第21章 一元二次方程（单元测试·培优卷）数学人教版九年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 2．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（    ） A． B．2 C． D．或2 4．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（    ） A． B． C． D． 6．如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程（﹣1）☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 8．设方程的两个根为，那么的值等于（     ） A． B． C．4 D．6 9．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 10．对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 12．一元二次方程的一个实数根是a，则的值为 ． 13．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ． 14．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 15．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（每小题3分，共6分）解下列方程 (1) (2) 17．（6分）已知是方程的一个根，试求的值． 18．（7分）关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 19．（8分）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 20．（8分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 19．（8分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 22．（10分）已知关于x的方程． (1)求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求出方程的根（用含k的代数式表示）． (3)若等腰三角形的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 23．（10分）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 24．（12分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当t=_______时，四边形是矩形； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式. 先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可． 【详解】解：转化为一般形式为：， ∴一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，， 故选：C． 2．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 3．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（    ） A． B．2 C． D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和常数项的概念，解题的关键是根据常数项为0求出可能的m值，再依据一元二次方程二次项系数不为0的条件筛选出正确结果． 根据方程常数项是0，列出关于m的方程求出m的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数，排除不符合的m值，得到最终结果． 【详解】解：已知关于x的一元二次方程的常数项是0． 一元二次方程的常数项是不含未知数的项，即． 解这个方程：，即 ∴ 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即，解得． 因此，． 故选：A． 4．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，公式法解一元二次方程的过程：先确定的值，代入计算判别式，当，方程有实数根，当，方程无实数根，当时，将的值代入求根公式求解方程． 【详解】解： ，，， ， ， ， 一元二次方程的两个根，其中较小的根为． 故选：B． 6．如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．分别表示出图案面积和海报面积，根据边框面积图案面积，可得海报面积图案面积边框面积，即可列出方程． 【详解】解：通过题意易知，矩形的面积， 又∵矩形的周围是的边框， ∴整个海报的长为，宽为，面积为， 又∵边框面积矩形图案面积， ∴边框面积， ∴海报面积图案面积边框面积， 即． 故选：D． 7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程（﹣1）☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】按照新定义将所求方程转化为一元二次方程，求出值，根据值判断方程根的情况． 【详解】由新定义知：（﹣1）☆x＝ 解得 此方程没有实数根 故答案为：C 【点睛】本题考查新定义运算、一元二次方程根的判别式，熟练利用值判断根的情况是解题关键（，没有实数根；，有两个相等的实数根；，有两个不相等的实数根）． 8．设方程的两个根为，那么的值等于（     ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系“对于一元二次方程，若它的两个实数根为，，则，”，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴， ∴， 故选：C． 9．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（     ）． A．且B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、平行四边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设一元二次方程的两个根为，，由题意得，，，由根与系数的关系可得，，，解得，再利用一元二次方程根的判别式求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：设一元二次方程的两个根为，， 由题意得，，， 由根与系数的关系可得，，， 解得：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∴k的取值范围是． 故选：B． 10．对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意； ④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】或/或4 【分析】本题考查了同类二次根式的定义和解一元二次方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，得，解方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：或． 12．一元二次方程的一个实数根是a，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值及恒等变形问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变形的方法是解决本题的关键． 首先根据a是方程的一个根，可得，再把代数式进行恒等变形，化为含有的式子，据此即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ． 【答案】14或16/16或14 【分析】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．先解一元二次方程可得，再根据等腰三角形的定义可得或，然后分两种情况，结合三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：， ， ， 或， ， ∵是等腰三角形， ∴或， ∴或， ①当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系， 则此时这个三角形的周长为； ②当等腰的三边长分别为时，满足三角形的三边关系， 则此时这个三角形的周长为； 综上，这个三角形的周长为14或16， 故答案为：14或16． 14．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 15．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（每小题3分，共6分）解下列方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， 解得：． 17．（6分）已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 18．（7分）关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 在实数范围内，无论取何值，都有，即． 关于的方程恒有两个不相等的实数根． （2）将代入方程， 可得， 解得． 19．（8分）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； （2）由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 20．（8分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 19．（8分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 22．（10分）已知关于x的方程． (1)求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求出方程的根（用含k的代数式表示）． (3)若等腰三角形的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是根的判别式以及等腰三角形的分类讨论思想，属于中等难度的题型．对等腰三角形进行分类讨论是解决这个问题的关键． （1）根据题意求出的值，从而得出方程的解的个数，即可判断； （2）根据求根公式求解即可； （3）结合（2）中，根据等腰三角形的性质进行分类讨论，从而得出k的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵， ． （3）解：∵，故由等腰三角形的周长为 14 ， 得①，解得：， ∴三边长分别为，符合题意． ②，， ∴三边长分别为，符合题意． 综上所述，或． 23．（10分）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】本题考查勾股定理，根的判别式，一元二次方程的解： （1）根据，a、b、c为连续自然数得到，，，写出勾系一元二次方程即可； （2）利用根的判别式即可得证； （3）把代入方程得到，根据四边形的周长，求出，的值，根据勾股定理得到的值，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】（1）解：当，，时，， 能够组成一个勾系一元二次方程：； （2）根据题意得， ∵， ∴． 即， ∴“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）当时，有，即， ∵四边形的周长，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24．（12分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当t=_______时，四边形是矩形； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为2，，1，3 (3)不存在，见解析 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质；（1）由题意得，当时，四边形是矩形，据此建立方程组求解即可； （2）分三种情况讨论：①当，②当，③当，再根据等腰三角形的边相等列方程求解即可； （3）假设存在，利用勾股定理列方程，再利用根的判别式判断方程是否有解，有解假设成立，无解假设不成立． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得， 故答案为：3； （2）解：作于点M， 由题意，，，，， ①当时，， 即，解得，， ②当时， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ③当时， 由勾股定理得，， 即， 解得或3， 综上所述，t的值为2，，1，3； （3）解：不存在，理由如下： 设，则， 即， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不成立， 即，不存在某一时刻t使得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 一元二次方程 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A C D B D C B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共5分） 11．或． 12．2026 13．14或16 14．， 15．． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（每小题3分，共6分）解下列方程 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， 解得：． 17．（6分） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 18．（7分） 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与一元二次方程的根的个数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 在实数范围内，无论取何值，都有，即． 关于的方程恒有两个不相等的实数根． （2）将代入方程， 可得， 解得． 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及完全平方公式的变形，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式代入进行变形计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即， 解得， 则m的取值范围为； （2）由韦达定理可知：，， 若， 由可得， 即， 将，代入得：， 即， 解得， 由（1）可知，故符合题意， 因此，m的值为． 20．（8分） 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，理解题中求解过程，熟练掌握换元法和转化思想的运用是解答的关键． （1）根据题意可得，然后去分母即可化为一般式； （2）仿照材料中的求解过程，利用换元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，化为一般式为， 故答案为：； （2）解：设，则原方程化为， 整理，得，解得或， 当时，即，解得或 当时，即，方程无解； 综上所述，原方程的解为或． 19．（8分） 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 22．（10分） 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是根的判别式以及等腰三角形的分类讨论思想，属于中等难度的题型．对等腰三角形进行分类讨论是解决这个问题的关键． （1）根据题意求出的值，从而得出方程的解的个数，即可判断； （2）根据求根公式求解即可； （3）结合（2）中，根据等腰三角形的性质进行分类讨论，从而得出k的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵， ． （3）解：∵，故由等腰三角形的周长为 14 ， 得①，解得：， ∴三边长分别为，符合题意． ②，， ∴三边长分别为，符合题意． 综上所述，或． 23．（10分） 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】本题考查勾股定理，根的判别式，一元二次方程的解： （1）根据，a、b、c为连续自然数得到，，，写出勾系一元二次方程即可； （2）利用根的判别式即可得证； （3）把代入方程得到，根据四边形的周长，求出，的值，根据勾股定理得到的值，利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】（1）解：当，，时，， 能够组成一个勾系一元二次方程：； （2）根据题意得， ∵， ∴． 即， ∴“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）当时，有，即， ∵四边形的周长，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 24．（12分） 【答案】(1) (2)t的值为2，，1，3 (3)不存在，见解析 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质；（1）由题意得，当时，四边形是矩形，据此建立方程组求解即可； （2）分三种情况讨论：①当，②当，③当，再根据等腰三角形的边相等列方程求解即可； （3）假设存在，利用勾股定理列方程，再利用根的判别式判断方程是否有解，有解假设成立，无解假设不成立． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得， 故答案为：3； （2）解：作于点M， 由题意，，，，， ①当时，， 即，解得，， ②当时， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ③当时， 由勾股定理得，， 即， 解得或3， 综上所述，t的值为2，，1，3； （3）解：不存在，理由如下： 设，则， 即， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不成立， 即，不存在某一时刻t使得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元测验卷 第21章 一元二次方程 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 2．若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的一元二次方程的常数项是0，则（    ） A． B．2 C． D．或2 4．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A． B． C． D． 5．利用公式法解一元二次方程得到两个根，其中较小的根为（    ） A． B． C． D． 6．如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（    ） A． B． C． D． 7．定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7，则方程（﹣1）☆x＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 8．设方程的两个根为，那么的值等于（     ） A． B． C．4 D．6 9．在中，对角线，的长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的取值范围是（    ）． A．且 B． C． D． 10．对于一元二次方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为1； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的是（　　） A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 12．一元二次方程的一个实数根是a，则的值为 ． 13．已知等腰的一边，而另外两边的边长恰好是关于的一元二次方程的两实数根，则这个三角形的周长为 ． 14．若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 15．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（每小题3分，共6分）解下列方程 (1) (2) 17．（6分）已知是方程的一个根，试求的值． 18．（7分）关于的方程， (1)求证：方程恒有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根为3，求的值． 19．（8分）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，求m的值． 20．（8分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 材料：为解方程，可将方程变形为， 然后设，则，原方程化为， 解得，， 当时，无意义，舍去； 当时，，解得； 所以原方程的解为或． 问题： (1)已知方程，若设，则原方程化为一般式为　　　　　； (2)利用以上学习到的方法解下面方程： 19．（8分）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 22．（10分）已知关于x的方程． (1)求证：不论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)求出方程的根（用含k的代数式表示）． (3)若等腰三角形的周长为14，其中两边长恰好是这个方程的两个根，求k的值． 23．（10分）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当，且a、b、c为连续自然数时，写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 24．（12分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接、、．设点P、Q运动的时间为． (1)当t=_______时，四边形是矩形； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $