4.4 第3课时 借助两个一次函数的图象解决问题-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(北师大版2024)

该初中数学课件聚焦两个一次函数图象的应用，以“小聪和小慧景区游览”行程问题情境导入，通过提问引导学生分析时间与路程的变量关系，连接一次函数概念与图象绘制，搭建从知识理解到应用的学习支架。 其特色在于以生活实例驱动教学，如租车方案优化、景区追及问题等，培养学生抽象能力、几何直观与模型意识。通过图象与解析法结合分析交点、速度等，随堂小测涵盖销售、行程等多场景，助力学生提升用数学解决实际问题的能力，也为教师提供丰富教学素材。

4 一次函数的图象 第3课时 借助两个一次函数的图象解决问题 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.掌握两个一次函数图象的应用。（重点） 2.能利用函数图象解决数学问题。（难点） 情境导入 小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面，上午7：00小聪乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路去飞瀑，车速为36 km/h，小慧也于上午7：00从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑，车速为26 km/h，如图。 10 km 10 km 25 km （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？ （2）当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有多少千米？ 【分析】（1）两个人是否同时出发？ （3）这个问题中的两个变量是什么？它们涉及的是什么函数关系？ （2）在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？ （4）如果用s表示路程，t表示时间，那么他们的函数解析式一样吗？ （5）当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？ 【思考】你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离古刹的路程分别为s1，s2，由题意得s1=36t，s2=26t+10。 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，如图，观察图象，得 36 5 10 20 30 40 50 60 15 25 35 45 55 0.25 O 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 s1=36t s2=26t+10 t（时） s（km） （1）两条直线 s1=36t， s2=26t+10的交点坐标为 （1，36）。 这说明当小聪追上小慧时，s1=s2=36 km，即离古刹36 km，已超过35 km，也就是说，他们已经过了草甸。 （2）当小聪到达飞瀑，即s1=45 km 时，此s2=42.5 km，所以小慧离飞瀑还有45－42.5=2.5（km）。 【思考】用解析法如何求得这两个问题的结果？ 知识讲解 知识点 从图表中获取信息的应用 例 公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台，租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台，租车费用为280元。 315 (1)设租用甲种货车x辆(x为非负整数)，试填写表格。 【表一】 租用甲种货车的数量/辆 3 7 x 租用的甲种货车最多运送机器的数量/台 135     租用的乙种货车最多运送机器的数量/台 150     45x 30 －30x＋240 【表二】 租用甲种货车的数量/辆 3 7 x 租用甲种货车的费用/元   2 800   租用乙种货车的费用/元   280   1 200 400x 1 400 －280x＋2 240 315 （1）设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写表格。 【表一】 租用甲种货车的数量/辆 3 7 x 租用的甲种货车最多运送机器的数量/台 135     租用的乙种货车最多运送机器的数量/台 150     45x 30 －30x＋240 又因为45x＋(－30x＋240)≥330，所以x≥6。 因为120＞0，所以在函数y＝120x＋2 240中，y随x的增大而增大。 所以当x＝6时，y取得最小值，即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆。 解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆。理由：当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，则两种货车的总费用y＝400x＋(－280x＋2 240)＝120x＋2 240。 （2）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由。 例　　左图是某景区游览线路示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览线路追赶乙。右图中，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象湖大下列问题： （1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ 解：当t=0时，加到观景台1的路程为0 m，即表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 （2）甲和乙哪个人的速度快？ （2）t从0增加到20时，上点的纵坐标增加了1000，上点的纵坐标增加了600，即20min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快。 （3）如图，延长，，可以看出，当t=30时，上的对应点在上对应点的下方，这表明，30min时甲尚未追上乙。 （3）30min内甲能否追上乙？ （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ （4）在图中，与的交点P的纵坐标小于（800+1300=）2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙。 （5）设与对应的两个一次函数分别为s=t+与，，的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ （5）表示甲的速度，表示乙的速度。甲的速度是50m/min，乙的速度是30m/min。 随堂小测 1.甲、乙两商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的图象如图所示．下列说法：①买2件甲、乙两家销售价一样；②买1件买乙家的合算；③买3件买甲家的合算；④买乙家的1件销售价约为3元，其中正确的说法是(　　) A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③ D 2.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去滨湖湿地公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一平面直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示。根据图象得到结论，其中错误的是（　　） A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园 C．小明在距学校12km处追上小亮 D．9：30小明与小亮相距4km D 3.在一次800 m的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s(m)与各自所用时间t(s)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是(　　) A．甲的速度随时间的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第180 s时，两人相遇 D．在起跑后第50 s时，乙在甲的前面 D 4. 如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h。 解析：根据图象可得出：甲的速度为 120÷5=24（km/h）， 乙的速度为(120﹣4)÷5=23.2（km/h）， 速度差为24﹣23.2=0.8（km/h）。 0.8 B 解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为 b米/秒，由题意得 1600+100a=1400+100b, 1600+300a=1400+200b, 解得a=2,b=4。 故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米。 5.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米。 2200 课堂小结 从函数图象得到需要的信息，再求出函数表达式 从而解决实际问题和几何问题，是一次函数应用价值 的体现，这种题型常与一些热点问题结合，考查学生 综合分析问题、解决问题的能力。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $