2.1 第1课时 认识非有理数-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

绿卡图书——走向成功的通行证 1 认识实数 课题 第1课时 认识非有理数 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P25-26 教学目标 1.通过拼图活动，让学生感受非有理数产生的实际背景和引入的必要性。 2.能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。 3.通过实践活动，体会到非有理数在现实生活中大量存在。 4.感受非有理数的广泛性，提高学生学习的自主性。 5.借助计算器探索非有理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想。 教学重难点 重点：通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在。 难点：能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。 教学准备 多媒体课件、正方形纸片、直尺、剪刀。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案。 教师：同学们还记得什么是有理数吗? 学生：整数和分数统称为有理数。 教师追问：那整数分为哪些数？分数又为哪些数呢？ 学生：整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数。 继续追问：有理数是如何分类的呢？ 学生回答，教师可适当板书或展示课件。 教师：除了有理数外还有没有其他的数呢？ 学生思考。 教师：这节课我们就一起走进非有理数的世界。（教师板书：第1课时 认识非有理数） 温故知新，作必要的知识回顾，便于后续问题的说理，为本节课要学习的内容作准备。 2.实践探究，学习新知 【探究】 活动1 教师展示课件。 （让学生拿出提前准备好的正方形） 教师：下面是两个边长为1的小正方形，请同学们动手剪一剪，然后将它们拼成一个大的正方形。 学生活动：分组操作，探索不同剪法和拼法。 答案预设： 拼法一： 拼法二： 拼法三： 可能还会出现其他不同的结果，教师及时进行点评。 活动2 教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案。 问题1：设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ 答案预设： 一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1， 则S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2， ∴S大正方形=2。 根据正方形面积公式：S大正方形=a2， ∴a2=2。 问题2：a可能是整数吗？说说你的理由。 （学生一般回答a不是整数，理由可以用自己的话回答，合理即可。学生讨论完成后，教师可以引导总结，规范语言） 答案预设： （1）从“数”的角度： ∵a2=2，而12=1，22=4，32=9··· ∴12<a2<22，1<a<2， ∴a不是整数。 （2）从“形”的角度： 由上面的拼图过程可知，大正方形的边长等于边长为1的小正方形的对角线的长。 在Rt△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a， 根据三角形的三边关系，斜边AB满足： AC-BC<a<AC+BC， 即0<a<2，且a≠1，∴a不是整数。 问题3：a可能是分数吗？并与同伴进行交流。 答案预设： ，，。 从上面的式子中发现：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，而a2=2是整数，∴a不是分数。 【归纳总结】 满足等式a2=2的a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。 【探究2】 尝试·思考（教材P25） 教师展示课件。 师生活动：教师提出问题，学生思考，按照上面探究的方法，解答并判断给出的数是否为有理数。 问题1：如上图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ 答案预设： 设直角三角形的斜边长为b，根据勾股定理，得b2=12+22=5，根据正方形面积公式得：S正方形=b2，∴以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5. 问题2：设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ 答案预设： ∵正方形的边长为b，根据正方形面积公式，得S正方形=b2，而S正方形=5，得出b2=5，∴b满足b2=5。 问题3：b是有理数吗？ 答案预设： ∵b2=5，4<b2<9，∴2<b<3，∴b不是整数，∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数，而b2=5是整数，∴b不是分数。 结论：b既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数。 【归纳总结】 a2=2 b2=5 数a，b确实存在，但都不是有理数。 思考·交流 教师活动： 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？ （1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。 （2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？......借助计算器进行探索。 （3）小明将他的探索及过程整理如下： 还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ （4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。 结论：事实上，a=1.41421356...，b=2.23606797...，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。 学生动手操作，以小组探究的形式，通过拼图活动，得到正方形，增强学生动手能力和解决问题的能力。 教师通过追问的方式,引导学生进行一些理性的思考，让学生自然感受到除了有理数外还有其他数的存在。 让学生体会如何从数和形的角度思考问题。从不同角度感受数a的特点。 通过归纳数a的特点，培养归纳概括能力。 选取客观存在的“无理数”实例，让学生进一步深刻感受除有理数外还有别的数存在,为“新数”（无理数）的学习奠定了基础。 3.学以致用，应用新知 考点 非有理数 例 如图，等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ 解：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴D是BC的中点，且BC=2，∴BD=CD=1。 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 h2=22-12=4-1=3。 ∵1<h2<4，∴1<h<2，∴h不是整数。 ∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数， 而h2=3是整数，∴h不是分数。 ∴h不可能是整数，也不可能是分数。 变式训练 在下图所示的正方形网格中，画出符合要求的线段。 （1）长度是有理数的线段； （2）长度不是有理数的线段。 答案：（答案不唯一） 通过例题的探究让学生进一步感受除有理数外还有别的数存在，感受无理数的广泛性。 4.随堂训练，巩固新知 1.已知a2=17，则a是 （ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 答案：D 2.以下各正方形的边长不是有理数的是 ( ) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 答案：C 3.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段。 答案：（答案不唯一） 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 1.通过本课学习，请问你有什么收获与体会？ 2.客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？ 3.除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？ （教师以问题呈现的方式引导学生自己进行知识梳理） 让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰，既巩固了有关知识，又培养了学生良好的学习习惯。 6.布置作业 课本P26随堂练习的T1。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。 板书设计 第1课时 认识非有理数 认识非有理数 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 1.生活是数学的源泉，兴趣是学习的动力 大量事实都证明一点，与生活贴得越近的东西最容易引起学习者的浓厚兴趣，才能激发学习者的学习积极性，学习才可能是主动的。本节课中教师首先用拼图游戏引发学生学习的欲望，把课程内容通过学生的生活经验呈现出来，然后进行大胆置疑，生活中的数并不都是有理数，那它们究竟是什么数呢？从而引发了学生的好奇心，为获取新知，创设了积极的氛围。在教学中，不要盲目地抢时间，让学生能够充分地思考与操作。 2.化抽象为具体 常言道：“数学是锻炼思维的体操”，数学教师应通过一系列数学活动开启学生的思维，因此对“新数”的学习不能仅仅停留在感性认识，还应要求学生充分理解，并能用恰当的数学语言进行解释。正是基于这个原因，在教学过程中，刻意安排了一些环节，加深对“新数”的理解，充分感受“新数”的客观存在，让学生觉得“新数”并不抽象。 3.强化知识间的联系，注意纠错 既然称之为“新数”，那它当然不是有理数，亦既不是整数，也不是分数，所以“新数”不可以用分数来表示，这为进一步学习“新数”，即第2课时的教学埋下了伏笔，在教学中，要着重强调这一点。 反思，更进一步提升。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $