2.2.2 函数的表示法（第3课时—分段函数）课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第二章 函数 北师大版·必修第一册 2.2.2 函数的表示法 第3课时—分段函数 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 2.培养学生分析问题和解决问题的能力 学习目标 1.理解分段函数的概念，掌握分段函数求值和画图的方法， 能解决实际问题中的分段函数问题 3.增强学生的数学应用意识，体会数学在实际生活中的价值, 渗透数学运算和直观想象核心素养 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 例6. 阶梯电价与分段函数（课本P52） 例6：某地电力公司为鼓励市民节约用电,采取阶梯电价,即按月用电量分段计费办法,居民每月应缴电费(单位:元)与用电量(单位:)的关系是 分段函数 【问题1】第二段函数中,-12是如何得到的？能否通过前两段的衔接点验证？” 为保证时两段函数值相等： 实例分析,生成概念 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 【问题2】“若某居民本月电费为 250 元,你能反推出用电量吗？需要分几种情况讨论？” 结论：用电量约为459.47 kw·h. 需分三种情况： 分段函数是一个函数,但在不同区间有不同的对应关系 实例分析,生成概念 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数. 分段函数的定义 1.分段函数是一个函数,而不是几个函数. 概念解读 2.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集. 3.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算. 抽象概括,得出概念 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 例1.已知函数 (1)求; (2)若，求实数的值. 需从内到外逐层计算 确定自变量所在区间 嵌套求值 代入对应解析式求值 理清思路 解：(1)因为,所以 所以 分段函数求值——求函数值 题型一：分段函数的求值 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 题型一：分段函数的求值 1.分区间：确定自变量可能存在的区间及对应解析式 2.代值解方程：将函数值代入各区间的解析式求解 3.检验：检验解是否属于对应区间 分段函数求值——求自变量 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 求函数值 方法总结 1.确定自变量所在区间 2.代入对应解析式求值 3.若嵌套求值(如)，需从内到外逐层计算 类型一 求自变量 1.分区间：确定自变量可能存在的区间及对应解析式 2.代值解方程：将函数值代入各区间的解析式求解 3.检验：检验解是否属于对应区间 类型二 题型一：分段函数的求值 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 1．设函数,则 , 若,则 . 解：依题意，， 所以； 或 题型一：分段函数求值 练一练 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 题中的函数分为哪几段？每一段的定义域和对应关系是什么？ (1)如何分别绘制​ 在  和 在的图象？ (2)在绘制分段函数图象时,需要注意哪些关键点？ （3）如何通过图象观察函数的值域？ 题型二：分段函数的图象 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 题型二：分段函数的图象 画分段函数的步骤 1.分段画：在每个区间内绘制对应的图形 2.端点判：区分端点是否包含 3.查连接：检查分段点处是否连续或断开 由函数图象求值域 分段画→端点判→连接查 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 题型二：分段函数的图象 练一练 C 分段画（抛物线+直线） 题型二：分段函数的图象 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 A B C D B 分段画：先去绝对值,再分段画 题型二：分段函数的图象 练一练 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 例3已知函数的图象如图所示，则的解析式是 . 一看点 二定型 三代算 四验证 题型三：由分段函数图象求解析式 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 题型三：由分段函数图象求解析式 由分段函数图象求解析式 方法总结 一看点：提取关键点坐标 二定型：根据图象形状确定函数类型 三代算：代入点求参数 四验证：整体验证合理性 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 题型三：由分段函数图象求解析式 练一练 4.已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,则函数的解析式为　　 .  二定型： 直线+抛物线+直线 三代算 四验证 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 当1<x<3时,设y=a(x-2)2+2(a<0). ∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1. ∴当1<x<3时, y=-x2+4x-2(1<x<3). 综上可知,所求函数的解析式为 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 题型四：分段函数的应用 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 先判断区间，再代入对应解析式解方程 检查分段点是否连续 阶梯计价问题 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 题型四：分段函数的应用 练一练 5.北京市居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180 m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180 m3但不超过260 m3的部分,综合用水单价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为x m3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出f(x)的解析式,并作出f(x)的图象. 先判断区间，再代入对应解析式解方程 检查分段点是否连续 阶梯计价问题 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 解 如果x∈[0,180],则f(x)=5x;如果x∈(180,260],按照题意有 f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.因此 注意到f(x)在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分,又因为f(180)=5×180=900, f(260)=7×260-360=1 460, 由此可作出函数的图象,如图所示. 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 分段函数 分段函数的定义 题型 由分段函数的图象求解析式 分段函数的应用 分段函数的求值 课堂小结 分段函数的图象 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 1.已知函数（）. （1）用分段函数的形式表示该函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域. 课后作业 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 解：（1）当时，； 当时，. ∴ （2）函数的图象如图所示， （3）由（1）知，在上的值域为 参考答案 尊师守纪 刻苦钻研 全面发展 放眼未来 文 理 和 谐 发 展 彰 显 艺 体 特 色 不 甘 人 后 勇 争 上 游 y= f(x)= $