2.2 第1课时 算术平方根-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

绿卡图书——走向成功的通行证 2 平方根与立方根 课题 第1课时 算术平方根 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P31-32 教学目标 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。 2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根。 3.了解算术平方根的性质。 4.在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识。 5.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲。 教学重难点 重点：理解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。 难点：会求非负数的算术平方根，了解算术平方根具有双重非负性。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 师生活动：教师提出问题，学生思考回答，解决下列问题。 教师展示课件。（教材P31） 教师：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理， 结合下图完成填空： ， ， ， 。 提问：x，y，z，w哪些是有理数，哪些是无理数？ 结果预测：学生能表示，，，；，，是无理数，z是有理数。 教师：上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数。在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题。（教师板书：第1课时 算术平方根） 带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性，从平方入手，为学生下面学习算术平方根找到了突破口，让他们对算术平方根的求法与平方的计算这种互逆的关系形成了初步认识。 2.实践探究，学习新知 【探究】 思考1：上面问题中，你能表示一下x，y，z，w的值吗？ 结果预测：能求得，学生可以估算出，是1到2之间的数，是2到3之间的数，但无法表示，，，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方。 教师活动：在上面思考的基础上，明晰概念： 一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根，记为“”，读作“根号”。特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即。 教师举例：3²=9，则3是9的算术平方根。x²=3(x＞0)，则x是3的算术平方根。 追问：如何表示x呢？ 答案预设：。 （学生根据定义猜测，教师及时予以肯定） 提问：怎么用符号来表示一个正数的算术平方根呢？ 师生活动：学生通过追问，已经对算术平方根的表示，有了初步认识进和理解，通过学生的回答，教师予以纠正及规范，并板书下图。 教师：回顾上面思考，现在能表示x，y，z，w的值？ 结果预测：，，，那么，，。 思考2：一个正数有几个算术平方根？负数有算术平方根吗？0有算术平方根吗？ 学生活动：先独立思考，之后小组讨论。 结果预测：一个正数的算术平方根只有一个，且一定为正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根，即当有意义时，a一定表示一个非负数。 教师总结： 算术平方根具有双重非负性。也就是说，非负数的“算术平方根”是非负数.负数不存在算术平方根，即当a<0时，无意义 【归纳总结】 算数平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫作的算术平方根，记为“”，读作“根号”。 注意：（1）0的算术平方根是0，即； （2）算数平方根具有双重非负性：为非负数；被开方数a为非负数。 【教材例题】 例1 求下列各数的算术平方根： （1）900；（2）1；（3）；（4）14。 学生活动：思考问题，尝试独立完成。 解：（1）因为302=900，所以900的算术平方根是30，即 ； （2）因为，所以1的算术平方根是1，即； （3）因为，所以的算术平方根为 ，即； （4）14的算术平方根是。 例2 由静止自由下落的物体下落的距离s（单位：m）与下落时间t（单位：s）的关系为s=4.9t2。有一个铁球从19.6 m高的建筑物上由静止自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将s=19.6代入公式 s=4.9t2，得t2=4， 所以t==2。 因此，铁球到达地面需要2 s。 注意：结果是求4的算术平方根。 思考1的目的是让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性。 引入概念让学生了解什么是算术平方根，初步了解平方运算和求正数的算术平方根是互逆的。 举例说明，通过追问引出算术平方根的符号表示。在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出算术平方根，并让学生明白平方和算术平方根之间的互逆关系，为求算术平方根作铺垫。 思考2再一次深入理解算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根。 进一步熟悉求一个正数的算术平方根的过程，体会利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，明确有的正数的算术平方根开方开得尽，有的正数的算术平方根只能用根号表示。 3.学以致用，应用新知 考点 算数平方根的概念 例 下列说法正确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.±4是16的算术平方根 C.-6是（-6）2的算术平方根 D.0.01是0.1的算术平方根 答案：B 变式训练 计算： （1）； （2）； （3）。 解：（1）。 （2）。 （3）。 通过例题讲解，巩固理解算术平方根的概念和性质，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活进行算术平方根的相关计算。 4.随堂训练，巩固新知 1.判断： （1）5是25的算术平方根（ ）； （2）6是36的算术平方根（ ）； （3）0的算术平方根是0（ ）； （4）0.01是0.1的算术平方根（ ）； （5）5是25的算术平方根（ ）。 答案：√；×；√；×；×。 2.9的算术平方根是（ ） A.3 B. 3 C.81 D. 81 答案：A 3. 的算术平方根是( ) A.2 B.2 C. D. 答案：C 4.求下列各数的算术平方根。 (1)100 (2) (3)0.0001 解：(1)∵10²=100，∴100的算术平方根是10，即=10. (2)∵ ， ∴的算术平方根是，即=. (3)∵0.01²=0.0001， ∴ 0.0001的算术平方根是0.01， 即。 5.一个小球从空中落到地面所用的时间t（秒）和小球的起始高度h（米）之间有关系式：，若小球的起始高度为80米，求小球落地所用时间。 解：因为h=80米，所以（秒）。 所以小球落地所用时间是4秒。 练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习作铺垫的。通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容： （1）算术平方根的概念，式子中的双重非负性：一是a≥0，二是 （2）算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。 （3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根。 依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质。 6.布置作业 课本P32随堂练习中的T1-3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第1课时 算术平方根 算术平方根 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 1.细讲概念、强化训练 要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的。概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化。 “讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根”的“正数”，即被开方数是正的，由平方的意义可知也是正数，因此算术平方根也必须是正的。当然零的算术平方根是零。 “加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示。 “逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用。 2.发展思维、适度拓展 在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对的双重非负性的知识进行适当的拓展。 反思，更进一步提升。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $