4.2 第3课时 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

绿卡图书——走向成功的通行证 2 认识一次函数 课题 第3课时 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P83-84 教学目标 1．能利用一次函数解决方案选择问题。 2．能利用一次函数解决分段计费问题。 3．会建立函数模型解决实际问题。 教学重难点 重点：利用一次函数解决方案选择问题和分段计费问题。 难点：利用一次函数解决分段计费问题。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 教师展示课件。 近日，“黄沙”再次肆虐我国多地，引起公众对沙尘天气的关注．植树造林是应对沙尘暴的重要措施．某校计划组织学生进行植树活动，现要去育苗基地购买树苗，由于数量较多，需要基地把树苗运送到植树目的地，育苗基地给出了两种方案： 方案一：基地把树苗运送到植树目的地，按6元/棵的价格支付购买树苗的费用，学校无需支付运费； 方案二：基地把树苗运送到植树目的地，按3.5元/棵的价格支付购买树苗的费用，另外学校需一次性支付运费800元． （1）若学校购买这种树苗x棵，请分别写出按方案一购买树苗所需的总费用y1(元)和按方案二购买树苗所需的总费用y2(元)(含运费)与x(棵)之间的函数关系式． （2）假设你是学校的决策者，你认为应该选择哪种方案更加合算？并说明理由． 教师：这种问题改如何解决？ 学生活动：先独立思考，再小组讨论。 教师：同学们，接下来让我们一起走进—分段计费问题，在分段计费中认识一次函数与正比例函数。（教师板书课题：第3课时 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数） 通过方案选择问题，让学生体会到两个变量间的关系，激发学生的学习兴趣体会到一次函数的本质。 2.实践探究，学习新知 教师：上面方案选择问题中，我们如何获得最正确的选择？ 师生活动：学生先独立思考，再小组讨论，之后教师每组选出一个代表回答。 “生活即教育，行为即课程”。某校将劳动教育融入立德树人全过程．学校给每个班划分一块地供学生“种菜”，某班现要购买肥料对该地施肥，该班班长与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案(如下表)，且都送货上门。 方案 运费 肥料价格 方案一 12元 3元/kg 方案二 0元 3.6元/kg 若该班购买x千克肥料，按方案一购买的付款总金额为y1元，按方案二购买的付款总金额为y2元。 （1）请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式。 （2）若该班计划用180元钱购买肥料，请问该班选择哪种购买方案购买的肥料较多？ 探究1：学生分组讨论，交流，回答【课堂引入】中的问题。 教师提出新问题引导学生进一步探究： （3）该班购买10千克肥料时，选择哪种方案费用更低？ （4）该班购买多少千克肥料时，两种购买方案费用相同？ 学生分组讨论，交流，回答问题。 教师引导学生总结利用一次函数解决方案问题的一般解题步骤及需要注意的点。 探究2： 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度。若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按2元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按3.5元收费。 （1）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，当x>14时，求y与x之间的关系式。 （2）若小名家9月份用水15吨，则9月份水费为多少元？ （3）若小名家10月份交水费49元，求他家10月份用水多少吨。 学生活动：独立思考，有困难再讨论，教师根据学生回答的情况，规范学生的答题规范，师生交流总结分段计费问题中的易错点。 教师提出问题，引发学生进一步思考：上述计费方式有什么意义？设计计费规则时需要注意什么？生活中还有哪些用到类似的计费方法？ 【教材例题】 例3 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量x/m3 单价/(元/m3) 第一档 0<x≤220 3.45 第二档 220<x≤300 4.83 第三档 x>300 5.83 （1）当220<x≤300时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式。 （2）某户一年用水量是250 m3，求该户这一年的水费。 （3）某户去年一年的水费是1 000.5元，求该户去年一年的用水量。 解：（1）当220<x≤300时，用水量属于第二档．于是y=4.83x-303.6。 （2）当x＝250时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元)。 （3）因为3.45×220＝759，4.83×300－303.6＝1 145.4，759<1 000.5<1 145.4，所以该户年用水量属于第二档.设该户去年一年的用水量为x m3，则1 000.5＝4.83x－303.6。解这个方程，得x＝270.因此，该户去年一年的用水量为270 m3。 尝试·思考 （1）在例3中，当x>300时，你能写出水费y（单位：元）与用水量x之间的关系式吗？ （2）像例3这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？ 从生动有趣的问题情境出发,通过对一般规律的探索过程，从实际问题中感受如何从分段函数问题中抽象出一次函数和正比例函数。 通过小组合作探究，引导学生大胆猜想，勇于探索，鼓励学生积极思维，提高学生的分析问题、解决问题、总结归纳的能力。 通过丰富的现实背景的例题，进一步理解利用一次函数和正比例函数解决分段计费问题，让学生体会数学的广泛应用，发展学生的抽象思维能力。 生活中的一次函数，充分加强数学与现实的联系，促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展。 3.学以致用，应用新知 考点 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 例 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元。 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱。工厂需要一次性投入机器安装费16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元。 （1）完成下表： 制作个数 费用/元 方案一 方案二 5 000 20 000 28 000 12 000 48 000 44 800 （2）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的关系式。 （3）在（2）的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同？ 解：（2）方案一：y＝4x； 方案二：y＝2.4x＋16 000。 （3）由题意，得2.4x＋16 000＝4x， 解得x＝10 000。 答：需要制作10 000个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同。 在学生掌握新知识的基础上，逐步灵活运用所学的知识解决问题，培养思维能力。 4.随堂训练，巩固新知 1.新能源汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较燃油汽车都有明显优势．某品牌新能源汽车为了满足客户需求，提升服务质量，推出如下新能源汽车充电售后服务表： 新能源汽车充电售后服务表 充电方式 安装费用/元 充电服务费标准/[元·(kW·h)－1] 安装私人充电桩 2 700 0.6 品牌公共充电桩 0 1.8 温馨提示：综合情况下，1 kW·h电汽车可行驶8 km 设充电方式为安装私人充电桩的总费用为y1(元)，充电方式为品牌公共充电桩的总费用为y2(元)，累计充电量为x(kW·h). 根据以上信息，解决下列问题： （1）请分别求出y1，y2与x之间的关系式。 （2）若某客户计划两年内居住在同一地方，且每年汽车行驶里程约10 000 km，请你分析该客户选择哪种充电方式更合算，并说明理由。 解：（1）由表格，得y1＝0.6x＋2 700，y2＝1.8x。 （2）∵该客户两年内汽车累计充电量为2×10 000÷8＝2 500(kW·h)， ∴当x＝2 500时， y1＝0.6×2 500＋2 700＝4 200(元)， y2＝1.8×2 500＝4 500(元). ∵4 500>4 200， ∴客户选择安装私人充电桩更合适。 2.北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：(以户为单位) 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 0～1 500 m3(含1 500)的部分 2.67元/m3 第二阶梯 1 500～2 500 m3(含2 500)的部分 3.15元/m3 第三阶梯 2 500 m3以上的部分 3.63元/m3 根据表中所给的数据回答以下问题： （1）设某户这个冬季用气量为x m3(1 500＜x≤2 500)，缴纳燃气费用为y元，求y与x之间的关系式。 （2）某户用气量为2 000 m3，求此户需缴纳的燃气费用。 （3）已知某户该冬季缴纳燃气费用为5 895元，求该户用了多少立方米的燃气。 解：（1）当1 500<x≤2 500时，y＝1 500×2.67＋3.15×(x－1 500)＝3.15x－720。 （2）当x＝2 000时，y＝3.15×2 000－720＝5 580， ∴此户需缴纳的燃气费用为5 580元。 （3）设该户用x m3的燃气。 当用气量为1 500 m3时，费用为1 500×2.67＝4 005(元)<5 895元， 当用气量为2 500 m3时，费用为3.15×2 500－720＝7 155(元)＞5 895元。 ∴该用户燃气用量属于第二阶梯。 ∴3.15x－720＝5 895， 解得x＝2 100。 ∴该户用了2 100 m3的燃气。 通过练习，进一步巩固所学知识，培养学生的处理及应用知识的能力。 5.课堂小结，自我完善 （1）你在本节课中有哪些收获？哪些进步？ （2）学习本节课后，还存在哪些困惑？ 鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获和感想,进一步巩固本节课的知识。 6.布置作业 课本P87-88习题4.2中的T10—12。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第3课时　在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 1.方案选择问题。 2.分段计费问题。 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣，用问题启发学生去思考、鼓励学生用已学过的函数知识去表达，使学生感受数学建模的应用价值。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $