精品解析：山西省长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题

长子一中2025~2026学年高二年级9月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级等填写在答题卡试卷指定位置上.并检查条形码是否正确. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡相应区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 4.考试范围：人教A版必修第一册+必修第二册+选择性必修第一册（第二章第二节） 第Ⅰ卷（选择题58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. z在复平面对应的点位于第三象限 B. C. z的虚部是 D. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 4. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ） A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14 5. 已知正实数满足，则下列说法不正确的是（   ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 6. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列论述正确的是（ ） A. 若事件，则 B. 必然事件与任意事件相互独立 C. 若事件M，N互斥，且，，则 D. 若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥 11. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________. ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 13. ，，则向量在向量上的投影向量是______． 14. 已知函数的图象经过点，则________；若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设的内角所对的边分别是，且向量与共线， （1）求； （2）若，，求边上的高. 16. 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求： （1）AC1的长； （2）直线BD1与AC所成角的余弦值. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， ①求线段的长； ②求平面与平面所成角的余弦值. 19. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断并证明函数在定义域中的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长子一中2025~2026学年高二年级9月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级等填写在答题卡试卷指定位置上.并检查条形码是否正确. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡相应区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 4.考试范围：人教A版必修第一册+必修第二册+选择性必修第一册（第二章第二节） 第Ⅰ卷（选择题58分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式，再根据集合交集运算求解即可. 【详解】由， 则， 故选：C. 2. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. z在复平面对应的点位于第三象限 B. C. z的虚部是 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得，结合复数的几何意义，复数的模、复数的概念及共轭复数的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，复数， 可得复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限，所以A错误； 又由，所以B正确； 由复数的基本概念，可得复数的虚部为，所以C错误； 由共轭复数的概念，可得，所以D错误. 故选：B. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算的坐标运算及向量垂直的坐标表示列方程，解方程可得向量与. 【详解】因为，， 所以， 因为与垂直， 所以， 解得， 所以， 所以， 故选：B. 4. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ） A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数、众数、中位数、平均数的定义求出即可. 【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20， 对于A：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A正确； 对于B：众数为17，故B错误； 对于C：中位数为：，故C错误； 对于D：平均数，故D错误； 故答案为：A. 5. 已知正实数满足，则下列说法不正确的是（   ） A. 的最小值是4 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最大值是 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用基本不等式以及常用不等式逐项分析判断． 【详解】因为正实数满足， 对于A：因为，当且仅当， 即时，等号成立，所以的最小值是4，故A正确； 对于B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于C：因为，即， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故D正确. 故选：B． 6. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再根据充要条件的定义判断可得； 【详解】解：直线，直线， 时，，，即，， 当时，，解得， “”是“”的充要条件． 故选：． 7. 已知，，，，，则直线到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明平面，直线到平面的距离可转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的法向量为，则,令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离是． 故选：D 8. 函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的单调性可求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则，解得． 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 10. 下列论述正确的是（ ） A. 若事件，则 B. 必然事件与任意事件相互独立 C. 若事件M，N互斥，且，，则 D. 若事件M，N相互独立，且，，则事件M，N不互斥 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用概率的性质判断A；利用相互独立事件的意义判断B；利用事件的运算及概率运算判断C；利用相互独立事件的意义、互斥事件的意义判断D. 【详解】对于A，由事件，得，当且仅当取等号，A错误； 对于B，对任意事件，，，B正确； 对于C，由事件M，N互斥，得，，C正确； 对于D，由事件M，N相互独立，，，因此M，N不互斥，D正确. 故选：BCD 11. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出同时满足下列条件的一个函数的解析式__________. ①为幂函数； ②为偶函数； ③在区间上单调递减. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据幂函数、偶函数、函数的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，是幂函数，偶函数，且在区间上单调递减， 所以中，是偶数且为负数， 所以符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 13. ，，则向量在向量上的投影向量是______． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量计算公式即可直接求解. 【详解】向量在向量上的投影向量是： ． 故答案为： 14. 已知函数的图象经过点，则________；若在区间上单调递增，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】点代入，得，求得；利用整体思想是的子集，列不等式求出，并赋值求解即可. 【详解】因为函数的图象经过点， 所以，因为，所以． 时，， 因为在区间上单调递增， 所以， 所以， 解得，， 因为，所以， 当时，， 又因为，所以． 当时，这样的不存在. 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 设的内角所对的边分别是，且向量与共线， （1）求； （2）若，，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示以及正弦定理求解； （2）利用余弦定理和面积公式求解. 【小问1详解】 因为向量与共线， 所以， 边化角可得，， 因为，所以，所以， 即， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，可得， 整理得，解得或（舍）， 所以， 即，解得. 16. 如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长度为2，且∠A1AB=∠A1AD=120°.求： （1）AC1的长； （2）直线BD1与AC所成角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量模的计算公式和向量的数量积的定义即可得出的长； （2）分别求出的值，代入数量积求夹角公式，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】解：（1）， （2） ， 所以直线BD1与AC所成角的余弦值为. 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的平均数； （2）在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？ （3）若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1），平均数约为74 （2）6人 （3），36 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出，根据平均数的计算公式计算平均数即可； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的市民人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的市民人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【小问1详解】 由频率之和为结合频率分布直方图可得， 解得， 样本成绩的平均数约为． 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本答卷成绩在，，的三组市民有（人）， 其中样本答卷成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）． 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为， ①求线段的长； ②求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以，则，即， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先由题设依次求出、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）①取中点，连接、，求证平面得到为直线与平面所成角，接着由正弦函数定义求出即可求解； ②建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量即可由空间角的向量法公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取中点，连接、，则由（1）得，且， 因为平面，平面， 所以，又，、平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 所以， ②由题意可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 显然是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19. 已知定义在上的函数是奇函数. （1）求a，b的值； （2）判断并证明函数在定义域中的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质列方程，解方程即可； （2）根据单调性的定义判断和证明； （3）根据奇函数的性质将不等式转化为，然后根据单调性列不等式，得到，最后求最值即可. 【小问1详解】 由题意得，解得， ，所以. 【小问2详解】 在定义域中单调递减，证明如下： 设，， 则 ， 因为，所以，，即， 所以在定义域中单调递减. 【小问3详解】 不等式可整理为， 即， 因为单调递减，所以，即对于恒成立， 则， 当时，取得最小值， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $