精品解析：山东省潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高二直升班上学期9月月考数学试题

2025-2026学年度高二数学直升班 立体几何平行垂直月考测试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共8小题） 1. 平行于同一平面的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的位置关系及线线位置关系的分类及定义，可由已知两直线平行于同一平面，得到两直线的位置关系． 【详解】解：若，且，则与可能平行，也可能相交，也有可能异面 故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面， 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是空间线线关系及线面关系，熟练掌握空间线面平行的位置关系及线线关系的分类及定义是详解本题的关键，属于基础题． 2. 如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【详解】 如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 3. 如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用异面直线的判定方法可得正确的选项. 【详解】在A图中，分别连接，则，所以四点共面， 在B图中，过可作一个正六边形，如图所示，故四点共面， 在C图中，分别连接，则，所以四点共面， 在D图中，与为异面直线，所以四点不共面， 故选:D． 【点睛】关键点睛：解题关键在于对异面直线的判定方法的理解，难度属于基础题 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，且，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面垂直与面面垂直的性质和判断定理逐项分析即可求出结果. 【详解】对于A：若，，, 与可能平行，也可能异面故，故A错误. 对于B：若，，且，，当时，平面 与可能平行，也可能相交，故B错误. 对于C：若，，直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C错误. 对于D：若，，，则，故D正确. 故选：D. 5. 如图，，，，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是（ ） A. a，b中至多有一条与平行 B. a，b都与平行 C. a，b都与相交 D. a，b中至多有一条与相交 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断作答. 【详解】对于A、B，若直线，都平行于直线，那么直线，平行， 与题意，为异面直线矛盾，故，中至多有一条与平行，故A正确；B错误. 对于C，若，b与l相交，也满足a，b为异面直线，故C错误； 对于D，若a，b均与l相交，但交点不同，也满足a，b为异面直线，故D错误. 故选：A. 6. 如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得，从而可得结论. 【详解】以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则可得， ， 设异面直线与所成的角为, 则，故选D. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【详解】①两个面垂直，推不出面中任意直线和另一个面垂直，错误；故排除A、B选项，对于②，两个平行平面，其中一个平面内的任意直线都和另一个平面平行，故正确，所以选C. 8. 在正方体中，点，，，分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】先证平面，平面，然后由面面平行的判定定理可判断A；利用正方体性质证明平面，由面面垂直判定定理可判断B；根据正方体对称性知，即可判断C；根据将异面直线夹角转化为求的问题，利用余弦定理即可判断D. 【详解】如图（1）由正方体性质易得． 因为，，分别为，，的中点， 所以，，， 所以，且四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面， 所以平面，平面， 因为，平面， 所以平面平面，故A正确，不符合题意； 如图（2），由上可知，． 因为，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面，故B正确，不符合题意； 如图（2），在正方体中，由对称性易得，则与不垂直，故C错误，符合题意． 如图（3），取的中点，连接，， 易知，且，所以四边形为平行四边形， 所以，则是异面直线与所成的角或其补角． 令，则，， 所以，故D正确，不符合题意． 故选：C． 二、多选题（每小题5分，选错1个不得分） 9. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 10. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC：根据空间中空间中线、面关系分析判断；对于B：根据线面平行分析判断；对于D：根据面面垂直分析判断. 【详解】对于A项，若，则或与异面，A项错误； 对于B项，因为，则，且，可得， 又因为，所以，B项正确； 对于C项，当时，或或或与相交，C项错误； 对于D项，若，则，又，所以，D项正确． 故选：BD． 11. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ） A. 存在，使得 B. 当时，存在，使得平面 C. 当，时，四面体的体积为 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，用反证法判定.对于B，运用面面平行得到线面平行.对于C,通过条件，分析出体积之间的关系，运用等体积发计算即可.对于D，运用向量法，结合垂直的数量积为0计算即可. 【详解】对于A，，则与不可能垂直，若，则面，则，则面矛盾，A错． 对于B，取中点，则，过作交于点，此时为中点，则面平面，∴平面，对． 对于D，如图建系，，，， ，，，， ∴，∴，D对． 对于C,时，，时，到平面的距离是到平面距离的.，其中表示到平面的距离，是到平面距离，，C对， 故选：BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点至少有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面． 其中正确说法的序号是________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】由平面基本事实及其推论依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，若两个平面相交，则所有交点均在同一条直线上，①错误； 对于②，若三点共线，则经过三点有无数个平面；若三点不共线，则经过三点有且仅有一个平面，②正确； 对于③，根据平面基本事实的推论知过两平行直线有且仅有一个平面，③正确. 故答案为：②③. 13. 如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】证明出线面垂直，得到是平面与平面的二面角，设，求出其他边长，得到，得到，二面角的大小为. 【详解】∵，又点为的中点， ∴， ∵垂直平分，，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴⊥， ∵⊥平面，平面 ∴⊥， ∵，平面， ∴⊥平面， ∵平面， ∴⊥，⊥， 故是平面与平面的二面角， 设，则，故， ∵⊥， ∴， 故， 故， ∴. 故答案为：. 14. 如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先设，利用垂直关系，可得，再结合基本不等式求面积的最值，以及等号成立的条件求，根据几何体的特征，求外接球的半径，即可求解外接圆的表面积. 【详解】由余弦定理得： 设，则， 由得：，解得：， 因为，故 由基本不等式得：当且仅当，且时，即时取最小值.底面三角形外接圆半径， . 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）证明：平面平面． 【答案】（1） 如图，连， ∵四边形是菱形， ∴和互相平分， ∵F是中点， ∴F也是中点， 又∵， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2） ∵平面，平面，∴， ∵四边形是菱形，∴， 又∵，平面， ∴平面； （3） 由（2）知平面， ∵平面，故平面平面． 【解析】 【分析】（1）连接，用三角形中位线证明，再根据线面平行判定定理即可证明； （2）证明，即可根据线面垂直判定定理证明； （3）结合（2）中结论和面面垂直判定定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 如图所示，AC为圆O直径，B为圆O上不同于A、C的点，P不在圆O平面内，E为线段BC中点． （1）求证：∥平面PAB； （2）若平面平面ABC，且，求证：平面POE． 【答案】（1） 证明：因为O、E为线段AC、BC中点，则∥， 且平面PAB，平面PAB，所以∥平面PAB. （2） 证明：因为，且O为线段AC中点，则， 且平面平面ABC，平面平面，平面， 可得平面，且平面，则， 又因为AC为圆O直径，B为圆O上不同于A、C的点，则， 由（1）可知：∥，则， 且，平面POE，所以平面POE. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而可得，根据题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 在直三棱柱中，，，是棱的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）取中点，连结，，， ∵是直三棱柱，∴，， 又∵是的中点， ，∴，又∵， ∴，，∴面，∴； （2）. 【解析】 【分析】(1)取中点，联结，，，由题意可证得，，则面，从而有； (2)由题意可求得三棱锥的体积为，设到平面的距离为，转化顶点，结合，可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，设到平面的距离为，则， 由已知得，∴，∴. 点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 18. 图甲所示的平面五边形中，，，，，，现将图甲所示中的沿边折起，使平面平面得如图乙所示的四棱锥．在如图乙所示中． （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：， ， ， 平面平面，是交线，平面， 平面， 又平面，， 又，平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，再由面面垂直的性质得出平面，再得出，再由线面垂直的判定定理得证； （2）证明是三棱锥的高，再由体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，如图， 由，可知， 又平面平面，是交线，平面， 平面，即三棱锥的高为， 由，，知， 由知， , , . 19. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1） 在四棱锥中，连接，，由平面， 平面，得，由正方形，得， 而，，平面，所以平面. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明. （2）先把直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，即为或其补角，再利用直角三角形的边角关系求解. （3）将四棱柱补成正四棱柱，利用线面角的概念明确直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由正方形，得，而平面， 平面，则平面，又平面， 平面平面，因此. 直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，即为或其补角. 由平面，平面，得，而, ，，平面，则平面. 又平面，因此，， 则，，， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【小问3详解】 在四棱锥中，平面，四边形是正方形， 将四棱锥补形为正四棱柱，平面即平面， 在平面内过作于，连接， 由平面，得，而，，平面， 则平面，是直线与平面所成的角. 取中点，连接，，由是的中点，则， 平面，而平面，则. 设，则EG＝，DG＝， 则DE＝，而DF＝， 由直线与平面所成角的正弦值为， ， 整理得，解得或，所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二数学直升班 立体几何平行垂直月考测试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共8小题） 1. 平行于同一平面的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交或异面 2. 如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（ ） A. 60° B. 45° C. 30° D. 75° 3. 如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（ ） A. 若，，，则 B. 若，，且，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 如图，，，，且a，b为异面直线，则以下结论中正确的是（ ） A. a，b中至多有一条与平行 B. a，b都与平行 C. a，b都与相交 D. a，b中至多有一条与相交 6. 如图,长方体中,,点分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值是 A. B. C. D. 7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，，则； ④若，，，则 其中正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 8. 在正方体中，点，，，分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. D. 异面直线与所成角的余弦值为 二、多选题（每小题5分，选错1个不得分） 9. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 10. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，圆锥的底面直径和母线长均为，其轴截面为，为底面半圆弧上一点，且，，，则（ ） A. 存在，使得 B. 当时，存在，使得平面 C. 当，时，四面体的体积为 D. 当时， 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； ②经过空间任意三点至少有一个平面； ③过两平行直线有且只有一个平面． 其中正确说法的序号是________． 13. 如图在三棱锥中，⊥底面，⊥，垂直平分，且分别交、于D、E，又，，则以为棱，平面与平面的二面角的大小为______． 14. 如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为___________. 四、解答题 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）证明：平面平面． 16. 如图所示，AC为圆O直径，B为圆O上不同于A、C的点，P不在圆O平面内，E为线段BC中点． （1）求证：∥平面PAB； （2）若平面平面ABC，且，求证：平面POE． 17. 在直三棱柱中，，，是棱的中点. （1）求证：； （2）求点到平面的距离. 18. 图甲所示的平面五边形中，，，，，，现将图甲所示中的沿边折起，使平面平面得如图乙所示的四棱锥．在如图乙所示中． （1）求证：平面． （2）求三棱锥的体积． 19. 已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面. （1）求证：平面； （2）若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值； （3）若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $