2.2 第2课时 平方根-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

该初中数学教案聚焦“平方根”核心知识点，通过复习算术平方根（如“9的算术平方根是3”），追问“还有其他数平方等于9吗”引出-3，搭建从算术平方根到平方根的学习支架，衔接前后知识。 亮点在于概念形成注重抽象能力（从具体数的平方逆运算抽象定义），对比辨析培养推理意识（列表梳理平方根与算术平方根的联系区别），例题练习分层设计提升符号表达，助力学生深化理解，教师使用时结构清晰易操作。

绿卡图书——走向成功的通行证 2 平方根与立方根 课题 第2课时 平方根 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P32-35 教学目标 1.了解平方根、开平方的概念，明确算术平方根与平方根的区别和联系。 2.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系。 3.经历平方根概念的形成过程，让学生不仅掌握概念，而且提高和巩固所学知识的应用能力。 教学重难点 重点：1.了解平方根、开平方的概念。 2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根。 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系。 难点：1.平方根与算术平方根的区别和联系。 2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方的运算。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 师生活动：提出一个上节课的重点问题让学生思考，并点名学生回答，然后再给出答案。 教师展示课件。 问题1：什么叫算术平方根？ 问题2：3的平方等于9，那么9的算术平方根就是 ； 的算术平方根就是______；展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长 米。 学生独立思考，回答问题。 追问：还有其他数的平方等于9，，49吗？ 答案预设：-3，，-7。 教师：上节课我们学习了算术平方根的概念、性质。知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a则x叫a的算术平方根，记作x=，而且a也是非负数，比如正数32=9，则3叫9的算术平方根，9叫3的平方，但是（-3）2=9，则-3叫9的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题。（教师板书：第2课时 平方根） 这一环节主要是复习旧知识和提出问题，由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系，让学生在几何图形中认识。熟悉它们的互化关系。并把上节课的思考题制作成课件超链接引入情景，增加上课效果，为新课做铺垫。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 思考活动1 结合刚才的练习，请思考并回答： 问题1：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？ 学生：3或3 师生活动：学生可能很快回答出这个数是3，教师提示学生注意本题中没有限制所求的数是正数。 问题2：3和-3有什么特征？ 学生：互为相反数。 问题3：平方等于的数有几个？平方等于1.64的数呢？（教材P28想一想） 学生：平方等于的数有和，平方等于0.64的数有0.8和-0.8，两组数也分别互为相反数。 教师展示课件。 教师：如果我们把3、、0.8分别叫作9，，0.64的平方根，你能类比算术平方根的概念给出平方根的概念吗？ （概念导入） 教师展示课件，导入概念并强调（加黑）： 一般地，如果一个数x的平方等于a，即那么这个数x叫作a的平方根（也叫作二次方根）。 例如，3和3是9的平方根，即9的平方根是3。 尝试·思考（教材P33） （1）平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？ （2）一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？ 师生活动：学生讨论、交流，重点讨论负数为什么没有平方根，师补充总结。 预设答案：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 【归纳总结】 1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即那么这个数x叫作a的平方根（也叫作二次方根）。 注意：一个正数有两个平方根，不要丢掉负的平方根。 2.一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。 【探究2】 思考活动2 问题：根据上面的概念，思考一下，正数a的平方根怎么表示？ 师生活动：简单思考交流后，学生一般能正确表达出来，教师进行总结概括，并引出下面的问题。 教师：正数a的平方根可表达式为：若x=a，那么x叫作a的平方根，记作，读作“正、负根号a”。 （可将下图简单板书） 追问：平方根和算术平方根有什么联系与区别？ 师生活动：在教师的引导下，帮助说出两者的区别与联系。 学生可能得到的结论：正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是。它们互为相反数。算术平方根是平方根的一部分等，学生得到的结论不一定全年，需要教师最后进行补充总结。 教师展示课件或简单板书： 平方根与算术平方根的联系与区别： 联 系 包含关系，平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种 只有非负数才有平方根和算术平方根 0的平方根是0，算术平方根也是0． 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根 表示法不同 平方根表示为，而算术平方根表示为 思考活动3 提问：已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算。反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？ 结论：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。平方与开平方互为逆运算。 【教材例题】 例3 求下列各数的平方根： （1）64；（2）；（3）0.000 4；（4）；（5）11。 师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，然后再小组交流探讨。教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成，最终教师展示答题过程。 解：（1）因为=64，所以64的平方根是，； （2）因为，所以的平方根是，； （3）因为， 所以的平方根是，即； （4）因为，所以，； （5）。 例4 求下列各式的值 （1）（2）-； （3）. 师生活动：学生思考、交流不同思路，教师引导学生从算术平方根的定义解释。 解：（1）=； （2）-=-； （3）=8。 明确：。 让学生感受平方等于9，，0.64的数有两个，进而对平方根有一定的感性认识，为归纳平方根的概念作铺垫。在此基础上，引导学生用文字语言仿照算术平方根的概念得到平方根的概念，使学生的学习形成正迁移。 强化对平方根概念的理解。 辨析概念“平方根”与“算术平方根”的区别与联系，使之与上一节课紧密联系。平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点，也是学生经常容易出错的地方。对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握。 要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达，能熟练地求出一个数的平方根，然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数。通过对例题的详解，学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言。 目的是明确这个结论，通过具体例子的归纳，得出一般结论，既培养学生的归纳概括能力，也可以进一步理解算术平方根的定义。 3.学以致用，应用新知 考点 平方根 例 如下列说法不正确的是（ ） A.0的平方根是0 B.的平方根是 C.非负数的平方根是互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 答案：B 变式训练 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） A.a+1 B. C.+1 D. 答案：D 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯。 4.随堂训练，巩固新知 1.下列说法正确的个数是（ ） ① ②25的平方根是5； ③的平方根是； ④平方根等于0的数是0； ⑤64的平方根是8． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 2.关于平方根，下列说法正确的是( ) A．任何一个数都有两个平方根，并且它们互为相反数. B．负数没有平方根. C．任何一个数只有一个算术平方根. D．以上都不对. 答案：B 3.判断下列说法是否正确，并说明理由. (1)49的平方根是7； (2)2是4的平方根； (3)-5是25的平方根； (4)64的平方根是±8； (5)-16的平方根是-4。 答案：(1)×，一个正数有两个平方根；(2)√；(3)√；(4)√；(5)×，负数没有平方根. 4.若单项式2xmy3与3xym＋n是同类项，则的值为 。 答案：2 5.求下列各数的算术平方根和平方根。 （1）(-11)2 （2） 解：（1）(-11)2 =121，它的算术平方根是11，平方根是±11； （2）=4，它的算术平方根是2，平方根是±2。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？并引导学生围绕下列问题进行反思总结： （1）如何正确理解“±”？ （2）如何求平方根？ （3）平方根与算术平方根的区别与联系？ （4）平方根有哪些性质。 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯。 6.布置作业 课本P34随堂练习中的T1—3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 平方根 平方根 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 1.注重概念的形成过程 概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的。概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很必要的。所以在学习平方根的概念时，对正数有两个平方根学生不太容易接受，往往丢掉负的平方根，因为这与他们以前的经验不符。对此，在平方根的引入时，可多提一些具体的问题．如“9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9。还有其他的数，它的平方也是9吗？”。旨在引起学生的思考，让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念。再让学生去讨论一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？引导学生更深刻地理解平方根的概念，然后通过具体的求平方根的练习，巩固新学的概念。 2.课程设计之中多处运用类比的方法，使学生清楚新旧知识的区别和联系 类比概念“平方根”和“算术平方根”的区别和联系，“平方”和“开平方”运算。 3.根据学生实际，灵活使用教材 教材上只安排了一道例题和几个“想一想”，为了让学生对新知巩固，增加了部分练习题，围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习．当然，选题要有层次，有梯度．教师在进行教学时可以根据学生的实际情况做适当的取舍。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $