第1章 问题解决策略：反思-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(北师大版2024)

☆问题解决策略：反思 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.学会运用勾股定理求立体图形中两点之间的最短距离。（重点） 2.理解化曲为直的思想方法。（难点） 3.解决问题后，对解决问题的过程、方法及问题的变化等方面进行反思，可以加深对问题及解决问题的思路、策略与方法的理解，丰富解决问题的经验，提高解决问题的能力。 情境导入 知识回顾 2.在平面上，求点与点、点与线段的最短距离的依据是什么？ 3.如何求几何体中的最短路径问题呢？ 1.勾股定理的内容。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。 （1）两点之间线段最短 （2）垂线段最短 知识讲解 知识点1 圆柱体中的最短距离 如图，有一个圆柱的高为12cm，底面圆的周长为18cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （1） 自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？ A B A B A B A B A B 蚂蚁走哪一条路线最近？ 第4条路线最近 蚂蚁A→B的路线 路线1 路线2 路线3 路线4 （2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？ B A A B 线段AB （3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物， 它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 15 cm 【方法归纳】立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线。 【数学思想】 立体图形 平面图形 转化 展开 1.如图,圆柱的底面周长是 10 cm,圆柱高为 12 cm,一只蚂蚁如果要从圆柱内部点A爬到与之相对的点B,那么它爬行的最短路程为( ) A.10π cm B.13 cm C.13π cm D.15 cm 随 堂 小 测 B 2.如图,有一圆柱形油罐,底面周长为24 m,高为10 m.从A处环绕油罐建梯子，梯子的上端点B正好在点A的正上方,梯子最短需要( ) A.10π m B.26 m C.13π m D.15 m B 3.如图,圆柱形玻璃杯高为 11 cm,底面周长为 30 cm,在杯内壁 离杯底 5 cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁, 离杯上沿 2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到 内壁B处的最短路线长为(杯壁厚度不计)( ) A.12 cm B.17 cm C.20 cm D.25 cm B 4.如图，若圆柱的底面周长是 30 cm，高是 120 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕几圈丝线到顶部B处做装饰，则按图中此方式缠绕的这条丝线的最小长度是 cm. 150 知识点2 长方体中的最短距离 确定长方体上的最短路线: 求长方体（如图1）上A，B 两点之间的距离，将长方体相邻两个面展开有三种方式（如图2）。 图1 图2 （1）右侧面向前展开， 如图2 ①， 此时AB2=（a+b）2+ c2=a2+b2+c2+2ab。 （2） 上底面向前展开， 如图2 ②，此时AB2=（c+b）2+ a2=a2+b2+c2+2bc。 （3） 上底面向左展开， 如图2 ③，此时AB2=（a+c）2+ b2=a2+b2+c2+2ac。 通过对三种展开方式的分析，我们得到： ①当 c 最大时，图2 ①中AB 最短； ②当 a 最大时，图2 ②中AB 最短； ③当 b 最大时，图2 ③中AB 最短。 图2 1.如图是一个三级台阶,每一级的长、宽、高分别为 8 dm，3 dm， 2 dm. A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ） A.15 dm B.17 dm C.20 dm D.25 dm 随 堂 小 测 B 2.如图所示，一棱长为 3 cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形,其边长都为 1 cm,假设一只蚂蚁从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B,最少要爬 cm。 5 3.如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为 8 cm、8 cm、 12 cm, 一只蚂蚁想从盒底的点A 沿盒的表面爬到盒顶的点B。蚂蚁要爬行的最短路程是 cm。 20 4.如图所示，ABCD是长方形地面,长AB= 14 m,宽AD= 12 m,中间竖有一堵砖墙高MN= 1 m。一只蚂蚱从点B爬到D点,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要走 m 的路程。 20 确定圆柱上的最短路线： 求圆柱上两点之间的最短距离，可转化为求 一个平面图形上对应线段的长. 其一般步骤： （1）将圆柱的侧面展开为一个长方形； （2）确定相应点的位置； （3）连接相应点，构造直角三角形； （4）利用勾股定理求解。 小结 在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $