1.1 第2课时 验证并应用勾股定理-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

该教案聚焦勾股定理的验证与应用，通过回顾上节课测量、数格子发现的定理，提问“一般直角三角形是否成立”引出验证需求，搭建从特殊到一般的认知支架，衔接探索与验证环节。 特色在于实践与文化融合，学生用四个全等直角三角形拼图（如弦图），通过面积割补推导定理，培养几何直观与推理意识。历史环节分享赵爽弦图、总统证法等，渗透数学文化，提升应用意识。丰富实例与分层练习，助学生深化理解，教师易操作。

绿卡图书——走向成功的通行证 1 探索勾股定理 课题 第2课时 验证并应用勾股定理 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P4-7 教学目标 1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题。 2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。 3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识。 教学重难点 用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题。 教学准备 教师：多媒体课件 学生：四个全等的直角三角形纸板，收集关于勾股定理的资料 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 教师展示课件： 教师：在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图，分别以直角三角形的三条边（a＜b）为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何说明的？与同伴进行交流。（教材P4） 学生活动：思考，交流。 教师：对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理。（教师板书课题： 第2课时 验证并应用勾股定理） 通过这一环节，向学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证，培养学生严谨的科学态度。当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 活动1：为了计算上图中大正方形的面积，引导学生进行适当地割补活动。 教师导入，小组拼图。 教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形。 学生动手环节：请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论。 学生通过自主探究，小组讨论可能得到如图1、图2的两个图形。 活动2：层层设问，完成验证。 教师提问：（1）如图1，你能表示大正方形的面积吗？有不同的方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）； （2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？ （在学生回答的基础上板书，并得到） 活动3：学生自主探究，利用图2验证勾股定理。 教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？ （学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证） 【教材例题】 例 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驰。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 解：根据题意，可以画出上图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角。 由勾股定理，可得AB2=BC2+AC2， 也就是5002=BC2+4002。 所以BC=300m。 蓝方汽车10 s行驶了300 m，那么它平均每秒行驶 300÷10=30（m）。 因此，蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s。 【探究2】 教师：如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“最长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗？ 教师展示课件。 问题：观察图片，判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2。（教材P6思考·交流） 师生活动：教师出示问题，让学生尝试利用上面的方法借助方格纸进行推导，教师引导。 学生经过推导后可请一位同学展示自己的结论。 设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，又培养学生的动手、创新能力。 在活动2中，学生在教师的层层设问的引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.然后在活动3中让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理，目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了难点。 通过解决例题： （1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决。 学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a，b，c不满足a2+b2=c2。通过这个结论，学生将对直角三角形三边的关系有进一步的认识，并为后续直角三角形的判别打下基础。 3.追溯历史，激发情感 活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍。 国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图。2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！ 国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机。 约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的。按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识。 趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法。 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……a a b b c c 于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 教材链接：P6阅读·思考。 这个环节完全由学生来组织开展，教师提前布置任务，让同学收集勾股定理的资料。介绍与勾股定理有关的历史，激发学生的爱国热情；学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；通过让学生搜集材料，展示材料，既可以让学生得到充分的锻炼，同时也可以活跃课堂气氛。 4.学以致用，应用新知 考点1 勾股定理的验证 例 1876年，美国总统伽菲尔德利用下图验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，验证中用到的面积相等关系是（ ） A.S△EDA=S△CEB B.S△EDA+S△CEB=S△CDE C.S四边形AECD=S 四边形DEBC D.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD 答案：D 变式训练 如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形。 （1）画出拼成的这个图形的示意图； （2）说明勾股定理的正确性。 解：（1）如图， （2）证明如下： 因为大正方形的面积可以表示为(a+b)2， 也可以表示为c2+4×ab， 所以(a+b)2=c2+4×ab， a2+b2+2ab=c2+2ab， 所以a2+b2=c2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 考点2 勾股定理的应用 例 如图，甲渔船以8海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，它们同时出发，一小时后分别到达A，B两地，此时甲、乙两渔船相距（ ） A.8海里 B.10海里 C.12海里 D.13海里 答案：B 变式训练 由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求甲树原来的高度。 解：如图所示， 过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D， 由题意，可得BC=13 m，DC=12 m， 在Rt△BCD中，BD2=132-122=52， 所以BD=5 m，则AD=9 m。 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=92+122=152， 所以AC=15 m，故AC+AB=15+4=19（m）。 所以甲树原来的高度是19米。 通过例题讲解，巩固学生对勾股定理的验证的理解，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过变式训练巩固所学知识，灵活运用勾股定理的面积验证解决问题。 运用勾股定理解决数学问题，提高学生分析问题的能力，这种数学建模能力的培养，有利于学生规范解题步骤，提高学生的数学推理和表达能力。 通过实际问题的解答，进一步培养学生应用数学的意识，更好的促进学生对本节课重难点的理解和突破，帮助学生不断完善认知结构。 5.随堂训练，巩固新知 1.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ） A.140米 B.120米 C.100米 D.90米 答案：C 2.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ） A.10 B.13 C.15 D.26 答案：B 3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端到地面的距离2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，其顶端距离地面1.5米，那么小巷的宽度为 米。 答案：2.7 4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图。 观察图形，求图中小正方形的面积。 解法（1）：小正方形的面积= ； 解法（2）：小正方形的面积= ； 由解法（1）（2），可以得到a，b，c之间的关系式为 。 答案：（b-a）2；c2-2ab；a2+b2=c2 5.如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25 m，结果他在水中实际划了65 m，求该河流的宽度。 解：根据题中数据，由勾股定理可得， AB2=AC2-BC2=652-252=3 600， 则AB=60 m。 答：该河流的宽度是60米。 6.两棵树之间的距离为 8 m，两棵树的高度分别是 8 m,2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？ 解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m， 两棵树之间的距离BD＝8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2， 即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m． 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 6.课堂小结，自我完善 教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获。 教师适当引导，鼓励学生交流，总结。 归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；教师了解学生对本节课的感受并进行总结；培养学生的归纳概括能力。 7.布置作业 课本P8习题1.1中的T1、T2、T3、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 第2课时 验证并应用勾股定理 验证并应用勾股定理 勾股定理 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 勾股定理作为“千古第一定理”，其魅力在于其历史价值和应用价值。因此上课过程充分挖掘其内涵。特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力。勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，特意设计了拼图活动，先让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，师生共同探究得到方法1，最后由学生独立探究得到方法2。这样学生较容易地突破了本节课的难点。 由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生畅谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，对勾股定理历史的感悟以及对勾股定理应用的认识等。 反思，更进一步提升。 1 学科网（北京）股份有限公司 $