1.1 第1课时 认识勾股定理-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步教案(北师大版2024)

该教案核心为探索勾股定理，课堂导入以2002年北京数学家大会会标为情境，引导学生观察图形组成，猜想直角三角形三边关系，搭建从现实情境到数学问题的学习支架。 该资料亮点在于注重“观察—猜想—归纳—验证”的探究过程，通过数格子、割补法求面积培养几何直观与抽象能力，结合走捷径等生活实例体现应用意识，渗透数学文化，助力学生构建知识体系，提升教师教学效率。

绿卡图书——走向成功的通行证 1 探索勾股定理 课题 第1课时 认识勾股定理 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P2-4 教学目标 1.用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 2.让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。 3.进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 4.在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国悠久文化历史的热情，激励学生发奋学习。 教学重难点 重点：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图探索勾股定理的方法。 难点：理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系，并会进行简单的计算。 教学准备 多媒体课件、A4纸（或方格纸）、直尺 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 教师展示课件： 2002年第24届世界数学家大会在我国北京召开，图片显示的是本届世界数学家大会的会标： 问题1：观察会标，这个图案是由哪些基本图形组成？ 学生：这个图形由四个全等的直角三角形组成了一个大正方形，中间还有一个小正方形。大正方形的边长是直角三角形的斜边，小正方形的边长是两直角边的差。 问题2：直角三角形的三边之间满足什么样的数量关系？ 这节课我们就来探索直角三角形边长之间的奥秘。（教师板书课题：第1课时 探索勾股定理） 学生活动：观察展示的图片。进行联想、猜测。 教师可先不做评价总结，让学生带着这些猜测进行下面的学习，进行验证。 教师通过学生感兴趣的图片引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透爱国主义教育，同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 思考 交流 （1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长度的平方之间有怎样的关系。与同伴交流。 教师展示课件，追问： （2）如图1-2，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗?如果直角三角形如图1-3所示，结果又如何？你是如何计算的？与同伴交流。 （一个小方格代表一个单位面积） 学生可能活动：借助方格纸数正方形的面积进行验证。 可能存在的问题：正方形C的面积不能通过直接数得到，教师可通过课件展示，进行引导。学生可能用到的方法不同，教师给予肯定。 可能用到的求正方形C的面积的不同方法： 发现结论：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。 教师追问：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ 课件展示，进行验证。 观察： 填表： A的面积 （单位面积） B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积） 左图 右图 分析：分析表中数据，你发现了什么？ （3）如果直角三角形的两条直角边的长度分别为1.6度和2.4，那么上面所猜想的数量关系还成立吗?说说你的理由。（与同伴交流） 通过探索，学生发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 教师总结：通过上面的活动，同学们一定已经发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。因此，我国称上面的结论为勾股定理。 【归纳总结】 学生动手操作，引导学生在动手操作中对勾股定理产生感性认识。 教学中为了便于学生的计算、发现，可以要求学生在方格纸中绘制直角边长为整数的直角三角形。 学生动手操作后,小组之间交流做一做（1）中的问题，基于测量值的计算肯定是有一定误差的，因而学生可能还难以确认所猜想的平方关系，必然产生进一步验证的必要性。 问题（3）旨在让学生感受到勾股定理的一般性。这里两个直角边长1.6，2.4不是整数，对学生有一定的挑战性，同样应给学生一定的思考空间。如果学生确有困难，可以引导学生利用更细密的方格纸（如可以将方格纸的单位长度加细为原来的）进行验证，也可以利用上面的拼接或割补的方法。 3.学以致用，应用新知 考点 认识勾股定理 例1 若一个直角三角形的两条直角边长都为1，则它的斜边长的平方是（ ） A. B.1 C.2 D.4 答案：C 变式训练 【思想方法—分类讨论】若一个直角三角形的两条边长分别为3，4，则它的第三边长的平方是 。 答案：25或7 例2 如图所示，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=16，则S3= 。 答案：20 例2图 变式图 变式训练 如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD= 90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长向外作四个正方形，面积分别为 S1，S2，S3，S4.若S1=48，S2+S3=135，则S4=（ ） A.183 B. 87 C. 119 D. 81 答案：B 考点 勾股定理的简单应用 例3 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草.他们少走的路长为（ ） A.2 m B.3 m C.3.5 m D.4 m 答案：D 变式训练 如图，小明将一张长为 20 cm，宽为 15 cm 的长方形纸片（AE>DE）剪去了一角，量得 AB=3 cm，CD=4 cm，则BC的长为 cm. 答案：20 通过例题讲解，巩固对勾股定理及面积验证的理解，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过对勾股定理的简单应用，增强理解的同时，可以让学生理解勾股定理在生活中的实际应用，切实体会数学与生活的联系，也可以为第三节的学习做准备。 4.随堂训练，巩固新知 1.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2，四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 2.如图，点C是线段AB上的一点分别以AC，BC为边向两侧作正方形。设AB=6，两个正方形的面积和S1+S2=20，则图中△BCD的面积为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案：A 3.求下图中字母所代表的正方形面积。 解：SA=16+9=25；SB=169-25=144。 4.求出下列直角三角形中未知边的长度。 解：x2=152+202=625，x=25； y2=132-52=144，y=12。 5.如图，一高为5米的竹竿，靠在高为4米的墙上，这时竹竿底部与墙的距离是多少? 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， 得BC2=AB2-AC2=52-42=9， 所以BC=3。 所以梯脚与墙的距离是3米。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。 6.布置作业 课本P3随堂练习中的T1—T2。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高和做题效率。 板书设计 第1课时 认识勾股定理 认识勾股定理 勾股定理的内容 投影区 学生活动区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理。 依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点。 在大正方形C的面积的求法中，学生有很多的办法，讨论时要求学生在小组进行交流，再请学生做小老师到讲台上讲解，以培养学生的语言表达能力，教师对学生的讲解进行点评，并给以鼓励，增强了学生学好数学的信心，体验成功的快乐。课堂教学中,要注意调动学生的积极性。让学生满怀激情地投人到学习中，有助于提高课堂效率。 勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设间，从面积（数）入手，数形结合，师生共同突破本节课的难点。 反思，更进一步提升。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $