22.2.4 一元二次方程根的判别式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(华东师大版)

该初中数学教案聚焦“一元二次方程根的判别式”核心知识点，通过复习求根公式导入，引导学生思考b²-4ac的作用，搭建公式法解一元二次方程到根的情况判断的学习支架，衔接旧知与新知。 本教案以学生探究为特色，通过解方程实例让学生自主抽象出判别式概念，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识。分类讨论Δ>0、=0、<0的情况，发展数学思维中的推理意识，例题结合等腰三角形边长、新定义运算等情境，渗透数学语言中的模型意识与应用意识。助力学生提升逻辑思维与问题解决能力，教师可通过分层训练查缺补漏，高效落实教学目标。

22.2.4 一元二次方程根的判别式 课题 22.2.4 一元二次方程根的判别式 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P31-33 教学目标 1.熟练运用根的判别式判断一元二次方程根的情况。 2.学会运用根的判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明。 3.经历探索运用根的判别式判断一元二次方程根的情况，培养学生思维的严密性、逻辑性和灵活性，培养学生的推理论证能力。 教学重难点 重点：运用根的判别式求符合题意的字母的取值范围。 难点：正确理解根的判别式。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.复习回顾，导入新课 教师活动：上节课我们学习了公式法解一元二次方程，同学们还记得一元二次方程的求根公式是什么吗？ 学生回答：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是x=。 教师活动：所以当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系数a，b，c满足b2-4ac≥0条件时才有实数根，你们能判断一元二次方程有几个根吗？这节课我们来学习一元二次方程根的判别式。（教师板书课题：22.2.4 一元二次方程根的判别式） 通过探究b2-4ac<0的情况，引出对方程的根的探讨，调动了学生的学习思维和学习积极性,便于本节课进一步探索一元二次方程根的情况。 2.实践探究，学习新知 【探究】 1. 你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的？ 师生活动：鼓励学生独立思考，然后再进行交流，并明确相关结论。可能有学生尝试用公式法解方程x2-2x+3=0，在这一过程中会得到b2-4ac=4-12=-8<0，无法使用求根公式；也可能有学生用配方法解方程x2-2x+3=0，配方后出现（x-1）2 =-2，由于任何实数的平方都不是负数，因此这个方程没有实数根。 2. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac<0时，它的根的情况是怎样的？ 师生活动：在第1问的基础上，引导学生思考。一般地，对一元二次方程ax2+bx+c=0配方后得到=，如果b2-4ac<0，那么原方程没有实数根。 3. 对一元二次方程ax2+bx+c=0配方后得到=，当b2-4ac＞0或b2-4ac=0时，它的根的情况又是怎样的？与同伴交流。 预设： 当b2-4ac＞0时，=的右边是一个正数，有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根： x1=，x2=。 当b2-4ac=0时，=的右边是0，因此方程有两个相等的实数根：x1=x2=。 师生活动：教师引导学生类比确定方程有没有根的过程来分类讨论方程根的其他情况。 【归纳总结】 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可由b2-4ac来判定。我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根。 通过解方程，根据已知方程解的情况来推导一元二次方程根的情况。 3.学以致用，应用新知 考点1 根据一元二次方程根的判别式判断根的情况 例1 一元二次方程x2+5x+1=0根的情况是（ ）。 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 答案：A 变式训练 若关于x的方程2x2+3x+c=0没有实数根，则c的值可能为（ ）。 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 答案：D 考点2 根据一元二次方程根的情况求参数 例2 已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 答案：B 变式训练 若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根，则k=__________。 答案：-1 通过例题讲解，巩固学生应用一元二次方程的根的判别式。一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 4.随堂训练，巩固新知 1. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）。 A. B. C. D. 答案：D 2. 定义运算：m☆n=mn-mn-1。例如4☆2=4×22-4×2-1= 7。则方程1☆x=0的根的情况为（ ）。 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 答案：A 3. 等腰三角形边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为______。 答案：9或10 4. 不解方程，判断下列方程根的情况： （1）16y2+9=24y；（2）5（x2+1）-7x=0。 解：（1）将原方程化为一般形式，得16y2-24y+9=0。 这里a=16，b=-24，c=9。 ∵b2-4ac=（-24）2-4×16×9=0， ∴原方程有两个相等的实数根。 （2）将原方程化为一般形式，得5x2-7x+5=0。 这里a=5，b=-7，c=5。 ∵b2-4ac=（-7）2-4×5×5=-51<0， ∴原方程没有实数根。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，常用符号“Δ”来表示。 2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0） 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ<0时，方程没有实数根。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 教材P33练习，P36习题22.2 T7-T9。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 22.2.4 一元二次方程根的判别式 复习回顾： 一元二次方程的求根公式 根的判别式的推导过程 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 本章的主要内容是会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个实数根是否相等，在教学中，更多的时间是引导学生自主探索一元二次方程根的判别式，调动学生学习的积极性，同时学生在学习中相互交流，相互学习，共同提高。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $