专题01 空间向量与立体几何 8个高频考点（期中真题汇编，人教A版）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 专题01空间向量与立体几何 ☆7大高频烤点概览 考点01空间向量及其线性运算 考点02共线与共面问题 考点03数量积及其应用 考点04空间向量基本定理 考点05空间向量及其运算的坐标表示 考点06空间位置关系的判断 考点07线线、线面、面面角 考点08距离问题 考点01 空间向量及其线性运算 一、单选题 1.(24-25高二上·山东百师联盟)给出下列命题： ①零向量的方向是任意的： ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同： ③若空间向量，满足=，则=； ④空间中任意两个单位向量必相等 其中正确命题的个数为()· A.4 B.3 C.2 D.1 2.(2425高二上·广东领航高中联盟)已知四面体ABCD如图所示，点E为线段 △ABC的重心，则E予=(） A.导A庙A记A B.A店A式A丽 C.青A丽-AC号A D.A店-名A配-AD 3.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟期中)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A乙+ 1/22 让教与学更高效 CD的中点，点F为 C市+B81=() 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.AC B.AB C.AB D.AC 4.(24-25高二上广东潮州饶平县)如图在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，则AG=(） A.A庙+A市+AC B.A丽+Ai+AC C.号A丽+Ai+AC D.店+A+AC 5.(24-25高二上安微合肥锦绣中学期中)在空间四边形0ABC中，OA-BA+B元等于(） A.OA B.AB c.o元 D.AC 二、多选题 6.(24-25高二上·福建福州福清期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量A市相等的向量有（) A.CB B.BC C.CiB D.BC 三、非选择题 7.(24-25高二上·上海静安区新中高级中学期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，F是DC的中点，设 AA1=,A店=6，A⑦=，用、6表示AF= 8.(2425高二上·上海松江二中期中)已知空间四边形ABCD中向量AB=a,AC=b,AD=,点E,F 分别是AB,CD的中点，则向量E京= (用a、b、表示) 9.化简：2a-b+4c-5a-b+号)+2(a+b+c). 目目 考点02 共线与共面问题 一、单选题 1.(24-25高二上湖南祁阳第一中学月考)下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是() A.AB+B元=AC B.A2-B元=ACC.AB=-2B元D.A=|Bd 2.(24-25高二上贵州黔东南苗族侗族)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列向量与AB1平行的是（) 2/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.DC B.CD] C.CD D.CD 3.(24-25高二上浙江台州山海协作体·期中)已知向量3，b是平面的两个不共线向量，非零向量元是直线 1的一个方向向量，则“a,,三个向量共面”是l//”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高二上·广东河源和平县部分学校·期中)己知A,B,C三点不共线，点O不在平面ABC内， Oi=号OA+xO方+yOC(xy>0),若A,B,C,D四点共面，则xy的最大值为() A.司 B.品 C.1 D.2 5.(24-25高二上·四川广安友谊中学期中)在空间直角坐标系中，若A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1), D(2,0,z)(z∈R)四点共面，则z=() A.2 B.1 C.0 D.-1 6.(24-25高二上辽宁沈阳东北育才学校双语校区期中)已知向量=(2，x,1),乃=(2,0,2)， =(0,1,-1),若a,b,共面，则x等于() A.-1 B.1 C.1或-1 D.1或0 7.(24-25高二上湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点， 若OM=号OA+O方+O元，则A,B,C,M四点共面的充要条件是() A.1=0 B.1=器 C.1=-韶 D.1=-8 8.(24-25高二上浙江绍兴上虞中学.期中)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P ,都有P0=-2PA+4PB+mC下，则实数m的值为() A.2 B.0 C.-1 D.1 二、多选题 9.(24-25高二上·山东师范大学附属中学)下列说法中正确的是() A.引-=目+是京，共线的充分不必要条件 B.若AB,C⑦共线，则AB//CD C.AB,C三点不共线，对空间中任意一点0，若O=OA+吉OB+吉OC,则P,AB,C四点共面 D.若P,AB,C为空间四点，且有PA=7PB+P元(PB,P元不共线)，则+u=1是AB,C三点 3/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 共线的充要条件 10.(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学.期中)下列说法正确的有() A.设a,b,c是空间向量，若与6共线，与共线，则与共线 B.若两个非零向量A市与C⑦满足A店+C⑦=0，则AB//C⑦D C.零向量与任何向量都共线 D.两个单位向量一定是相等向量 11.(23-24高二上青海海南州高级中学、共和县高级中学.期中)已知三棱柱ABC-A1B1C1,P为空间内一 点，若B=λBB1+4B元，其中，uE(0,1],则() A.若=1，则点P在棱B1C1上 B.若=4，则点P在线段BC1上 C.若入=4=，P为棱CC1的中点D.若入+u=1,则点P在线段B1C上 三、非选择题 12.(24-25高二浙江台州六校联盟期中)向量a=(-1,x,4)与6=(2x,-8,y)共线，且方向相同，则 x+y= 13.(24-25高二上上海静安区新中高级中学期中)已知向量京=(-m,6,3)平行于向量6=(2，m,1), 则m十n= 14.(24-25高二上北京八一学校期中)已知A(1,1,1),B(-2,1,-1),点P在坐标平面x0y上，且A、B 、P三点共线，则P点的坐标为一 15.(24-25高二上四川阆中中学校期中)设a,乃是空间中两个不共线的向量，已知AB=9a+mb, B元=-2a-b,CD=-a+2b,且A,B,D三点共线，则实数m= 16.(24-25高二上·上海宝山中学期中)若1，e2,3是三个不共面的非零向量，=2E1-2十E3, 6=-+4可-2日，元=可+2可2+E,若向量a,石，元共面，则=一 目目 考点03 数量积及其应用 一、单选题 1.(24-25高二上·山东威海乳山银滩高级中学期中)对任意的空间向量三，b,,下列说法正确的是（) A.若a1b,b上，则a川 B.（ab)=(6) C.a.(6+)=ab+a D.若a=引，则a=6 4/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高二上·内蒙古赤峰名校期中)关于空间向量a,乃，飞，下列运算错误的是() A.a.b=b. B.（a+)=+6 C.a.b=(6) D.（ab)=(6) 3.(23-24高二上江苏南通期末)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中 AA1=3,BD=4,AD1·DC-AB1·BC=5,则cos(AA,BD）=() A. B.- C. D.是 4.(24-25高二上四川眉山东坡区眉山北外附属东坡外国语学校期中)棱长为1的正四面体ABCD中，点E是 AD的中点，则BA.CE=() C A. B.- C. 4 D.. 5.(2425高二上·安徽临泉第一中学等校)如图，已知A,B,C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个 格点，点P为平面ABC外一点，且(A应，AC)=(应，A店)=等，=3，若Aò=店+A元，则 1o=() A.42 B.V35 C.6 D.37 6.(24-25高二上重庆渝东九校联盟期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2, AA1=3,∠ADC=∠ADD1=120,∠CDD1=60°，则|AC1=() 5/22 丽学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 A 1 B A.3 B.V21 c.33 D.33 二、非选择题 7.(24-25高二上·三晋联盟山西名校期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是CD1的中 点，则A.AC= D C A B C 8.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学期中)如图，平行六面体ABCD-A1BC1D1的所有棱长均为2， AB,AD,AA1两两所成夹角均为60°，点E,F分别在棱3B1 DD1上，且BE=2B1E,D:F=2DF,则 A心E=一 C F …E D 9.(2425高二上贵州名校协作体)已知球0是棱长为3的正四面体SABC的内切球，EF是球0的一条直径， P为该正四面体的棱上的动点，则P方.P下的取值范围为一， 10.(24-25高二上湖北荆门德艺高级中学期中)已知空间四边形0ABC各边及对角线长都相等，E,F分别 为AB,OC的中点，向量O范与B下夹角的余弦值 6/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25高二上福建泉州安溪县期中)已知平行六面体ABCD-AB1C1D1,底面是正方形，AB=2, AA1=1,∠BAA1=60°，∠DAA1=90°，A1C1=3N元1，D1B=2MB,设A=京，AD=i, AA-c. D B M B (I)用向量京，b,c表示向量NM,并求MN的长度； (2)设点E满足A它=A心，是否存在入使得B,M,N三点共线，若存在求出入，若不存在请说明理由. 目目 考点04 空间向量基本定理 一、单选题 1.(24-25高二上·福建泉州泉州科技中学)以下命题中，不正确的个数为() ①-回=且+”是“3,6共线的充要条件；②若a//石，则存在唯一的实数，使得=3；③若 言=0,6=0，则a=:④若司，石，}为空间的一个基底，则+石石+无+}构成空间的另一 个基底；⑤(a·)=·:d A.2 B.3 C.4 D.5 2.(24-25高二上安徽合肥锦绣中学期中)已知{京，6，}是空间一个基底，方=京+6，可=京-6，一定可 以与向量可，可构成空间另一个基底的是() A. B.2b- C.b D.2+4b 3.(24-25高二上天津北辰区期中)已知{主，石，}是空间的一组基底，其中A=2京+36，A元=a-, 7/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A=26+2.若A,B,C,D四点共面，则7=(） A.- B. c. D.-青 4.(24-25高二上广东湛江第四中学期中)如图，在四面体0ABC中，OA=a,0B=b,0元=c.点M在 OA上，且OM=2MA,N为BC中点，则MN等于() N A.-郭+ B.-+6+ c.+6- D.号+6- 5.(24-25高二上新疆乌鲁木齐第101中学期中)正方体ABCD-A1B:C1D1,点E是上底面A1C1的中心， 若A正=xAA1+yA丽+zAi,则x+y+z=（) A.青 B.吉 C.1 D.2 6.(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学期中)如图，在正 方体ABCD-A1B1C1D1中，若点M是侧面CDD1C1的中心，且AM=xAA1-yAi-zAB,则2x-y+z 的值为() D C B M B D A.1 B.0 C.-1 D.- 7.(24-25高二上·广东东莞东莞中学期中)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面 A1ADD1都是正方形，∠BAA1=牙，AB=2,点P是C1D与CD1的交点，则A·AB1=() 8/22 丽学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 D 、B ‘D B A.4-25 B.2 C.4 D.6 二、多选题 8.(2425高二上山东名校考试联盟期中)已知{三石，}是空间的一个基底，则下列向量共面的是() A.b+a+c,京- B.a+6+,+五，a+c C.a-b+ca-b,a+c D.b-,a+6京+e 三、非选择题 9.(24-25高二上·上海嘉定区第二中学·期中)如图，在梯形ABCD中，AB/CD,AB=2CD,点O为空 间任一点，设0A=京，0B=6,0元=飞，则向量0D用，6，表示为 D 10.(24-25高二上广东茂名电白区·期中)如图，两条异面直线a,b所成的角为60°，在直线a,b上分别取 点A,E和A,F,使AA⊥a,且AA⊥b.已知AF=2,AE=1,EF=3,则公垂线段AA的长为 11.(24-25高二上·广东江门新会第二中学.期中)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°设AB=京，A=b,AA1=亡. 9/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D C ()试用京，6，表示向量AC1,BD1, (2)求|AC: (3)求证：AA1⊥BD 12.(24-25高二上河南郑州中牟县期中)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=3,E,F分别为CA1,AB的中点 E ‘A (1)若E京=xB1C1+yB1A+zB1B,求x+y+z的值； (2)求E京.B1C 目目 考点05 空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1.(24-25高二上天津弘毅中学期中)已知=(-3,25)，6=（1,4，-2，则方-26等于() A.(-5,-6,9)B.（-1,10,1 C.（-7,0,2 D.(5,6,-9 2.(19-20高二上福建莆田第七中学期末)若a+石=(-2，-1,2)，a-6=(4,-3,-2),则a.6等于() A.-5 B.-1 C.5 D.7 3.(24-25高二上福建永春第一中学期中)若空间向量A丽=(1,2，-2)，C方=(1,1，-5)，则AC=() 10/22 专题01 空间向量与立体几何 7大高频考点概览 考点01 空间向量及其线性运算 考点02 共线与共面问题 考点03 数量积及其应用 考点04 空间向量基本定理 考点05 空间向量及其运算的坐标表示 考点06 空间位置关系的判断 考点07 线线、线面、面面角 考点08 距离问题 地 城 考点01 空间向量及其线性运算 一、单选题 1．(24-25高二上·山东百师联盟·)给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④. 【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 2．(24-25高二上·广东领航高中联盟·)已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形应用空间向量的加减法及数乘运算即可求解. 【详解】依题意，. 故选：D. 3．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)在斜三棱柱中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用空间向量的线性运算即可解. 【详解】三棱柱中，. 故选：C. 4．(24-25高二上·广东潮州饶平县·)如图在四面体中，分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】连接，如下图所示：    因为为的中点，为的中点， 则， 则. 故选：D. 5．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)在空间四边形中，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加减法的运算法则即可求解. 【详解】, 故选：C 二、多选题 6．(24-25高二上·福建福州福清·期中)在平行六面体中，与向量相等的向量有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据平行六面体的结构特点直接判断出结果. 【详解】如图，在平行六面体中，与相等的向量有， 故选：BD.    三、非选择题 7．(24-25高二上·上海静安区新中高级中学·期中)在长方体中，F是DC的中点，设，用表示 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 8．(24-25高二上·上海松江二中·期中)已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【答案】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【详解】如图所示， . 故答案为：. 9．化简：． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。 【详解】原式． 地 城 考点02 共线与共面问题 一、单选题 1．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·月考)下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 2．(24-25高二上·贵州黔东南苗族侗族·)在正方体中，下列向量与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据正方体的性质可解. 【详解】如图，在正方体中， . 故选：A. 3．(24-25高二上·浙江台州山海协作体·期中)已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据向量基底的概念证明必要性，然后举出反例说明“不充分”，由此得出正确选项. 【详解】当时，由于是不共线的向量，故可用作为基底表示出来， 即共面，所以“必要性”成立. 当共面时，直线l可能在平面内，故“充分性”不成立. 所以是必要不充分条件. 故选：B. 4．(24-25高二上·广东河源和平县部分学校·期中)已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 5．(24-25高二上·四川广安友谊中学·期中)在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】由空间向量的基本定理求解即可； 【详解】由题意可得， 因为四点共面，所以存在实数使得， 即， 所以，解得， 故选：D. 6．(24-25高二上·辽宁沈阳东北育才学校双语校区·期中)已知向量，，，若，，共面，则x等于（   ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【答案】B 【分析】由，，共面，设，列方程求解即可. 【详解】向量，，，若，，共面， 所以设，则，解得， 故选：B 7．(24-25高二上·湖南邵阳新邵县第三中学·期中)已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若，则，，，四点共面的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面的充要可得，求解即可. 【详解】是平面外任意一点，且， 若，，，四点共面的充要条件是，即. 故选：B. 8．(24-25高二上·浙江绍兴上虞中学·期中)已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（    ） A．2 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的共面定理计算即可. 【详解】由题意可知四点共面，且， 则，所以实数的值为1. 故选：D 二、多选题 9．(24-25高二上·山东师范大学附属中学·)下列说法中正确的是（    ） A． 是共线的充分不必要条件 B．若共线，则 C．三点不共线，对空间中任意一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】由向量数量积运算律及共线判定，结合充分必要性定义判断A，利用共线，则直线AB，CD可能重合判断B，利用四点共面的结论判断C，由向量线性运算及共线判定，结合充分必要性定义判断D. 【详解】对于A：由， 此时，共线，充分性成立， 若，同向共线，且，则，显然不成立， 必要性不成立， 所以“”是“共线”的充分不必要条件，故A正确； 对于B：若共线，则直线AB，CD可能重合，故B错误； 对于C：由，且， 根据空间向量共面的推论知四点共面，故C正确； 对于D：（不共线），若， 则，所以， 即，所以三点共线，反之也成立， 所以是三点共线的充要条件，（本选项也可用三点共线的推论）故D正确. 故选：ACD 10．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【分析】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 11．(23-24高二上·青海海南州高级中学、共和县高级中学·期中)已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可. 【详解】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则， 所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，， 所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知， 所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，， 所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确. 故选：ABD. 三、非选择题 12．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)向量与共线，且方向相同，则 . 【答案】14 【分析】根据共线得到等式，计算即可求得结果. 【详解】因为向量与共线，且方向相同， 所以，则， 得到，解得，， 所以， 故答案为：. 13．(24-25高二上·上海静安区新中高级中学·期中)已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 14．(24-25高二上·北京八一学校·期中)已知，，点在坐标平面上，且、、三点共线，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】根据三点共线列方程，由此来求得点的坐标. 【详解】由于点在坐标平面上，故可设， 由于、、三点共线， 所以， 所以， 所以，解得. 所以. 故答案为： 15．(24-25高二上·四川阆中中学校·期中)设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【答案】 【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值. 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 16．(24-25高二上·上海宝山中学·期中)若，，是三个不共面的非零向量，，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出，，﹒ 【详解】因为，，是三个不共面的非零向量， 又，，共面，所以存在实数，，使得， 则， 则，解得． 故答案为： 地 城 考点03 数量积及其应用 一、单选题 1．(24-25高二上·山东威海乳山银滩高级中学·期中)对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 2．(24-25高二上·内蒙古赤峰名校·期中)关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 3．(23-24高二上·江苏南通·期末)已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【详解】如图： ， ． 故选：B． 4．(24-25高二上·四川眉山东坡区眉山北外附属东坡外国语学校·期中)棱长为的正四面体中，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量线性运算法则和数量积的性质可得，结合数量积定义可得结论． 【详解】因为， 所以 ， 又，，，， 所以． 故选：A． 5．(24-25高二上·安徽临泉第一中学等校·)如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且， 所以 ， 所以， 故选：D. 6．(24-25高二上·重庆渝东九校联盟·期中)如图，在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，， ， 所以，向量、、两两夹角为， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 故 ， 因此，. 故选：D. 二、非选择题 7．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 8．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以 . 故答案为：. 9．(24-25高二上·贵州名校协作体·)已知球是棱长为3的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体的棱上的动点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】做出图形，计算出正四面体的内切球的半径，由此可求得，再根据空间向量数量积的运算性质得出，进而可知当为该正四面体的顶点时取得最大值，即可求解. 【详解】如下图所示： 正四面体的棱长为3，设其内切球的球心为，连接并延长交底面于点， 易知点为的中心，且平面； 连接并延长交于点，则点为的中点；且； 则，； 因为平面，平面，所以； 可得， 易知的面积为； 正四面体体积为； 设正四面体的内切球的半径为，则； 即，解得； 可知， 易知，又是球的一条直径，所以； 因此； 易知当为该正四面体的顶点时，此时，取得最大值； 当为该正四面体棱的中点时，此时，取得最小值； 因此的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用几何关系推导出内切球的半径：首先通过几何关系计算出正四面体的体积和内切球的半径，这是确定几何量的基础； 结合空间向量的数量积分析动点的取值：通过分析动点和空间向量的关系，结合数量积的性质，判断动点在不同位置时的取值，确定取值范围. 10．(24-25高二上·湖北荆门德艺高级中学·期中)已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，向量与夹角的余弦值 . 【答案】 【分析】根据向量的四则运算，用表示，，再根据数量积的计算公式和运算律求解即可. 【详解】如图，设，，，， 由题意易知，则， 因为，，， 所以， 所以, 所以向量与夹角的余弦值为， 故答案为： 11．(24-25高二上·福建泉州安溪县·期中)已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 地 城 考点04 空间向量基本定理 一、单选题 1．(24-25高二上·福建泉州泉州科技中学·)以下命题中，不正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；代入向量数量积公式验证即可． 【详解】对①，向量、同向时，， 故时，必有向量、反向且， 只满足充分性，不满足必要性，①错误； 对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误； 对③，，，则，，不能得到，故③错误； 对④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， ， 即不共面，构成空间的另一个基底，④正确； 对⑤，，⑤错误． 故选：C． 2．(24-25高二上·安徽合肥锦绣中学·期中)已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断． 【详解】若向量构成空间另一个基底，则向量不共面， 对于A，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故A不符题意； 对于B，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，无解， 所以向量不共面，故B符合题意； 对于C，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意； 对于D，若向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 所以，解得，故C不符题意. 故选：B. 3．(24-25高二上·天津北辰区·期中)已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则，，，解得. 故选：C 4．(24-25高二上·广东湛江第四中学·期中)如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【分析】连接． 故选：B. 5．(24-25高二上·新疆乌鲁木齐第101中学·期中)正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 6．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解. 【详解】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 7．(24-25高二上·广东东莞东莞中学·期中)如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】取空间的一个基底，用基向量表示出，再根据空间向量数量积的运算计算即可. 【详解】由题意，在平行六面体 中，，， 由点P是与的交点，得， 而，因此 . 故选：B 二、多选题 8．(24-25高二上·山东名校考试联盟·期中)已知是空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量共面定理，逐一分析选项即可. 【详解】对于A，因为，所以共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B正确； 对于C，假设存在，，使得， 则，显然无解，所以不共面，故C错误； 对于D，因为，所以共面，故D正确. 故选：ABD. 三、非选择题 9．(24-25高二上·上海嘉定区第二中学·期中)如图，在梯形ABCD中，，，点O为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算法则可得结果. 【详解】在中，， 在中，， 所以. 故答案为： 10．(24-25高二上·广东茂名电白区·期中)如图，两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和，，使，且．已知，，，则公垂线段的长为 ． 【答案】或/或 【分析】根据空间向量基本定理，将用表示出来，借助于相关模长、夹角条件，利用空间向量的数量积运算律列出方程，求解即得. 【详解】 由已知，得或， 设，因为，而, 则 当时，可得，解得：； 当时，可得，解得. 综上可知，即公垂线段的长为或. 故答案为：或. 11．(24-25高二上·广东江门新会第二中学·期中)如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 12．(24-25高二上·河南郑州中牟县·期中)如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【详解】（1）由向量的线性运算法则可得 ， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 地 城 考点05 空间向量及其运算的坐标表示 一、单选题 1．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的坐标进行空间向量的线性运算即可. 【详解】由，，可得：， 故选：A. 2．(19-20高二上·福建莆田第七中学·期末)若，，则等于（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可． 【详解】，，则， ，， ， 故选：A 3．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)若空间向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求，进而可求模长. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 4．(24-25高二上·浙江杭州江干区杭州四中吴山校区·期中)已知向量，，，则下列列结论正确的是（    ） A．与垂直 B．与共线 C．与所成角为钝角 D．在上的投影向量为 【答案】D 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；判断出，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，所以，与不垂直，A错； 对于B选项，，故与不共线，B错； 对于C选项，因为，且、为非零向量，故与所成角为，C错； 对于D选项，在上的投影向量为 ，D对. 故选：D. 5．(24-25高二上·广东深圳高级中学高中园·期中)设x，，向量，，，且，，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算即可求解. 【详解】因为，所以，解得， 由可知，，解得，所以. 故选：B. 6．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故选：B. 7．(24-25高二下·百师联盟·)已知向量，．若，则（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式求解即可； 【详解】因为，则． 因为，， 所以，解得． 故选：A． 8．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【详解】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 二、非选择题 9．(23-24高二上·北京延庆区·期中)已知，则 . 【答案】 【分析】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 10．(24-25高二上·北京京源学校·期中)已知空间三点，，，则在上的投影向量 . 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由三点， 可得，则， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为：. 11．(24-25高二上·上海嘉定区第二中学·期中)已知向量，，且与互相垂直，则k的值是 . 【答案】/ 【分析】由条件，结合向量垂直的坐标表示列方程求即可. 【详解】因为与互相垂直，，， 所以， 解得. 故答案为：. 12．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 13．(24-25高二上·北京中关村中学·期中)设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 地 城 考点06 空间位置关系的判断 一、单选题 1．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【答案】C 【分析】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值. 【详解】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 3．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【答案】A 【分析】根据方向向量与法向量平行，即可判断. 【详解】由向量，得， 所以，所以. 故选：A 4．(24-25高二上·贵州九师联盟·)若两互相平行的平面，的法向量分别为，，则实数m的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】由题意得法向量，共线，所以存在实数，使，利用向量运算的坐标表示求解. 【详解】因为，则它们的法向量，共线， 所以存在实数，使，即， 则，所以． 故选：A． 5．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用坐标运算得出，即可根据得出或 【详解】由题意可知，，则，故或. 故选：D 二、多选题 6．(21-22高二上·广东部分名校·期中)已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案. 【详解】若 ，则，即有，即，即有3，故A正确，C错误； 若，则 ，即有，可得， 解得，则，故B错误，D正确. 故选：AD. 7．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)已知空间向量，，下列结论正确的是（    ） A． B．，夹角的余弦值为 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的模的坐标表示判断A，由空间向量夹角公式判断B，结合空间向量平行根据线面关系判断C，根据投影向量的求法判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，因为，，所以，，， 设与的夹角为，则，故B错误； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：ACD. 三、非选择题 8．(24-25高二上·广东东莞东莞中学松山湖学校·)已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且 ，则 . 【答案】2 【分析】根据 ，转化为直线的方向向量与法向量垂直，根据数量积得到答案. 【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为，且 ， 所以，即，解得， 故答案为：2. 9．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则 ． 【答案】 【分析】根据平面平行，得法向量平行，即可根据向量的坐标运算求解. 【详解】根据，可得，故，解得， 故， 故答案为： 10．(24-25高二上·四川仁寿县铧强中学·期中)已知，分别是平面，的法向量，若，则 【答案】 【分析】根据平面的位置关系可知法向量的位置关系，列方程，解方程即可. 【详解】由，可知， 则， 解得， 故答案为：. 11．(24-25高二上·广东中山西湾外国语学校·期中)如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明． 【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则 ， ∵E，F分别为AB，的中点，∴， ，，， ∵，，∴， 又，平面， 平面． 12．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 13．(24-25高二上·四川成都双流区立格实验学校·期中)如图，在平行六面体中，，， ，E是的中点，设，，. (1)用向量，，表示向量，并求向量的模； (2)证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量的线性运算以及模长公式计算即可； （2）将也用，，表达出来，再根据向量垂直判定定理即可求解. 【详解】（1）在平行六面体， 可得, 所以， 因为， 所以 ； （2）由（1）知，， 则 ， 根据向量垂直判定定理可知，所以. 14．(24-25高二上·福建厦门杏南中学·期中)如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．    (1)求证：： (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证； （2）先求出平面的法向量，由和平面即可推得平面. 【详解】（1）    如图建立空间直角坐标系， 则， 则，           由，     可得，得证. （2）设平面的法向量为，因，    则，令，可得，                因，故得，         又平面，所以，平面. 15．(24-25高二上·北京师达中学·期中)直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】（1）根据坐标系标点，即可得向量坐标和模长； （2）由（1）求，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 则，可得， 所以的长为. （2）由（1）可得：， 因为，所以. 地 城 考点07 线线、线面、面面角 一、单选题 1．(24-25高二上·山西运城·期中)如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， ， 可得 ， 所以， 所以，可得． 故选：C. 2．(24-25高二上·福建福州第一中学·)三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解 【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以， 又，且 所以，所以, 取的中点，易得,又 所以平面，又平面，所以平面平面， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为直线AC与BD所成角为，所以， 解得，即， 如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心， 设点A在平面内的投影为，作， 所以, 所以在中， ,, 所以在中，，解得， 所以，三棱锥外接球表面积为， 故选：A 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解； 3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长． 4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长． 5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解． 二、多选题 3．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（    ） A． B． 平面 C．直线与平面所成的角为 D．点与平面的距离为 【答案】ABD 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故 平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 三、非选择题 4．(24-25高二上·吉林普通高中友好学校联合体第三十九届期中联考·期中)如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为    【答案】 【分析】利用已知条件可以建立空间直角坐标系，然后利用空间向量去求异面直线所成的角. 【详解】    因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以为坐标原点，分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. ，， ，，，， ，， ， 又因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线CD与所成角的余弦值为. 故答案为：. 5．(24-25高二上·广东广州育才中学·期中)已知平行六面体的底面是边长为的正方形，且，． (1)证明：； (2)求异面直线与夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明即可； （2）用基向量求解向量的夹角即可，先计算向量的数量积，再求模长，代值计算即可. 【详解】（1）设，， 由题可知：的夹角为，夹角为 且，，于是 由 所以即证. （2）由，又 所以， 又 则 又异面直线夹角范围为 所以异面直线夹角的余弦值为. 6．在多面体中，已知，且平面与平面均垂直于平面为的中点. (1)证明： ； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形即可得证； （2）建立空间直角坐标系，运用法向量求解即可. 【详解】（1）如图，分别取的中点，连接， 因为，故，又平面平面，且平面平面， 因此平面， 同理可知，平面， 因此 且，故四边形为平行四边形，所以 ， 又因为 ，所以. （2）因为，所以，所以， 以为原点，为轴，为轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由题意知，， ， 所以. 设平面的法向量为， 则有即 令，则，即平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 7．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)已知平面四边形ABCD中，，，且．以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，平面平面ABCD． (1)证明：平面PAC； (2)若M是线段PD上一点，且平面MAC； ①求三棱锥的体积； ②求直线PD与平面PBC夹角余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②. 【分析】（1）根据已知有，再由面面垂直的判定得平面，进而有，再由已知得，且，即为等腰直角三角形，故，最后根据线面垂直的判定定理证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，①若求得，再求出平面的一个法向量，结合平面MAC求得，最后应用棱锥的体积公式及求结果；②应用向量法求线面角的正弦值，进而可得余弦值. 【详解】（1）以AD为腰作等腰直角三角形PAD，且，则， 由平面平面ABCD，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 由，，则为直角梯形，故， 由，即为等腰直角三角形，故，且， 所以为等腰直角三角形，故， 由都在平面内，则平面. （2）由（1）平面，，构建如图示空间直角坐标系， 所以， ①若，则， 所以，， 令是平面的一个法向量，则， 取，则，而， 由平面MAC，则，可得， 所以是靠近的三等分点，则， 而， ，， 所以； ②由上，，是平面的一个法向量， 所以，取，则，而， 所以，则直线PD与平面PBC夹角余弦值为. 8．(24-25高二上·四川安宁河高中振兴联盟·期中)如图，在三棱锥 中， 是线段 上的点. (1)求证:平面 平面 ； (2)若直线 与平面 所成角为 ，求 的值； (3)若 平面 ， 为垂足，直线 与平面 的交点为 . 当三棱锥 体积最大时，求 的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)2 【分析】（1）根据三角形的边长关系，结合勾股定理可得，，进而可得 平面 ，根据面面垂直的判定即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据线面角的向量求解，即可得解， （3）根据锥体体积的计算，结合二次函数的性质可得体积最大时 时，即可根据空间向量的坐标运算，结合共面定理就可求解. 【详解】（1）取 的中点 ，连接 ， ， 因为 ， ，则 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，又因为 ，所以 ， 则 ， 又因为 ， 所以 ， 又因为 平面 ， 所以 平面 ， 又因为 平面 ， 所以平面 平面 ; （2）因为 两两相互垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以,2)，所以 设 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 设平面 的法向量为 ， 则 ，所以 取 ，可得 ，所以 ， 因为直线与平面所成角为，所以 则 ，化简可得: 解得: 或 (舍去). 所以 . （3）由 (1) 知， 平面 ，又 平面 ， 所以 在 上，因为 ，所以 ， ，所以 ， 即 ，所以 所以 三棱锥 体积为: 因为 ，当 时，三棱锥 体积最大为 ， 此时 分别为 的中点，所以 ,2)， 设 ，设 ， 因为 ， 所以 ，所以 因为 在平面 上，所以设 所以 即 解得 所以 ，所以 . 9．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)如图，在四棱锥中，平面平面，且，. (1)求证：平面平面； (2)设.若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角夹角余弦值的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由面面垂直的性质得面，根据面面垂直的判定即可证结论； （2）建立合适的空间直角坐标系，根据已知线面角正弦值，应用向量法求得，再由面面角的向量求法求结果. 【详解】（1）在四棱锥中，面面，面，面面， 所以面，又面，所以面面. （2）以A为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由，则， 设，则，所以， 设面的法向量为，则，取，则， 所以，即， 化简得，解得或（舍），所以，， 设平面的法向量，且，， 则，取，则， 设二面角的夹角大小为，则， 所以二面角的夹角的余弦值为. 10．(24-25高二上·天津弘毅中学·期中)如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，E是的中点，，F为棱上的点且.    (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)利用中位线平行，证明线面平行即可； (2)利用已知中的垂直关系，再结合勾股定理证明，从而可证明平面，即可得线面角，从而可求其余弦值; (3)利用空间向量法来求法向量，再求两法向量夹角的余弦值即可. 【详解】（1）    连接交于点，由底面是正方形，可得， 又因为E是的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由侧棱底面， 底面，所以， 由已知得：，，所以由勾股定理得：， 因为，所以， 再由余弦定理得：， 由于，则可得， 又因为E是的中点，，所以， 又因为侧棱底面， 底面，所以， 又因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为底面，所以， 又因为，平面，所以平面， 即与平面所成的角就是， 所以， 故与平面所成角的余弦值为； （3）    根据题意可如图建立空间直角坐标系： 则， 即， 设平面的法向量为， 则，令，则， 即， 因为平面，所以平面的法向量为 即， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 11．(23-24高二上·广东惠州惠东县·期中)如图1，在直角梯形ABCD中，是AD的中点，是AC与BE的交点.将沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE，如图2．    (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为正方形可知，根据线面垂直判定定理证明平面，然后由可证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为， 所以为正方形，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）易知，，因为平面平面BCDE，平面平面，平面，所以平面BCDE，又平面BCDE， 所以，以为原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，    由题意知，， 则， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，则，故， 则，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以. 12．(24-25高二上·安徽淮南凤台县第一中学·期中)在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）构造平行四边形，转化为证明线线平行； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法二面角的余弦值； （3）首先设，，根据线面角的坐标系，即可求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，， ，且，，分别是、的中点， ，且， ，且，故四边形为平行四边形， ， 平面，平面， 平面；    （2），平面，，平面， ，， 设，， 又因为，，所以， 所以、、两两垂直， 如图，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设点，则，， ，可得， 解得，，，      设平面的法向量为， 由，得， 取，得， 故平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，， 平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为； （3）设，， ， ， ， 设与平面所成角为， 则，， ， 整理得：，解得或（舍）， 存在满足条件的点，，且长为. 13．(24-25高二上·北京顺义牛栏山第一中学·期中)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，，. (1)若为棱的中点，求证：直线平面； (2)若平面平面，点在棱上，且二面角的大小为，求直线与底面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连结，，根据三角形中位线的性质，得出，，结合条件，可证出四边形为平行四边形，得出，最后根据线面平行的判定定理，即可证明直线平面； （2）建立空间直角坐标系，设，由图可知底面的法向量，求出平面的法向量，利用已知的二面角，求出，得出的坐标，再利用空间向量求线面角的公式，求解即可. 【详解】（1） 取中点，连结，， 因为为的中点，所以，， 由，得， 又，所以，， 则四边形为平行四边形，有， 又平面，平面，故平面； （2） 平面平面，由已知得，设， 以为坐标原点，，的方向分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以. 易知底面的一个法向量为， 由于二面角的大小为， 所以， 解得或（舍去），则， 设直线与底面所成的角为， 则， 所以直线与底面所成角的正弦值为. 14．(24-25高二上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点． (1)证明：PD⊥平面ABCD； (2)当点为棱的中点时，求直线PB与平面所成角的正弦值； (3)当二面角的余弦值为时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由勾股定理证得，再由线面垂直的判定定理即可证得； （2）由条件如图建立空间直角坐标系，先求平面的法向量，再利用公式求解； （3）设 ，分别求平面的法向量是和平面的法向量，利用公式，求点的位置. 【详解】（1）证明：因为， 所以，，所以 又，且 所以. （2）由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 当点为棱的中点时，． 设平面的一个法向量， 则即取， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）可知， 设，则， 设平面的一个法向量， 则，即 令，解得，故， 设平面的一个法向量为， 由，得令，解得， 故， 所以， 即，整理，得， 解得或（舍去）． 故． 地 城 考点08 距离问题 一、单选题 1．(24-25高二上·吉林四平普通高中·期中)在空间直角坐标系中，已知点，向量平面，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】由题意，平面的一个法向量为，点， 所以， 所以点到平面的距离为． 故选：A 2．(23-24高二上·湖南邵阳邵东第一中学·月考)在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      3．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知空间四点.给出下列命题，其中是假命题的是（   ） A．平面的一个法向量为 B．若1，则 C．点到直线的距离为 D．、、、四点共面 【答案】B 【分析】根据向量的平行、垂直、模长以及点到直线的距离等概念.通过计算向量之间的关系来判断各个命题的真假即可. 【详解】首先求出，. 对于A，设平面的法向量，根据法向量与平面内向量垂直的性质， 可得，即. 令，则，， 所以平面的法向量为，A选项为真命题.   对于B，因为，设. 已知，则，即，解得. 所以或，B选项为假命题.   对于C，由，. 根据点到直线的距离公式. 先求，，. 则，C选项为真命题.   对于D，设. 因为. 则，解这个方程组得，故 所以、、、四点共面，D选项为真命题. 故选：B. 4．(24-25高二上·辽宁大连第二十四中学·期中)在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出与的公垂线的一个方向向量，由空间向量的数量积即可得解. 【详解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 5．(23-24高二下·江苏靖江高级中学·期中)在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 二、多选题 6．(24-25高二上·江苏苏州张家港·期中)已知棱长为3的正方体，则（    ） A． B．与所成角的大小为 C．平面与平面的距离为 D．平面与平面ABCD所成角的大小为 【答案】AC 【分析】如图，计算的值，即可判断A；通过向量夹角公式计算能求出直线与所成角即可判断B；由平面与平面的距离转化为点到面的距离，再利用等体积法求解即可判断C；通过平面与平面ABCD的法向量求两平面的夹角即可判断D. 【详解】以D为坐标原点，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 正方体棱长为3，则 ， 对于选项A，因为，， 所以，故A正确； 对于选项， ， 所以与所成角的大小为，故B不正确； 对于选项C，平面与平面平行， 两平面的距离可转化为点到平面的距离，则， 即，解得，故 C正确； 对于选项D，设平面的法向量， ， 则，取， 易知平面ABCD的一个法向量为， ， 所以平面与平面ABCD所成角的大小不为，故D不正确. 故选：AC 三、非选择题 7．(24-25高二上·北京景山学校·期中)如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.给出下列四个结论； ①三棱锥中，点到面的距离为定值 ②过点且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点为中点时，三棱锥的外接球表面积为 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】建立空间直角坐标系，对于①③用空间向量求解；对于②可证明三角形为截面多边形，求其面积即可；对于④设球心，由求解球心坐标即可. 【详解】 以A为坐标原点，分别以为轴建系如图： ,， ， 设, 则， 所以， 设面的一个法向量为， 则， 令得， 对于①：到平面的距离为，故①正确； 对于②：连接，因为四边形为平行四边形， ，又面，面， 面， 同理可证面， 又，所以面面， 所以过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形为， 它是边长为的等边三角形，故面积为，故②错误； 对于③：设直线与面所成角为，则， ，， 所以直线与面所成角的正弦值的范围为，故③正确； 对于④：当点P为中点时，设三棱锥的外接球球心， ， ， 解得， 所以外接球半径满足：， 三棱锥的外接球表面积为，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】几何体外接球球心的求法： （1）将几何体置入长方体中找球心； （2）利用几何法找到几何体各个顶点距离相等的点即为球心； （3）设球心坐标，根据到各顶点的距离相等解方程组得到球心坐标. 8．(24-25高二上·福建泉州泉州科技中学·)已知直线l经过点，且向量为l的一个单位方向向量，则点到l的距离为 . 【答案】 【分析】根据已知条件可求得与直线所成的角的正弦值,则空间一点到直线的距离为，代入运算即可. 【详解】 ，故，， 设直线与直线所成的角为 ，则， 故 ， 点到直线 的距离为. 故答案为：． 四、解答题 9．(24-25高二上·江苏无锡江阴成化高级中学·期中)在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，为的中点，为的中点，    (1)证明：直线平面； (2)求直线AC与平面OCD所成角的余弦值． (3)求点N到平面OCD的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，先求出面的一个法向量，进而得到，再应用线面平行的判定证明结论； （2）应用向量法求线面角的正弦值，进而求其余弦值； （3）应用向量法求点面距离即可. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，则两两垂直， 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    由为的中点，为的中点，得， 即， 设平面的法向量为，则，取，得， 则平面，所以直线平面． （2）由（1）知，，且平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 所以，故直线与平面所成角的余弦值为. （3）由（1）知，，且平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离. 10．(24-25高二上·四川自贡第一中学校·月考)在棱长为的正方体中，求 (1)直线与平面所成的角； (2)求平面与平面的距离； (3)求三棱锥外接球的表面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求得线面角； （2）先证平面平面，将面到面的距离转化为点到面的距离，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出点到面的距离即可； （3）根据补形法确定三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求出正方体外接球半径，即可求得结果. 【详解】（1） 建立如图所示，以为坐标原点， 、、分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 根据题意有：，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，即，令，则有， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则有，又因为， 所以 （2） 连接、、、、、， 因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，又因为平面，平面， 所以平面；同理可证平面， 又，平面， 所以平面平面； 因为，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，， 令，可得， 则为平面的一个法向量， 所以平面与平面的距离. （3）根据补形法可知三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，则， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 试卷第1页，共3页 72 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $