第二章 阶段提升（三）直线的方程及应用（范围：2.1～2.3）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用word（人教A版）

阶段提升（三） 直线的方程及应用（范围：2.1～2.3） 题型一 直线方程 1．[（2025·镇江期中）]将直线绕点顺时针旋转 得到直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】选.设直线 与 的斜率分别为,.由 的方程 可知，由题意可知，所以，所以，因为 过点，所以由直线的点斜式方程可知 的方程为，即. 2．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 直线必过定点 B. 直线在轴上的截距为 C. 过点，且在两坐标轴的截距相等的直线方程为 D. 过点且垂直于直线的直线方程为 【答案】ABD 【解析】选.对于,由 得直线过定点，故 正确；对于，令，得，故在 轴上的截距为，故 正确；对于，过点，且与坐标轴截距相等的直线方程为 或，故 错误；对于，由直线 的斜率为，则与 垂直的直线斜率为，过 且斜率为 的直线方程为,即，故 正确. 3．[（2025·成都期中）]过定点且与直线平行的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设直线方程为， 由 在直线上，可得， 解得，所以直线方程为. 4．[（2025·淮安期中）]已知直线过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由题意设直线 的方程为，且，又直线过点，则，解得，所以直线 的方程为，即. 求直线方程的关注点 （1）方法：直接法、待定系数法； （2）关键：掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程； （3）注意：当不能确定某种条件是否具备时，要另外讨论条件不满足的情况. 题型二 直线位置关系的判断 1．已知直线与，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】选.当直线 与 垂直时，，即，解得 或，所以 可以推出，但 推不出，即“”是“”的充分不必要条件. 2．[（2025·广州期中）]（多选）已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ） A. 在轴上的截距为1 B. 若，则这两条直线间的距离是 C. 若，则 D. 若与连接点,的线段总有公共点，则直线的倾斜角 的取值范围为,， 【答案】BCD 【解析】选.对于，由，令，可得， 即 在 轴上的截距为，故 错误； 对于，由 可得,，解得，此时，， 则两条直线间的距离是，故 正确； 对于，由 可得，解得，故 正确； 对于，因为直线 过定点， ，，由图可知直线 的斜率， 则，则,,，故 正确. 3．[（2025·北京期中）]已知直线，.若，则实数的值为_ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】若，则，解得 或. 当 时，直线 与 重合，不符合题意； 当 时，直线 与 平行，符合题意.综上，. （1）当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意，的系数不能同时为零这一隐含条件. （2）在判断两条直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 题型三 距离问题 1．已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（ ） A. 10 B. 5 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】选.设，,则,， 即,， 所以. 2．[（2025·玉溪期中）]（多选）已知直线和直线的交点为，则过点且与和距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】选.依题意，联立 解得 即，直线 的斜率为，线段 的中点坐标为. ①若所求直线与直线 平行时，则所求直线的方程为，即； ②若所求直线过 的中点时，则所求直线的斜率为，故所求直线的方程为，即.综上所述，所求直线的方程为 或. 3．已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接，取的中点，过点作的平行线，则与之间的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】如图所示，过点 作 于点，交直线 于点，则 为所求直线 与 之间的距离. 因为， ， 所以. 两种距离的求解思路 （1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式； （2）两条平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行直线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两条平行直线间的距离公式（利用公式前需把两条平行直线方程中，的系数化为对应相等的形式）. 题型四 对称问题 角度1 中心对称问题 ［例1］ （1） 已知不同的两点与关于点对称，则（ ） A. B. 14 C. D. 5 （2） 直线关于点对称的直线的方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） C （2） 【解析】 （1） 因为两点 与 关于点 对称，可得 即 解得 所以. （2） 方法一：设直线 上任意一点 的坐标为，则此点关于点 的对称点为，且点 在直线 上，所以，即.所以所求直线 的方程为. 方法二：在直线 上取两点，，则点 关于点 的对称点为，点 关于点 的对称点为.可得直线 的方程为，即所求直线 的方程为. 方法三：因为点 不在直线 上，由平面几何知识易知所求直线 与直线 平行，则可设直线 的方程为. 在直线 上取一点， 则点 关于点 的对称点 在直线 上， 所以，所以. 所以所求直线 的方程为. （1）点关于点对称 点关于点的对称点可利用中点坐标公式求得， 由 得 （2）直线关于点对称 直线关于点对称的直线方程的求法：求出直线上的两个特殊点，关于点的对称点，的坐标，则直线的方程即为所求的直线方程. 角度2 轴对称问题 ［例2］ （1） 点关于直线的对称点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 直线关于直线对称的直线方程是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） ， （2） 【解析】 （1） 设对称点的坐标为， 则 解得 所以对称点的坐标为,. （2） 在直线 上任取一点，设点 关于直线 的对称点为，则 解得 即，因为点 在直线 上，所以，即所求直线方程为. （1）点关于直线对称 设点关于直线的对称点为，则线段的中点在已知直线上且直线与已知直线垂直. 即解此方程组可得，，即得点的坐标. （2）直线关于直线对称 ①若已知直线与已知对称轴相交，则交点必在与直线对称的直线上，然后求出直线上其他任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线的方程. ②若已知直线与已知对称轴平行，则直线关于对称轴对称的直线与直线平行，可以利用直线与对称轴间的距离等于直线与对称轴间的距离求解. 注意 点关于直线的对称点为,关于直线的对称点为. 角度3 利用对称求最值 ［例3］ 已知直线及点，，. （1） 试在上求一点，使最小，并求这个最小值； （2） 试在上求一点，使最大，并求这个最大值. 【答案】 （1） 【解】设点 关于直线 的对称点 的坐标为， 则 解得 即，则直线 的方程为， 联立 解得 即交点为，，此时 的值最小，最小值为. （2） 设点 关于直线 的对称点 的坐标为， 则 解得 得，直线 的方程为， 即，联立 解得 即，由对称性知，，（当且仅当，，三点共线时取等号），所以 上的点，是使 最大的点. 此时 的最大值为. 根据题目条件求距离的最大值及最小值是解析几何的一个重要问题，解决此类问题主要有两种方法： （1）代数法：把距离表示为某个变量的函数，转化为函数的最值问题. （2）几何法：由几何图形指出哪种状态下有最大值和最小值，进而求出最大值和最小值.一般来说，当两点，在直线的两侧时，可利用三点共线求出的最小值；当两点，在直线的同侧时，可利用三点共线求出的最大值. ［跟踪训练］． （1） [（2025·盐城期中）]已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. （2） [（2025·烟台期中）]已知直线与直线关于点对称，则实数的值为 A. 2 B. 6 C. -2 D. （3） 直线关于直线对称的直线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ . （4） 光线从点射到轴上，经轴反射后经过点，则光线从到的路程为_ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） B （2） A （3） （4） 【解析】 （1） 选.设， 则 的中点,， 且，由，两点关于直线 对称，且， 则 解得 即. （2） 选.由于直线 与直线 关于点 对称，所以两直线平行，故，则，由于点 在直线 上，点 关于点 的对称点为， 故点 在直线 上，代入可得，故. （3） 设所求直线方程为，且，,直线 与直线 间的距离为，则直线 与直线 间的距离为，解得，所以所求直线方程为. （4） 点 关于 轴的对称点,则光线从 到 的路程即 的长，.即光线从 到 的路程为. 学科网（北京）股份有限公司 $