第13章 三角形（单元测试·培优卷）数学人教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元测验卷 第13章 三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 2．如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 6．将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．9 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 10．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点，射线与直线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为 ． 12．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为 ． 13．如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 ． 14．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 15．如图， 和的平分线交于点O， 连结， 的外角的平分线与的延长线交于点E，交于点D．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）计算：已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 17．（6分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长． 18．（8分）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 19．（8分）如图1，A、B、C三点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)为的高，G为上一点，若平分，且，求的度数． 20．（8分）如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 21．（8分）如图，中，，D是延长线上一动点，连接，平分交于点 E，过点E作，垂足为点H．直线与直线相交于点F．设． (1)求证：； (2)若，，则 ， ； 试探究α与β的关系，并说明理由； 22．（9分）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 23．（10分）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 24．（12分）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元测验卷 第13章 三角形 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B D D A C A C B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．11 12． 13． 14．40 15．①③④ 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分） 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 17．（6分） 【答案】（1）50°（2）10. 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴∠ECB∠ACB＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴BC﹣AB＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10. 18．（8分） 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 19．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，三角形内角和定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行线的判定和性质证明即可； （2）设，根据角平分线及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ，即， ∵为的高， ∴， ∴． 20．（8分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 21．（8分） 【答案】(1)详见解析 (2) ，； ，理由见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等得出答案； （2）①根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，再求出，根据三角形内角和定理得出答案即可； ②先求出 ，同理得，且，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴； （2）①∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴． ②．理由如下： ∵平分， ∴， 由（1）得：， 同理，且， ∴， ∴． 22．（9分） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2） ， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 23．（10分） 【答案】（1），三角形内角和定理，，；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义. （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解. 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得 ． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）是角平分线，是角平分线 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 24．（12分） 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元测验卷 第13章 三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 2．如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 6．将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．9 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 10．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点，射线与直线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为 ． 12．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为 ． 13．如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 ． 14．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 15．如图， 和的平分线交于点O， 连结， 的外角的平分线与的延长线交于点E，交于点D．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）计算：已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 17．（6分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长． 18．（8分）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 19．（8分）如图1，A、B、C三点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)为的高，G为上一点，若平分，且，求的度数． 20．（8分）如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 21．（8分）如图，中，，D是延长线上一动点，连接，平分交于点 E，过点E作，垂足为点H．直线与直线相交于点F．设． (1)求证：； (2)若，，则 ， ； 试探究α与β的关系，并说明理由； 22．（9分）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 23．（10分）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 24．（12分）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学单元测验卷 第13章 三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．用一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围；先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为，的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于，小于，符合题意的只有B选项， 故选：B 2．如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形， 故选：B． 3．如图所示，D，E分别是的边，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．是的中线 B．是的中线 C．， D．的对边是 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的定义分析各个选项． 【详解】解：∵D，E分别是的边，的中点， ∴是的中线，是的中线，故选项A，B正确，不符合题意； ∴，，故选项C正确，不符合题意； 在中，的对边是，在中，的对边是，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 4．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和． 根据三角形内角和逐一计算，看是否有90度角即可． 【详解】解：A．，，则，是直角三角形，不符合题意； B．，则，，即，解得，则，，是直角三角形，不符合题意； C．，则，是直角三角形，不符合题意； D．，即，解得，则，，不是直角三角形，符合题意； 故选：D 5．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 6．将一副三角板按如图所示放置，其中，，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角板的知识，是基础题，熟记定理是解题的关键．由题可得，，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：，， ． ，， ． ， ． 故选：C． 7．如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解： 是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选A． 8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，平分，，，下列四个结论中错误的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，解题的关键是熟练掌握相关知识． 由平行线的性质，结合角平分线的定义，可以判断选项，，根据直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，可以判断选项，即可得符合题意的选项． 【详解】解：∵，， ∴， ∴选项不符合题意， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 由已知无法得出， ∴选项符合题意， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 9．（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，的面积为，，，则图中四边形的面积等于（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的面积计算，弄清楚各部分面积之比以及利用底一定时三角形面积与高成正比的性质成为解题的关键． 如图：连接，由的面积为、、，可求出的面积．根据底一定时，三角形面积与高成正比或高一定时，三角形面积与底成正比，求出的面积，从而得到与高之比为，即与的高之比为，进而得到的面积，最后求出四边形的面积． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴与面积比为， ∴与高之比为，即与的高之比为， ∴， ∴四边形的面积为． 故选：B． 10．（24-25八年级上·重庆万州·开学考试）如图，射线，分别是的外角，的角平分线，射线与直线交于点，射线与直线交于点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 设，根据为解题的思路，根据三角形的外角性质及角平分线性质，通过等量代换的思想分别求出即可． 【详解】解：设，则， ，， ， 分别是的外角的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了非负性，三角形三边关系，根据非负性可以求出，熟练掌握是解题关键 【详解】解：，，， ，， ． 又a，b，c均为三角形的三边， ． 为整数， ． 的周长为， 故答案为：11． 12．如图，在中，是边上的中线，是的中点，连接，若的面积为6，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分是解题的关键． 先根据三角形的中线的性质求得的面积，再根据三角形中线的性质即可求得的面积． 【详解】解：∵是的中点，的面积为6， ∴的面积为， ∵是边上的中线， ∴的面积等于的面积12． 故答案为：12． 13．如图，在中，平分交于点，于点，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的相关运算，涉及角的平分线、三角形内角和与垂直的性质，先利用直角得到的度数，再依次得到、的度数，再根据角平分线得到的度数，最后利用三角形内角和求得结果． 【详解】 解：，，， ， ， ． 平分， ， ． 故答案为：． 14．如图，平分，交于F，平分交于E，与相交于G，如果，，那么的度数为 度． 【答案】40 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理列出等式整理即可得解． 【详解】解：∵平分平分， ， ， ， ， ， 故答案为：40． 15．如图， 和的平分线交于点O， 连结， 的外角的平分线与的延长线交于点E，交于点D．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①③④ 【分析】根据和的平分线交于点O，得出平分，求出，证明，根据平行线的判定得出，说明①正确；根据角平分线和三角形外角的性质求出，根据，得出，判定②错误；先求出，，得出，判定③正确；根据，，即可判定④正确． 【详解】解：∵和的平分线交于点O， ∴平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故②错误； ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）计算：已知的三边长为，且，，都是整数． (1)若，，且为奇数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． （2）由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 17．（6分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分线，F是AC中点，∠ACB＝50°，∠BAD＝65°． （1）求∠AEC的度数； （2）若△BCF与△BAF的周长差为3，AB＝7，求BC的长． 【答案】（1）50°（2）10. 【分析】（1）根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据角平分线的定义求出∠ECB，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到AF＝FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴∠ECB∠ACB＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3， ∴BC﹣AB＝3， ∵AB＝7， ∴BC＝10. 18．（8分）如图，在中，，平分交于点E． (1)求的度数； (2)若于点D，．判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个角的度数． （1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到的度数． （2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到的度数，进而得出的度数即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ， ， ， ， ． ， 是直角三角形． 19．（8分）如图1，A、B、C三点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)为的高，G为上一点，若平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，三角形内角和定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据平行线的判定和性质证明即可； （2）设，根据角平分线及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ，即， ∵为的高， ∴， ∴． 20．（8分）如图，已知分别是的高和中线，．求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线和高线的定义，是解题的关键： （1）等积法求出的长即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积，进行求解即可； （3）根据三角形的中线的定义，推出和的周长的差为，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，是的高， ∴， ∴， ∴； （2）∵，是的中线， ∴； （3）∵是的中线， ∴， ∴和的周长的差为． 21．（8分）如图，中，，D是延长线上一动点，连接，平分交于点 E，过点E作，垂足为点H．直线与直线相交于点F．设． (1)求证：； (2)若，，则 ， ； 试探究α与β的关系，并说明理由； 【答案】(1)详见解析 (2) ，； ，理由见解析 【分析】（1）根据等角的余角相等得出答案； （2）①根据角平分线定义求出，根据三角形内角和定理求出，再求出，根据三角形内角和定理得出答案即可； ②先求出 ，同理得，且，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴； （2）①∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴． ②．理由如下： ∵平分， ∴， 由（1）得：， 同理，且， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，三角形外角的性质等，熟练掌握三角形内角和定理，是解题的关键． 22．（9分）如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2） ， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 23．（10分）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】 （2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 【答案】（1），三角形内角和定理，，；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义. （1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解. 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴． 同理可得 ． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）是角平分线，是角平分线 ∴，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 24．（12分）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则______，______； (2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______． 【答案】(1)115，25 (2)不会发生变化，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：，， ． 平分， ． ， ，． 平分， ． ； ， ． 平分，平分， ，． ， ，即， ． 故答案为：115，25； （2）解：不会发生变化，理由如下： ， ． ， ，． 平分，平分， ，． ． ， ， ， ． 当的度数发生变化时，、的度数不发生变化； （3）解：设， ． ， ，， 平分，平分， ，， ． ． 平分，平分， ，， ， ， 中存在一个内角等于另一个内角的三倍， ①当时，， 解得： ②当时，， 解得： ③当时，， 解得： ④当时，， 解得： 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $