2.2 第4课时 估算及用计算器开方-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

该教案聚焦估算无理数大小、比较无理数及用计算器开方核心知识点，通过长方形荒地面积问题导入，联系平方根知识引出估算需求，搭建从实际问题到数学方法的学习支架。 以荒地面积、圆形花圃半径等情境培养数学眼光，用“夹逼法”归纳估算步骤发展推理意识，结合计算器操作强化应用能力。实例丰富且分层，助力学生提升数感与运算能力，为教师提供结构化探究活动，便于高效教学。

绿卡图书——走向成功的通行证 2 平方根与立方根 课题 第4课时 估算及用计算器开方 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P36-37 教学目标 1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小。 2．掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感。 3．会用计算器求平方根和立方根。 4．会根据实际问题用计算器求平方根和立方根。 教学重难点 重点：1..理解估算的意义。2.会用计算器求平方根和立方根。 难点：掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 教师展示课件。 教师：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000 m2。 （1）公园的宽大约是多少？它有1 000 m吗？ （2）如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流。 （3）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，你能估计它的半径吗（结果精确到1 m）？ 学生活动：学生思考，回答问题。 答案预设： 假设宽为x m，列出方程，估算宽的值． 用1 000代入x，可知其值与已知面积是否差距太大，是否属于一个数量级。尝试计算一些数的平方数来估算出结果。 教师总结：设长方形的宽为x m，则得x·2x＝400 000，即x2＝200 000。 所以公园的宽x是200 000的算术平方根。 提问：这样的数该如何得出结果？ 教师：学完本节知识后，相信你会有一个满意的答案。让我们继续学习新知识。（教师板书：第4课时 估算及用计算器开方） 从现实情境引入，通过与生活紧密联系的问题情境，让学生初步感受到估算的实用价值．一方面让学生初步建立数感，另一方面让学生体会生活中的数学，从而激发学习的积极性。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 下面我们开始估算，请同学们分组讨论后回答。 （1）当x＝1 000时，x2＝1 000 000，显然200 000小于1 000 000，因此宽不可能是1 000 m. （2）由于4002＝160 000，而5002＝250 000，所以估计x的值是400多．观察160 000，200 000与250 000，估计x为440，取4402＝193 600，而4502＝202 500，所以要求结果精确到10 m时，它的宽估计大约是450 m. （3）设半径为r m，则有πr2＝800，因为152π≈707，162π≈804，所以在要求精确到1m时，估计它的半径约为16 m。 思考·交流 （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流. ①≈0.066；②≈96；③≈60.4. 师生活动：教师可以向让学生讨论思路，引导学生利用平方与开平方，立方与开立方互为逆运算，进行计算验证。计算时可以借助计算器进行验证。 结果预测：①因为，所以估算错误；②因为，所以估算错误；③因为，所以估算错误。 思考：怎样估算一个无理数的范围？ 问题（2）：你能估算的大小吗？（结果精确到0.1） 师生活动：同伴间进行交流，教师适时引导。在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法。 答案预设：因为93=729，103=1 000， 所以729<900<1 000, 所以， 即。 又因为9.53≈857， 所以857<900<1 000， 所以， 即。 所以。 教师活动：根据上面的解答，简单总结“夹逼法”的做题方法。注意强调：根据问题中误差允许的范围，在允许的范围内取出近似值，精确到1是四舍五入到个位，精确到0.1就是四舍五入到十分位，答案唯一。 【归纳总结】 估算的一般步骤： （1）估算被开方数在哪两个平方数(立方数)之间； （2）确定无理数的整数位； （3）若继续估算，可取上步中确定的两个数字的中间数字计算平方数（立方数），继续估算被开方数在哪两个平方数(立方数)之间，确定无理数的新范围； （4）继续步骤（3），直至能按题目要求得到估算值为止。 【教材例题】 例7　生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定。如图，现有一架长度为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头吗？ 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为x m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的。根据勾股定理，有 x2＋(×6)2＝62， 即x2＝32，x＝。 因为5.62＝31.36＜32，所以＞5.6。 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6 m高的墙头。 教师活动：实际教学中，学生也可以有其他的估算方式，如学生可以比较+与的大小，前者小于后者，因此判断顶端能够达到5.6 m高的墙头。应允许学生这样思考，但不要故意引导学生如此思考，应顺其自然。 问题：通过估算，你能比较与的大小吗？你是怎样想的？ 小明是这样想的：与的分母相同，只要比较他们的分子就可以了。因为，所以，因此。你认为小明的想法正确吗？ 学生：正确。 思考：你还有其他方法比较它们的大小吗？ 学生活动：先独立思考，再小组交流。 结果预测： 学生可能出现多种解决问题。如法一：先估算，计算，。所以。法二：因为，所以，所以等。学生方法合理即可。 教师活动：及时汇总学生的不同做法，纠正错误，肯定学生的正确思路。同时，总结比较无理数大小的方法。 【归纳总结】 比较无理数大小的方法： （1）估算法：一般先采用分析的方法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较。 （2）求差法:若，则；若，则；若，则。 （3）平方法：计算可能涉及到底数含二次根式的完全平方公式，现阶段学生可能不太容易想到，若学生没有用到此法，可先不用拓展。 【探究2】 要求学生仔细阅读计算器使用说明书，找到关于开方运算的说明，并按说明书上的范例操作，然后与组内成员进行讨论，回答下列问题： 1.开方运算要用到键 和键 。 2.对于开平方运算，按键顺序为： 。 3.对于开立方运算，按键顺序为： 。 学生活动：参照上面计算器使用方法，并结合以前所学习过的计算器使用方法,小组合作交流。 答案预设：（教材P36） 1.“”；“”。 2.“”“被开方数”“=”“S⇔D”。 3.“shift”“”“被开方数”“=”。 利用计算器，求下列各式的值(结果精确到0.000 01)： （1）； （2）； （3）； （4） 学生活动：先独立完成,再小组交流结果。 答案预设：利用计算器得到结果（1）28.284 27； （2）1.638 64；（3）0.761 58；（4）-0.657 27。 【归纳总结】 1.开方运算要用到键“”和键“”。 2.对于开平方运算，按键顺序为：“”“被开方数”“=”“S⇔D”。 3.对于开立方运算，按键顺序为：“shift”“”“被开方数”“=”。 利用计算器比较和的大小。 尝试·思考： （2）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随开方次数的增加，你发现了什么?改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律。 学生活动：小组合作探究。 教师总结： （1）任何一个正数，利用计算器进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算，随着开方次数的增加,结果是越来越接近1。 （2）小于1的数，一直进行开平方运算，运算的结果也是越来越接近1。 【归纳总结】 任何一个正数，利用计算器进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，结果是越来越接近1。 学生在计算中常常出现小数点位置的错误。如计算时，可能将近似值9.6误写成96，而面对这样的错误，很多学生根本就没有觉察。为此，设计了问题1，希望学生养成检验计算结果合理性的习惯，只要学生能够养成这个习惯，就不太容易出现≈96的错误。一般地，面对这类问题，首先要考虑数量级（估计大致的位数），如果是同级别，再进行近似计算。 问题2先让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力。 通过简单无理数大致范围的估计，让学生初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备。 1.通过练习进行反馈，及时进行纠错。 2．进一步理解估算的概念，深化所学内容，发展学生抽象思维能力和归纳总结能力。 学生在阅读了各自的计算器使用说明书后，在计算器上尝试操作，再在小组中交流成功或失败的经验，便于学生更快更好地掌握使用计算器进行开方运算的方法。 让学生熟悉用计算器进行开方运算。 设计多方面的问题,揭示实际问题中出现的数字多为不易于计算的,从而激发学生积极学习计算器的使用方法。 3.学以致用，应用新知 考点1 估算 例 估算－2的值(　　) A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 答案：B 变式训练 已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(-a)3+(b+2)2的值。 解：因为2<<3，所以a是的整数部分，所以a=2。因为b是的小数部分，所以b=-2。所以(-a)3+(b+2)2=(-2)3+(-2+2)2=-8+8=0。 考点2 比较大小 例 通过估算，比较与1.5的大小。 解：因为>，所以>2，所以+1>2+1，所以>＝1.5，即>1.5。 变式训练 通过估算，比较与2.1的大小。 解：因为2.13=9.261<26，所以>，即>2.1。 考点3 用计算器开方 例 用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)： (1) (2) 解：（1）依次按键，显示：2.426 932 22，所以2.43。 （2）依次按键，显示：3.316 624 79，所以≈3.32。 变式训练 将，，用不等号“＜”连接起来为(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 答案：D 利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小。 解此题的关键是确定的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)。 4.随堂训练，巩固新知 1.估算下列数的大小： （1）(结果精确到0.1)；　（2）(结果精确到1)。 解：（1）因为3.6＜＜3.7，所以≈3.6或3.7。 （2）因为9＜＜10，所以≈9或10。 2．通过估算，比较下列各组数的大小： （1）与；　　（2）与3.85。 解：（1）因为＜2，所以－1＜1，即＜。 （2）因为3.852＝14.822 5，15＞14.822 5，所以＞3.85。 3．用计算器求下列各式的近似值(结果精确到0.01)： （1）；（2）－；（3）；（4）。 解：（1）1.90。（2）－0.94。（3）－0.93。（4）6.90。 4.用计算器计算，若按键顺序为，相应的算式是(　　) A.×5－0×5÷2＝ B．(×5－0×5)÷2＝ C.－0.5÷2＝ D．(－0.5)÷2＝ 答案：C 5.已知≈4.80，≈15.17，则的值约为(　　) A．0.480 B．0.048 0 C．0.151 7 D．1.517 答案：B 6.用计算器求值并回答问题： (1)＝________；＝________；＝__________； (2)＝________；＝________；＝__________。 答案：（1）13；1.3；0.13；（2）13；1.3；0.13。 巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯。 5.课堂小结，自我完善 1.估算无理数大小的方法：（1）通过利用平方与开方互为逆运算，采用“夹逼法”，确定真值所在范围；（2）根据问题中误差允许的范围，在允许的范围内取出近似值。 2.比较无理数大小的方法： （1）估算法：一般先采用分析的方法,估算出无理数的大致范围,再作具体比较. （2）求差法：若，则；若，则；若，则。 3.确定无理数整数部分的方法：估算时整数部分直接取与其最接近的两个整数中较小的那个整数。 确定无理数小数部分的方法：首先确定其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分得出它的小数部分，即小数部分=原数-整数部分。 4.开方运算要用到键“”和键“”。 5.对于开平方运算，按键顺序为：“”“被开方数”“=”“S⇔D”。 6.对于开立方运算，按键顺序为：“shift”“”“被开方数”“=”。 7.注意按题目要求取精确值. 8.任何一个正数，利用计算器进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，结果是越来越接近1。 引导学生归纳本节的基本内容，让学生及时小结，教师展示知识脉络图并反思本节课教学设计的不足，及时做出后面教学的调整。 6.布置作业 教材第38页习题2.2T8-11。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第4课时　估算及用计算器开方 估算及用计算器开方 1．无理数的估算。 2．无理数的大小比较。 3．学习用计算器进行开方运算。 4. 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 1.突出重点、突破难点的策略 本节内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力，而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，进而学习起来难度就比较大。教学中一定要选取学生熟悉的问题情境引入，才能激发学生的学习兴趣。在探究估算方法的时候，教师要注重适时的引导，以免让学生无从下手．在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值，了解到“数学既来源于生活，又回归到生活为生活服务”。 2.课堂评价的一些思考 在教学中要多鼓励学生用自己的语言表达他们的想法，在估算的过程中多给予适当的引导和评价，让学生逐步把握估算的方法，找到解决问题的信心．作为教师，一定要尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化。 3.科学计算器的使用。通过本节课的学习，学生在掌握计算器使用方法的同时，既能简化开平方、开立方等开方计算,又能轻松解决一些实际问题的计算，丰富了开方运算的学习内容.由于计算器的程序性，在教学中主要采用了演示法，学生也乐于学习计算器的操作，之后通过适量的练习，学生基本上就可以掌握计算器的使用步骤以及技巧。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $