①②可得，即为等边三角形， 故选：C. 3．(22-23高一上·辽宁实验中学·期中)已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省实验中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【分析】利用根的判别式可得到或，利用一元二次方程根与系数的关系可得到，，代入不等式求解即可 【详解】因为方程的两根分别是和， 所以，解得或， ，， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：C 二、填空题 4．(23-24高一上·辽宁辽阳·期中)设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ． 【答案】 【来源】辽宁省辽阳市2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【分析】利用韦达定理化简及根的判别式转化条件，再解分式不等式可得答案. 【详解】因为一元二次方程的两个实根为，（）， 则或， 由韦达定理得， 而，解得， 综上，a的取值集合是 故答案为： 地 城 考点02 不等式性质的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁锦州某校·期中)若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷 【分析】根据不等式的性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当 且时，，B错误； 对于C，，，又，，C正确； 对于D，当，时，，D错误. 故选：C. 2．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】利用不等式性质，先求解出的范围，然后可求即的范围. 【详解】因为，所以， 所以，即， 故选：D. 3．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】由题意得，，进一步根据不等式的性质即可求解. 【详解】因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 4．(23-24高一上·辽宁葫芦岛协作校·)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省葫芦岛市协作校2023-2024学年高一上学期第二次考试数学试题 【分析】根据不等式性质结合反例逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，虽说，但是，错误； 对于B，成立时，不一定成立，比如时，， 此时，错误； 对于C，举反例，当时，满足，此时，， 则有，错误； 对于D，因为，所以， 所以，所以，正确. 故选：D 二、多选题 5．(24-25高一上·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】辽宁省朝阳市建平县实验中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题 【分析】利用作差法比较各式大小，即可确定选项A、D正确，选项B、C错误. 【详解】由可得，. 对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，，当时，，故C选项不正确； 对于D选项，，故D选项正确. 故选：AD. 6．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，则 C．当时，则 D．当时，则 【答案】BCD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】举例分析A选项；利用不等式的性质判断BCD选项. 【详解】A：取，此时，即，故错误； B：，因为且，所以，所以，即，故正确； C：，因为，所以，即，故正确； D：，因为，所以，所以，故正确； 故选：BCD. 7．(23-24高一上·辽宁丹东·期中)下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【来源】辽宁省丹东市2023-2024学年高一上学期期中教学质量调研测试数学试题 【分析】根据不等式的性质，取特殊值判断，作差法，即可判断选项. 【详解】A.因为，可知，，则，故A正确； B.若，满足，此时，故B错误； C.，，满足，此时，故C 错误； D. ，因为，所以，，即，即，故D正确. 故选：BC 三、填空题 8．(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)已知实数x、y满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】通过观察可知， 由于，则， 而，所以. 故答案为： 9．(23-24高一上·辽宁葫芦岛协作校·)已知，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省葫芦岛市协作校2023-2024学年高一上学期第二次考试数学试题 【分析】根据不等式的性质结合条件即得. 【详解】因为，所以. 因为，所以，则. 故答案为： 四、解答题 10．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)0．（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）采用分析法证明，先假设，通过分析得到，再由不等式的性质变形后把代入即可得证； （2）采用反证法，假设，由不等式的性质得到，与题干矛盾即可. 【详解】（1）证明：若，则，，不合题意，. 要证，只需证， 又，只需证， 即，只需证，只需证， 成立，原式成立. （2）证明：假设，，， ，与矛盾， 假设不成立，与至少有一个大于. 地 城 考点03 一元二次不等式的解法和应用 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．不充分也不必要条件 【答案】A 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期教学质量调研测试数学试卷 【分析】根据不等式的解法，分别求得不等式的解集，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】根据题意可知， ， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．(24-25高一上·陕西榆林府谷县府谷中学·月考)已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 【答案】A 【来源】陕西省榆林市府谷县府谷中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为， 即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 3．(24-25高一上·辽宁沈阳郊联体·期中)不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】由一元二次不等式解集结构即可求解. 【详解】由， 可得：， 解得：或 ， 故选：D 4．(24-25高一上·辽宁丹东名校协作体·期中)已知关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省丹东市名校协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】由不等式的解集，利用韦达定理得与的关系，对所求不等式进行变形求解即可. 【详解】关于x的不等式的解集是，则, 则，， 不等式等价于，即， 解得或. 故选：C. 5．(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】首先将问题等价转换为当时，或恒成立，对进行分类讨论即可求解. 【详解】已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立， 则恒成立， 所以恒成立， 情形一：当时，即或时， 不等式恒成立， 情形二：当时，或恒成立， 故或恒成立， （i）当时，或恒成立， 当且仅当或恒成立， 当且仅当或符合题意； （ii）当时，或恒成立， 当且仅当或恒成立， 当且仅当或符合题意； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 6．(23-24高一上·辽宁葫芦岛协作校·)若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】辽宁省葫芦岛市协作校2023-2024学年高一上学期第二次考试数学试题 【分析】对分类讨论,利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得，解得 综上，的取值范围是. 故选：B 二、填空题 7．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期教学质量调研测试数学试卷 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 故答案为： 三、解答题3 8．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)解关于的不等式或求值. (1)； (2)已知，解不等式； (3)，求. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 (3) 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 【分析】（1）先求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得出所求不等式解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合分式不等式或二次不等式可得出所求不等式的解集； （3）由已知等式可得出、与的等量关系，即可得出的值. 【详解】（1）原不等式化为，即，可得， 解得或， 所以原不等式解集为或. （2）原不等式化为， ①当时，原不等式为，解得； ②当时，原不等式化为，即， 当时，原不等式等价于，显然，解得； 当时，原不等式等价于，而，解得或. 所以当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）由，解得，所以. 9．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)设函数. (1)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)见解析 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）分两种情况讨论，即可求得结果； （2）先将转化为关于的一元二次不等式，根据的取值范围进行分类讨论求解. 【详解】（1）当时，，成立； 当时，在上恒成立， 所以，解得； 综上的取值范围为； （2）因为，则，整理可得， 当时，原不等式为，解得； 当时，方程的两根为， 当，即时，的解为； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为或. 10．(23-24高一上·辽宁部分学校·期中)（1）若不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的一元二次不等式的解集． 【答案】（1） ；（2）答案见解析 ． 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【分析】（1）依题意可得和为方程的两根且，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，首先判断，再分、两种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以和为方程的两根且， 所以，解得； （2）由，得，即， 因为是关于的一元二次不等式，所以， 当时，解得或，故不等式的解集为； 当时，不等式即为， ①时，即，不等式无解，故不等式的解集为； ②时，，解得，故不等式的解集为； ③时，，解得，故不等式的解集为； 综上：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 11．(23-24高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知关于的不等式. (1)该不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）可知1和4是方程的两根，且，利用韦达定理即可求解； （2）恒成立，分和两种情况，结合二次函数运算求解； （3）分和两种情况，根据子集关系结合二次函数列式求解. 【详解】（1）因为的解集为， 可知1和4是方程的两根，且， 由根与系数关系可得，解得. （2）因为的解集为，即恒成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：所以实数的取值范围为. （3）设不等式的解集为，可知， 若，则，解得，即，不合题意； 若，可知，则有： 当时，由（2）可知：； 当时，必有，令，可知其开口向上，对称轴为， 若，则；若，则； 结合二次函数图象有，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 地 城 考点04 一元二次不等式的解法和应用 1、 单选题 1. ．关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 2. 已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ） A．-2 B． C． D．1 【答案】B 【来源】辽宁省沈阳市第一二〇中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题 【分析】由判别式可解得，由根与系数关系可得，由的范围结合不等式的性质变形可得答案． 【详解】由题意可得 ， 解得或， 设两个为，，由两根为正根可得 ，解得， 综上知，. 故两个根的倒数和为 ， ， ，， 故， ， 故两个根的倒数和的最小值是. 故选：B 二、解答题 3. 已知函数 (1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围． (2)求解关于不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【来源】辽宁省沈阳市实验中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【分析】（1）由图象得出方程在有两个不等实数根，应满足的条件列出不等式组即得. （2）根据方程的判别式进行讨论即得. 【详解】（1）因为方程在有两个不等实数根， 由图知满足的条件为： 解得：    （2）由得出 ①若时，即或，方程有两个相等的实数根为， 此时原不等式解集为； ②若时，即，方程无实数根. 此时原不等式解集为; ③若时，即或， 方程有两个不相等的实数根分别为，或， 此时原不等式解集为， 综上所述： ①当或，不等式解集为. ②当或，不等式解集为. ③当，不等式的解集为． 4. 已知． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数k的取值范围； (2)方程有两个不相等的实数根， ①是否存在实数k使成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②若均大于零，试求k的取值范围． 【答案】(1) (2)①不存在，理由见解析， ② 【来源】辽宁省沈阳市第二十中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题 【分析】（1）根据不等式恒成立，分类讨论，当不等式为二次不等式时转化为判别式求解； （2）①由根与系数的关系列出方程求解；②根据两根之积大于0求解即可. 【详解】（1）由可得， 又不等式解集为R，即恒成立， 当时，原不等式为，满足题意； 当时，只需且， 解得. 综上， （2）由题意，两个不相等的实数根， 则，即，解得， 则，， ①若存在k满足条件，则， 即，解得， 不满足， 故不存在使成立. ②若均大于零，则只需， 解得或，又， 所以. 故k的取值范围为. 地 城 考点05 利用基本不等式求最值 一 、单选题 1． 已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 【分析】结合一次函数与二次函数的图象性质，由不等式可得两函数有共同零点，由此得是方程的根，可得，的关系，消再利用基本不等式求解最值可得． 【详解】设，，又，所以在单调递增， 当时，；当时，，由图象开口向上，，    可知方程有一正根一负根，即函数在有且仅有一个零点，且为异号零点； 由题意知，则当时，； 当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 则的最小值是8. 故选：C 2． 若且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【来源】辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高三上学期期中Ⅱ考试数学试卷 【分析】根据“1”的妙用，转化为，展开后，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为， 则， 当，即，联立，得，时等号成立. 所以的最小值为. 故选：B 3． 设，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最小值为 【答案】D 【来源】辽宁省丹东市名校协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以有最小值为. 故选：D 4． 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 5． 不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】由题意可得 ，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】因为,为正数，所以， 所以，则有， 令，则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 又，所以， 即， 所以的最小值为， 所以，即的最大值为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解. 6． 已知，则函数的最小值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】D 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以函数的最小值是. 故选：D 二、多选题 7． 若实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】AD 【来源】辽宁省丹东市2024-2025学年高一上学期教学质量调研测试数学试卷 【分析】根据可分析出的最值；根据结合的范围可求的最值. 【详解】因为，所以，所以， 当，此时，当，此时或， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 因为，所以，所以， 当时，，当时，， 所以的最大值为，最小值为，故C错误，D正确； 故选：AD. 8． 已知且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】辽宁省丹东市名校协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】由已知条件求的取值范围，即可判断AB；由指数幂的运算判断C；利用基本不等式判断D. 【详解】且，可知，， 又，则，A选项正确； 由，则，B选项正确； ，C选项错误； ，当且仅当时等号成立，D选项正确. 故选：ABD. 9． 已知均为正实数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则最大值为 【答案】BC 【来源】辽宁省沈阳市五校协作体2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题 【分析】利用作差法来比较大小，利用基本不等式求最大值，需要考虑等号是否成立，这样就可以作出各选项的判断. 【详解】对于A，由， 因为，没有确定是否为正数，所以没有办法判定差的符号，故A错误； 对于B，由， 因为，所以可以判定差为正数，故B正确； 对于C，由于均为正实数，根据基本不等式得：， 由于，所以，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由于均为正实数，根据基本不等式得：， 由于，所以，但是，所以等号不成立，故D错误； 故选：BC. 10． 已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】对于A，由可用基本不等式直接判断；对于B，由于，利用A的结论判断；对于C，由，利用基本不等式直接判断；对于D，，利用A的结论判断. 【详解】对于A，因为，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，由A可知，， 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，因为，， 所以， 当且仅当即时等号成立，故C正确； 对于D，由A可知，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：BCD 11． 已知关于不等式的解集为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B．ab的最大值为 C．的最小值为4 D．有最小值 【答案】AB 【来源】辽宁省名校联合体2024-2025学年高三上学期期中检测数学试题 【分析】根据一元二次不等式的解集求得的关系式，结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，不等式的解集为， 可得，且方程的两根为和， 所以，所以， 所以，所以A正确： 因为，所以，可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，所以B正确： 由， 当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为8，所以C错误； 对于选项D：， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，故D错误． 故选：AB 12． 已知正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【来源】辽宁省普通高中2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】对于A，利用基本不等式可求解；对于B，利用“1”的代换法，基本不等式可求解；对于C，利用基本不等式可求解；对于D，将代入，再根据基本不等式可求解. 【详解】对于A，利用基本不等式可知，所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，可知， 所以 当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，所以，故C错误； 对于D，将代入，可得， 根据基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故D错误. 故选：AB 13． 已知正实数，满足，则（    ） A．的最小值为3 B．的最小值为6 C．的最小值为6 D．的最小值为9 【答案】BD 【来源】辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据基本不等式结合一元二次不等式求法即可得到答案 【详解】正实数，满足，则， 令 ，则，解得（舍），或， 即，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为6，故B对； 正实数，满足，则， 令，则 ，解得，或（舍）， 即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9，故D对； 故选：BD 14． 已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当a，b，时，的最小值为8 【答案】ABD 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】利用基本不等式求出最大值判断A；由结合基本不等式求出最大值判断B；由求出最小值判断C；由结合不等式性质及基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A， ，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，则， 当且仅当或时取等号，B正确； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，取，则，C错误； 对于D，，，则，当且仅当时取等号， 于是，当且仅当时取等号， 因此当时，，取得最小值8，D正确. 故选：ABD 【点睛】思路点睛：在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件. 15． 已知实数，满足，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】AC 【来源】辽宁省丹东市2025届高三上学期总复习阶段测试数学试卷 【分析】对于A，将分成同号，异号，或有一个为0三种情况，利用基本不等式进行分析讨论即得； 对于B，利用重要不等式求得xy的最大值排除此项；对于C，利用重要不等式即可推出结论成立； 对于D，通过取反例，即可排除此项. 【详解】对于A，由可得 当时，因，即，即， 解得，当且仅当时，有最小值为； 当时，显然有，即得； 当中有一个为0时，或， 综上可得，有最小值为，即A正确； 对于B，由可得，解得， 当或时等号成立，即有最大值为，故B错误； 对于C，由可得， 因，则解得， 当或时等号成立，即有最小值为，故C正确； 对于D，当，满足，但，故D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：本题主要考查基本不等式的性质应用，属于难题. 运用基本不等式的性质求最值的方法主要有： （1）直接法：利用“一正二定三相等”的要求运用基本不等式求解； （2）配凑法：将所求式配凑成积为定值或和为定值的情况进行求解； （3）消元法：通过已知式求出一个字母，代入所求式消元，再运用基本不等式求解； 三、填空题 16． 表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为 ． 【答案】 【来源】辽宁省鞍山市第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 【分析】根据的定义得到关于的不等式关系，再利用均值不等式求解的最小值. 【详解】因为，所以，. ，，都是正实数，则 即.可得. 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 17． 已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷 【分析】利用基本不等式中“”代换，直接求解即可. 【详解】由题知， 所以 ，当且仅当，时取等号. 故答案为： 18． 若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【来源】辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】首先对一切正数x，y恒成立，进一步恒成立且不妨让，从而只需求出的最大值即可. 【详解】不等式对一切正数x，y恒成立当且仅当不等式对一切正数x，y恒成立， 令，所以恒成立， 所以不妨让， 则 ，等号成立当且仅当， 综上所述，当时，有最大值1， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 19． 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)60元 (2)10.5万件， 60元 【来源】辽宁省锦州市某校2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷 【分析】（1）设每件定价为元，列不等式，解之可得； （2）由题意列出不等式，要求此不等式有解，分离参数后用基本不等式求得最值后可得． 【详解】（1）设每件定价为元，依题意得， 整理得， 解得. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为60元. （2）依题意知当时，， 等价于时，， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当该商品改革后销售量至少达到10.5万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为60元. 20． （1）小萌和小新在讨论一道题：“已知正数，满足，求的最小值.” 小萌认为：因为且，所以，所以的最小值是12. 你认为小萌的解法是否正确，如果错误，请给出正确解答过程.并说说从中你学到了什么？（应用不等式时要注意什么？） （2）请帮助小萌和小新同学完成下面的问题.已知且，求的最小值. 【答案】（1）不正确，答案见解析；（2）. 【来源】辽宁省沈阳市郊联体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换求目标式最值，注意等号成立条件； （2）法一：根据题设有，再应用基本不等式“1”的代换求目标式最值，注意取值条件；法二：目标式化为，应用基本不等式求最值，注意取值条件. 【详解】（1）不正确，理由如下： 因为，所以. 又，均为正数，所以，当且仅当，即时取等号. 所以，当且仅当，即时取等号. 综上，的最小值为16，若多次连用基本不等式后，一定要注意验证等号成立的条件； （2）法一：因为，所以， 所以. 当且仅当且时，即，时取等号. 综上，的最小值为. 法二： ， 当且仅当，即时等号成立. 21． 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地． (1)最大种植面积为多少？ (2)当种植区域的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？ 【答案】(1) (2)长为，宽为， 【来源】辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】（1）设矩形的一边长为 ，表示另一边长，结合条件表示出种植面积，利用基本不等式计算面积最大值. （2）根据基本不等式等号成立的条件，可知蔬菜种植面积最大时对应的种植区域的边长. 【详解】（1）设矩形的一边长为 ，则另一边长为， 因此种植蔬菜的区域两临边长分别为，， 由得， 所以种植面积， 故最大种植面积为. （2）根据（1）可知，当且仅当，即时，等号成立． 因此当种植区域的长为、宽为时，蔬菜的种植面积最大． 22． 已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【来源】辽宁省辽阳市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案. （2）利用基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）依题意，，，且， 所以，所以， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最大值为，此时. 所以的最大值为. （2） ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式和基本不等式 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程根与系数的关系 考点02 不等式性质的应用 考点03 一元二次不等式的解法和应用 考点04 一元二次方程跟的分布问题单 考点05 利用基本不等式求最值 地 城 考点01 一元二次方程根与系数的关系 一、单选题 1．(22-23高一上·辽宁大连第八中学·期中)已知关于x的方程有两个实数根.若满足，则实数k的取值为（    ） A．或6 B．6 C． D． 2．(22-23高一上·辽宁大连第八中学·期中)已知是的三边长，关于的方程的解集只有一个元素，且方程的根为，则的形状为（    ） A．等腰但不等边三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 3．(22-23高一上·辽宁实验中学·期中)已知方程的两根分别是和，且满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(23-24高一上·辽宁辽阳·期中)设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ． 地 城 考点02 不等式性质的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁锦州某校·期中)若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·辽宁辽阳·期中)若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一上·辽宁葫芦岛协作校·)已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25高一上·辽宁朝阳建平县实验中学·期中)已知，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期中)已知实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，则 C．当时，则 D．当时，则 7．(23-24高一上·辽宁丹东·期中)下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 8．(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)已知实数x、y满足，，则的取值范围为 . 9．(23-24高一上·辽宁葫芦岛协作校·)已知，则的取值范围是 . 四、解答题 10．(24-25高一上·辽宁实验中学·期中)0．（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 地 城 考点03 一元二次不等式的解法和应用 一、单选题 1．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．不充分也不必要条件 2．(24-25高一上·陕西榆林府谷县府谷中学·月考)已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 3．(24-25高一上·辽宁沈阳郊联体·期中)不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·辽宁丹东名校协作体·期中)已知关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·辽宁名校联盟·期中)设在二维平面上有两个点，，它们之间的距离有一个新的定义为，这样的距离在数学上称为曼哈顿距离或绝对值距离.已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离大于恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24高一上·辽宁葫芦岛协作校·)若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25高一上·辽宁丹东·调研)设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 三、解答题3 8．(24-25高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)解关于的不等式或求值. (1)； (2)已知，解不等式； (3)，求. 9．(24-25高一上·辽宁普通高中·期中)设函数. (1)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 10．(23-24高一上·辽宁部分学校·期中)（1）若不等式的解集为或，求，的值； （2）求关于的一元二次不等式的解集． 11．(23-24高一上·辽宁沈阳五校协作体·期中)已知关于的不等式. (1)该不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 地 城 考点04 一元二次不等式的解法和应用 1、 单选题 1. ．关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2. 已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（    ） A．-2 B． C． D．1 二、解答题 3. 已知函数 (1)方程在有两个不等实数根，求的取值范围． (2)求解关于不等式． 4. 已知． (1)若关于x的不等式的解集为R，求实数k的取值范围； (2)方程有两个不相等的实数根， ①是否存在实数k使成立?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由； ②若均大于零，试求k的取值范围． 地 城 考点05 利用基本不等式求最值 一 、单选题 1． 已知，，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A．4 B． C．8 D． 2． 若且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 3． 设，，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最小值为 C．有最小值为 D．有最小值为 4． 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 5． 不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 6． 已知，则函数的最小值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 二、多选题 7． 若实数满足，则（    ） A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 8． 已知且，则（   ） A． B． C． D． 9． 已知均为正实数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为 D．若，则最大值为 10． 已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11． 已知关于不等式的解集为 ，则下列结论正确的是（    ） A． B．ab的最大值为 C．的最小值为4 D．有最小值 12． 已知正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 13． 已知正实数，满足，则（    ） A．的最小值为3 B．的最小值为6 C．的最小值为6 D．的最小值为9 14． 已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当a，b，时，的最小值为8 15． 已知实数，满足，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 三、填空题 16． 表示，，中最大的数字的值，若，，都是正实数，，则的最小值为 ． 17． 已知正数，满足，则的最小值为 . 18． 若不等式对一切正数x，y恒成立，则实数t的取值范围为 . 四、解答题 19． 某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 20． （1）小萌和小新在讨论一道题：“已知正数，满足，求的最小值.” 小萌认为：因为且，所以，所以的最小值是12. 你认为小萌的解法是否正确，如果错误，请给出正确解答过程.并说说从中你学到了什么？（应用不等式时要注意什么？） （2）请帮助小萌和小新同学完成下面的问题.已知且，求的最小值. 21． 某村计划建造一个室内面积为的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留宽的通道，沿前侧内墙保留宽的空地． (1)最大种植面积为多少？ (2)当种植区域的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？ 22． 已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $