2.1直线的倾斜角与斜率讲义+巩固提升训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1直线的倾斜角与斜率 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，数形结合依次判断各项的正误. 【详解】A：任意一条直线都存在倾斜角，但倾斜角为的直线不存在斜率，错； B：由于直线倾斜角的取值范围是，因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，错； C：与轴垂直的直线的倾斜角是，与轴垂直的直线的倾斜角是，对； D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为； 当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，错． 故选：C 2．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线的倾斜角为． 故选：C 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线方程得直线与x轴垂直可得解. 【详解】直线即，是一条与x轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为. 故选：C 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 5．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知两点求斜率、二倍角的正切公式 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 6．（24-25高二上�云南�期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【知识点】由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】由两直线斜率相等可得平行，选项A正确；由两直线平行可得倾斜角相等，选项B正确；由两直线斜率之积等于可得两直线垂直，选项C正确；当两直线垂直时，其中一条直线斜率可能不存在，选项D错误. 【详解】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 7．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】利用直线斜率与倾斜角的正切函数关系，结合斜率的范围可求倾斜角的范围. 【详解】由题意假设直线倾斜角为得：. 又因为，所以， 即.再由正切函数的性质与直线倾斜角的取值范围， 可得的取值范围是. 故选：A. 8．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 【答案】ABD 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义，依次判断选项即可. 【详解】直线的倾斜角必定存在，且满足； 直线的斜率，但不是所有直线都存在斜率. 所以ABD正确，C错误. 故选：ABD 10．（25-26高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 11．（24-25高三上·河北承德·期中）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 【答案】ABC 【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义 【分析】将三角形的顶点放到坐标原点，画出图象，结合等边三角形的性质及直线的斜率、倾斜角的定义判断即可. 【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示）， 则，所以直线的斜率为，故A正确； 因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知点，直线AB与直线CD垂直，则 ． 【答案】0或5 【知识点】已知直线垂直求参数、利用向量垂直求参数 【分析】根据垂直得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】直线AB与直线CD垂直，故， 其中， 故， 解得或5. 故答案为：0或5 13．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 【答案】A 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 14．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解. 【详解】直线的倾斜角与斜率  如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率、直线的倾斜角 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    16．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1 (2)3 【知识点】已知两点求斜率、直线的倾斜角 【分析】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解； （2）三点共线，则，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则， 即，解得， 所以当时，三点共线. 17．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）经过点，的直线的倾斜角为，若点在线段AB的中垂线上，求m，n的值． 【答案】，． 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数、已知斜率求参数 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为经过点，的直线的倾斜角为， 所以，解得， 所以，， 设AB的中点为D，则AB的中点D的坐标为， 所以， 因为，所以，即，解得． 18．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 19．（23-24高二下·全国·课堂例题）我们知道：两点确定一条直线，进而它的倾斜角也就确定了，那么任给直线上两点 (其中)，直线l的倾斜角与两点的坐标有什么样的内在联系呢？请用向量法探究下列问题： (1)已知直线经过，与的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线经过，与的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线经过两点，，那么与的坐标有怎样的关系？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两点求斜率、用坐标表示平面向量 【详解】（1）如图，，由正切函数的定义，得．    （2）如图，，平移到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是． 由正切函数的定义，有．    （3）当向量的方向向上时，． 平移到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是． 由正切函数的定义，有．    当向量的方向向上时，． 平移到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是． 由正切函数的定义，也有．    能力提升 一、单选题 1．若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据直线的斜率，求出k的取值范围，求出的取值范围即可. 【详解】解：若直线l的方向向量是，则直线l的斜率，所以，则或. 故选：D. 2．（23-24高二上�浙江绍兴�期中）已知过、的直线与过、的直线互相垂直，则点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案. 【详解】由与，则直线的斜率， 由，则直线的斜率存在，即，且， 由与，则，整理化简可得， 显然该方程有无数个解. 故选：D. 3．函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、、、，使得，则的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图象的应用、已知两点求斜率 【分析】设，可知直线与函数的图象有个交点，数形结合可得出的可能取值. 【详解】，则代数式表示曲线上的点与原点连线的斜率， 设， 可知直线与函数的图象有个交点， 作出函数与直线的图象如下图所示： 由图象可知，直线与函数的图象有或或或个交点， 因此，的可能取值的集合为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查图象的应用，令，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数问题是解题的关键，在解题时应充分理解一些代数式的几何意义，充分利用数形结合思想来求解. 二、多选题 4．已知点，，．若为直角三角形，则可能有（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】由斜率判断两条直线垂直 【分析】若为直角三角形，则直角顶点有三种情况，以分别为直角顶点，讨论找关系，得到AB选项正确，CD选项错误，最后得答案. 【详解】由题意知， 若为直角顶点，则在轴上，则必为，此时，重合，不符合题意，故C错误； 若为直角顶点，则，故A正确； 若B为直角顶点，根据斜率关系,可知， 所以，即，故B正确； 和不可能同时成立，所以不可能成立，故D错误. 故选：AB． 三、填空题 5．若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】斜率公式的应用 【分析】利用，，三点能构成三角形，可知 ，，三点不共线，利用，即可求得的值. 【详解】因为，，三点能构成三角形，所以，，三点不共线， 所以 即 ， 因此，解得. 故实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由两点坐标求两点所在直线的斜. 6．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 【答案】 【知识点】已知两点求斜率、已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数、直线平行、垂直的判定在几何中的应用 【分析】由题意可得出直线l1的斜率，根据平行和垂直关系可列出关于m的方程，解方程即可. 【详解】如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，    ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 故答案为：4＋ 7．已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为 ． 【答案】 【知识点】由条件等式求正、余弦、已知弦（切）求切（弦）、直线斜率的定义 【解析】转化条件得，再由同角三角函数的关系即可得，即可求得斜率. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 当时，，不合题意； 当时，，所以， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 8．已知实数、满足，且，则的最大值和最小值分别为 ， . 【答案】 2 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据同除,得到,分析函数在的单调性,求得函数在上的最值，即可得到的最大值和最小值. 【详解】解: 且， 因为函数在上单调递减, 故 故的最大值为,最小值为 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1直线的倾斜角与斜率 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）下列叙述正确的是（    ） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为 2．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）直线的倾斜角为（     ） A． B． C． D．不存在 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上�云南�期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 7．（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若是直线l的倾斜角，则 B．若k是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 10．（25-26高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高三上·河北承德·期中）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 三、填空题 12．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知点，直线AB与直线CD垂直，则 ． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 14．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 16．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 17．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）经过点，的直线的倾斜角为，若点在线段AB的中垂线上，求m，n的值． 18．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 19．（23-24高二下·全国·课堂例题）我们知道：两点确定一条直线，进而它的倾斜角也就确定了，那么任给直线上两点 (其中)，直线l的倾斜角与两点的坐标有什么样的内在联系呢？请用向量法探究下列问题： (1)已知直线经过，与的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线经过，与的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线经过两点，，那么与的坐标有怎样的关系？    能力提升 一、单选题 1．若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上�浙江绍兴�期中）已知过、的直线与过、的直线互相垂直，则点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 3．函数的图象如图所示，在区间上可找到个不同的数、、、，使得，则的取值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．已知点，，．若为直角三角形，则可能有（　　） A． B． C． D． 三、填空题 5．若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为 . 6．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝ . 7．已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为 ． 8．已知实数、满足，且，则的最大值和最小值分别为 ， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1直线的倾斜角与斜率 题型1 求直线的倾斜角 5 题型2 求直线的斜率 6 题型3 由直线的倾斜角与斜率求参数的值 7 题型4 直线的倾斜角与斜率的综合应用 8 考点1 三点共线问题 8 考点2 利用数形结合思想解决倾斜角与斜率的相关问题 8 题型5 代数式的几何意义--斜率模型 9 题型6 两条直线平行关系的判定及应用 10 题型7 两条直线垂直关系的判定及应用 11 知识点一 直线的倾斜角 1．直线的方向 在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此,这些直线的区别是它们的方向不同. 2．直线的倾斜角的定义 给定平面直角坐标系中的一条直线,当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 3．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为.因此,直线的倾斜角的取值范围是.如图所示,的倾斜角为,的倾斜角为锐角,的倾斜角为直角,的倾斜角为钝角. 注：(1)在倾斜角的定义中,要注意三个条件：①直线向上的方向；②轴的正向；③小于平角的非负角. (2)从运动变化的观点来看,当直线与轴相交时,直线的倾斜角是由轴绕直线与轴的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得的角. (3)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对轴正向的倾斜程度. (4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.即直线与倾斜角是多对一的映射关系. (5)确定平面直角坐标系中一条直线的位置的几何要素,是直线上的一个定点以及直线的倾斜角,二者缺一不可. 知识点二 直线的斜率 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示,即. 倾斜角是的直线没有斜率,倾斜角不是的直线都有斜率. 倾斜角不同的直线,其斜率也不同.因此,我们可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对于轴的倾斜程度. 2．斜率与倾斜角之间的关系 当直线的倾斜角时,斜率,直线与轴平行或重合； 当时,斜率,且值随着倾斜角的增大而增大； 当时,斜率不存在(此时的直线存在,直线与轴垂直)； 当时,斜率,且值随着倾斜角的增大而增大. 注：(1)一条直线存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为的直线没有斜率. (2)直线的倾斜角是一个角(图形),而斜率是一个实数值(数),斜率的绝对值越大,直线的倾斜角越接近.斜率的取值范围是. (3)不同的斜率对应不同的倾斜角,因此要确定一条不垂直于轴的直线,只要知道直线上一个定点和它的斜率即可. 知识点二 过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点,,那么该直线的斜率公式为 一般地,如图(1)(2),当向量的方向向上时,平移向量到,则点的坐标为,且直线的倾斜角也是,由正切函数的定义,有 同样,当向量的方向向上时,如图(1)(2),,也有 综上可知,直线的倾斜角与直线上的两点,的坐标有如下关系： 注：(1)当时，无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为,所以上述公式的适用范围不包括倾斜角的情况.对于直线的斜率问题,一定要讨论斜率存在与不存在两种情况. (2)当时, (3)斜率公式中的值与,两点在该直线上的位置无关,即在直线上任取不同的两点,,其斜率均不变. (4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.也就是说,如果分子是,分母必须是；反过来,如果分子是,分母必须是，即 (5)若则直线与轴平行或重合,. 知识点三 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线平行的判定 设两条不重合的直线,,斜率存在且分别为,倾斜角分别为,,则对应关系如下： 前提条件 对应关系 ⇔两直线斜率都不存在 图示 注：1.成立的前提条件是：(1)两条直线的斜率都存在；(2)与不重合. 2.或与重合(斜率存在). 3.或两条直线的斜率不存在. 4.在判断两条不重合的直线是否平行时,首先判断两条直线的斜率是否存在,若存在且相等,则两者平行；若斜率都不存在,则两者仍然平行. 2．两条直线垂直的判定 两条直线垂直与斜率的关系： 对应 关系 与的斜率都存在,分别为, 则 与中的一条斜率不存在,另一条斜率为零, 则与的位置关系是 图示 注：判定两条直线是平行还是垂直,要“三看”：一看斜率是否存在,若两直线的斜率都不存在,则两直线平行,若一条直线的斜率为,另一条直线的斜率不存在,则两直线垂直.斜率都存在时,二看斜率是否相等或斜率乘积是否为-1;两直线斜率相等时,三看两直线是否重合,若不重合,则两直线平行. 拓展 代数式的几何意义与应用 如果代数式结构形如即可类比、联想及借助直线斜率的几何意义,通过数形结合,转化为斜率公式,用几何方法来研究代数问题.代数式的应用通常有以下几个方面. 1.证明分式不等式 对于含有分式的一些不等式,只要与过两点的直线的斜率公式在结构上类似,就可以考虑其几何意义,用斜率解答. 2.解决三点共线问题 两点即可确定一条直线,要证三点共线,只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时,首先要判断三点中是否存在任意两点的连线垂直于轴,即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下,当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时,三点共线. 3.求形如的取值范围或最值 转化与化归思想在数学学习与应用中无处不在,解决此类问题的关键在于利用的几何意义(动点与定点连线的斜率),借助数形结合的思想,将求代数式的取值范围(或最值)的问题转化为求斜率的取值范围(或最值)的问题,简化运算过程. 题型1 求直线的倾斜角 1．直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（　　） A． B． C． D． 2．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 3．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2 求直线的斜率 6．（23-24高二上�全国�课后作业）（1）如图，直线的倾斜角，直线，求，的斜率； （2）求经过两点，的直线的斜率． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 8．（24-25高二上�山东东营�期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 9．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的斜率为，若直线的倾斜角是的两倍，则的斜率为 ． 题型3 由直线的倾斜角与斜率求参数的值 10．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 11．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 13．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 题型4 直线的倾斜角与斜率的综合应用 考点1 三点共线问题 16．（24-25高二上�河北张家口�期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 17．（20-21高二上�山西临汾�期中）三点，，在同一条直线上，则值为（    ） A．2 B． C．或 D．2或 18．已知平面内的三点，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 考点2 利用数形结合思想解决倾斜角与斜率的相关问题 19．（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二�全国�专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 25．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 26．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 题型5 代数式的几何意义--斜率模型 27．已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 28．点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 题型6 两条直线平行关系的判定及应用 30．（2024高二�全国�专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 31．（24-25高二上�全国�课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 32．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ）． A．的斜率为2，过点， B．经过点，，平行于轴，且不经过点 C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的倾斜角为 33．已知点，，，，若，求m的值． 34．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为(　　) A．(3,4) B．(4,3) C．(3,1) D．(3,8) 题型7 两条直线垂直关系的判定及应用 35．判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 36．（多选）（23-24高二上�河北邯郸�阶段练习）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 37．（23-24高二上�全国�课后作业）已知点，若直线，则的值为（　　） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 38．已知点，，，，证明四边形ABCD为矩形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1直线的倾斜角与斜率 题型1 求直线的倾斜角 5 题型2 求直线的斜率 7 题型3 由直线的倾斜角与斜率求参数的值 10 题型4 直线的倾斜角与斜率的综合应用 13 考点1 三点共线问题 13 考点2 利用数形结合思想解决倾斜角与斜率的相关问题 14 题型5 代数式的几何意义--斜率模型 19 题型6 两条直线平行关系的判定及应用 21 题型7 两条直线垂直关系的判定及应用 24 知识点一 直线的倾斜角 1．直线的方向 在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此,这些直线的区别是它们的方向不同. 2．直线的倾斜角的定义 给定平面直角坐标系中的一条直线,当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 3．倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为.因此,直线的倾斜角的取值范围是.如图所示,的倾斜角为,的倾斜角为锐角,的倾斜角为直角,的倾斜角为钝角. 注：(1)在倾斜角的定义中,要注意三个条件：①直线向上的方向；②轴的正向；③小于平角的非负角. (2)从运动变化的观点来看,当直线与轴相交时,直线的倾斜角是由轴绕直线与轴的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得的角. (3)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对轴正向的倾斜程度. (4)平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜角,且倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等,倾斜程度不同的直线,其倾斜角不相等.即直线与倾斜角是多对一的映射关系. (5)确定平面直角坐标系中一条直线的位置的几何要素,是直线上的一个定点以及直线的倾斜角,二者缺一不可. 知识点二 直线的斜率 1．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫作这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示,即. 倾斜角是的直线没有斜率,倾斜角不是的直线都有斜率. 倾斜角不同的直线,其斜率也不同.因此,我们可以用斜率表示倾斜角不等于的直线相对于轴的倾斜程度. 2．斜率与倾斜角之间的关系 当直线的倾斜角时,斜率,直线与轴平行或重合； 当时,斜率,且值随着倾斜角的增大而增大； 当时,斜率不存在(此时的直线存在,直线与轴垂直)； 当时,斜率,且值随着倾斜角的增大而增大. 注：(1)一条直线存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率,倾斜角为的直线没有斜率. (2)直线的倾斜角是一个角(图形),而斜率是一个实数值(数),斜率的绝对值越大,直线的倾斜角越接近.斜率的取值范围是. (3)不同的斜率对应不同的倾斜角,因此要确定一条不垂直于轴的直线,只要知道直线上一个定点和它的斜率即可. 知识点二 过两点的直线的斜率公式 如果直线经过两点,,那么该直线的斜率公式为 一般地,如图(1)(2),当向量的方向向上时,平移向量到,则点的坐标为,且直线的倾斜角也是,由正切函数的定义,有 同样,当向量的方向向上时,如图(1)(2),,也有 综上可知,直线的倾斜角与直线上的两点,的坐标有如下关系： 注：(1)当时，无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为,所以上述公式的适用范围不包括倾斜角的情况.对于直线的斜率问题,一定要讨论斜率存在与不存在两种情况. (2)当时, (3)斜率公式中的值与,两点在该直线上的位置无关,即在直线上任取不同的两点,,其斜率均不变. (4)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.也就是说,如果分子是,分母必须是；反过来,如果分子是,分母必须是，即 (5)若则直线与轴平行或重合,. 知识点三 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线平行的判定 设两条不重合的直线,,斜率存在且分别为,倾斜角分别为,,则对应关系如下： 前提条件 对应关系 ⇔两直线斜率都不存在 图示 注：1.成立的前提条件是：(1)两条直线的斜率都存在；(2)与不重合. 2.或与重合(斜率存在). 3.或两条直线的斜率不存在. 4.在判断两条不重合的直线是否平行时,首先判断两条直线的斜率是否存在,若存在且相等,则两者平行；若斜率都不存在,则两者仍然平行. 2．两条直线垂直的判定 两条直线垂直与斜率的关系： 对应 关系 与的斜率都存在,分别为, 则 与中的一条斜率不存在,另一条斜率为零, 则与的位置关系是 图示 注：判定两条直线是平行还是垂直,要“三看”：一看斜率是否存在,若两直线的斜率都不存在,则两直线平行,若一条直线的斜率为,另一条直线的斜率不存在,则两直线垂直.斜率都存在时,二看斜率是否相等或斜率乘积是否为-1;两直线斜率相等时,三看两直线是否重合,若不重合,则两直线平行. 拓展 代数式的几何意义与应用 如果代数式结构形如即可类比、联想及借助直线斜率的几何意义,通过数形结合,转化为斜率公式,用几何方法来研究代数问题.代数式的应用通常有以下几个方面. 1.证明分式不等式 对于含有分式的一些不等式,只要与过两点的直线的斜率公式在结构上类似,就可以考虑其几何意义,用斜率解答. 2.解决三点共线问题 两点即可确定一条直线,要证三点共线,只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时,首先要判断三点中是否存在任意两点的连线垂直于轴,即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下,当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时,三点共线. 3.求形如的取值范围或最值 转化与化归思想在数学学习与应用中无处不在,解决此类问题的关键在于利用的几何意义(动点与定点连线的斜率),借助数形结合的思想,将求代数式的取值范围(或最值)的问题转化为求斜率的取值范围(或最值)的问题,简化运算过程. 题型1 求直线的倾斜角 1．直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线所过象限求得直线的倾斜角范围. 【详解】直线倾斜角的取值范围是，又直线l经过第二、四象限， 所以直线l的倾斜角范围是. 故选：C 2．设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示： 因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意， 通过画图（如图所示）可知： 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：D． 3．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、已知两点求斜率 【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，，所以，故. 故选：D. 4．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系、直线方向向量的概念及辨析（平面中）） 【分析】由直线的方向向量，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小． 【详解】由直线的方向向量知，直线的斜率为 ， 设直线的倾斜角为，所以 ，解得 . 故选：D 5．（24-25高二上·黑龙江·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正切函数图象的应用、直线的倾斜角、直线斜率的定义、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案. 【详解】直线的斜率为， 故， 又，故. 故选：D 题型2 求直线的斜率 6．（23-24高二上�全国�课后作业）（1）如图，直线的倾斜角，直线，求，的斜率； （2）求经过两点，的直线的斜率． 【答案】（1）120°，（2）答案见解析 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系可解； （2）分斜率不存在和存在两种情况进行讨论即可得答案. 【详解】（1）的斜率． ∵的倾斜角， ∴的斜率． （2）当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【知识点】已知两点求斜率、已知直线平行求参数、由顶点坐标判断三角形的形状 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 8．（24-25高二上�山东东营�期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、直线的倾斜角 【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 9．（2025高二·全国·专题练习）已知直线的斜率为，若直线的倾斜角是的两倍，则的斜率为 ． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由直线斜率和倾斜角的关系得到直线的倾斜角，再由二倍角正切公式得到直线的斜率. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为， 则，因为，所以． 所以的斜率为. 故答案为：. 题型3 由直线的倾斜角与斜率求参数的值 10．（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据直线的斜率公式计算可得答案. 【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 11．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线斜率的定义、已知斜率求参数 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或 【知识点】已知两点求斜率、已知斜率求参数 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 13．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 14．（24-25高二上·四川南充·阶段练习）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.725，则（    ）    A．0.9 B．0.85 C．0.8 D．0.75 【答案】A 【知识点】直线斜率的定义、已知斜率求参数 【分析】设，则利用举步之比可表示出，结合条件，由直线的斜率建立方程，解之即得. 【详解】设，则,， 因,则 由直线的斜率为0.725，可得， 即，解得. 故选：A. 15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、已知斜率求参数 【分析】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案； （2）根据方向向量得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 题型4 直线的倾斜角与斜率的综合应用 考点1 三点共线问题 16．（24-25高二上�河北张家口�期中）三点，，在同一条直线上，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】已知斜率求参数 【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可. 【详解】显然，则，即，解得. 故选：D. 17．（20-21高二上�山西临汾�期中）三点，，在同一条直线上，则值为（    ） A．2 B． C．或 D．2或 【答案】D 【知识点】斜率公式的应用 【解析】根据三点共线，可得，由两点求斜率即可求解. 【详解】由题意可得， 因为A，B，C三点共线， 所以，即， 解得或． 所以的值为2或． 故选：D． 18．已知平面内的三点，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由坐标解决三点共线问题 【分析】利用共线向量定理的坐标形式即可求解 【详解】由题意得， 因为，，三点共线，所以，得． 故选：A 考点2 利用数形结合思想解决倾斜角与斜率的相关问题 19．（24-25高二上·四川南充·期末）如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 20．（2024高二�全国�专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数函数图象的应用、斜率与倾斜角的变化关系、斜率公式的应用 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 21．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 22．（24-25高二下·海南海口·开学考试）已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    23．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 24．（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 25．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 26．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】正切函数图象的应用、斜率与倾斜角的变化关系、已知两点求斜率 【分析】利用斜率的两点公式及已知得，结合正切函数的图象及倾斜角的范围确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 题型5 代数式的几何意义--斜率模型 27．已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两点求斜率、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】（1）可看作过点与点的直线的斜率，结合图形分析求解； （2）整理得，可看作过点与点的直线斜率，结合图形分析求解. 【详解】（1）因为点M在函数的图象上，且，记点，． 由题意可知点在线段AB上移动．记点， 则可看作过点与点的直线的斜率， 又因为，， 由于，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为．    （2）因为，记点， 则可看作过点与点的直线斜率， 又因为，，所以的取值范围为．    28．点在函数的图象上，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用函数的解析式结合反比例型函数的单调性可求得的取值范围. 【详解】因为，则，所以，， 所以，. 故选：C. 29．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【知识点】求分式型目标函数的最值、斜率与倾斜角的变化关系、斜率公式的应用 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 题型6 两条直线平行关系的判定及应用 30．（2024高二�全国�专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的斜率为，经过点，； (3)平行于轴，经过点，； (4)经过点，，经过点，． 【答案】(1)不平行 (2)平行或重合 (3)平行 (4)重合 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； 【详解】（1），，，所以与不平行． （2）的斜率，的斜率，，所以l1与l2平行或重合． （3）由题意，知的斜率不存在，且不与轴重合，的斜率也不存在，且与轴重合，所以. （4）由题意，知，, ，所以与平行或重合． 需进一步研究，，，四点是否共线，. 所以，，，四点共线，所以与重合． 31．（24-25高二上�全国�课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【知识点】直线斜率的定义、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 32．（多选）满足下列条件的直线与，其中的是（    ）． A．的斜率为2，过点， B．经过点，，平行于轴，且不经过点 C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的倾斜角为 【答案】BC 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（空间中）、已知两点求斜率、由斜率判断两条直线平行 【分析】根据题意，结合直线斜率的计算公式以及两直线平行的结论，一一判断即可. 【详解】对于A，由题意得，所以与平行或重合，故A错； 对于B，由题意得，因平行于轴，且不经过点，所以，故B正确； 对于C，由题意得，，，所以，故C正确； 对于D，直线的斜率为，直线的斜率为， 所以与不平行，故D错． 故选：BC． 33．已知点，，，，若，求m的值． 【答案】或 【知识点】已知两点求斜率、已知直线平行求参数 【分析】由可得，从而可列式求解，还要注意讨论直线斜率不存在是否符合题意. 【详解】当时，直线PQ的斜率不存在，而此时直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意； 当时，直线MN的斜率不存在，而此时直线PQ的斜率存在，MN与PQ不平行，不符合题意； 当，且时，，． 因为，所以，即，解得或． 经检验，当或时，直线MN，PQ不重合． 综上，m的值为0或1． 34．已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为(　　) A．(3,4) B．(4,3) C．(3,1) D．(3,8) 【答案】A 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【详解】▱ABCD中，，由，且C(4,3)，所以D(3,4). 故选A. 题型7 两条直线垂直关系的判定及应用 35．判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直 【分析】（1）根据判断直线垂直； （2）斜率不存在，则判断是否与x平行，若平行，则两直线垂直； （3）方法一：根据判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直. 【详解】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）方法一：直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以； 方法二：直线的方向向量，直线的方向向量， 因为，所以，所以． 36．（多选）（23-24高二上�河北邯郸�阶段练习）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【知识点】直线斜率的定义、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D. 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 37．（23-24高二上�全国�课后作业）已知点，若直线，则的值为（　　） A．1或 B．或 C．或3 D．3或 【答案】A 【知识点】已知两点求斜率、已知直线垂直求参数 【分析】由题意可知CD与x轴不垂直，即.分类讨论，当AB与x轴垂直和AB与x轴不垂直时，根据两直线的位置关系求出对应的m值即可. 【详解】∵A，B两点纵坐标不相等，∴AB与x轴不平行. ∵，则CD与x轴不垂直，∴，即. 当AB与x轴垂直时，，解得， 此时，点C，D的纵坐标均为，则轴，此时，满足题意； 当AB与x轴不垂直时，，， ∵，∴，即，解得. 综上，m的值为或， 故选：A. 38．已知点，，，，证明四边形ABCD为矩形． 【答案】证明见解析 【知识点】向量在几何中的其他应用、由斜率判断两条直线平行、由斜率判断两条直线垂直 【分析】根据题意，结合各点坐标，要证明四边形ABCD为矩形，方法一首先要计算，，，，再结合两条直线平行、垂直的判定求解即可．方法二只要证明和，即可证明四边形ABCD是矩形． 【详解】方法一： 由题意，可得，，，，∴，， 又A，B，C，D四点不共线，∴，，∴四边形ABCD为平行四边形． 又，∴直线，即．∴四边形ABCD为矩形． 方法二 ：∵，，，∴，， 由四点不共线可得，，∴四边形ABCD为矩形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $