第四单元 比和按比例分配 （知识清单）数学西师大版六年级上册

第四单元 比和按比例分配 单元知识清单讲义 知识点一：比的意义 两个数的比表示两个数相除。 注意：比既可以表示两个同类量的倍数关系，也可以表示两个不同类量的关系，如路程与时间的比表示速度。 知识点二：比的各部分名称 注意：比和比值不同，比表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以写成分数形式；比值 知识点三：比和除法、分数的联系与区别 注意：(1)比的后项、除法的除数、分数的分母都不能是0。 (2)比的前、后项都可以是整数、小数或分数形式，当前、后项是分数或小数时，不能直接表示成分数形式。 知识点四：比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。这与商不变的规律及分数的基本性质是相通的。 知识点五：求比值 (1)比值是一个数，可以是整数、小数或分数，不要把比值写成比的形式。 (2)求带单位的比的比值时，要先统一单位，再求比值。 知识点六：化简比 依据：比的基本性质。 结果：最简单的整数比，即前、后项的公因数只有1。 方法：前、后项都是整数的，直接除以前、后项的最大公因数进行化简。前项或后项不 是整数时，先转化成整数比，再化简。 注意：化简两个数的比也可以直接用求比值的方法，结果要写成分数或比的形式。但此方法不适用于化简多个数组成的连比。 知识点七：按比分配问题 按比分配问题的一般形式为已知总量及各部分量的比，求各部分量。 方法一：从份数考虑。先根据比求总份数，再求一份的数量和几份的数量。 方法二：转化为分数问题。即根据比得出各部分量占总量的几分之几，再利用分数乘法求出各部分量。 题型1：比的意义及各部分名称 【例1】两个数相除，又叫做两个数的( )，a∶b（b≠0）其中“∶”叫做( )，这个比的前项是( )，后项是( )。 【答案】 比 比号 a b 【详解】两个数相除，又叫做两个数的比，a∶b（b≠0）其中“∶”叫做比号，这个比的前项是a，后项是b。例如：3比5记作3∶5，3是比的前项，“∶”是比号，5是比的后项（比的后项不能为0）。 【练1】既可以表示比，也可以表示比值。( ) 【答案】√ 【分析】根据分数的意义，表示一个分数可以用这个分数表示比值；也可以看作是两个数的比，根据比的意义，表示2∶5。 【详解】既可以表示比，也可以表示比值。 故答案为：√ 【点睛】考查了用分数表示比，比值，学生应掌握。 题型2：比与分数、除法的关系 【例2】（    ）（    ）。（填小数） 【答案】4；40；0.25 【分析】根据分数与比的关系，，根据分数的基本性质，分子分母同时乘4，求出第二空的答案，根据比与除法的关系，前项扩大10倍，后项扩大10倍后可求出。用求比值的方法，可求出小数是多少。 【详解】 【点睛】熟练掌握分数、比之间的关系以及分数、小数之间的互化是解答本题的关键。 【练2】（    ）÷24＝24∶（    ）＝＝（    ）∶2＝1。 【答案】24；24；6；2 【分析】相等的两个数相除等于1；比的前项和后项相等，比值为1；分数分子分母相等，分数的值为1。据此填空。 【详解】24÷24＝24∶24＝＝2∶2＝1。 【点睛】本题考查了比、分数和除法，掌握值为1时被除数和除数的关系、分子分母的关系以及比的前项和后项的关系是解题的关键。 题型3：求比值 【例3】求比值。 ∶       18∶24             ∶         84.5∶0.25 ∶        0.3∶0.7        5∶        ∶ 【答案】；；；338； ；；； 【分析】用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。 【详解】∶＝÷＝×＝ 18∶24＝18÷24＝ ∶＝÷＝×＝ 84.5∶0.25＝84.5÷0.25＝338 ∶＝÷＝×＝ 0.3∶0.7＝0.3÷0.7＝ 5∶＝5÷＝5×＝ ∶＝÷＝×5＝ 【练3】求下面各比的比值。 （1）75：25＝ （2）480：0.4＝ （3）2.8：0.7＝ 【答案】 3 1200 4 【分析】求比的比值时，则直接用比的前项除以比的后项即可。 【详解】75∶25＝75÷25＝3 480∶0.4＝480÷0.4＝1200 2.8∶0.7＝2.8÷0.7＝4 题型4：比的基本性质 【例4】比的前项乘2，比的后项除以2，比值扩大4倍。( ) 【答案】√ 【分析】根据比的性质“比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变”，可知比的前项乘2，后项除以2，比值变了，扩大了4倍；此题也可以举例子进行验证。 【详解】如比：6∶2＝3 比的前项乘2，由6变成12，后项除以2，由2变成1，则比变为：12∶1＝12，比值扩大了：12÷3＝4倍 所以比的前项乘2，后项除以2，比值扩大4倍，原题说法正确 故答案为：√ 【点睛】此题考查比的性质的运用：只有比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值才不变；否则比值会改变。 【练4】如果3∶7的前项加上9，要使比值不变，后项应加上( )。 【答案】21 【分析】比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个数（0除外），比值不变。题中比的前项加上9变成了12，也就是前项乘4。要使比值不变，后项也要乘4，据此求出变化后的后项，从而利用减法求出后项应加上几。 【详解】（3＋9）÷3 ＝12÷3 ＝4 7×4－7 ＝28－7 ＝21 所以，要使比值不变，后项应加上21。 题型5：化简比 【例5】化简比。 ∶         0.45∶2.5          3.15∶0.5         ∶        ∶          2.4∶0.36           3.5∶          ∶ 【答案】8∶25；9∶50；63∶10；25∶2 16∶9；20∶3；77∶10；1∶45 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。据此计算即可。 【详解】∶ ＝（×50）∶（×50） ＝8∶25 0.45∶2.5 ＝（0.45×100）∶（2.5×100） ＝45∶250 ＝（45÷5）∶（250÷5） ＝9∶50 3.15∶0.5 ＝（3.15×100）∶（0.5×100） ＝315∶50 ＝（315÷5）∶（50÷5） ＝63∶10 ∶ ＝（×15）∶（×15） ＝75∶6 ＝（75÷3）∶（6÷3） ＝25∶2 ∶ ＝（×24）∶（×24） ＝16∶9 2.4∶0.36 ＝（2.4×100）∶（0.36×100） ＝240∶36 ＝（240÷12）∶（36÷12） ＝20∶3 3.5∶ ＝∶ ＝（×22）∶（×22） ＝77∶10 ∶ ＝（×40）∶（×40） ＝1∶45 【练5】化简下面各比。         0.9∶1.35                 20分∶时 【答案】3∶5；2∶3；4∶9 【分析】根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，化简即可。单位不相同的先统一单位。 【详解】 ＝ ＝（12÷4）∶（20÷4） ＝3∶5； 0.9∶1.35 ＝90∶135 ＝（90÷45）∶（135÷45） ＝2∶3； 20分∶时 ＝20分∶45分 ＝（20÷5）∶（45÷5） ＝4∶9 题型6：按比例分配问题 【例6】某新建小区内有一个直径6米的圆形花坛（如图），花坛周围有一条宽1米的甬路。物业公司准备把花坛的面积按照分别种植野菊、郁金香和月季三种花。三种花的种植面积各是多少？ 【答案】6.28平方米；9.42平方米；12.56平方米 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，据此求出花坛的面积；物业公司准备把花坛的面积按照分别种植野菊、郁金香和月季三种花，即种植野菊的面积占花坛的面积的，种植郁金香的面积占花坛的面积的，种植月季的面积占花坛的面积的，然后根据分数乘法的意义，分别求出三种花的种植面积各是多少。 【详解】 ＝ ＝ ＝28.26（平方米） ＝ ＝6.28（平方米） ＝ ＝9.42（平方米） ＝ ＝12.56（平方米） 答：野菊、郁金香和月季种植面积分别是6.28平方米、9.42平方米和12.56平方米。 【练6】2023年9月20日是第35个全国爱牙日，宣传主题是“口腔健康，全身健康”，明明和奶奶参加爱牙日活动后深受启发，督促全家养成了早晚刷牙、饭后用淡盐水漱口的好习惯。在口腔科医生的建议下，他们按盐与盐水的比为1∶25配制漱口水，480克水需要加入多少克盐能制成这种淡盐水？ 【答案】20克 【分析】按盐与盐水的比为1∶25配制漱口水，可以把盐看作1份，盐水看作25份，则水是（25－1）份，所要配制的淡盐水需要（25－1）份水即480克，用除法即可求出一份的量是多少，因为盐占1份，再乘1，所求即为所需盐的质量。 【详解】480÷（25－1） ＝480÷24 ＝20（克） 20×1＝20（克） 答：480克水需要加入20克盐能制成这种淡盐水。 1．比值是0.875的最简整数比是( )。 【答案】7∶8 【分析】最简整数比：比的前项和后项都是整数，且它们的公因数只有1。比值等于前项除以后项。先将0.875化成最简分数，再把最简分数改写成比的形式，即可解答。 【详解】0.875＝＝7∶8 即比值是0.875的最简整数比是7∶8。 2．学校把72个篮球按4∶5的比例分配给五、六年级，五年级分得( )个，六年级分得( )个。 【答案】 32 40 【分析】分析题目，根据比的意义先用篮球的总个数除以总份数（4＋5）求出一份是多少个；再分别用五年级、六年级的份数乘一份的个数即可得到五年级、六年级分得的个数。 【详解】4＋5＝9（份） 72÷9＝8（个） 4×8＝32（个） 5×8＝40（个） 学校把72个篮球按4∶5的比例分配给五、六年级，五年级分得32个，六年级分得40个。 3．( )÷16＝＝( )∶120＝( )（用小数表示）。 【答案】 6 45 0.375 【分析】（1）根据分数与除法的关系：＝3÷8＝（   ）÷16，再根据商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，即可解答； （2）根据分数与比的关系：＝3∶8＝（  ）∶120，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或者除以一个相同的数（0除外），比值的大小不变，即可解答； （3）分数转化成小数，用分子除以分母即可。 【详解】＝3÷8＝（3×2）÷（8×2）＝6÷16 ＝3∶8＝（3×15）∶（8×15）＝45∶120 ＝3÷8＝0.375 即6÷16＝＝45∶120＝0.375。 4．一块铁与锌的合金，铁的质量占合金的，那么铁与锌的质量比是( )。 【答案】2∶5 【分析】根据题意得：这块合金由铁和锌组成，铁的质量占合金的，可将这块合金质量看作单位“1”，则锌的质量占了，根据比的基本性质化简比，由此可得出质量比。 【详解】可将这块合金质量看作单位“1”，铁的质量占合金的，锌的质量占合金的：，所以铁与锌的质量比是：＝。 5．某小学合唱队人数在55至70人之间，男生与女生人数的比是7∶9，合唱队一共有( )人。 【答案】64 【分析】分析题目，男生与女生人数比是7∶9，则总人数是7＋9＝16的倍数，找出在55至70之间16的倍数，也就是合唱队的人数，据此解答。 【详解】7＋9＝16 70以内16的倍数有：16，32，48，64； 55至70之间16的倍数是：64，即合唱队有64人。 某小学合唱队人数在55至70人之间，男生与女生人数的比是7∶9，合唱队一共有64人。 6．小圆的周长是大圆周长的，大圆面积与小圆面积的比是( )。 【答案】9∶4 【分析】大圆的周长与小圆的周长比等于大圆的半径与小圆的半径比。小圆的周长是大圆周长的，则小圆的周长和大圆周长的比是2∶3，小圆半径和大圆半径的比是2∶3，可以设小圆的半径是2，大圆的半径是3，根据圆的面积＝，分别得出大圆和小圆的面积，再根据比的意义得出比。 【详解】小圆的周长和大圆周长的比是2∶3，所以小圆半径和大圆半径的比是2∶3， 设小圆的半径是2，大圆的半径是3 小圆的面积： 大圆的面积： 则大圆面积与小圆面积的比是9∶4。 7．学校体育小组有排球25个，篮球20个和足球15个，排球与足球的个数比是( )，篮球与足球的个数比是( )。 【答案】 5∶3 4∶3 【分析】两数相除又叫两个数的比，据此根据比的意义，写出排球与足球的个数比，篮球与足球的个数比，化简即可。 【详解】25∶15＝（25÷5）∶（15÷5）＝5∶3 20∶15＝（20÷5）∶（15÷5）＝4∶3 学校体育小组有排球25个，篮球20个和足球15个，排球与足球的个数比是5∶3，篮球与足球的个数比是4∶3。 8．配制一种稀释液，药粉和水的质量比是1∶25，如果配制这种稀释液520kg，需要药粉（     ）千克。 A．500 B．20 C．2 【答案】B 【分析】根据“药粉和水的质量比是1∶ 25”可以求出药粉数占这种稀释液的几分之几，再根据乘法的意义，列式解答即可。 【详解】 ＝ ＝20（千克） 需要药粉20千克。 故答案为：B 【点睛】解答此题的关键是找准对应量，找出数量关系，根据数量关系，列式解答即可。 9．有两个圆，其中小圆的半径是4cm，大圆的半径是8cm，小圆和大圆的直径的最简整数比是( )，周长的最简整数比是( )，面积的最简整数比是( )。 【答案】 1∶2 1∶2 1∶4 【分析】根据圆的直径d＝2r，圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，求出两个圆的直径、周长和面积，再根据比的意义写出两个圆的直径之比、周长之比、面积之比，然后化简比即可。 【详解】小圆和大圆的直径比： （4×2）∶（8×2） ＝8∶16 ＝（8÷8）∶（16÷8） ＝1∶2 小圆和大圆的周长比： （2π×4）∶（2π×8） ＝8π∶16π ＝8∶16 ＝（8÷8）∶（16÷8） ＝1∶2 小圆和大圆的面积比： （π×42）∶（π×82） ＝16π∶64π ＝16∶64 ＝（16÷16）∶（64÷16） ＝1∶4 小圆和大圆的直径的最简整数比是1∶2，周长的最简整数比是1∶2，面积的最简整数比是1∶4。 【点睛】明确两个圆的直径之比、周长之比等于它们的半径之比，两个圆的面积之比等于它们的半径的平方比。 10．一个比的前项和后项的和是11，比值是2，这个比是( )。 【答案】∶ 【分析】由题意可知，这个比的比值是2，根据求比值的方法，前项除以后项即可求出比值。则这个比化简后应为2∶1，且这个比的前项和后项的和是11，然后根据按比分配的方法，求出前项和后项即可。 【详解】11×＝ 11×＝ 则一个比的前项和后项的和是11，比值是2，这个比是∶。 【点睛】本题考查求比值，明确前项和后项所占的份数是解题的关键。 11．先化简下面各比，并求出比值。 3.6∶18          500毫升∶升     1小时10分∶30分 【答案】1∶5，；16∶1，16；2∶1，2；7∶3， 【分析】化简比根据比的基本性质，比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；求比值直接用最简比的前项÷后项即可，化简比的结果还是一个比，求比值的结果是一个数，据此化简比和求比值。 【详解】3.6∶18＝（3.6÷3.6）∶（18÷3.6）＝1∶5＝1÷5＝ 500毫升∶升＝500毫升∶250毫升＝（500÷250）∶（250÷250）＝2∶1＝2÷1＝2 1小时10分∶30分＝70分∶30分＝（70÷10）∶（30÷10）＝7∶3＝7÷3＝ 12．配制一种除虫药水，药液和水的质量比是1∶1000，用20千克水配制这种药水，需要药液多少克？ 【答案】20克 【分析】根据题意可知，药液和水的质量比是1∶1000，即药液占水的，已知水的质量，求药液的质量，用水的质量×，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】20千克＝20000克 20000×＝20（克） 答：需要药液20克。 13．学校买回来800本故事书，把其中的按3∶5分配给五年级和六年级同学。五年级同学分故事书多少本？ 【答案】75本 【分析】分析题目，把故事书的总本数看作单位“1”，先根据求一个数的几分之几是多少用乘法求出分配给五六年级学生的总数，再把分给五六年级的总本数看作单位“1”，根据比的意义可知五年级学生分得五六年级总数的，用乘法即可求出五年级分得的本数。 【详解】800×＝200（本） 200× ＝200× ＝75（本） 答：五年级同学分故事书75本。 14．水果店运来橘子、苹果和梨一共350千克，橘子和苹果的质量比是2：3，苹果和梨的质量比是4：5．三种水果各有多少千克？ 【答案】橘子80千克， 苹果120千克， 梨150千克 【详解】略 15．用一条长108厘米的铁丝，做成一个长宽高之比为的长方体模型。如果每个面都用铁皮包上做成铁盒，这个铁盒的体积是多少立方厘米？ 【答案】648立方厘米 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，将比的各项看成份数，长宽高的和÷总份数，求出一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长、宽、高，再根据长方体体积＝长×宽×高，求出铁盒体积。 【详解】（厘米） 27÷（2＋3＋4） ＝27÷9 ＝3（厘米） 3×2＝6（厘米） 3×3＝9（厘米） 3×4＝12（厘米） 6×9×12＝648（立方厘米） 答：这个铁盒的体积是648立方厘米。 16．小源、小君、小凤三人是集邮爱好者，小源和小君邮票数量的比是5∶8，小君和小凤邮票数量的比是4∶1，小源比小凤多63枚。他们三人分别有多少枚邮票？ 【答案】小源105枚，小君168枚，小凤的42枚。 【分析】先找出三人邮票数量的比，小君原来平均分成8份，后来平均分成4份，统一两次的份数，8和4的最小公倍数是8，根据比的基本性质，4∶1可转化为8∶2，即统一后小源、小君、小凤三人邮票数量的比是5∶8∶2，已知小源比小凤多63枚，即用63除以小源比小凤多少的份数，可得每份的邮票数量，再用每份的邮票数量分别乘三个对应的邮票数量的份数，即可得解。 【详解】小源和小君邮票数量的比是5∶8 小君和小凤风邮票数量的比是4∶1 4∶1＝（4×2）∶（1×2）＝8∶2 则小源、小君、小凤三人邮票数量的比是5∶8∶2 （枚） 小源：（枚） 小君：（枚） 小凤：（枚） 答：小源的邮票数量是105枚，小君的邮票数量是168枚，小凤的邮票数量是42枚。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 比和按比例分配 单元知识清单讲义 知识点一：比的意义 两个数的比表示两个数相除。 注意：比既可以表示两个同类量的倍数关系，也可以表示两个不同类量的关系，如路程与时间的比表示速度。 知识点二：比的各部分名称 注意：比和比值不同，比表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以写成分数形式；比值 知识点三：比和除法、分数的联系与区别 注意：(1)比的后项、除法的除数、分数的分母都不能是0。 (2)比的前、后项都可以是整数、小数或分数形式，当前、后项是分数或小数时，不能直接表示成分数形式。 知识点四：比的基本性质 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。这与商不变的规律及分数的基本性质是相通的。 知识点五：求比值 (1)比值是一个数，可以是整数、小数或分数，不要把比值写成比的形式。 (2)求带单位的比的比值时，要先统一单位，再求比值。 知识点六：化简比 依据：比的基本性质。 结果：最简单的整数比，即前、后项的公因数只有1。 方法：前、后项都是整数的，直接除以前、后项的最大公因数进行化简。前项或后项不 是整数时，先转化成整数比，再化简。 注意：化简两个数的比也可以直接用求比值的方法，结果要写成分数或比的形式。但此方法不适用于化简多个数组成的连比。 知识点七：按比分配问题 按比分配问题的一般形式为已知总量及各部分量的比，求各部分量。 方法一：从份数考虑。先根据比求总份数，再求一份的数量和几份的数量。 方法二：转化为分数问题。即根据比得出各部分量占总量的几分之几，再利用分数乘法求出各部分量。 题型1：比的意义及各部分名称 【例1】两个数相除，又叫做两个数的( )，a∶b（b≠0）其中“∶”叫做( )，这个比的前项是( )，后项是( )。 【练1】既可以表示比，也可以表示比值。( ) 题型2：比与分数、除法的关系 【例2】（    ）（    ）。（填小数） 【练2】（    ）÷24＝24∶（    ）＝＝（    ）∶2＝1。 题型3：求比值 【例3】求比值。 ∶         18∶24            ∶        84.5∶0.25 ∶           0.3∶0.7         5∶          ∶ 【练3】求下面各比的比值。 （1）75：25＝ （2）480：0.4＝ （3）2.8：0.7＝ 题型4：比的基本性质 【例4】比的前项乘2，比的后项除以2，比值扩大4倍。( ) 【练4】如果3∶7的前项加上9，要使比值不变，后项应加上( )。 题型5：化简比 【例5】化简比。 ∶         0.45∶2.5          3.15∶0.5         ∶        ∶          2.4∶0.36           3.5∶          ∶ 【练5】化简下面各比。       0.9∶1.35                  20分∶时 题型6：按比例分配问题 【例6】某新建小区内有一个直径6米的圆形花坛（如图），花坛周围有一条宽1米的甬路。物业公司准备把花坛的面积按照分别种植野菊、郁金香和月季三种花。三种花的种植面积各是多少？ 【练6】2023年9月20日是第35个全国爱牙日，宣传主题是“口腔健康，全身健康”，明明和奶奶参加爱牙日活动后深受启发，督促全家养成了早晚刷牙、饭后用淡盐水漱口的好习惯。在口腔科医生的建议下，他们按盐与盐水的比为1∶25配制漱口水，480克水需要加入多少克盐能制成这种淡盐水？ 1．比值是0.875的最简整数比是( )。 2．学校把72个篮球按4∶5的比例分配给五、六年级，五年级分得( )个，六年级分得( )个。 3．( )÷16＝＝( )∶120＝( )（用小数表示）。 4．一块铁与锌的合金，铁的质量占合金的，那么铁与锌的质量比是( )。 5．某小学合唱队人数在55至70人之间，男生与女生人数的比是7∶9，合唱队一共有( )人。 6．小圆的周长是大圆周长的，大圆面积与小圆面积的比是( )。 7．学校体育小组有排球25个，篮球20个和足球15个，排球与足球的个数比是( )，篮球与足球的个数比是( )。 8．配制一种稀释液，药粉和水的质量比是1∶25，如果配制这种稀释液520kg，需要药粉（     ）千克。 A．500 B．20 C．2 9．有两个圆，其中小圆的半径是4cm，大圆的半径是8cm，小圆和大圆的直径的最简整数比是( )，周长的最简整数比是( )，面积的最简整数比是( )。 10．一个比的前项和后项的和是11，比值是2，这个比是( )。 11．先化简下面各比，并求出比值。 3.6∶18            500毫升∶升      1小时10分∶30分 12．配制一种除虫药水，药液和水的质量比是1∶1000，用20千克水配制这种药水，需要药液多少克？ 13．学校买回来800本故事书，把其中的按3∶5分配给五年级和六年级同学。五年级同学分故事书多少本？ 14．水果店运来橘子、苹果和梨一共350千克，橘子和苹果的质量比是2：3，苹果和梨的质量比是4：5．三种水果各有多少千克？ 15．用一条长108厘米的铁丝，做成一个长宽高之比为的长方体模型。如果每个面都用铁皮包上做成铁盒，这个铁盒的体积是多少立方厘米？ 16．小源、小君、小凤三人是集邮爱好者，小源和小君邮票数量的比是5∶8，小君和小凤邮票数量的比是4∶1，小源比小凤多63枚。他们三人分别有多少枚邮票？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $