6.1 第4课时 方差的应用及利用“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

绿卡图书——走向成功的通行证 1 平均数与方差 第4课时 方差的应用及利用“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组 课题 第4课时 方差的应用及利用“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P152-155 教学目标 1.通过具体的实例全面理解方差、标准差以及它们在现实生活中的应用，利用“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组，发展初步的统计意识和处理数据的能力。 2．通过描述一组数据离散程度的统计量：方差、标准差的大小，对实际问题作出解释，培养学生解决问题的能力．培养学生热爱数学的热情，初步认识数学与人类生活的密切联系。 教学重难点 重点：求一组数据的方差、标准差。 难点：会用方差、标准差对实际问题做出判断。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 教师复习导入。 1.刻画一组数据的离散程度有哪些统计量？ 2.如何求方差、标准差和离差平方和？ 学生活动：学生思考后回答。 复习的内容主要是让学生掌握上节课的教学效果，及时鼓励学生或校正偏差。 2.实践探究，学习新知 【探究】 某日，A，B两地的气温变化如图所示，请回答下列问题： （1）不进行计算，说说A，B两地这一天气温的特点。 （2）分别计算这一天A，B两地气温的平均数和方差，所得结果与你刚才的看法一致吗？ 学生活动：把自己的想法，在组内与其他同学交流，达成组内统一意见。 答案预测： （1）A，B两地平均气温相近，但A地日温差较大，B地日温差较小。 （2）A地平均气温约为20.42℃，方差约为7.76；B地平均气温约为21.35℃，方差约为2.78。 【尝试·思考】 教师活动：我们知道，一组数据的方差越小，这组数据就越稳定。那么，是不是方差越小就表示这组数据越好呢？ 我们通过实例来探讨。 某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：cm）如下： 甲：585 596 610 598 612 597 604 600 613 601 乙：613 618 580 574 618 593 585 590 598 624 （1）甲、乙的平均成绩分别是多少？ （2）甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少？ （3）这两名运动员的运动成绩各有什么特点？ （4）历届比赛成绩表明，成绩达到5.96 m就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到6.10 m就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？ 学生活动：先独完成问题（1），（2），思考问题（3）（4）后，小组交流讨论。 注意：学生对两名运动员特点的回答呈多样性，如甲较稳定，乙有潜力等，对于问题（4）的回答则有不同的意见，经大家分析后，再统一认识。 答案预测： （1）甲：601.6 cm，乙：599.3 cm。 （2）甲：65.84，乙：284.21。 （3）学生的回答可能是多样的，如可以说甲运动员成绩较稳定，因为其方差、极差都比较小；也可以说甲的平均成绩比乙好；还可以说乙较有潜质，因为乙的最远成绩比甲的最远成绩好等。只要学生说得有道理就应给予肯定。 （4）在10次比赛中，甲运动员有9次超过596 cm，而乙仅有5次，因此一般应选甲运动员参加这项比赛；但若要打破610 cm的跳远纪录，则一般应选乙运动员。 【思考·交流】 10个苹果的直径如下图所示。 （1）若想把这10个苹果分成两组，使每组苹果的“个头”差不多，你想怎么分？说说你分组的理由。 （2）一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流。 师生活动：学生分组讨论交流，选择学生代表回答问题，教师进行点评并讲解。 【归纳总结】 在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。 【教材例题】 例3 按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把“思考·交流”图中的10个苹果按直径大小分成两组。 解：将10个数据由小到大排序： 65，69，70，75，76，76，78，80，80，81。 把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…，81}；…；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据{81}。 以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和。其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和=（65-67）2+（69-67）2=8；第二组有 8个数据 {70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和=（70-77）2+(75-77）2+…+(81-77）2=90。 因此，第2种分组情况的组内离差平方和=+=8+90=98。 同理，计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下： 计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小。因此，把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}。 通过两地气温的变化的例子，培养学生从图表中读取信息、分析数据的能力，更准确地理解方差及其在现实生活中的应用。 针对不少同学认为的方差越小越好的错误认识，教材设计了一个现实生活中的例子，旨在消除学生的这种不正确的看法，从而认识到要针对具体情况来分析方差对于问题的影响，体会数据的波动是广泛而有特点的。 让学生再次经历数据的收集和分析的过程，同时培养学生的估计能力，并体会环境对个人心理状态的影响。 3.学以致用，应用新知 考点 方差的应用 例 人数相同的八年级（1），（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，则成绩较为稳定的班级是（ ） A.甲班 B.乙班 C.两班成绩一样稳定 D.无法确定 答案：B 变式训练 为了从甲、乙两名学生中选择一人去参加电脑知识竞赛，在相同条件下对他们的电脑知识进行10次测验，成绩（单位：分）如下： （1）填写下表： （2）利用以上信息，请从不同的角度对甲、乙两名同学的成绩进行评价。 解：（1） （2）从众数看，甲成绩的众数为84分，乙成绩的众数是90分，乙的成绩比甲好； 从方差看，，，甲的成绩比乙相对稳定； 从甲、乙的中位数、平均数看，中位数、平均数都是84分，两人成绩一样好； 从频率看，甲85分以上的次数比乙少，乙的成绩比甲好。 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 4.随堂训练，巩固新知 1.甲、乙、丙、丁四个旅游团的游客人数都相等，且每个旅游团游客的平均年龄都是35岁，这四个旅游团游客年龄 的方差分别为，，，，这四个旅游团中年龄最相近的旅游团是（ ） A. 甲团 B. 乙团 C. 丙团 D. 丁团 答案：B 2．某村引进甲、乙两种水稻良种，各选6块条件相同的试验田，同时播种并核定产量，结果甲、乙两种水稻的平均产量均约为6 000 kg/公顷，方差分别为＝141.7，＝433.3，则产量稳定，适合推广的品种为（ ） A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定 答案：B 3.为了考查两种小麦长势情况，从甲、乙两种小麦中分别抽取5株，测得苗高(单位：厘米)如下： 甲：6，8，9，9，9.　　乙：10，7，7，7，9. 则甲、乙两种小麦的长势整齐程度是（ ） A．甲比乙整齐 B．乙比甲整齐 C．甲、乙整齐程度一样 D．无法比较 答案：A 4.甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温方差大小关系为 （填“＞”或“＜”） 答案：＞ 学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收获、有所提高。 5.课堂小结，自我完善 1.方差越小表示这组数据越稳定，但不是方差越小就表示这组数据越好。必须对具体的情况进行具体分析才能得出正确的结论。 2.在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。多组数据的组内离差平方和是指每组数据的离差平方和的和。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，强化记忆。 6.布置作业 课本P155随堂练习中的T1。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。 板书设计 第4课时 方差的应用及利用“组内离差平方和达到最小”对数据进行分组 提纲掣领，重点突出。 教后反思 在教学中，学生对“组内离差平方和越小分组越合理”的原理理解不深，分组方法不当导致结果有偏差，还常混淆组内离差平方和的概念。后续需通过直观展示分组过程，设计真实场景任务提升学生数据分析与实际应用结合的能力。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $