精品解析：广东省深圳市南山区第二外国语学校（集团）2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

南山二外（中学部）2025-2026学年度第一学期开学测试 九年级数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A. 3， B. 3，，5 C. ，， D. 3，，4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程方程的二次项系数是，一次项系数、常数项， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，根据菱形的判断定理逐项判断即可求解，掌握菱形的判断定理是解题的关键． 【详解】解：、由图可得，四边形的对角线垂直且互相平分，所以四边形是菱形，又由勾股定理可得菱形的边长为，能判定画框为边长的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，但由图得不到邻边相等，所以不能判定画框为菱形，该选项符合题意； 、由四边形都等于，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 、由同旁内角互补，两直线平行，可得四边形是平行四边形，由根据邻边相等为，能判定画框为边长为的菱形，该选项不合题意； 故选：． 3. 两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键． 先证四边形是菱形，再根据全等，得到．在中，根据勾股定理求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G，交于点H， 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形是全等的矩形， ， 在和中， ， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， ， 设，， 在中， ， ， 解得：， 菱形的面积：． 故选：C． 4. 如图，已知▱ABCD中，∠B＝50°．依据尺规作图的痕迹，则∠DAE＝（　　） A. 50° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】依据尺规作图的痕迹，可得EF是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出EA=EB，根据等边对等角得到∠EAB=∠B=50°，利用三角形内角和定理求出∠AEB=180°-∠EAB-∠B=80°，再根据平行四边形的对边平行以及平行线的性质求出∠DAE=∠AEB=80°． 【详解】解：∵EF是AB的垂直平分线， ∴EA=EB， ∴∠EAB=∠B=50°， ∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=80°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB=80°． 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的对边平行的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质．求出∠AEB的度数是解题的关键． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据题意可得，然后结合即可求解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故选：． 6. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所选小球含“”的有6种， 所选小球含“”的概率为， 故选：D． 7. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为的门，表示出的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设段的长为，  篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆，  垂直于墙的三段篱笆总长为，  在上有两扇宽为的小门（不用篱笆），   平行于墙的边的长度为 ，即，  花圃的面积为，  可列方程为 ． 8. 如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H，可得四边形AGFH是矩形，从而得到FH=AG，再由△ABC为等边三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，从而得到，再证得∠DAH=∠BAG=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，过点A分别作AG⊥BC于点G，AH⊥DF于点H， ∵DF⊥BC， ∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°， ∴四边形AGFH是矩形， ∴FH=AG， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=60°，BC=AB=2， ∴∠BAG=30°，BG=1， ∴， ∴， 在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°， ∴∠DAH=∠BAG=30°， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若a是的一个根，则的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值， 根据一元二次方程的解的定义得出，然后变形再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a是的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 10. 一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有______个． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，分式方程的应用，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中白球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为，由此根据概率公式建立方程求解即可． 【详解】解：设袋子中白球约有x个， ∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近， ∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中白球约有8个， 故答案为：8． 11. 对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 12. 如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和弦图，解一元二次方程， 设，，表示出，然后根据得到，整理为，然后解方程即可． 【详解】解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成 ∴设， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴整理得， ∴ 解得 ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 13. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，过点E作于点G，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点最值问题，菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值的满足的条件，再根据相关的判定方法及性质进行求解是解题的关键．连接，，，可证四边形是平行四边形，从而可得，求的最小值，求最小值即可，由垂线段最短可知，当、、三点在一条直线上时，最小值，即可求解． 【详解】解：连接，，， 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 求的最小值，求最小值即可， 由垂线段最短可知，如图，当、、三点在一条直线上时，最小值， 在中， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法求解； （2）先移项，再提取公因式，利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 15. 小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． （1）小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； （2）请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 【答案】（1）1，2 （2） 解：正确的解法是：， 移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得， 注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0) 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：小涵的解法中，因为可能为0， 所以不能两边同时除以，即第一次出错错在第1步； 小彤的解法中，第1步移项没错， 第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步； 故答案为：1；2； 【小问2详解】 略 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，利用上述结论求的面积． 【答案】（1） 证明：点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ， 四边形为矩形． （2）44 【解析】 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． 17. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）__________，__________，__________； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）①18； ②补全第1小组得分条形统计图如下， （2）5；；3 （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出分的人数，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①； 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图略； 【小问2详解】 由条形图可知，得到5分的人数最多，故； 由扇形图可知：； 由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分， ∴； 【小问3详解】 由题意，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 18. 根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 素材1 某商场购进了一批名牌衬衫，进价为每件100元，销售价为每件150元，平均每天可售出20件． 素材2 为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 素材3 这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元． 市场调查 经调查发现，如果每件衬衫售价每降价1元，商场平均每天可多售出4件． 任务解决 任务1 当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利多少元？ 任务2 若商场平均每天盈利2750元，每件衬衫售价应定为多少元？ 【答案】任务1：1750；任务2：120 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）根据利润（原售价进价降价）销售量其他成本列式求解即可； （2）设每件衬衫应该降价x元，利润（原售价进价降价）销售量其他成本列出方程求解即可． 【详解】解：任务1：元， ∴当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利1750元； 任务2：设每件衬衫应该降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， ∴元， 答：每件衬衫售价应定120元． 19. 已知（其中，，，是各项的系数，是常数项），我们规定的伴随多项式是，且．如，则它的伴随多项式． 请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知，则它的伴随多项式___________ （2）已知，则它的伴随多项式___________；若，求的值． （3）已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，求的整数值． 【答案】（1）； （2），或； （3）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，整式的概念，解一元一次方程，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据伴随多项式即可求解； （）根据伴随多项式得，然后由题意可得，再解方程即可； （）根据伴随多项式得，然后由题意可得，再由有正整数解，求的整数值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得：或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于的方程有正整数解， ∴或或或， 解得：或或或． 20. 如图，四边形是矩形，点，分别在轴，轴上，点的坐标是，的垂直平分线分别与交于点． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）求直线的解析式； （3）连接，，相交于点，请求出点的坐标； （4）点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使得以为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，； （2）解析式为； （3）； （4）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（）由垂直平分，则，即为中点，故点的坐标是，设，则，通过勾股定理求得，从而有，然后利用待定系数法求出解析式为，由一次函数性质求得点的坐标是； （）利用待定系数法即可求解； （）求出解析式为，解析式为，联立得，然后解方程组即可； （）分以为边，时，以为对角线，时进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴，即为中点， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是，，， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，，解得：， ∴点的坐标是， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设解析式为，且过，， ∴，解得：， ∴解析式为； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， 设解析式为，解析式为， ∴，， 解得：，， ∴解析式为，解析式为， 联立得：，解得：， ∴； 【小问4详解】 解：如图，如图，以为边，时， ∴或， 如图，以为对角线，时，， ∴， 综上可得：以为顶点且以为边的四边形为菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理，中点坐标，解方程，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南山二外（中学部）2025-2026学年度第一学期开学测试 九年级数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A. 3， B. 3，，5 C. ，， D. 3，，4 2. 在校园艺术节中，同学们准备制作个边长为的菱形画框．完成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中不能判定画框为菱形的测量方式是（ ） A. B. C. D. 3. 两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知▱ABCD中，∠B＝50°．依据尺规作图的痕迹，则∠DAE＝（　　） A. 50° B. 65° C. 75° D. 80° 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（　　） A. B. 且 C. D. 且 6. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的等边三角形的外侧作正方形，过点作，垂足为，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若a是的一个根，则的值是______． 10. 一个盒子中有12个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，经过多次重复实验，发现摸到红球的频率稳定在0.6附近，则估计盒子中白球有______个． 11. 对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是_______． 12. 如图是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”．弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．若，则________． 13. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，过点E作于点G，连接．若，，则的最小值为______． 三、解答题（共7小题，共61分） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 小涵与小彤两位同学解方程的过程如下： 小涵的解题过程： 第1步：两边同时除以得， 第2步：移项，得， 第3步：解得． 小彤的解题过程： 第1步：移项，得， 第2步：提取公因式，得． 第3步：则或， 第4步：解得，． （1）小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步； （2）请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项． 16. 中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，利用上述结论求的面积． 17. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； （2）__________，__________，__________； （3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 18. 根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 素材1 某商场购进了一批名牌衬衫，进价为每件100元，销售价为每件150元，平均每天可售出20件． 素材2 为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施． 素材3 这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元． 市场调查 经调查发现，如果每件衬衫售价每降价1元，商场平均每天可多售出4件． 任务解决 任务1 当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利多少元？ 任务2 若商场平均每天盈利2750元，每件衬衫售价应定为多少元？ 19. 已知（其中，，，是各项的系数，是常数项），我们规定的伴随多项式是，且．如，则它的伴随多项式． 请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知，则它的伴随多项式___________ （2）已知，则它的伴随多项式___________；若，求的值． （3）已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，求的整数值． 20. 如图，四边形是矩形，点，分别在轴，轴上，点的坐标是，的垂直平分线分别与交于点． （1）点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）求直线的解析式； （3）连接，，相交于点，请求出点的坐标； （4）点是平面内任意一点，在轴上是否存在点，使得以为顶点且以为边的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $