22.2.1 直接开平方法和因式分解法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(华东师大版)

该初中数学课件聚焦一元二次方程的直接开平方法和因式分解法，通过复习平方根概念、因式分解方法（提公因式法、平方差公式）及方程(x+1)(x-2)=0的求解，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生逐步掌握解法原理。 其亮点在于以“试一试”“做一做”等互动设计激活数学思维，如通过小张和小林解方程的辨析案例培养推理意识，借助一题多解（如x²-900=0用两种方法）发展抽象能力（数学眼光），课堂小结系统归纳方法适用形式（如x²=p、(mx+n)²=p等），用规范数学语言构建模型，助力学生形成解题策略，教师使用可提升教学效率，学生能深入理解降次转化思想。

22.2 一元二次方程的解法 情境导入 知识讲解 随堂小测 当堂检测 课堂小结 1. 直接开平方法和因式分解法 学习目标 1.会用直接开平方法解形如x2=p或（x+n）2=p的方程.（重点） 2.灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程.（难点） 3.了解转化、降次思想在解方程中的应用. 情境导入 复 习 回 顾 1.平方根的概念. 2.（1）什么是因式分解？ 如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即x2=a，x叫做a的平方根. 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 情境导入 复 习 回 顾 （2）因式分解有哪些方法？ 3.说出方程(x+1)(x-2)=0的解. ①提公因式法 x1=-1，x2=2 ma+mb+mc=m(a+b+c) ②公式法 a2-b2=(a+b)(a-b) 平方差公式 完全平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 知识讲解 知识点1 直接开平方法和因式分解法的概念 解下列方程： （1）x2=4； （2）x2-1=0. 试一试 你是怎样解的？ 对于题（1），有这样的解法： 概括 方程 x2=4 意味着x是4的平方根，所以 x=± 即 x=±2. 这里得到了方程的两个根，通常也表示成x1=2，x2=-2.这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 对于题（2），有这样的解法： 概括 将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x-1)(x+1)=0， 必有 x-1=0或x+1=0. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 分别解这两个一元一次方程，得 x1=1，x2=-1. 知识讲解 知识点2 解形如x2=p或x2-p=0（p≥0）的方程 （1）方程x2=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？ 可以，应将方程化成x2-4=0的形式. （2）方程x2-1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？ 可以，应将方程化成x2=1的形式. 思考 试用两种方法解方程： x2-900=0. 直接开平方法：移项，得x2=900.直接开平方，得x=±30.即x1=30，x2=-30. 做一做 因式分解法：方程左边分解因式，得(x+30)(x-30)=0.所以x-30=0或x+30=0.得x1=30，x2=-30. 例1 解下列方程： （1）x2-2=0； （2）16x2-25=0. 解：（1）移项，得x2=2.直接开平方，得x=± 2.即x1= 2，x2=- 2. （2）移项，得16x2=25.方程方程两边都除以16，得x2= .直接开平方，得x=± .得x1= ，x2=- . 25 16 5 4 5 4 5 4 还有其他解法吗？ 知识点3 用提公因式法解一元二次方程 例2 解下列方程： （1）3x2+2x=0； （2）x2=3x. （2）移项，得x2-3x=0.方程左边分解因式，得x(x-3)=0.所以x=0或x-3=0.得x1=0，x2=3. 解：（1）方程左边分解因式，得x(3x+2)=0.所以x=0或3x+2=0.得x1=0，x2=- . 2 3 方法 x2+bx=0 x(x+b)=0 想一想：因式分解法解方程的依据是什么？ (x-1)(x+1)=0 x-1=0或x+1=0 由乘积等于零，得到两个因式中至少有一个等于零，从而将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程求解. 依据 如果ab=0，那么必有a=0或b=0. 随堂小测 解下列方程： （1）x2=169； （2）45-x2=0； （3）12y2-25=0； 解:（1）直接开平方，得 x=±13. 即 x1=13，x2=-13. （2）移项，得 x2=45. 直接开平方，得 x=±3 5. 即 x1= 5，x2=- 5. （2）移项，得 12y2=25. 方程两边都除以12，得 y2= . 直接开平方，得 x=± . 即 x1= ，x2=- . 25 12 5 3 6 5 3 6 5 3 6 解下列方程： （3）x2-2x=0； （4）(t-2)(t+1)=0； （5）x(x+1)-5x=0. （3）方程左边因式分解，得 x(x-2)=0. 所以 x=0或x-2=0. 得 x1=0，x2=2. （4）t-2=0或t+1=0. 得 t1=2，t2=-1. （2）方程左边分解因式，得 x[(x+1)-5]=0. 即 x(x-4)=0. 所以 x=0或x-4=0. 得 x1=0，x2=4. 知识讲解 知识点4 解形如q（mx+n）2=p（m≠0，p≥0）的方程 例3 解下列方程： （1）(x+1)2-4=0； （2）12(2-x)2-9=0. ( )2=a(a≥0) 解：（1）原方程可以变形为 (x+1)2=4. 直接开平方，得 x+1=±2. 所以 x1=1，x2=-3. （2）原方程可以变形为 (x-2)2= . 直接开平方，得 x-2=± . 所以 x1=2+ ，x2=2- . 9 12 3 2 3 2 3 2 你是这样解的吗？还有其他解法吗？ q（mx+n）2=p（pq≥0，q≠0，m≠0） 归纳 方程两边都除以系数后开方降次 mx+n= 小张和小林一起解方程x(3x+2)-6(3x+2)=0. 你知道吗？ 小林的解法是这样的： 移项，得 x(3x+2)=6(3x+2)， 方程两边都除以(3x+2)，得 x=6. 小张将方程左边分解因式，得 (3x+2)(x-6)=0. 所以 3x+2=0或x-6=0. 得 x1= ，x2=6. 我的方法多简便！ 可另一个根x= 哪里去了？小林的解法对吗？ 小林的解法不对，方程两边都除以(3x+2)要在3x+2≠0的情况下，如果不能确定3x+2是否等于零，便不能轻易都除以(3x+2). 所以，在解方程时应注意，方程两边都约去含未知数的代数式易丢根. 拓展 适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 （1）提取公因式法： x2+bx=0 x(x+b)=0 提取 公因式x （2）公式法： x2-k2=0 (x+k)(x-k)=0 平方差公式 x2±2ax+a2=0 (x±a)2=0 完全平方公式 （3）十字相乘法： x2-(p+q)x+pq=0 (x-p)(x-q)=0 十字相乘 因式分解 随堂小测 解下列方程： （1）(x+2)2-16=0； （2）3(2x-1)2-27=0； （3）(x+1)2=5x+5； （4）(x-2)(2x-3)=6. 解:（1）原方程可以变形为(x+2)2=16.直接开平方，得x+2=±4.所以x1=2，x2=-6. （2）原方程可以变形为(2x-1)2=9.直接开平方，得2x-1=±3.所以x1=2，x2=-1. （3）原方程可以变形为(x+1)2-5(x+1)=0.方程左边因式分解，得(x+1)(x+1-5)=0.所以x1=-1，x2=4. 随堂小测 解下列方程： （1）(x+2)2-16=0； （2）3(2x-1)2-27=0； （3）(x+1)2=5x+5； （4）(x-2)(2x-3)=6. （4）原方程可以变形为2x2-7x=0.方程左边因式分解，得x(2x-7)=0.所以x1=0，x2=3.5. 当堂检测 D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1=1，x2=−4 1. 下列解方程的过程中，正确的是 （ ） A. x2 = −2，解方程，得 x =± B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4 D C. 4(x − 1)2 = 9，解方程，得 4(x − 1) =±3，x1= ，x2 = 2. (x-2)(x+3)=0的解是 （ ） A. x=2 B. x=-3　　　 C. x1=-2，x2=3 D. x1=2，x2=-3 D 3．解方程9(x+1)2-4(x-1)2=0的正确解法是 （ ） A. 直接开平方得3(x+1)=2(x-1) B. 化为一般形式为13x2+5=0 C. 分解因式得[3(x+1)+2(x-1)][3(x+1)-2(x-1)]=0 D. 直接得x+1=0或x-1=0 C 4.对于方程x2=m-1. （1）若方程有两个不相等的实数根，则m______； （2）若方程有两个相等的实数根，则m_____； （3）若方程无实数根，则m_____． >1 =1 <1 5.用适当的方法解下列方程： （1）(x-3)2-25=0； （2）x(x-2)+x-2=0； （3）3x2-12x=-12； （4）(5x+1)2=1. 解:（1）原方程可以变形为(x-3)2=25.直接开平方，得x-3=±5.所以x1=8，x2=-2. （2）方程左边因式分解，得(x-2)(x+1)=0.所以x-2=0或x+1=0.得x1=2，x2=-1. （3）原方程整理，得x2-4x+4=0.方程左边因式分解，得(x-2)2=0.所以x1=x2=2. 5.用适当的方法解下列方程： （1）(x-3)2-25=0； （2）x(x-2)+x-2=0； （3）3x2-12x=-12； （4）(5x+1)2=1. （4）直接开平方，得5x+1=±1.所以x1=0，x2=- . 2 5 课堂小结 1.像x2=a(a≥0)这样的一元二次方程，可以利用平方根的定义来求解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 2.使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 3.适合用因式分解法求解的一元二次方程的形式 （1）提取公因式法： x2+bx=0 x(x+b)=0 提取 公因式x （2）公式法： x2-k2=0 (x+k)(x-k)=0 平方差公式 x2±2ax+a2=0 (x±a)2=0 完全平方公式 （3）十字相乘法： x2-(p+q)x+pq=0 (x-p)(x-q)=0 十字相乘 因式分解 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $