第13章 勾股定理课件 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

第13章 勾股定理 专题训练（十） 利用作垂线法构造直角三角形 1 1.在中， ，点在边上， ，若 ，，求 的长． 题图 分层训练 构建学科思维 2 解图 解：如解图，过点作于点，在 上 截取，连结 . ， ， 为等边三角形． ， ， ． 在 中，由勾股定理，得 分层训练 构建学科思维 3 ． ， ， 设，则 . 在 中，由勾股定理，得 ， 即，解得 . 的长为 ． 分层训练 构建学科思维 2.如图,在中， ，为 上一点，且 ，.求 的长． 题图 分层训练 构建学科思维 5 解图 解：如解图，过点作于点，延长 交于点，过点作于点 ，连结 ． ， 为等腰三角形. 过点作，交于点 ， . 分层训练 构建学科思维 6 垂直平分 . . 在和 中， ，， （公共边）， . . 在中， ，， ， 分层训练 构建学科思维 . . 设,则 ， 在 中，由勾股定理，得 ，即，解得 . . 在 中， 分层训练 构建学科思维 ， . . ， . 分层训练 构建学科思维 3.如图，在四边形中， ，， ， ，，求 的长． 题图 分层训练 构建学科思维 10 解图 解：如解图，过点作于点，在 上 截取，连结， ． ， ， 是等边三角形． ， ， . . 分层训练 构建学科思维 11 . . . 分层训练 构建学科思维 题图 4.如图，在中， ， ，为延长线上一点， ， 求 的长． 解图 解：如解图，过点作于点 ． ， ， . 分层训练 构建学科思维 13 ， . . 在中，， ， . ． 分层训练 构建学科思维 $第13章 勾股定理 全国视野 核心素养专练 1 第1题图 1.【运算能力、几何直观、模型观念、应用意识】 八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为 了计算如图所示的风筝高度 ，测得如下数据： ①测得的长度为 ；②根据手中 剩余线的长度计算出风筝线的长为 ；③ 松松身高为.若松松同学想使风筝沿 方向下降 ，则他应该往回收线( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 第2题图 2.【模型观念、应用意识】为加快旧城改 造步伐，增强城市功能，改善人居环境， 我市对部分旧城区天然气管道进行改造.在 改造过程中发现原有管道因弯道过多带来 安全隐患，因此需要改造.某小区管道 改造方案如图所示. （实线为改造前，所有实线均互相平行或垂直，虚线为改造后） 分层训练 构建学科思维 3 （1）改造前管道的长度是_______； （2）改造后 之间的距离减少了_______. 分层训练 构建学科思维 4 3.【几何直观、推理能力、应用意识、创新 意识】如图1，直角三角形的两个锐角分别 48 是 和 ，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由 两个小正方形向外分别作锐角为 和 的直角三角形，再分 别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.图2是1次操 作后的图形.图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它 称为“毕达哥拉斯树”.若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操 作后图形中所有正方形的面积和为____. 分层训练 构建学科思维 5 4.【空间观念、推理能力、创新意识】把一个直立的火柴盒放倒 （如图），请你用不同的方法计算梯形 的面积，并验证勾 股定理.（设火柴盒截面宽为，长为，对角线长为 ） 分层训练 构建学科思维 6 解：由题意，知图中的四边形为直角梯形， 为等腰 直角三角形， 和 的形状和大小完全一样. 设梯形的面积为 ，则 . 又 ， . 分层训练 构建学科思维 7 5.【代数推理】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果 表示大于1 的整数，，，，那么，， 为勾股 数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？ 分层训练 构建学科思维 8 解：对. 表示大于1的整数， ，，都是正整数，且 是最大边， ， ，即，， 为勾股数. 当 时，可得一组勾股数3，4，5.（答案不唯一） 分层训练 构建学科思维 9 $第13章 勾股定理 13.1 勾股定理 13.1.2 直角三角形的判定 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 勾股定理的逆定理 1.在中，，，的对边分别为，， ，且 ，则( ) A A.为直角 B.为直角 C.为直角 D. 为锐角 分层训练 构建学科思维 3 2.现有长度为，，，， 的五根细木条， 若选择其中的三根首尾顺次相接恰好能摆成直角三角形的是 ( ) C A.，， B.，， C.，， D.，， 3.已知三角形的三边长分别为，， ，且满足 ，则这个三角形是( ) C A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 分层训练 构建学科思维 4 4.以下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是( ) A A.1，2， B.，， C.5，12，13 D.2，2， 5.三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形的面积是____. 24 6.若的三边长为，， ，并且满足 ，则 的形状是_________ ___． 直角三角 形 分层训练 构建学科思维 5 7.如图， 的顶点在正方形网格中的格点上，若小方格边长 为1，请你根据所学的知识解决下列问题． （1） 的面积为___； 5 分层训练 构建学科思维 6 （2）判断 的形状，并说明理由． 解： 是直角三角形， 理由：由勾股定理，得 , , . ． 是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 7 8.如图，在中，，，， . （1）求 的周长； 分层训练 构建学科思维 8 解：在 和 中， 根据勾股定理，得 ， . 又，， ， ， . 的周长为 . 分层训练 构建学科思维 9 （2）判断 是不是直角三角形？为什么？ 解： 不是直角三角形，理由如下： ，， ， ， 不是直角三角形. 分层训练 构建学科思维 10 ▶ 知识点2 勾股数 9.下列各组数是勾股数的是 ( ) D A.1，2，3 B.3，4，7 C.，4， D.5，12，13 10.有一组勾股数，已知其中的两个数分别是17和8，则第三个数 是____. 15 分层训练 构建学科思维 11 11.已知三角形的三边长，， 满足 ，则三角形的形状是( ) C A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定 【变式】 若的三边长，， 满足 ，则 为_____________________ 三角形. 等腰或直角或等腰直角 分层训练 构建学科思维 12 12.如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设 计的“毕达哥拉斯”图案，现在有五种正方形纸片，面 积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选 取），按如图所示方式组成图案，使所围成的三角形 A A.3，4，5 B.2，2，4 C.3，3，6 D.2，4，6 是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是 ( ) 分层训练 构建学科思维 13 13.五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆 成两个直角三角形，下列选项中正确的是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 14.如图，正方形 由9个边长为1的小正方形组 成，每个小正方形的顶点都叫格点，连结， ， 则 ( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 15 15.（黄冈中考）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》中： “勾广三，股修四，径隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12， 13；7，24，25； ，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股 相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数， 如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为 （，为正整数），则其弦是________（结果用含 的式 子表示）. 分层训练 构建学科思维 16 16.一种机器零件的形状如图所示，按规定这个零件中和 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零 件符合要求吗？请说明理由． 分层训练 构建学科思维 17 解：这个零件符合要求.理由如下： ，，，， ， ， ． , 是直角三角形． ， ． 故这个零件符合要求． 分层训练 构建学科思维 18 题图 17.如图，在中，， ， 点为内一点，将绕点顺时针旋转 得到，连结.若，， ， 求 的度数. 分层训练 构建学科思维 19 解图 解： 如解图，连结，易知 为等边三角形， 易证 ， ， ， ， . 又 ， . . 分层训练 构建学科思维 20 $第13章 勾股定理 章末复习 勾股定理 1 复习点1 勾股定理的认识与证明 1.勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是 论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是 ( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 2 2.证明勾股定理的方法已超过400种，其中一种方法是：将两个 全等的和如图所示摆放，使点，， 在同 一条直线上， ，即可借助图中几何图形的面积 关系来证明 ．请写出证明过程． 题图 分层训练 构建学科思维 3 解图 证明：如解图，连结 ． ， ． 又 ， . . . 是直角三角形． ， . . ． 分层训练 构建学科思维 4 复习点2 勾股定理及其应用 3.如图，直线，垂足为，线段 ， ，以点为圆心， 的长为半径画弧，交直 线于点，则 的长为( ) D A.5 B.4 C.3 D.2 分层训练 构建学科思维 5 4.如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在 旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测 量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出 绳子末端到旗杆底部 的距离为5米，则旗杆的高度为( ) B 图1 图2 A.5米 B.12米 C.13米 D.17米 分层训练 构建学科思维 6 5.传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为 的绳 子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为 的直角三角形， 那么这个直角三角形的面积用含和 的式子可表示为( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 第6题图 6.如图，在中， ， ， ，的垂直平分线交于点，交 于 点．则 的长为_ _． 第7题图 7.（泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小 正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发， 不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步 后的落点与出发点间的最短距离为____. 分层训练 构建学科思维 8 8.如图，长方体的底面边长分别为和，高为 ．若一 只蚂蚁从点开始经过四个侧面爬行一圈到达 点，则蚂蚁爬行 的最短路径长为______ ． 分层训练 构建学科思维 9 9.如图，在倾斜角为 （即）的山坡 上有一棵 树，由于大风，该树从点处折断，其树顶 恰好落在另一棵 树的根部处.已知， . 分层训练 构建学科思维 10 （1）求这两棵树的水平距离 ； 解：由题，可知 ， ， . . 在中， ， . . 答：这两棵树的水平距离为 . 分层训练 构建学科思维 11 （2）求树 的高度. 解：， ， . 在中， ， . 答：树的高度为 . 分层训练 构建学科思维 12 复习点3 勾股定理的逆定理及其应用 10.在中，，，的对边分别是，， ．下列不能 说明 是直角三角形的是( ) A A.，， B. C. D. 分层训练 构建学科思维 13 11.如图，在边长为1的正方形方格中，，，， 均为格点， 有三条线段，，.现将线段，， 首尾相连拼成三 角形，下列判断正确的是( ) B A.能拼成一个锐角三角形 B.能拼成一个直角三角形 C.能拼成一个钝角三角形 D.不能拼成三角形 分层训练 构建学科思维 14 题图 12.如图，在中，， ， ，是的垂直平分线， 分别交 ，于点， ． （1）求证： 是直角三角形； 证明： 在中，，， ， 又，即 ， 是直角三角形． 分层训练 构建学科思维 15 （2）求 的长． 解图 解：如解图，连结 ． 是 的垂直平分线， . 设，则 ． ． 解得，即的长是 ． 分层训练 构建学科思维 16 复习点4 反证法 13.用反证法证明命题“已知中， ，求证： ．”第一步应先假设 __________． 分层训练 构建学科思维 17 $第13章 勾股定理 13.1 勾股定理 13.1.1 直角三角形三边的关系 第1课时 勾股定理 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ► 知识点1 探索直角三角形三边关系 1.如图，三个直角三角形（ ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直 角梯形（两底分别为,，高为 ），利用这个图 形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下 的空格： 分层训练 构建学科思维 3 （上底下底） 高 ， 即 （______________）,① （罗马数字表示相应图形的面积） _______ __________，即 （__________）,② 由①,②，得_____________． 分层训练 构建学科思维 4 ► 知识点2 利用勾股定理进行计算 第2题图 2.如图，在中， ，若 ，，则 的长为( ) A A.5 B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 第3题图 3.如图，在中，，是 的平分线．已知，，则 的 长为( ) A A.16 B.12 C.10 D.8 分层训练 构建学科思维 6 4.求出下列直角三角形中未知边的长度. ____; ____. 10 12 分层训练 构建学科思维 7 5.如图，在中，两直角边和 的长分别3和4，以斜 边为边作一个正方形，再以正方形的边 为斜边作 ，然后依次以两直角边和 为边分别作正方形 和 ，则图中阴影部分的面积为____． 25 分层训练 构建学科思维 8 6.在中， .若，，则 的 长是____. 7.已知， 为直角三角形的两边长，且满足 ，则第三边长为_______． 17 5或 分层训练 构建学科思维 9 8.如图，已知在中，于点 ， ，， ． （1）求 的长； 解：在 中， ， . 分层训练 构建学科思维 10 （2）求 的长． 解：在中， ， ． 分层训练 构建学科思维 11 9.如图，在中， ， ，，是斜边上的高，则 的长 为( ) A A. B. C.5 D.10 分层训练 构建学科思维 12 10.如图，分别以直角三角形的边，， 为直径、斜边和边，向 外作半圆、等腰直角三角形和正方形，上述三种情况的面积关系 满足 的图形有( ) D A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 分层训练 构建学科思维 13 第11题图 11.如图，在中，分别以点和点 为 圆心，大于 的长为半径作弧（弧所在圆 的半径都相等），两弧相交于， 两点， 直线分别与边，相交于点， ， 连结．若，， ， 则 的长为( ) D A.9 B.8 C.7 D.6 分层训练 构建学科思维 14 12.如图，若 ，， ， ，则 ____. 13 第12题图 分层训练 构建学科思维 15 13.如图所示，校园有一块四边形草坪，测得 ， ，，， ，则这块四边 形草坪的面积是 _____ ． 234 分层训练 构建学科思维 16 14.在中，，， ， 求 的面积.某学习小组经过合作交流，给 出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思 路完成解答过程. 如图，作于点，设，用含的代数式表示 根据勾股定理，利用作为 “桥梁”，建立方程模型求出 利 用勾股定理求出的长，再计算 的面积. 分层训练 构建学科思维 17 解：在中，，， ， 设，则有 ， 由勾股定理，得 ， . . 解得 . . . 分层训练 构建学科思维 18 15.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的 “垂美”四边形，对角线，交于点.若 ， ，则 ____. 20 分层训练 构建学科思维 19 $第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 第2课时 勾股定理及其逆定理的综合运用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 在网格中画长为无理数的线段 1.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长 都是1，有，，， 四条线段，其中表 示 的线段是________． 线段 分层训练 构建学科思维 3 2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1.请在图中画出 ，和 这样的线段. 题图 分层训练 构建学科思维 4 解：如解图，线段，线段，线段 即为所求.（答案合理 即可） 解图 分层训练 构建学科思维 5 ▶ 知识点2 勾股定理及其逆定理的综合运用 3.如图，在中，是内一点，连结， ，且 ．已知，，， ．则图中 阴影部分的面积为____． 24 分层训练 构建学科思维 6 4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形 的四个顶点都在格线的交点上，连结，请判断 和 是什么特殊形状的三角形？并说明理由. 分层训练 构建学科思维 7 解：是直角三角形， 是等腰三角形.理由如下： 由勾股定理，得， ， ， . 是直角三角形. ，， ， ， . 是等腰三角形. 分层训练 构建学科思维 8 5.如图， ，， ， ，则 的形状是____________. 直角三角形 分层训练 构建学科思维 9 6.如图，正方形网格的每个小方格的边长都是1， 的顶点 都在格点上． （1）分别求出____，_____， ___； 5 分层训练 构建学科思维 10 （2）试判断 是什么三角形，并说明理由； 解： 是直角三角形．理由如下： ， ， . 是直角三角形． 分层训练 构建学科思维 11 （3） 的面积是多少？并写出解答过程． 解：由（2），得 ， 的面积为 ． 答： 的面积为5． 分层训练 构建学科思维 12 7.如图，在正方形中，为的中点，为 上一点，且 ，猜想与 的位置关系，并说明理由. 题图 分层训练 构建学科思维 13 解图 解： .理由如下： 如解图,连结，设正方形的边长为 ，则 ，， . 四边形 是正方形， . 在中， ， 在中， ， 分层训练 构建学科思维 14 在中， . 在中， . 为直角三角形，且 . . 分层训练 构建学科思维 $第13章 勾股定理 教材回归（七） 利用勾股定理求最短路径问题 （针对教材P133例1） 1 教材母题（教材P133例1） 如图，一个圆柱体的底面周长为，高为， 是上 底面的直径.一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 .求 这只蚂蚁爬行的最短路程. （精确到 ） 题图 分层训练 构建学科思维 2 解图 解：如解图，在中， 的长 为底面周长的一半为 ，由勾股定 理，得 . 答：爬行的最短路程约为 . 分层训练 构建学科思维 3 ▶ 类型1 平面图形中的最短路径问题 图例 模型 一 一定 一动 ___________________________________________ 解题思路:利用垂线段最短确定最短路径 构造直 角三角形 利用勾股定理求解 分层训练 构建学科思维 4 图例 模型 二 两定 一动 __________________________________________________ 解题思路:将同侧两点利用轴对称化为异侧两点 利用两点之间线段最短确定最短路线 构造直角 三角形 利用勾股定理求解 分层训练 构建学科思维 5 第1题图 1.如图，在中， ， ，的平分线交于点 ，且 ，点是边上的一动点，则 的 最小值为_____． 第2题图 2.如图，在中， ， ， ，为直线上一动点，连结，则线段 长度的最小值是_ __． 分层训练 构建学科思维 6 ▶ 类型2 几何体中的最短路径问题 立体图形中最短路径基本模型如下：#1 图例 圆柱 _________________________________________________________________________ 分层训练 构建学科思维 7 图例 长方体、正 方体 ______________________________________________________________________________________________________ 阶梯问题 ____________________________________________________________________________________________________ 分层训练 构建学科思维 8 图例 基本思路 将立体图形展开成平面图形 利用“两点之间，线 段最短”确定最短路线 构造直角三角形 利用 勾股定理求解. 分层训练 构建学科思维 9 题型1 圆柱中的最短路径问题 3.有一个圆柱形的油罐，油罐的底面半径是，高是 ， 要从点环绕油罐修建梯子，正好建在点的正上方点 处，则梯 子最短需要____. 取 13 分层训练 构建学科思维 10 第4题图 4.（贵阳中考）如图，这是一个供滑板爱好者使用 的型池，该 型池可以看作是一个长方体去掉一 个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径 为的半圆，其边缘，点在 22 上，，一滑板爱好者从点滑到 点，则他滑行的最短 距离约为____ .（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数） 分层训练 构建学科思维 11 5.如图,圆柱形玻璃杯的高为,底面周长为 ,在杯内壁离 杯底的点 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上 沿与蜂蜜相对的点处,则蚂蚁从外壁处到内壁 处的最短 距离为____ .（杯壁厚度不计） 20 第5题图 分层训练 构建学科思维 12 题型2 长方体、正方体中的最短路径问题 第6题图 6.如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为 ，一 只蚂蚁从点爬行到 点的最短距离为( ) A A. B. C.5 D. 分层训练 构建学科思维 13 第7题图 7.如图，长方体的高为，底面是边长为 的正 方形．一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点 ，那么它爬 行的最短路程为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 14 题图 8.如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为 . 如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达点 ， 那么所用的细线最短为____ . 26 分层训练 构建学科思维 15 [解析] 如解图所示，因为从点 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点 ，所以展开后， ，由勾股定 理，得.故所用的细线最短为 . 解图 分层训练 构建学科思维 16 题型3 阶梯中的最短路径问题 9.如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ,,，和是这个台阶两个相对的端点. 点有一只 蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 点的 最短路程为____ . 25 分层训练 构建学科思维 17 10.如图，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上，放着一根 长方体的木块，已知该木块的较长边和场地的宽 平行，纵截 面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点 处出发，爬过木块到达 点 处需要走的最短路程是____米. 30 分层训练 构建学科思维 18 $第13章 勾股定理 教材回归（六） 勾股定理与图形面积（针对教材P 132习题T4） 1 教材母题（教材P132习题 ） 如图，已知 的三边长分别为6、8、10，分别以它的三边 为直径向上作三个半圆.求图中着色部分的面积. 分层训练 构建学科思维 2 解：是直角三角形，且 , . 以 为直径的半圆的面积为 ， 以 为直径的半圆的面积为 ， 分层训练 构建学科思维 3 以 为直径的半圆的面积为 ， 三角形的面积为 ， 阴影部分的面积为 . 答：图中着色部分的面积是24． 分层训练 构建学科思维 第1题图 1.如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形， 根据图中数据，可得出正方形 的面积是( ) B A.12 B.24 C.30 D.10 分层训练 构建学科思维 5 2.如图，在中， ，分别以各边为直径作半圆， 图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当 ， 时，阴影部分的面积为( ) D 第2题图 A. B. C. D.9 分层训练 构建学科思维 6 第3题图 3.如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全 等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 、 正方形、正方形的面积分别为 ， ，.若，则 的值是( ) C A.12 B.15 C.20 D.30 分层训练 构建学科思维 7 第4题图 4.如图，分别以 的三边为斜边向外作等 腰直角三角形，若斜边 ，则图中阴影部分 的面积为( ) B A.4 B.8 C.10 D.12 第5题图 5.如图，直线上有三个正方形，， ，若 ，的面积分别为5和11，则 的面积为 ( ) A A.6 B.5 C.11 D.16 分层训练 构建学科思维 8 第6题图 6.如图，正方形 的边长为2，其面积标 记为，以 为斜边作等腰直角三角形，以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作 正方形，其面积标记为， 按照此规律继 续下去，则 的值为( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 9 $第13章 勾股定理 13.1 勾股定理 13.1.1 直角三角形三边的关系 第2课时 勾股定理的简单应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点 勾股定理的简单应用 第1题图 1.如图是一个矩形空地，如果 ， ，那么要从走到 ，至少要走( ) B A.70 B.50 C.140 D.40 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图，在水塔的东北方向处有一抽水站 ， 在水塔的东南方向处有一建筑工地，在 间建一条直水管，则水管的长为( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 4 3.如图,在数轴上，点，对应的实数分别为1，3，线段 于点，且长为1个单位长度，若以点为圆心， 长为半径 画弧，交数轴于0和1之间的点，则点 表示的实数为( ) A 第3题图 A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 第4题图 4.如图，每个小正方形的边长为1，则 的三 边，， 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 6 5.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米， 两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另 一棵树的树梢，则它至少要飞行( ) C A.6米 B.8米 C.10米 D.12米 6.如图，这是一个外轮廓为长方形的机器零件平 面示意图，根据图中标出的尺寸（单位： ）， 计算两圆孔中心和的距离为_____ . 100 分层训练 构建学科思维 7 题图 7.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开 发，现有一处需要爆破．已知点 与公路上 的停靠站 的距离为600米，与公路上另一停 靠站的距离为800米，且 ，如图， 为了安全起见，爆破点 周围半径400米范围内不得进入．问在进 行爆破时，公路 段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过 计算进行说明． 分层训练 构建学科思维 8 解图 解： 如解图，过点作于点 ． ， ． 在中，米， 米， 根据勾股定理,得 （米）． ， 分层训练 构建学科思维 9 （米）． 由于400米 米，故没有危险， 因此 段公路不需要暂时封锁． 分层训练 构建学科思维 8.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国 传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹”问题：今有竹高一 丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原 高1丈（1丈 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4 尺，则折断处离地面的高度为( ) B A.4.1尺 B.4.2尺 C.4.5尺 D.4.8尺 分层训练 构建学科思维 11 9.如图，每个小正方形的边长为1，则的边上的高 的 长为_ _. 第9题图 分层训练 构建学科思维 12 第10题图 10.如图是学校艺术馆中的柱子，高 ．为迎接艺 术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均 匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子 的底面周长是，则这条花带至少需要____ ． 7.5 分层训练 构建学科思维 13 11.如图，一架云梯长为25米，顶端靠在墙 上，此时云梯 底端与墙角距离为7米，云梯滑动后停在 的位置上，测得 长为4米，求云梯底端 在水平方向滑动了多少米? 分层训练 构建学科思维 14 解：在中， ，米， 米， （米）. （米）. 在中， ，米， 米， （米）. （米）. 答：云梯底端 在水平方向滑动了8米. 分层训练 构建学科思维 15 12.小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点 ， 小王的赛车从点 出发，以4米/秒的速度由西 向东行驶，同时小林的赛车从点 出发，以3米 /秒的速度由南向北行驶（如图）.已知赛车之 间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰， 米， 米. 分层训练 构建学科思维 16 （1）出发3秒时，遥控信号是否会产生相互干扰？ 解图 解：如解图，出发3秒时， 米， 米， 米， 米， 米， 米. 35米 米. 出发3秒时，遥控信号不会产生相互干扰. 分层训练 构建学科思维 17 （2）当两赛车距点 的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生 相互干扰？ 解：设出发秒，两赛车距点 的距离之和为35米.根据题意，得 ，解得 . 此时两赛车相距 （米）. 答：当两赛车距点 的距离之和为35米时，遥控信号会产生相互 干扰. 分层训练 构建学科思维 18 构造直角三角形运用勾股定理解题 类型1 作垂线构造直角三角形 1.在中，，，边上的高 ，则 的周长为 ________． 44或54 分层训练 构建学科思维 19 类型2 补形构造直角三角形 第2题图 2.如图，已知一块四边形草地 ，其中 ， ， ， ，则这块草地的面积为_____ ． 37.5 分层训练 构建学科思维 20 $第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 第1课时 勾股定理的实际应用 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 立体图形中两点之间的最短距离 第1题图 1.如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只 蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点 爬到顶 点 去觅食，则需要爬行的最短路程是( ) C A. B.2 C. D.3 分层训练 构建学科思维 3 第2题图 2.如图，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧面爬行 到点 ，若该圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米， 则蚂蚁爬行的最短距离为( ) D A.6厘米 B. 厘米 C. 厘米 D.5厘米 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 知识点2 利用勾股定理解决实际问题 第3题图 3.如图，将长为 的橡皮筋放置在水平 桌面上，固定两端和，然后把中点 竖 直向上拉升至点 ，则橡皮筋被拉长了 ( ) C A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 5 第4题图 4.（教材P133例2变式）一辆装满货物，宽为2.4 米的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的 外形高必须低于( ) A A.4.1米 B.4.0米 C.3.9米 D.3.8米 分层训练 构建学科思维 6 5.如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为 ， 高为，现有一根长为 的吸管任意放入杯中， 则吸管露在杯口外的长度 最少是( ) B A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 7 6.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写 了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地 秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺 板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千 静止 的时候，踏板离地高一尺（ 尺），将它往前 推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（ 尺）， 求秋千绳索或 的长度． 分层训练 构建学科思维 8 解：设 尺， 尺， 尺， （尺）， 尺. 在中， 尺， 尺， 尺， 根据勾股定理,得 分层训练 构建学科思维 9 ， 整理,得 ， 解得 ． 答：秋千绳索或 的长度为14.5尺. 分层训练 构建学科思维 7.暑假期间，小明到某海岛探宝.如图，他到达海岛登陆点 后先 往东走，又往北走，遇到障碍后又往西走 ，再折 向北走后往东一拐，仅走就找到了宝藏，求登陆点 到 埋宝藏点 的直线距离是多少？ 题图 分层训练 构建学科思维 11 解图 解： 如解图，过点作于点 . 根据题意，可知 ， ， 在中， . 答：登陆点到埋宝藏点的直线距离是 . 分层训练 构建学科思维 12 8.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一 架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左 墙角的距离为 ，梯子顶端到地 面的距离为 ．如果保持梯子底 D A. B. C. D. 端位置不动， 将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为 ，则小 巷的宽为 ( ) 分层训练 构建学科思维 13 9.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃 （读 ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如 图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙 的距离为2 寸，点和点距离门槛都为1尺（1尺寸），则 的长是 ( ) C 图1 图2 A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 分层训练 构建学科思维 14 10.如图，在一棵树的10米高的 处有两只猴子为抢吃池塘边水果， 一只猴子爬下树跑到 处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树 顶后直接跃到 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的 距离相等，则这棵树高 ____米． 15 分层训练 构建学科思维 15 11.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开 始时绳子 的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移 动到点 的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的） 分层训练 构建学科思维 16 解：在中， ，米， 米， （米）. 由题意，得 （米）. （米）. （米）. 答：船向岸边移动了9米. 分层训练 构建学科思维 17 12.如图是一块长、宽、高分别是6，4和3的长方体木块，一只蚂 蚁要从长方体木块的一个顶点 处，沿着长方体的外表面到长方 体上的另一个顶点 处吃食物，求它需要爬行的最短路径长. 分层训练 构建学科思维 18 图1 解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组 成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是9和4，所走 的最短路径长为 ； 图2 第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一 个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所走 的最短路径长为 ； 分层训练 构建学科思维 19 图3 第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组 成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3， 所走的最短路径长为 . ， 蚂蚁需要爬行的最短路径的长为 . 分层训练 构建学科思维 20 $第13章 勾股定理 专题训练（十一） 方程思想在勾股定理中的运用 1 ▶ 类型1 单勾股列方程求解 【例1】 如图，在中， ， ，，为的垂直平分线，求 的长. 解题思路：连结，设，则， ______. 分层训练 构建学科思维 2 在中，根据勾股定理，得 ， 可列方程为__________________. 解得 _ __. 分层训练 构建学科思维 3 1.如图，在中， ，，, 是 的角平分线，则点到 的距离为___． 3 分层训练 构建学科思维 4 2.如图,在中,,,是 内一点, .求 的长. 题图 分层训练 构建学科思维 5 解图 解：如解图，延长交于点 . ， 点在线段 的垂直平分线上. ， 点在线段 的垂直平分线上. 垂直平分线段 . . 分层训练 构建学科思维 6 ， . ， . 设，则 . 在中， ， ， 即，解得 . . 分层训练 构建学科思维 ▶ 类型2 双勾股列方程求解 模型一 条件:已知 的三边长. ________________________________________________________________________________ 方法:作,垂足为 . 结论: . 分层训练 构建学科思维 8 【例2】 如图，在中， ， ，，，求 的长. 解题思路：设，则 _______. 根据勾股定理，得 ， 9 可列方程为__________________________. 解得 ___. 分层训练 构建学科思维 9 3.如图，在中，， ， ，求 . 分层训练 构建学科思维 10 解：如图，过点作，交 的延长线 于点.设 ， ， . 解得 . . . . 分层训练 构建学科思维 11 4.如图，在中， ，为的中点， ， ．求 的长． 分层训练 构建学科思维 12 解：由题意，设，则， ， ， ， ， 即 . 同理，得 ， 解得 . . 解得 . 分层训练 构建学科思维 13 模型二 条件: ，于点 . ___________________________________________________ 结论:，，，，， 中，知二 可求四； ； ； . 分层训练 构建学科思维 14 5.如图，在中， ，于点 ， ，，求 的长. 分层训练 构建学科思维 15 解：设 . 在中， ， 在中， ， 在中， ， ，解得 . 的长为8. 分层训练 构建学科思维 16 ▶ 类型3 折叠问题 【例3】 如图，在三角形纸片中，， ， ，折叠三角形纸片，使点与的中点 重合，折 痕为，求线段 的长. 分层训练 构建学科思维 17 解： 在中， ， ， ， . . 为 的中点， . 设，则 ， 在 中，由勾股定理，得 ，解得.故的长为 . 分层训练 构建学科思维 18 ___________________________________________ 解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式 是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可利用勾股定理 直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思 想解决问题. 分层训练 构建学科思维 19 第6题图 6.（济宁中考）如图，三角形纸片 中， ，，．沿过点 的 直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处； 再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与 的交点为，则 的长是( ) A A. B. C. D. 分层训练 构建学科思维 20 第7题图 7.（2024·徐州改编）如图，将长方形纸片 沿折叠，使点落在边中点 处. 若，，则 _ _. 分层训练 构建学科思维 21 8.如图，已知三角形纸片， ， ， ，是边的中点，点在边上，将沿 翻折 压平，使点恰好落在线段上，则 的长等于 ______． 3或4 第8题图 分层训练 构建学科思维 22 第9题图 9.（雅安中考）如图，把一张长方形纸片沿对角 线折叠.若， ，则阴影部分的面积 为_ __. 第10题图 10.如图，长方形中，是 的中点，将 沿直线折叠后得到，延长 交 于点．若，，则 的长为 ___. 4 分层训练 构建学科思维 23 11.如图，在直角三角形纸片中， ， ， ，是的中点，是上一动点，将沿 折叠 得到，连结.当是直角三角形时， 的长为 _ ______. 或5 第11题图 分层训练 构建学科思维 24 12.如图，将长方形沿折叠后，点落在点 处，且交于点，，．求 的长． 分层训练 构建学科思维 25 解： 四边形 是长方形, ，， ， . . 由折叠的性质，得 ， . . 设，则 ， 分层训练 构建学科思维 26 在中，由勾股定理,得 ， 即，解得 ， ． 分层训练 构建学科思维 $第13章 勾股定理 13.1 勾股定理 13.1.3 反证法 1 基础 分点训练 中档 提分训练 拓展 素养训练 2 ▶ 知识点1 反证法的概念及步骤 1.牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们 用反证法证明：“在同一平面内，若，，则 ”时， 首先应假设( ) D A. B. C.与相交 D.与 相交 分层训练 构建学科思维 3 2.“已知：在中，，求证： ”.下面写出 了用于证明这个命题过程中的四个推理步骤： ①所以 ，这与三角形内角和定理相矛盾； ②所以 ； ③假设 ； ④那么，由，得 ，即 . 这四个步骤正确的顺序应该是( ) C A.①②③④ B.③④②① C.③④①② D.④③①② 分层训练 构建学科思维 4 ▶ 知识点2 利用反证法证明 3.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补 （填空）． 已知：如图，，，都被 所截． 求证： ． 证明：假设___ ． ， 分层训练 构建学科思维 5 ___ ． ___ ， ，这和____________矛盾， 假设___ 不成立，即 ． 平角为 分层训练 构建学科思维 4.利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角． 解：已知： . 求证： 中不能有两个角是钝角. 证明：假设、、中有两个角是钝角，不妨设、 为 钝角， ， ，这与三角形内角和定理相矛盾，故 假设不成立，原命题成立． 一个三角形中不能有两个角是钝角. 分层训练 构建学科思维 7 5.用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 解：已知：如图，在和中， ， ， . 求证： . 分层训练 构建学科思维 8 证明：假设与不全等，即 . 不妨设 . 如图，在上截取，连结 . 在和 中， ，， ， . ， . 分层训练 构建学科思维 9 ， 即 .这与 相矛盾. 因此，的假设不成立，即和 不全等的 假设不成立. . 分层训练 构建学科思维 $第13章 勾股定理 综合与实践 1 某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他 们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果 如下表（不完整）．#1 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长： 组员： ， ， 工具 皮尺等 分层训练 构建学科思维 2 测量 示意 图 _______________________________________________________ 说明：线段表示学校旗杆， 垂直地面于点 ，如图1，第一次 将系在旗杆顶端的绳子垂直到地 面，并多出了一段 ，用皮尺测 出 的长度；如图2，第二次将绳 子拉直，绳子末端落在地面的点 处，用皮尺测出 的距离． 图1 图2 分层训练 构建学科思维 3 测量 数据 测量项目 数值 图1中 的长度 1米 图2中 的长度 5.2米 … … 分层训练 构建学科思维 4 （1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学 校旗杆 的高度; 解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆的高度为米，则绳子的长度为 米. 由图2可得，在中， ， 即 ， 解得 ， 答：旗杆的高度为13.02米． 分层训练 构建学科思维 5 （2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外， 你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）． 解：旗杆的高度．（答案不唯一，合理即可）． 分层训练 构建学科思维 6 $