精品解析：广东省韶关市新丰县第一中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2025-2026学年第一学期9月考试 高二数学 注意事项： 1.全卷共4页，满分为150分，考试用时为120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应号码的标题涂黑. 3.在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助向量定义及数量积定义进行判断即可得. 【详解】对A：向量不等于数字，故A错误； 对B：向量，方向不一定相同，故B错误； 对C：，，故C正确； 对D：，两向量夹角未知，故D错误. 故选：C. 2. 已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】根据极差，方差，平均数，中位数的定义和意义，判断选项. 【详解】去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，中位数不变，而极差，方差，平均数都有可能发生改变. 故选：D 3. 如图，平行四边形中，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行四边形中，是的中点，是的中点，， 所以 ， 故选：A． 4. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（ ） A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续射击两次中靶的情况如下：①两次都中靶； ②只有一次中靶；③两次都没有中靶， 所以事件“至少一次中靶”互为对立事件的是两次都没有中靶. 故选：D． 5. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（ ）． A. 28 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用侧棱长结合勾股定理可求出棱台的高，结合台体体积公式，即可求出体积. 【详解】 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3， 如图可得正四棱台的高， 由棱台体积公式可得， 故选：D. 6. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 7. 如图，圆锥的高，底面圆的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，连接，证明且，从而证明平面，即可证得平面平面，即可证得平面，从而说明就是直线和平面所成角，解三角形即可． 【详解】过点作于点，连接，如下图： 在圆中，为直径.，又为中点， 且 又 平面，又平面 平面平面 又平面平面，，平面 平面. 就是直线和平面所成角. 由题可得. 在中，可求得： 又,所以. 由得： 所以 故选C 【点睛】本题主要考查了线面角的求法，考查作图及线面、面面垂直证明，还考查计算能力，属于中档题． 8. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确. 故选：BC. 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大内角是最小内角的3倍 C. D. 若，则内切圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A；利用余弦定理求和，进而分析可判断BC；再利用面积方法求内切圆半径，判断D. 【详解】A.由正弦定理可知，，故A正确； B.最大内角是，，， 最小内角是，，所以，所以，故B错误； C.由B可知，，，，所以，故C正确； D.若，则，由B可知，，所以， 设内切圆的半径为，则，即，，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与直线所成角为 C. 三棱锥的体积为 D. 过三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用中位线的平行关系，利用正方体中的垂直关系，可判断AB，利用平行关系进行三棱锥体积变换，再计算体积，可判断C，利用延长线或作平行线来确定截面，可判断D. 【详解】对于A， 取的中点为，连接，由分别是棱的中点， 可得：，， 由正方体的性质可得：平面，， 所以可得：平面，， 又因为平面，所以， 又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对于B, 由分别是棱的中点，可得， 由正方体性质可得：， 所以就是直线与直线所成角或其补角， 由于是等边三角形，所以， 即直线与直线所成角为，故B错误； 对于C: 在上取点，使得，连接，易证． 则 ． 另解：如图，连接， 则 ． 故C正确． 对于D，截面是平面与几何体表面的交线围成的图形． 如上图所示，过三点的平面截该正方体所得的截面应为五边形．故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第________象限. 【答案】二 【解析】 【分析】化简复数为a+bi的形式，即可得到结果． 【详解】复数 复数对应的点．在第二象限． 故答案为：二． 【点睛】本题主要考查了复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是容易题． 13. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 化简得到，，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案. 【详解】，即，，故. 根据余弦定理：，即. 当时等号成立，故. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 14. 已知正四面体内部有一个半径为的小球，则正四面体棱长的最小值为__________.若小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体所有接触点的轨迹形成的图形面积为，则正四面体的棱长为__________. 【答案】 ①. 12 ②. 20 【解析】 【分析】利用体积法求出小球与正四面体内切时正四面体的棱长即可；根据给定条件，分析确定小球球心的轨迹，再借助正四面体的结构特征求出棱长. 【详解】为使正四面体棱长最小，则半径为的小球与正四面体的所有面均相切（为内切球）， 设此时的正四面体棱长为，其高， 该正四面体的体积，即，解得， 所以正四面体棱长的最小值为12； 小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形， 该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影， 因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体，该小正四面体的面与正四面体 的对应面平行，距离为，设其棱长为，则，解得，高为， 令小球与共点的正四面体的3个面都相切时的球心为，点在平面上的投影为， 则在线段上，令在平面上的投影为，连接并延长交于，连接， 显然是正中心，是正的中线，则， 而，于是，令与平面平行的小正四面体的面交于点， 则，正四面体的高， 而，因此，所以正四面体的棱长为20. 故答案为：12；20 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”； （1）分别求事件A，B的概率； （2）求事件的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分析出事件A，B发生的所有情况，再根据古典概率的求解公式即可求解； （2）分析出事件发生的所有情况，再根据古典概率的求解公式即可求解． 【小问1详解】 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，总的基本事件数为种， 事件“两个点数之和等于8”，而满足的有，，，，，共5种，根据古典概型概率公式，可得． 事件“至少有一颗骰子的点数为5”，满足至少有一颗骰子的点数为5的有， 当红色骰子点数为5时，绿色骰子点数可以是1，2，3，4，5，6，共6种， 当绿色骰子点数为5时，红色骰子点数可以是1，2，3，4，5，6，共6种， 其中重复计算了一次，所以满足条件的基本事件数为种，根据古典概型概率公式，可得． 【小问2详解】 表示“两个点数之和等于8且至少有一颗骰子的点数为5”，满足条件的有，，共种，根据古典概型概率公式，可得． 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求点到平面距离． 【答案】（1）证明:取 的中点 ,连接 , 因为 是 中点， 是 中点， 所以 ,且， 所以 ,且， 所以 ,且， 所以四边形 是平行四边形， 所以 , 因为 平面 ， 平面， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）运用平行四边形思想得线线平行，根据线面平行判定定理证明即可； （2）运用等体积法求点到平面距离即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由题知， 所以， 设点到平面的距离为 ， 因为， 所以， 因为， 所以， 易得， 在 中，， 所以， 因为， 所以， 所以， 解得， 所以点到平面距离为. 17. 为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； （2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），分位数为 （2） （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为，可求出的值，利用百分位数的概念可求出分位数； （2）分析可知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求出所求事件的概率； （3）利用分层抽样的均值和方差公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 抽取的样本中，设第百分位数为， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以，， 则， 解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为. 【小问2详解】 由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、， 在的有人，设为、、. 则样本空间为， ， 设事件两人分别来自和， 则，则， 因此，所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为， 在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为； 这个数据的平均数为，方差为. 由题意，，，，， 且，，则. 由分层抽样方差公式可得： 故得分在内的平均数为，方差为. 18. 已知函数的最小值为． （1）求m的值； （2）当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； （3）当时，求方程所有实数根的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，根据函数最小值即可列方程求解； （2）由题意得当时，，根据三角函数性质即可列不等式组求解的范围； （3）注意到或，故只需画出图形，通过数形结合、三角函数对称性即可求解. 【小问1详解】 由题意， 因为函数的最小值为，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 因为当时，函数的取值范围是， 所以，解得， 所以n的取值范围为； 【小问3详解】 因为或， 在同一平面直角坐标系中画出函数、以及的图象，如图所示， 令，可得；令，可得. 所以当时，方程所有实数根的和为. 19. 在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，F为棱的动点，连接、、. （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； （3）平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围. 【答案】（1）证明：连接、，由题意可得四边形、四边形都是边长为的正方形， 则，又为棱的中点，则， 又，故； （2）存在，且 （3） 【解析】 【分析】（1）连接、，借助等腰三角形三线合一即可得证； （2）取中点，连接，，过点作于点，连接、，可得即为二面角的平面角，则，则可得，即可得解； （3）设，则，先求出的关系以及取值范围，然后将转化为、表示，求解取值范围即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，，过点作于点，连接、， 由为正三角形，则，又底面， 平面，故， 又，、平面， 故平面，又、平面，故、， 又，，、平面， 故平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角，则， 又正三棱柱的棱长均为2，则，则，故， 由，故， 则， 即有， 则，故存在，且. 【小问3详解】 设直线与的延长线分别交于点，则平面， 又平面，则有平面平面，， 即A，G，M三点共线，由为棱的中点，则，， 设，， 则，，设的面积为，则， 又，于是，， 令，，函数在上单调递减， 则，，即， 所以. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期9月考试 高二数学 注意事项： 1.全卷共4页，满分为150分，考试用时为120分钟. 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的考号、姓名、考场号、座位号.用2B铅笔把对应号码的标题涂黑. 3.在答题卡上完成作答，答案写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 如果向量，是两个单位向量，那么下列四个结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ） A. 极差 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数 3. 如图，平行四边形中，是的中点，是的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是（ ） A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 5. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（ ）． A. 28 B. C. D. 6. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥的高，底面圆的直径，是圆上一点，且，为的中点，则直线和平面所成角的正弦值为 A. B. C. D. 8. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ） A. B. C. 盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D. 盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部份分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最大内角是最小内角的3倍 C. D. 若，则内切圆半径为 11. 已知正方体的棱长为2，分别是棱的中点，下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与直线所成角为 C. 三棱锥的体积为 D. 过三点的平面截该正方体所得的截面为六边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第________象限. 13. 在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______. 14. 已知正四面体内部有一个半径为的小球，则正四面体棱长的最小值为__________.若小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体所有接触点的轨迹形成的图形面积为，则正四面体的棱长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”； （1）分别求事件A，B的概率； （2）求事件的概率. 16. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，在线段上，且满足． （1）求证：平面； （2）求点到平面距离． 17. 为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； （2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 18. 已知函数的最小值为． （1）求m的值； （2）当时，函数的取值范围是，求n的取值范围； （3）当时，求方程所有实数根的和． 19. 在棱长均为2的正三棱柱中，为棱的中点，F为棱的动点，连接、、. （1）证明：； （2）线段上是否存在点，使得二面角的正切值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由； （3）平面与棱交于点，设四边形的面积为，面积为，面积为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $