精品解析：安徽省合肥市第四十八中学2025-2026学年9月九年级上学期数学素养训练试卷

九年级（上）数学素养训练（1） 时间：90分钟 满分：100分 一．选择题(共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( ) A. B. C. D. 4. 二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 和5 D. 3和 5. 已知抛物线的大致图像如图所示，那么不等式的解为（ ） A. 或 B. C. D. 6. 已知二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y1＜y2＜y3 7. 2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二．填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 12. 二次函数的一次项系数是_____． 13. 若抛物线的顶点在x轴上，则a的值是______. 14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 15. 已知抛物线与轴交于点和，与y轴交于点C，且． （1）抛物线的顶点坐标为______． （2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为______． 三．解答题(共7小题，满分55分) 16. 已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 17. 已知抛物线的图象经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）请写出自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大． 18. 已知抛物线． （1）求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值． 19. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 20. 已知二次函数 （1）用配方法把化为的形式 （2）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数图像． x … … y … … （3）结合图像回答：当－1< x <2时，函数值y的取值范围． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； （2）已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； 22. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点． （1）当，时，求抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标； （3）设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）数学素养训练（1） 时间：90分钟 满分：100分 一．选择题(共10小题，每小题3分，满分30分) 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据二次函数的定义，形如（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是． 故选C． 2. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 3. 如图，小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 4. 二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（ ） A. 3 B. 5 C. 和5 D. 3和 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 5. 已知抛物线的大致图像如图所示，那么不等式的解为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数与不等式的关系是解题的关键． 观察图象，找出抛物线在轴下方的部分，再确定这部分图象所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可得，抛物线在轴下方的部分对应的自变量的取值范围是：， ∴不等式的解为：． 故选：C． 6. 已知二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象上有三点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y3＞y1＞y2 D. y1＜y2＜y3 【答案】C 【解析】 【分析】对二次函数y=2（x-1）2+k，对称轴x=1，在对称轴两侧时，则A、B、C的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此判断y1、y2、y3的大小． 【详解】在二次函数y=2（x-1）2+k，对称轴x=1， 在图象上的三点A（-1，y1），B（2，y2），C（5，y3）， |5-1|＞|-1-1|＞|2-1|， 则y1、y2、y3的大小关系为y2＜y1＜y3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 7. 2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m， ∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0）， 将两点代入解析式得：， 解得：， ∴这条抛物线的解析式是：y=． 故选A． 8. 抛物线的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方，以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据顶点的位置和与y轴的交点可知抛物线开口向上，与x轴有两个交点，再将点代入关系式可得答案. 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，且与y轴的交点在x轴上方， ∴抛物线开口向上，与x轴有两个交点， ∴， 当时，， 所以C正确， 故选：C. 9. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误； B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a>0，b<0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误； C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确； D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a<0，b<0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键． 10. 已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为，抛物线与轴的交点为， ∵点是该函数图象上一点，当时，， ∴①当时，对称轴， 此时，当时，，即， 解得； ②当时，对称轴， 当时，随增大而减小， 则当时，恒成立； 综上，的取值范围是：或． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论． 二．填空题(共3小题，每小题5分，满分15分) 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键．以y轴为对称轴，即对称轴为直线，根据二次函数性质，当一次项系数时，对称轴为y轴． 【详解】解：二次函数的标准形式为 ，其对称轴为直线 ， ∵以y轴为对称轴， ∴对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式应满足，如 （其中）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 二次函数的一次项系数是_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般形式、多项式的乘法运算法则，先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般形式即可． 【详解】解：， ， ∴一次项系数是9， 故答案为：9． 13. 若抛物线的顶点在x轴上，则a的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点的纵坐标列式求解即可． 【详解】解：， 顶点在x轴上， ， 解得：， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点的坐标列出等式是解题的关键． 14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方， ∴不等式的解集是：， 故答案为： 15. 已知抛物线与轴交于点和，与y轴交于点C，且． （1）抛物线的顶点坐标为______． （2）点M，N是抛物线上的两个动点，且这两个点之间的水平距离为定值，设h为点M，N的纵坐标之和的最大值，则h的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 7.5## 【解析】 【分析】（1）先用待定系数法求得抛物线的解析式，然后化成顶点式，即可写出抛物线的顶点坐标． （2）先设出点M、N的横坐标，然后表示出两点纵坐标之和，再求二次函数的最值，并结合s的取值范围即可确定h的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和 ∴设， 将点代入得： 解得： ∴函数的表达式是： 化为顶点式： ∴抛物线的顶点坐标为 故答案为： （2）如图． 依据题意，点M、点N均在抛物线上， 故设点 则： 整理成关于t为自变量的二次函数得： 当时，h最大， ∵， ∴时， h最大，此时 此时，点 故答案为： 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标、最大值，解题的关键是熟练掌握二次函数的最大值求法． 三．解答题(共7小题，满分55分) 16. 已知是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大． （1）求k的值； （2）直接写出顶点坐标和对称轴． 【答案】（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案； （2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴． 【详解】解：（1）由是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得 ， 解得k=-3； （2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2， y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴． 【点睛】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键． 17. 已知抛物线的图象经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）请写出自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出抛物线的开口方向和对称轴即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等等，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 18. 已知抛物线． （1）求证：不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若该抛物线与轴两交点为和，且，求的值． 【答案】（1） 证明：令， ， ， ， 有两个不相等的实数根， 不论为何值，此抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系： （1）证明一元二次方程中即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求出和，根据列等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：该抛物线与轴两交点为和， 是一元二次方程的两个根， ，， ， ， 解得 19. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】（1）； （2）此球一定能投中． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 20. 已知二次函数 （1）用配方法把化为的形式 （2）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数图像． x … … y … … （3）结合图像回答：当－1< x <2时，函数值y的取值范围． 【答案】（1）； （2）列表： 描点、连线画出函数图象如图： （3）＜＜ 【解析】 【分析】（1）利用配方法把函数变形为：，从而可得答案； （2）先分别计算时的函数值，填好表格，再在平面直角坐标系内描点，连线即可得到图像； （3）根据图像观察当－1< x <2时，图像的最高点与最低点，从而可得答案． 【详解】解：（1） （2）略 （3）当－1< x <2时，结合图像可得： ＜＜ 【点睛】本题考查的是二次函数的一般式与顶点式，画二次函数的图像，二次函数的增减性，掌握以上知识是解题的关键． 21. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）若，则_________，通过配方可以将其化成顶点式为_________； （2）已知点在抛物线上，其中．若且，比较与的大小关系，并说明理由； 【答案】（1）， （2） ， 理由∶将代入得， ， ， ， ，， 抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把代入，求出，得出抛物线的顶点式； （2），理由：把代入，得到，得出，得到，得到． 【小问1详解】 解： 抛物线经过点，， ， 解得：， ， 化成顶点式为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于点、，且，点是该抛物线上位于，两点之间的动点． （1）当，时，求抛物线的解析式； （2）在（）的条件下，当面积最大时，求点的坐标； （3）设抛物线顶点的横坐标为，当，且时，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：当，，且， 将，代入得： ，， 得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与图形的面积，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式即可； （）过点作轴交直线于点，设点，则，则，再通过二次函数的性质即可求解； （）将，代入得，，故有，则，又，所以，从而求证． 【小问1详解】 解：当时，，时，， ∴将，代入得 ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：过点作轴交直线于点， 设点，则， ∴， ∵ ， ∴当时，有最大值， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $