第1章 解决问题策略：反思-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

该初中数学教案聚焦立体图形表面两点间最短路径问题，通过“蚂蚁爬圆柱”情境导入，引导学生将立体图形展开为平面图形，结合勾股定理与“两点之间线段最短”原理，搭建从立体到平面的转化学习支架，衔接平面几何与空间观念。 教案以学生活动为核心，通过小组讨论、动手操作圆柱模型探究路线，培养几何直观与空间观念，反思环节引导学生分析不同展开方式与条件变化，强化推理意识，生活实例（蜘蛛捕苍蝇）与变式训练（长方体展开）提升模型意识和应用意识，助力学生掌握转化方法，提升教师教学效率。

绿卡图书——走向成功的通行证 问题解决策略：反思 课题 问题解决策略：反思 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P16-18 教学目标 1.掌握将立体图形展开成平面图形的方法，能正确找出两点间的最短路径。 2．熟练运用勾股定理计算立体图形表面两点间的最短路径长度。 教学重难点 重点：熟练运用勾股定理计算立体图形表面两点间的最短路径长度。 难点：根据立体图形的特征，选择合适的展开方式，准确找出最短路径。 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 教师展示课件。 如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长等于 18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （1）在你自己做的圆柱上，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条路线最短？ 学生活动：学生讨论，交流，寻找解决问题的途径。 合作交流：充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。 学生可能汇总的方案： 问题求解： 学生很容易算出：路线1中A→B的路线长为AC+d，路线2中A→B的路线长为。所以路线1的路线长比路线2的路线长要短。 学生在路线3和路线4的比较中可能出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AC剪开圆柱得到侧面展开图， 路线3中A→B是折线，路线4是线段，根据“两点之间，线段最短”可判断路线4较短，最后通过计算比较路线1和路线4即可。 结论展示： 路线1中A→B的路线长为AC+d>AB； 路线2中A→B的路线长为>AB； 路线3中A→B的路线长为AO+OB>AB； 路线4中A→B的路线长为AB。 得出结论路线4最短。 教师追问：若圆柱的高等于12cm，底面圆的周长等于18cm，怎么计算最短路径的长度？让我们一起走进本节课的内容——勾股定理的应用。（教师板书：问题解决策略：反思） 学生回答：利用勾股定理求解。 教师展示课件。 解：由题意，得AC=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=122+92=225，即AB=15（cm）。即蚂蚁从A到B的最短路线是15cm。 通过复习和设问引入新课，激发学生学习的兴趣，为后续学习起到引领和铺垫作用。 让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法。 通过对例题的探索，渗透建模思想．通过探求过程，让学生学会分析立体图形中隐藏的几何模型(直角三角形)，能够将立体图形转化为平面图形，体会勾股定理在生活中无处不在。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师展示课件。 问题展示： 师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法。 解决问题之后，对解决问题的过程、方法及问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，丰富解决问题的经验，提高解决问题的能力。 问题 如图，一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底 面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的 最短路程是多少? 教师活动： （1）在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？ （2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。 学生活动： 分小组讨论，然后小组内选出代表回答问题。 教师活动： 提出以下问题，组织学生进行讨论，并选择两名同学进行回答。 （1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同? （2）如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？ 学生活动 认真思考，分组讨论，有不明白的地方抓紧趁老师巡视的时候，请教老师。最后小组得出结论。 实施计划 （1）如图，将圆柱剪开，确定侧面展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。 （2）在图中标出点B的位置。 （3）在图中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度。 回顾反思 （1）在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。 （2）这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如，改变圆柱的形状，改变点A、点B的位置，改为沿着圆柱表面爬行......这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流。 （3）解决这个问题的经验，还可以应用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？ （4）生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。 （5）对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。 解决问题之后的反思，一般可以关注以下几个方面：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样的解决问题的方法；思考方法的本质，促进方法的运用；改变问题的条件，研究更多的问题。 3.学以致用，应用新知 考点 问题解决策略：反思 例　如图，圆柱形木桩底面周长是30 cm，高为25 cm，在木桩底部S处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的木桩另一面距顶部5 cm的点F处有一只苍蝇，求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度。 解：将圆柱侧面展开如图所示。 。 ∴SF＝25 cm。 答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度为25 cm。 变式训练 如图，已知一个长方体的长、宽、高分别为6，5，3，在长方体的底面上点A处有一只蚂蚁，它想吃长方体上与点A相对的点B处的食物，则需要沿长方体表面爬行的最短路程是多少？ 解：①当长作为直角三角形的一条直角边，宽与高的和作为另一条直角边时，路线如图1所示。 在Rt△ABG中，AG2＋BG2＝AB2， ∵AG＝5＋3＝8，BG＝AC＝6， ∴AB2＝82＋62＝100.∴AB＝10； ②当宽作为直角三角形的一条直角边，长与高的和作为另一条直角边时，路线如图2所示。 在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2， ∵AE＝6＋3＝9，BE＝AH＝5， ∴AB2＝52＋92＝106； ③当高作为直角三角形的一条直角边，宽与长的和作为另一条直角边时，路线如图3所示。 在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2， ∵AD＝6＋5＝11，BD＝AF＝3， ∴AB＝32＋112＝130。 ∵100＜106＜130， ∴需爬行的最短路程是10。 本题旨在对“蚂蚁怎样走最近”进行拓展，从圆柱侧面到棱柱侧面，都是将空间问题平面化。 通过圆柱和长方体中的最短路径问题的练习，加深了学生对立体图形中隐藏的几何模型(直角三角形)以及将立体图形转化为平面图形的理解，既培养了学生的识图能力，又为后面的学习奠定了坚实的基础。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，已知圆柱底面的周长为12 cm，圆柱的高为8 cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ( ) A．10 cm B．20 cm C．24 cm D．100 cm 答案：B 2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。 解：利用展开图中两点之间线段最短可知，AB2＝[(3＋2)×3]2＋202＝625＝252，所以蚂蚁走的最近距离为25。 3.如图，圆柱形玻璃杯的高为13 cm，底面周长为10 cm，在杯内壁离杯底3 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2 cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程。（杯壁厚度不计） 解：如图， 将杯子侧面展开，作点B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程．由题意，得DE＝B′F＝BF＝2 cm，AE＝13－3＝10(cm)， ∴DA＝AE＋DE＝12 cm。 ∵底面周长为10 cm，∴B′D＝×10＝5(cm)。 ∴在Rt△AB′D中，B′A2＝B′D2＋DA2＝52＋122＝169。∴B′A＝13 cm。 ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为13 cm。 通过课堂检测，及时获知学生对所学方法策略的掌握情况，并最大限度地调动学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高。 5.课堂小结，自我完善 师生相互交流总结： 1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解。 2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 本课时内容量略多，教师可根据实际情况适当删减。 鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史。 6.布置作业 课本P17-18问题回答。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高做题效率。 板书设计 ☆问题解决策略：反思 问题解决策略：反思 1．圆柱体上的两点间的最短距离。 2．长方体(或正方体)面上的两点间的最短距离。 3．生活中两点间的最短距离。 4．总结：利用勾股定理解决立体图形的最短路程问题。 投影区 学生活动区 提纲挈领，重点突出。 教后反思 在教学过程中，关注学生的空间想象能力和转化思想的培养，对于学生在展开立体图形和运用勾股定理计算过程中遇到的困难，及时给予指导．通过小组合作探究和练习，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力．同时，反思教学方法和教学环节的合理性，以便在今后的教学中进行改进和优化。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $