1.1 第2课时 验证并应用勾股定理-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步课件(北师大版2024)

该初中数学课件聚焦勾股定理的验证与应用，导入承接上一课“测量数格子发现定理”，以直角三角形向外作正方形的图形引导学生思考验证方法，搭建从直观发现到逻辑证明的学习支架，衔接自然。 其亮点在于多元验证与情境化应用。通过割补法、加菲尔德拼图等多种几何直观方式验证定理，培养空间观念与推理意识，结合军事演习、操场路径等现实问题，用数学语言构建模型，发展应用意识。小结结构化梳理验证步骤与应用类型，助力学生形成知识体系，教师使用能高效落实重难点。

1 探索勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.经历验证勾股定理的过程，学会用多种方法验证勾股定理。（重点） 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。（重点、难点） 情境导入 在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。在右图中，分别以直角三角形的三条边（a＜b）为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何说明的？与同伴进行交流。 知识讲解 知识点1 验证勾股定理 为了计算图中大正方形的面积，我们可以对这个大正方形适当割补后得到图1、图2. a b c a b c A B C D 图1 a b c A B C D 图2 图1、图2中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？ 你能分别利用图1、图2验证勾股定理吗？ 图1 S正方形ABCD=（a+b）2=a2+b2+2ab S正方形ABCD=4×ab÷2+c2=2ab+c2 a2+b2+2ab=2ab+c2 则a2+b2=c2 图2 S正方形ABCD=（a-b）2=a2+b2-2ab S正方形ABCD=c2-4×ab÷2=c2-2ab a2+b2-2ab=c2-2ab 则a2+b2=c2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 随 堂 小 测 1.1876年，美国总统加菲尔德用下图验证了勾股定理，你能行吗？ a b c a b c A B C D 解： ， =， 则 2.如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)说明勾股定理的正确性． a b c a b c a b c a b c c c c c c c a b b b b a a a 你能自己用叠合法证明一下吗？ 知识点2 勾股定理的应用 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驰。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m，过了10s，测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 例 分析：根据题意，可以画出右图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置. 由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角。这样就可以由勾股定理来解决这个问题了. C B 400m 500m 公路 A 解：由勾股定理，可得 AB2=BC2+AC2， 也就是 5002=BC2+4002。 所以 BC=300。 蓝方汽车10s行驶了300m，那么它平均每秒行驶 300÷10=30（m）。 因此，蓝方汽车这10s的平均速度为30 m/s。 随 堂 小 测 1.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ） A.140米 B.120米 C.100米 D.90米 C 80米 60米 B A C D 2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m,这棵大树在折断前的高度为( ) A.10 m B.15 m C.18 m D.20 m C 3.如图,公园有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,踩伤了花草.则他们仅仅少走了 步路. (假设2步为1米) 8 A B “路” 6米 8米 C 4.如图,某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25 m,结果他在水中实际划了65 m,求该河流的宽度. B C A 25m 65m 解：根据题中数据，由勾股定理可得， AB2=AC2-BC2=652-252=3 600, 则AB=60 m. 答：该河流的宽度是60米. 5.两棵树之间的距离为 8 m，两棵树的高度分别是 8 m,2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？ 解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m， 两棵树之间的距离BD＝8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2， 即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m． 　 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理． 它一般都经过以下几个步骤：拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论． 小 结 1.勾股定理的验证 小结 2.勾股定理应用的常见类型： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方关系的几何问题. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $