专题04 全等三角形热考模型（8题型16重点4类型）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题04 全等三角形热考模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 倍长中线模型 掌握倍长中线的方法，能利用该模型构造全等三角形，解决线段和角的等量关系、线段的位置关系等问题 常作为几何证明与计算的辅助手段，在中档及较难题型中出现，用于转化线段或角的关系 截长补短模型 熟练运用截长补短的策略，构造全等三角形，证明线段的和、差、倍、分关系 高频出现在几何证明题中，尤其是涉及线段和差的问题，是解决此类问题的核心模型之一 一线三等角模型 理解一线三等角模型的特征，能识别并利用该模型证明三角形全等，进而求解线段长度、角度大小等 在三角形、四边形的几何题中较为常见，常结合全等三角形和相似三角形（后续学习）考查，是几何图形中的典型模型 手拉手模型 明确手拉手模型的构成条件，能运用该模型证明三角形全等，推导线段和角的关系，解决相关几何问题 常以综合题的形式出现，可与旋转等图形变换结合，考查学生对全等三角形的综合运用能力 半角模型 熟悉半角模型的结构，能借助该模型构造全等三角形，处理含有半角的线段和角的关系问题 多在较难的几何综合题中考查，需要学生具备较强的图形分析和模型应用能力 对角互补模型 掌握对角互补模型的性质，能利用该模型结合角平分线、全等三角形等知识，解决角度和线段的相关问题 常与圆（后续学习）、角平分线等知识结合，在几何证明与计算中应用，考查学生的知识综合运用能力 婆罗摩笈多模型 理解婆罗摩笈多模型的内容，能运用该模型解决与等腰直角三角形、中点相关的线段长度、位置关系等问题 主要在涉及等腰直角三角形的几何题中出现，是解决此类特殊三角形问题的重要模型 与角平分线有关的热考模型 能灵活运用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）和判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），结合全等三角形等知识，解决角和线段的相关问题 常与三角形、四边形的知识结合，在几何证明与计算中广泛应用，是角的相关问题的核心考点 知识点01 倍长中线模型 1.倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 【总结】 1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角； 2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断； 3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题. 2.倍长类中线模型 条件：在△ABC中，D是BC的中点 图示： 作法：延长FD至点E，使FD=DE，连接CE 结论：， BF=CE且BF∥CE 知识点02 截长补短模型 模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 【总结】 1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题. 2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路. 知识点03 一线三等角模型 一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 知识点04 手拉手模型 模型介绍：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 模型特点：共顶点，等顶角. 条件 如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E 图示 结论 1）∆ABM≌∆ACN 2）BM=CN 3）∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角） 4）∆ANF≌∆AMD 5）∆AFC≌∆ADB 6）连接DF，DF∥BN 7）连接AE，AE平分∠BEN 知识点05 半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 条件 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 图示 思路 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 结论 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 知识点06 对角互补模型 模型1 两90°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个. 2.模型引申 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.[来源:学科网ZXXK] 提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF 结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③. 模型2. 含120°、60°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE. 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 2.模型引申 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③. 【总结】对角互补模型:在四边形中，①一组邻边相等;②另外一组邻边的顶点所在的对角线是这组邻边组成的角的平分线;③对角互补.三者知二推一. 知识点07 婆罗摩笈多模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE 图示 辅助线作法 延长IC到点P，使PI=IC，连接PG 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 结论 CH⊥BE(知中点得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中点) BE=2IC 知识点08 与角平分线有关的热考模型 类型 描述 图示 结论 见角平分线，用性质定理 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 作法：过点P作PF⊥AB于点F 角平分线+垂直→三线合一 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD 作法：延长PE，交AB于点F 平行线+垂直→等腰△ BD平分∠ABC，PE∥BC BE=PE DF平分∠BDE，DE∥BC BD=BF 题型一 中点处理方法 解｜题｜技｜巧 遇到中点的时候，通常会延长过该中点的线段.倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等. 重难点一 倍长中线模型 1．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 【答案】（1）C；（2）；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 2．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究 （1）如图1，在中，点D、E分别在、边上，连接、，过点作的平行线，交的延长线于点，若，，求证：； 问题解决 （2）某校计划修建校园科创角，其平面规划示意图如图 2 所示，在四边形中，，设计师计划在边上取点，在边上取其中点，连接、、，使得，将区域规划为研发区，为合理预算，需要知道、、之间的数量关系．请你帮助设计师求出、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一及垂直平分线的性质，解题的关键是通过构造全等三角形转化线段关系，结合垂直条件推导角或线段的结论。 （1）通过证明得到中点，再利用等腰三角形＂三线合一＂证明角平分线； （2）延长线段构造，结合垂直平分线性质推导线段和差关系。 【详解】证明：， ， 在和中，，，， ， ， ， 垂直平分， ， ； （2）解： 理由：如图，延长，交的延长线于H， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， F为边上的中点， ， 在和中，，，， ， ，， ， 垂直平分， ， ， . 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，AD是边上的中线，求的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，依据的判定方法是_____，由三角形的三边关系可知的取值范围为_____； （2）如图②，，，，点为的中点，试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔（观景塔大小忽略不计），在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系（小路宽度忽略不计）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）解：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 重难点二 倍长类中线模型 4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）等量代换可得，根据全等三角形的判定可得； （2）延长到G，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质可得，，由（1）可知：，推得，根据等边对等角可得，即可求得； （3）根据等边对等角可得，推得，根据由（1）可知：，推得，求得，即可得到． 【详解】（1）∵，，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）延长到G，使得，连接，如图：    ∵F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边对等角，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】 （3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）延长至点，使，连接，证明，得，又，有，故，从而，即得； （3）延长至点，使，连接，证明，得，由，平分，得，而，有，可得，故，因，故，可得，又，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：（1）如图中，延长至点，使， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接，如图： 点为边的中点， ， 又， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，等边对等角，等角对等边，角平分线的定义，三角形面积，三角形三边关系等知识，解题的关键是读懂题意，掌握“倍长中线法”． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长至点，使，连接．根据______，可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围______． 【模型构建】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【类比应用】 （2）如图2，在中，是边上的中点，，，，则______； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 【分析】（1）延长至点，使，连接，由是的中点，可得，结合，根据可证明，可得，最后根据三角形的三边关系即可得到的取值范围； （2）延长至点，使，连接，证得，则，再根据勾股定理的逆定理得到，最后利用勾股定理得出答案； （3）延长至点，使得，连接，证明，得到，由，，推出垂直平分，得到，最后根据在中，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，延长至点，使，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长至点，使，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3，延长至点，使得，连接， 是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 垂直平分， ， 在中，， ． 【点睛】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． 题型二 截长补短模型 解｜题｜技｜巧 截长;在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条;； 补短;将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段. 【小结】无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过全等实现. 重难点一 截长法 7．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】；；；；；；变式应用：．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，属于截长补短类辅助线．按照题干的要求填空即可；变式应用：在上截取，连接，求得，证明，得到，，得到，证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图2，在上截取，连接， 只要证即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出，得出及，再证出，进而得出，则结论成立． 故答案为：；；；；；； 变式应用：．理由如下： 在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 8．（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．    (1)如图，平分，，探究、与之间的关系． 解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长） (2)问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：． (3)问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得出，进而即可求解； （2）延长到，使，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明； （3）作于，在上截取，分别证明，，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）解： 在上截， ∵平分， ∴，又 ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴； （2）证明：延长到，使， ，， ， 在和中， ， （）， ，， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； （3）证明：作于，在上截取，   点是外角平分线上一点，，， ，， 在和中， （） ， 在和中， ， （） ， ， ， 则 ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 重难点二 补短法 9．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】 如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】 如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点，得，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）延长到点，使得，连接，先证明是等边三角形，然后证明为等边三角形，再证明，可得，即可进一步证明结论． 【详解】解：（1）延长到点，得，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）．理由如下： 延长到点，使得，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ． 题型三 一线三等角模型 解｜题｜技｜巧 “一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等图形，这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧. 重难点一 一线三垂直模型 11．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 12．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 重难点二 一线三等角模型 14．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 15．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 重难点三 构造一线三垂直模型 16．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3） 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （2）延长，作，过点D作于H，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，由题意易得，，然后可得，进而可得，最后根据等积法可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，作，过点D作于H，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）分别过点A、B作，垂足分别为M、N，如图所示： ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴， ∵面积为21且的长为8， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及勾股定理，解题的关键是熟练掌握“一线三等角”模型． 17．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 【答案】(1)点到直线的距离为1； (2)证明见解析； (3)或6． 【分析】（1）作交于，利用全等三角形判定方法证明，再利用全等三角形对应边相等，即可求解； （2）作交直线于，先利用证出，得到，再利用证出，即可完成证明； （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动，分2类情况讨论：①若在线段上；②若在延长线上，由，得出，设，则，利用（2）中的全等三角形结论，用表示出、，再利用列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：作交于，则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 点到直线的距离为1． （2）作交直线于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． （3）由图可知，在射线运动过程中，在射线上运动， 下面分2类情况讨论： ①若在线段上，同（2）作辅助线， 由（2）得，，， ， ， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ； ②若在延长线上，同（2）作辅助线， 同①可得：， 设，则， ，， ， 解得：， ． 综上所述，的长为或6． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、作垂线辅助线构造全等、三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形并证明，以及学会将三角形面积关系转化为线段关系并通过方程思想解决问题，本题综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 18．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 重难点四 坐标系中构造一线三垂直模型 类型一 两点在轴上，“一点垂” 19．（24-25八年级上·青海西宁·期末）如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，过点C作轴于E，可证明，得到，再由点A和点B的坐标得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于E， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【建立模型】（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图1，，，过点、作于点，于点E．求证：，．萌萌发现只需证明即可； 【类比迁移】（2）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． ①如图2，求点的坐标； ②如图3，若交轴于点，交轴于点M，N是上一点，且，连接．求证； 【拓展延伸】（3）如图4，点，点，若点不动，点在x轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请直接写出其长度． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；（3）的长度不变化，且． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，余角的性质，证明全等即可． （2）①过点B作轴于点G，证明，得，．，结合已知解答即可； ②过点B作于点B，交轴于点，先证明，得到，再证明，结合，得到，等量代换可得． （3）过点于点Q，连接， 证明，四边形是平行四边形，解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． 故答案为：； （2）①解：过点B作轴于点G， ∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵点，点， ∴，． ∴， 由点在第四象限． 故． ②解：如图，过点B作于点B，交轴于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：的长度不变化，且，理由如下： 过点E作于点Q，连接， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵等腰直角， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点， ∴， ∴， 故的长度不变化，且． 类型二 一点在轴上，“两点垂” 21．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点H的坐标为，另一个顶点G的坐标为，则顶点K的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据余角的性质，得到，根据全等三角形的判定与性质，得到，的长度，由此得到答案． 【详解】如图，作轴，轴， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 22．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键．根据题意，分别作轴，轴，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，，（，）， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴点的横坐标为， ∴ 故答案为：． 类型三 无点在轴上，“一平两垂” 23．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 24．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决， 积累经验： （1）请写出证明过程； 类比应用： （2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离． 拓展提升： （3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）1；（2）． 【分析】（1）根据AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°，再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，进而证明△ADC≌△CEB，最后再根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）过点B作BE⊥x轴于点E，通过证明△AOC≌△CEB，进而得出CO=BE，再根据点C的坐标即可得到结果； （3）过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF，通过证明△CDB≌△AEC，进而得出BD=CE，AE=CD，最后根据点A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)即可求出点B坐标． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴； （2）如图，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌， ∴， 又∵点C的坐标(1，0)， ∴， ∴，即点B到x轴的距离是1； （3）如图，过点C作CF⊥x轴于点F，再过点A、B分别作AE⊥CF，BD⊥CF， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，   在和中，， ∴≌， ∴， 又∵A的坐标为(2，1)，点C的坐标为(4，2)， ∴，， 设B点坐标为(a，b)， 则a=4－1=3，b=2+2=4， ∴点B的坐标为(3，4)． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题，学会构建“一线三等角”模型，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 类型四 顶点不确定，分类讨论 25．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，，以点为直角顶点，为腰作等腰直角．则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，当点在轴上方时，过点作轴于，可证，即可得，，进而可得；同理点在轴下方时，可得，据此即可求解，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，当点在轴上方时，过点作轴于，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 当点在轴下方时，同理可得； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或 26．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，连接，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，分线段绕点A顺时针旋转和逆时针旋转讨论，然后根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解∶当线段绕点A顺时针旋转时，如图，过B作轴于C，过作轴于D， 则， ∵旋转， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 解∶当线段绕点A逆时针旋转时，如图，过B作轴于C，过作轴于D， 则， ∵旋转， ∴，， ∴ ∴， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为∶ 或． 题型四 手拉手模型 解｜题｜技｜巧 重难点一 等腰三角形手拉手模型 27．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)发现问题：如图1，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由． (3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，，再结合图形及全等三角形的判定和性质即可证明； （2）由（1）知且，结合图形及等腰直角三角形的性质求解即可； （3）作，垂直于的延长线于，根据全等三角形的判定得出，，，再由全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：和是顶角相等的等腰三角形 ，，， 即 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）知且， 是等腰直角三角形，且， ， ， ； （3）作，垂直于的延长线于， ， ， ，同理， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，，， 设， ， ， ， ， 解得， ． 28．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】[初步把握]；[深入把握]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”． [初步把握]根据证明即可 [深入把握]根据证明，再由全等的性质得到 [拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证 【详解】[初步把握] 证明∶ 在和中， ． [深入把握] 证明：和都是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中，， ， ；． ， ． [拓展延伸] 解：，，理由如下： ， ， 即， 在和中， ，， ， ． 重难点二 等腰直角三角形手拉手模型 29．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)他们的猜想正确，证明见解析； (3)． 【分析】（）由，得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （）过作于，过作交延长线于点，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，然后由，，，即可得到结论； （）过作交的延长线于，根据余角的性质得到，证明，根据性质得，，再证明，则有，又，即，求出，再根据线段和差得出，从而求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，掌握知识点的应用及正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）证明：过作于，过作交延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：过作交的延长线于， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解] 如图①，分别以的边，为边向外作等腰直角和，，，．连接、，问与有怎样的等量关系，并说明理由； (2)[深入探究] 如图②，连接DE，若，，______； (3)[实际应用] 如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得，，，米，米，的长为______． 【答案】(1)相等 (2)680； (3)米 【分析】（1）根据得到得到，证明即可得证； （2）过点E作，交的延长线于点F，过点C作于点G， 根据勾股定理，三角形的全等判定和性质，完全平方公式解答即可． （3）作等腰直角，使得，，利用三角形全等，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点F，过点C作于点G， 根据勾股定理，得 ； ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：680． （3）解：作等腰直角，使得，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 重难点三 等边三角形手拉手模型 31．（20-21八年级上·广东广州·期中）如图，已知点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于G，交于O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：为等边三角形． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键． （1）利用等边三角形的性质得出，进而即可得证； （2）由三角形的外角性质和全等三角形的性质即可得解； （3）由平角的性质和等边三角形的性质得出，再由得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ， ， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，， ． （3）证明：，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 是等边三角形． 32．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. 重难点四 【跨章节】构造手拉手模型 33．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3) 【分析】（1）证明，即得； （2）设交于，证明，可得，，即可得，即；而，故； （3）作，且，连接，，证明，可得，而，故． 【详解】（1）证明：， ，即， ，， ， ； （2）解：，；理由如下： 设交于，如图： ， ，即， ，， ， ，， ，， ， 即； 为等腰直角中边上的高， ， ， ； （3）解：作，且，连接，，如图， ， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及勾股定理及应用，解题的关键是利用“手拉手全等模型”作辅助线，构造全等三角形． 34．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)；见解析 【分析】（1）由全等三角形的判定可得出结论； （2）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质得出，由三角形内角和定理可得出答案； （3）在延长线上取一点，使得，由全等三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ， 故答案为：，；； （2）解：如图2，在上取一点，使， ，， ，， ， ， ， ， 又，，， ， 设和交于点， ， ． （3）解：． 理由：如图3，在延长线上取一点，使得， 同理可证：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键． 35．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)米． 【分析】（）证即可证出，再根据“”字型得； （）先 证，再证，最后通过线段和差即可得证； （）按照前问思路构造“手拉手模型”全等，作，使，连接，则为等腰直角三角形，证明，则，最后利用勾股定理求即可； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和添加合适的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形, ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， ∴米， 故答案为：． 36．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）24 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的判定与性质，三角板中角度计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，则证明，即可作答． （2）与（1）同理证明，所以，；延长与交于点，所以，整理得，即； （3）过作交延长线于，过作交于，得出，结合，故，证明，因为点A到直线的距离为7，所以，，结合，得出，，故． 【详解】解：（1）∵和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ∴，，， ∴， ∴； （2），，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，； 延长与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）过作交延长线于，过作交于， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点A到直线的距离为7， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 重难点五 【跨章节】正方形手拉手模型 37．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为3．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理．连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值． 【详解】解：如图，连接、、， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 38．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知正方形和正方形． (1)如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； (2)如图2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，与交于点O，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)4； 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质；掌握这些性质进行角和边关系的推理是解题的关键． （1）由正方形可得，，即可利用证明； （2）①作于点，由正方形性质可得，再由勾股定理求出，得到，最后由得到； ②连接，由正方形性质和得到，，再由点是、的中点，最后根据斜边中线性质得到，即可得到． 【详解】（1）证明：在正方形和正方形中，，，， ，即， ； （2）解：①如图2，作于点， 在正方形和正方形中，，， ， ，， ，， ， ， 由（1）可得， ； ②，理由如下 在正方形和正方形中，，， ， 由（1）可得， ， ， ， 是、的中点， ， ． 题型五 半角模型 解｜题｜技｜巧 1)“半角”模型的核心识别条件是“共端点的等线段”和“共顶点的倍、半角”，也可以拓展到邻边相等且对角互补的四边形中. 2) “半角”模型结论在证明过程中有两次重要全等:一次是旋转型全等:一次是对称型全等.只有将两次全等证明完毕，才能继续向下推进. 重难点一 90°半角模型 39．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 40．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）根据旋转得到，，，即可得到； （2）根据旋转得到，，，，即可得到，然后依据，代入数据解答即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，可知：，，， 在和中， ， ； （2）解：由旋转的性质，可知：，，，， 点、、共线， ， 在和 中， ， ． ， ， ； ， 正方形的边长为4， ． 41．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法． (1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到； (2)直接写出线段之间的数量关系 ． (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)画图见解析 (2) (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据图形性质猜想结论即可； （3）根据旋转得到，，即可得到即可得到答案； （4）由（3）的结论结合正方形的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，补全图形如下： （2）解：结论是：； （3）解：理由如下：由旋转，可知： ， ∴点E、B、C共线， ， ． 在和中， ， ． ， ， ； （4）解：由（1）得，； ， ∵正方形的边长为4， ； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 重难点二 120°半角模型 42．（21-22七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)210海里 (4) 【分析】（1）延长到点G，使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （2）延长到点G．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论； （3）连接，延长、相交于点C，根据题意得到，，，根据图2的结论计算； （4）作，使，连接，，先证明，再证明，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：；理由如下： 如图1，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：（1）中的结论仍然成立，即．理由： 如图2，延长到点G，使．连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，连接，延长、相交于点C， ∵，， ∴， ∵，， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）． ∴此时两舰艇之间的距离为210海里． （4）解：如图4，作，使，连接，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 43．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 44．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 题型六 对角互补模型 解｜题｜技｜巧 对角互补模型:在四边形中，①一组邻边相等;②另外一组邻边的顶点所在的对角线是这组邻边组成的角的平分线;③对角互补.三者知二推一. 45．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据垂直的定义得到，根据矩形的性质得到，由全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，过点作于，于，先判定，得到，，再判断，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，，求得，得到，在中，由含的直角三角形性质求解即可得到结论； （3）如图，延长到，使，连接，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式得到结论． 【详解】（1）证明：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：过点作于，于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 设，则，， ，解得， ， 在中，，，则， ； （3）解：延长到，使，连接，如图所示： 在四边形中，，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形． 四边形的面积的面积． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、含的直角三角形性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大，熟记相关几何性质及判定，根据问题正确地作出辅助线是解题的关键． 46．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)3 (3)16 【分析】（1）根据角平分线的性质及垂直的定义可得，，进而得四边形是正方形，再根据角的等量代换得，利用可证得，进而可求解． （2）过点P作于M，于N，根据角平分线的性质可得，利用证得，进而可得，再利用证得，进而可得，设，则，，在中，利用直角三角形的特征即可求解． （3）延长到，使，连接，根据正方形的性质可得，，利用得，进而可得，．设，利用勾股定理求得，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：，，且平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 在和中， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点P作于M，于N，如图：   平分， ． ， ． ． 在四边形中，， 且，， ． ， ． 又 ． ． ，，设，则，． ， 解得，． ． 在中，，， ． （3）如图，延长到，使，连接．如图：    在四边形中，，且． 四边形是正方形， ，． ． 又， ． ． ，． ， ． 是等腰直角三角形． 由勾股定理，． 在中，，设，由勾股定理，， ． ． ． ． ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质、勾股定理、直角三角形的特征，熟练掌握相关判定及性质，添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 题型七 婆罗摩笈多模型 重难点一 已知垂直 47．（广东省肇庆市2023-2024学年八年级上学期数学竞赛试题）如图，中，以、为边向外作正方形和正方形，于交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】通过作辅助线构造直角三角形，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质，逐步推导得出 ．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：如图，作交其延长线于，于． ∵ 四边形 是正方形， ∴ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ∴ ， ∴ ，． 同理，可证 ， ∴ ，， ∴ ． 在 和 中， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ，，且 ， ∴ ． 48．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)1012 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，利用“K字模型”的结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 重难点二 已知中点 49．（21-22八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 【答案】（1）①证明见详解；②证明见详解；③证明见详解；（2）证明见详解． 【分析】（1）①取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出S△EAD=S△GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS）即可； ②取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G，先证△GEF≌△ADF（AAS），得出∠BAC =∠GEA，再证△GEA≌△CAB（SAS），得出∠EAG=∠ABC，AC=AG，由AM是边BC上的中线，得出BM=CM=，三证△EAF≌△ABM（SAS）即可； ③过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O，先证∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD，证明△EAP≌△ABM（AAS），再证△CAM≌△ADO（AAS），三证△EPN≌△DON（AAS）即可． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD，由点F为BD中点，可得DF=BF，先证△DQF≌△BAF（SAS），DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA，可证DQ∥BA，根据△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD，可得AR=AC=AB=QD，RD=CE，证明R、A、B三点共线，再证△DQA≌△ARD（SAS），即可． 【详解】（1）①图1中S△ABC＝S△ADE； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，∠G=∠DAF， ∴S△GEF=S△ADF， ∴S△EAD=S△GEA， ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴S△ABC＝S△GEA=S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM； 证明：取DE中点F，过E作EG∥AD，交射线AF于G， ∵点F为DE中点， ∴EF=DF， ∵EG∥AD， ∴∠GEF=∠ADF，∠GEA+∠EAD=180°， 在△GEF和△ADF中， ， ∴△GEF≌△ADF（AAS）， ∴GE=AD，GF=AF= ∵∠BAE＝∠CAD＝90°， ∴∠BAC+∠EAD=360°-∠BAE-∠CAD=180° ∴∠BAC+∠EAD=∠GEA+∠EAD=180° ∴∠BAC =∠GEA， ∴GE=AD=AC， 在△GEA和△CAB中， ， ∴△GEA≌△CAB（SAS）， ∴∠EAG=∠ABC，AC=AG， ∵AM是边BC上的中线， ∴BM=CM=， 在△EAF和△ABM中， ， ∴△EAF≌△ABM（SAS）， ∴EF=AM， ∵点F为DE中点， ∴DE=2EF=2AM， ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． 证明：过E作EP⊥MN交MN延长线于O，过D作DO⊥MN于O， ∵∠BAE=90°，∠DAC=90°， ∴∠BAM+∠EAP=90°，∠MAC+∠DAO=90°， ∵AM⊥BC， ∴∠ABM+∠BAM=90°，∠MCA+∠MAC=90° ∴∠ABM=∠EAP，∠MCA=∠OAD， ∵EP⊥MN， ∴∠EPA=90° 在△EAP和△ABM中， ， ∴△EAP≌△ABM（AAS）， ∴EP=AM， ∵DO⊥MN， ∴∠AOD=90°， 在△CAM和△ADO中， ， ∴△CAM≌△ADO（AAS） ∴AM=DO， ∴EP=DO=AM， 在△EPN和△DON中， ∴△EPN≌△DON（AAS）， ∴EN=DN， ∴MA的延长线平分ED于点N． （2）延长AF，使FQ=AF，连接DQ，将△ACE绕点A逆时针旋转90°，得△ARD ∵点F为BD中点， ∴DF=BF， 在△DQF和△BAF中， ∴△DQF≌△BAF（SAS）， ∴DQ=BA=AC，∠FDQ=∠FBA， ∴DQ∥BA， ∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得△ARD ∴△ACE≌△ARD，∠RAC=90°， ∴AR=AC=AB=QD，RD=CE， ∵∠CAB=90°， ∴∠RAB=∠RAC+∠CAB=90°+90°=180°， ∴R、A、B三点共线， ∵DQ∥BA， ∴∠QDA=∠RAD， 在△DQA和△ARD中， ∴△DQA≌△ARD（SAS）， ∴AQ=DR， ∴2AF=AG=DR=CE， ∴2AF=CE． 【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形面积，中线加倍，三角形中线性质，等腰直角三角形性质，图形旋转变换性质，三点共线，掌握以上知识，尤其是利用辅助线作出准确图形是解题关键． 50．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长__________（写一个即可）； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图②，是的中线，交于，交于．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】（3）如图③，在和中，，且，连接为中点，连接并延长交于，则__________． 【答案】（1）3或5；（2），理由见解析；（3）6 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型八 与角平分线有关的热考模型 解｜题｜技｜巧 遇到角平分线问题时，牢记以下做辅助线的口诀: 1）图中有角平分线，可向两边做垂直； 2）图中有角平分线，对折一看关系现； 3）角平分线加垂线，三线合一试试看； 4）角平分线平行线，可得等腰三角形. 重难点一 角平分线+垂一边 51．（20-21八年级上·湖北孝感·期末）如图，，点是的中点，平分，，求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，垂足为，先根据角平分线的性质定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据平行线的判定与性质可得，最后证出，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵，， ∴，， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 52．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高，三角形的面积，熟练掌握:角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点作于点于点，先通过计算得出，，根据角平分线的判定与性质得，则．由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）根据“的面积的面积的面积”列式求出，得，再求的面积即可． 【详解】（1）证明：，交的延长线于点， ． ， ． ， ． 如图，过点作于点于点， 平分，交的延长线于点， ． ， 平分， ， ． ， 平分； （2）解：的面积的面积的面积， ， ， ， ， ， 的面积． 重难点二 角平分线+分垂线 53．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】延长、交于点，由是的角平分线，交的延长线于点，得，而，即可证明 ，得，推导出，而，可证明 ，则； 作于点，由，得，所以，由三角形中位线定理得，所以． 【详解】（1）证明：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：作于点， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， 三角形的面积为． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 54．（2023·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题 在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三角形，再运用全等三角形的性质解决此问题． 例：如图1，D是内的点，且平分，，连接．若的面积是10，求图中阴影部分的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，延长交于点E．    ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴（依据*），． 任务： (1)上述解答过程中的“依据*”是指 ； (2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)如图3，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E，连接．若，请直接写出的长．    【答案】(1)全等三角形面积相等 (2)见解析 (3)10 【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可得出答案； （2）先判断得出（全等三角形面积相等），，进而得到，即可得到答案； （3）延长相交于点，先判断出，得出，继而得出，再判断出，即可得出结论． 【详解】（1）由题意可知，依据是全等三角形面积相等， 故答案为：全等三角形面积相等． （2）解：如图2，延长交于点E．    ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴（全等三角形面积相等），． （等底同高的两个三角形面积相等）， ∴ （3）解：如图：    延长相交于点， 平分交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 重难点三 角平分线+截线 55．（24-25七年级下·河南郑州·期末）（1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）4或2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，正确作辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）由角平分线的性质可解答； （2）如图：作交延长线于点E，于点F，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图3，在上截取，连接，证明得出，由直角三角形的性质可即可解答；如图3：取的中点F，易证为等边三角形，，即点E与点F重合时也满足题意，即． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）；理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3：取的中点F， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即点E与点F重合时也满足题意， ∴． 综上所述，的长为4或2． 56．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 重难点四 角平分线+平行线 57．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图：，点P是角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C，于点D，若． (1)求证：是等腰三角形． (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】（1）根据OP平分AOB，可得POB=POA，再由PC//OA，可得POA=OPC，从而得到POB=OPC，即可求证； （2）过点P作PEOB ，垂足为E，由（1）和三角形的外角性质，可得PCE=30°，再根据直角三角形的性质，可得PE=PC=3，然后根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵OP平分AOB， POB=POA， 又∵PC//OA POA=OPC POB=OPC， OC=PC △OPC是等腰三角形； （2）解：过点P作PEOB ，垂足为E， ∵OP平分AOB，AOB=30° POC=AOB=15° 又∵POC=POA=OPC=15° ∴PCE=POC+OPC=15°+15°=30° ∵PEOB PEC=90° PE=PC=×6=3 ∵OP平分AOB，PEOB， PDOA PD=PE=3 即PD=3． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 58．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形判定，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义及平行线的性质即可证明是等腰三角形， （2）同理可得，再由等腰三角形的性质得，则的周长，从而得出答案． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）得：，同理可得， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）一线三垂直模型是初中数学中常见的几何模型，这个模型的关键是抓住“同一直线”和“三个垂直”的特点，通常需要构造三垂直证明三角形全等从而探究出线段的长度，位置关系等问题．    (1)如图1，于点D，，于点E，，求证：； (2)如图2，，，连接，过点A作直线于点F交于点G，若G为的中点，求证：； (3)如图3，，且，，连接，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，且，． ①求； ②如图3，，的平分线，交于点O，若，的周长为18．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①  ② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形． （1）可证得从而 根据得出 ，从而，进一步得出结论； （2）延长至， 使，连接，可证得，从而，进而证得，从而得到结论； （3）①作交延长线于，作交的延长线于，可证得，进而得出 ②可得出，根据角平分线的性质得出，进而得出的值，从而得出，从而得出 ，从而 ，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：如图，    延长至，使，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：①如图，    作交延长线于，作交的延长线于， ， 同理（1）（2）可得， ， ， ， ； ②∵，且，， ， ， ， ， ， 的平分线，交于点， ∴平分 设点O到的距离为，则点O到的距离为， ∴， 同理可得， ， ， ， ， ． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】 （3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8 【分析】（1）利用证明，得出即可； （2）过点作，，垂足分别为，，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （3）取中点，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作，，垂足分别为，， ， 又平分，， ，， 在四边形中，， 又， ， 又， ，且，， ， ； （3）取中点，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 点、分别是、边上的中点， ， 又 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 3．（23-24八年级上·广东珠海·期中）【模型定义】 “手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为　　；线段与之间的数量关系是　　． 【模型应用】 （2）如图2，，，求证：． 【拓展提高】 （3）如图3，两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点P，则和的数量关系和位置关系是：　　． 【深化模型】 （4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有　　．（选填序号） 【答案】（1）；；（2）见解析；（3），；（4）①②③⑥⑤ 【分析】（1）由条件证明，从而得到：，．由点A，D，E在同一直线上可求出，从而可以求出的度数； （2）如图2中，延长到E，使得．首先证明是等边三角形，再证明即可解决问题； （3）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （4）利用证得，可得，故结论①正确．利用证得，可得，故结论③正确．利用等边三角形的性质推出，再运用平行线的判定可得，故结论②正确．没有条件证出，故结论④错误．利用三角形外角性质可得，故结论⑤正确；过点C作于H，于G，根据全等三角形的性质得到⑥正确；由，，，不能说明与全等，，故结论⑦错误． 【详解】（1）解：∵和均是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图中，延长到E，使得． ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； （3）且； 理由：∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：，； （4）∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即． 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，故结论③正确． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故结论②正确． 没有条件证出，故结论④错误． ∵，， ∴，故结论⑤正确． 过点C作于H，于G， ∵， ∴， ∴平分，故⑥正确； ∵，，， ∴不能说明与全等， ∴，故结论⑦错误． 综上所述，正确的结论有①②③⑥⑤， 故答案为：①②③⑥⑤． 【点睛】本题考查等边三角形性质，角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握等边三角形性质，全等三角形的判定与性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键． 4．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见详解，（2），理由见详解，（3），理由见详解 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 5．（24-25八年级上·江苏·期末）类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 【答案】（1），见解析；（2），见解析 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等腰三角形判定及性质． （1）证明 ，再利用等腰三角形判定及性质即可得到本题答案； （2）过点作交延长线于，交于，再证明 ，继而得到本题答案； 【详解】解：（1）延长交于点， ， ∵，， ∴，， ∵， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ （ASA）， ∴， ∵， ∴； （2）过点作交延长线于，交于， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； 6．（2025·山东济宁·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，即可． （1）绕点旋转得到，则，推出，，，根据，，全等三角形的判定和性质，则，即可； （2）在上取点，使得，根据四边形的内角和，则，得到，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，再根据全等三角形的判定和性质，则，设，得到，，，根据勾股定理解出即可； （3）在上取点，使得，根据四边形的内角和，与互补，得到，根据等量代换，推出，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，，再根据角之间的运算，得到，再根据全等三角形的判定和性质，则，，根据三角形的周长，即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，， ∵， ∴点，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标； (2)求点的坐标； (3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）根据非负数的性质，求出a、b的值，即可得出答案； （2）过点C作轴于F，证明，得出，，根据点C在第二象限，求出即可； （3）过点E作轴于G，证明，得出，证明，得出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴，． （2）解：过点C作轴于F，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵点C在第二象限， ∴． （3）解：过点E作轴于G， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴． 在和中 ， ∴． ∴． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】 如图①，直线l：（）与坐标轴分别交于点，．      （1）直线l的函数表达式为 ； （2）过线段的中点作一条直线与x轴交于点F，当为直角三角形时，求出所有满足条件的点F的坐标； 【问题解决】 （3）如图②，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，米．按设计要求，要在直线上任取一点C，连接，在右侧作区域，且为等腰直角三角形，．为了便于确定点D的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为．现对区域进行围挡施工，为节约材料，要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合要求的的周长，并说明理由． 【答案】（1）；（2）的坐标为或；（3），见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）分情况讨论：①当时，连接，得到直线是线段的垂直平分线，则，在△中利用勾股定理解得；②当时，点在直线上，可求得点，即可得到点； （3）过点作轴于点，可证得△△，有和，设点，则点，可得点在运动轨迹，设直线与轴交于点，与轴交于点，连接并延长至点，使得，过点作轴交于点，连接和，则点，，则线段垂直平分，得到，利用勾股定理得，则，结合、和共线时最小，进一步证得△≌△，有和，求得和，即可求得． 【详解】解：（1）与坐标轴分别交于点，， ，，解得：， 直线的表达式为：， 故答案为：； （2）①当时，连接，如图2， 点是线段的中点， 直线是线段的垂直平分线， ， 在△中，， ， 解得：， ,； ②当时，如图3， 点在直线上， ， 轴且点在轴上， ,， 综上所述，的坐标为或； （3）过点作轴于点，如图4， △为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， △≌△， ，， 设点，则，，故点， 令得， 点在直线上运动， 设直线与轴交于点，与轴交于点，连接并延长至点，使得，过点作轴交于点，连接和，如图5， 则点，， ， ， ， ， 则线段垂直平分， ， ，， ， ， 当、和共线时可以取到最小值， ，，， △≌△， ，， ，， ， ， ， ， △周长的最小值为． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是得出三点共线时取最小值． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）（1）【问题解决】 ①如图①，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A，B的坐标分别为A__________，B__________． ②求①中点C的坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请借助小明的思路，求出点C的坐标； （2）【类比探究】 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图②，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标：______． 【答案】（1）①，；②；（2）或D，P 【分析】（1）①根据一次函数与坐标轴的交点，令时，；令时，，结合题意，即可得出答案；②过点C向x轴作垂线交x轴于点D，根据①的结论，得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据线段之间的数量关系，得出，再结合图形，即可得出答案； （2）过点D作轴于F，延长交于G，根据线段之间的数量关系，得出，再设点，进而得出，，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据两点之间的距离，得出，再根据，列出方程，解出即可得出点的坐标，然后分两种情况：当时和当时，分别求出点的坐标． 【详解】解：（1）①∵一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴令时，；令时，， ∴，； 故答案为：，； ②如图①，过点C向x轴作垂线交x轴于点D， 由（1）知，，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）如图②，过点D作轴于F，延长交于G， ∴， ∵点D在直线上， ∴设点， ∴， ∵轴，， ∴， 同②的方法得，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，，， ∴， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴， 即：，或，． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、两点之间的距离，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形热考模型（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 倍长中线模型 掌握倍长中线的方法，能利用该模型构造全等三角形，解决线段和角的等量关系、线段的位置关系等问题 常作为几何证明与计算的辅助手段，在中档及较难题型中出现，用于转化线段或角的关系 截长补短模型 熟练运用截长补短的策略，构造全等三角形，证明线段的和、差、倍、分关系 高频出现在几何证明题中，尤其是涉及线段和差的问题，是解决此类问题的核心模型之一 一线三等角模型 理解一线三等角模型的特征，能识别并利用该模型证明三角形全等，进而求解线段长度、角度大小等 在三角形、四边形的几何题中较为常见，常结合全等三角形和相似三角形（后续学习）考查，是几何图形中的典型模型 手拉手模型 明确手拉手模型的构成条件，能运用该模型证明三角形全等，推导线段和角的关系，解决相关几何问题 常以综合题的形式出现，可与旋转等图形变换结合，考查学生对全等三角形的综合运用能力 半角模型 熟悉半角模型的结构，能借助该模型构造全等三角形，处理含有半角的线段和角的关系问题 多在较难的几何综合题中考查，需要学生具备较强的图形分析和模型应用能力 对角互补模型 掌握对角互补模型的性质，能利用该模型结合角平分线、全等三角形等知识，解决角度和线段的相关问题 常与圆（后续学习）、角平分线等知识结合，在几何证明与计算中应用，考查学生的知识综合运用能力 婆罗摩笈多模型 理解婆罗摩笈多模型的内容，能运用该模型解决与等腰直角三角形、中点相关的线段长度、位置关系等问题 主要在涉及等腰直角三角形的几何题中出现，是解决此类特殊三角形问题的重要模型 与角平分线有关的热考模型 能灵活运用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）和判定（到角两边距离相等的点在角的平分线上），结合全等三角形等知识，解决角和线段的相关问题 常与三角形、四边形的知识结合，在几何证明与计算中广泛应用，是角的相关问题的核心考点 知识点01 倍长中线模型 1.倍长中线模型 条件 在△ABC中，AD是△ABC的中线 图示 辅助线作法 延长AD至点E，使AD=DE，连接BE 延长AD至点E，使AD=DE，连接CE 结论 ，AC=BE且AC∥BE ， AB=CE且AB∥CE 【总结】 1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角； 2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断； 3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题. 2.倍长类中线模型 条件：在△ABC中，D是BC的中点 图示： 作法：延长FD至点E，使FD=DE，连接CE 结论：， BF=CE且BF∥CE 知识点02 截长补短模型 模型思路：证明一条线段等于两条线段的和，通常采用“截长法”或“补短法”.“截长法”的基本思路是在长线段上截取一段，使之等于其中一短线段，然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使延长的部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段. 截长法 补短法 题目 在△ABC中AD平分∠BAC，∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD 图示 辅助线作法 在AB上截取AE=AC，连接DE 延长AC到点E，使CD=CE，连接DE 延长AC到点E，使AB=AE，连接DE 结论 △DEB是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 △CDE是等腰三角形 【总结】 1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题. 2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路. 知识点03 一线三等角模型 一线三等角模型 已知 ∠D=∠ACB=∠E，AC=BC 图示 结论 一线三垂直模型 已知 ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE ∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE 图示 结论 知识点04 手拉手模型 模型介绍：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型.因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”. 模型特点：共顶点，等顶角. 条件 如图，直线AB的同一侧作∆ABC和∆AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E 图示 结论 1）∆ABM≌∆ACN 2）BM=CN 3）∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角） 4）∆ANF≌∆AMD 5）∆AFC≌∆ADB 6）连接DF，DF∥BN 7）连接AE，AE平分∠BEN 知识点05 半角模型 正方形内含型半角 邻边相等且对角互补的四边形半角 条件 正方形ABCD，∠EAF=45° AB=AD， ∠B+∠D=180°，∠BAD=2∠EAF 图示 思路 延长BC至点G，使DE=GB，连接AG 延长CD至点M，使BD=EC，连接AM 结论 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 1）旋转全等 2）对称全等 3）EF=DE+BF 知识点06 对角互补模型 模型1 两90°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个. 2.模型引申 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE. 提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF 结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③. 模型2. 含120°、60°的等邻边对角互补模型 1.基础类型 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE. 结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③. 2.模型引申 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③. 【总结】对角互补模型:在四边形中，①一组邻边相等;②另外一组邻边的顶点所在的对角线是这组邻边组成的角的平分线;③对角互补.三者知二推一. 知识点07 婆罗摩笈多模型 题目特征 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点. 共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直. 条件 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，点I为DG中点 四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线，CH⊥BE 图示 辅助线作法 延长IC到点P，使PI=IC，连接PG 分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N 结论 CH⊥BE(知中点得垂直) BE=2IC DI=IG(知垂直得中点) BE=2IC 知识点08 与角平分线有关的热考模型 类型 描述 图示 结论 见角平分线，用性质定理 已知BD平分∠ABC，PE⊥BC 作法：过点P作PF⊥AB于点F 角平分线+垂直→三线合一 已知BD平分∠ABC，PE⊥BD 作法：延长PE，交AB于点F 平行线+垂直→等腰△ BD平分∠ABC，PE∥BC BE=PE DF平分∠BDE，DE∥BC BD=BF 题型一 中点处理方法 解｜题｜技｜巧 遇到中点的时候，通常会延长过该中点的线段.倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等. 重难点一 倍长中线模型 1．（24-25八年级上·全国·期末）综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是 ___________； A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是 ___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． [初步运用] （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段BF的长． 2．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）问题探究 （1）如图1，在中，点D、E分别在、边上，连接、，过点作的平行线，交的延长线于点，若，，求证：； 问题解决 （2）某校计划修建校园科创角，其平面规划示意图如图 2 所示，在四边形中，，设计师计划在边上取点，在边上取其中点，连接、、，使得，将区域规划为研发区，为合理预算，需要知道、、之间的数量关系．请你帮助设计师求出、、之间的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，AD是边上的中线，求的取值范围．小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，依据的判定方法是_____，由三角形的三边关系可知的取值范围为_____； （2）如图②，，，，点为的中点，试说明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔（观景塔大小忽略不计），在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系（小路宽度忽略不计）． 重难点二 倍长类中线模型 4．（22-23八年级下·广东深圳·期中）如图（1），已知，，且，将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）．    (1)求证：； (2)在绕C点旋转的过程中，若、所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：（提示：利用类倍长中线方法添加辅助线）； (3)在（2）的条件下，求证：． 5．（24-25八年级上·云南昆明·期末）综合与实践； 【发现问题】数学活动课上，王老师提出如下问题：如图，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长到，使得； 连接，易证，于是我们把，，转化在中； 利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 【总结方法】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （1）如图，和的位置关系是______；的取值范围是______． （2）如图，在中，点是的中点，点在边上，与相交于点若，求证： 【问题拓展】 （3）如图，在中，，平分，点为边的中点，过点作交于点，交的延长线于点，若，求的长度． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期中）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： （1）如图1，延长至点，使，连接．根据______，可以判定，得出．这样就能把线段、、集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围______． 【模型构建】 当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“倍长中线”法． 【类比应用】 （2）如图2，在中，是边上的中点，，，，则______； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：． 题型二 截长补短模型 解｜题｜技｜巧 截长;在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条;； 补短;将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段；或者将短线段直接延长至等于长线段. 【小结】无论截长还是补短都需要将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，一般情况要通过全等实现. 重难点一 截长法 7．（22-23八年级上·山东济宁·期中）阅读下面文字并填空： 数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在中，平分，．求证：”． 李老师给出了如下简要分析：要证就是要证线段的和差问题，李老师采用了‘截长法’，如图2，在上截取，连接，只要证__________即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题，只要证出____________________，得出及__________，再证出____________________，进而得出，则结论成立． 请仿照上题方法解决以下问题： 变式应用：如图，和是等腰三角形，且，，，，以A为顶点作一个角，角的两边分别交边延长线于点E、F，连接，则之间存在什么样的关系？并说明理由． 8．（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．    (1)如图，平分，，探究、与之间的关系． 解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长） (2)问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：． (3)问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：． 重难点二 补短法 9．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 10．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）（1）【阅读理解】如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线＋对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．老师给出一个方法：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；结合图1，根据老师提出的方法，添加辅助线并完成证明； （2）【问题解决】如图2，在（1）的条件下，连接，当，时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型三 一线三等角模型 解｜题｜技｜巧 “一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等图形，这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧. 重难点一 一线三垂直模型 11．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 12．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】（3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 13．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 重难点二 一线三等角模型 14．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 15．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 重难点三 构造一线三垂直模型 16．（24-25八年级上·四川成都·期中）（1）如图1，与中，三点在同一直线上，，求的长． （2）如图2，在中，，以为边在外部作等边，连接，求的面积． （3）如图3，四边形中，，若面积为21且的长为8，求的面积． 17．（23-24八年级上·广东潮州·期中）如图，在中，，，为射线上一动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧作等腰直角三角形，． (1)如图1，当点在线段上时，求点到直线的距离； (2)如图2，当点运动到的延长线上时，连接，交直线于点，求证：； (3)点在运动过程中，连接，交直线于点，若，则的长为_____． 18．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 重难点四 坐标系中构造一线三垂直模型 类型一 两点在轴上，“一点垂” 19．（24-25八年级上·青海西宁·期末）如图，在直角平面坐标系中，，，，，则点C的坐标是 ． 20．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）【建立模型】（1）萌萌学完全等三角形的知识后，遇到了这样一个问题：如图1，，，过点、作于点，于点E．求证：，．萌萌发现只需证明即可； 【类比迁移】（2）在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，点，点，点在第四象限． ①如图2，求点的坐标； ②如图3，若交轴于点，交轴于点M，N是上一点，且，连接．求证； 【拓展延伸】（3）如图4，点，点，若点不动，点在x轴的负半轴上运动时，分别以，为直角边在第二、第三象限作等腰直角与等腰直角，其中，连接交轴于点，问当点在轴的负半轴上移动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由，若不变化，请直接写出其长度． 类型二 一点在轴上，“两点垂” 21．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角尺放在黑板上画好了的平面直角坐标系内（如图），已知直角顶点H的坐标为，另一个顶点G的坐标为，则顶点K的坐标为 ． 22．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，（，），，且，则点C坐标为 ． 类型三 无点在轴上，“一平两垂” 23．（24-25八年级上·福建宁德·期中）如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为 ． 24．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点C，且于点D，于点E．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决， 积累经验：（1）请写出证明过程； 类比应用：（2）如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B与x轴的距离． 拓展提升：（3）如图3，在平面直角坐标系中，，，点A的坐标为，点C的坐标为，求点B的坐标． 类型四 顶点不确定，分类讨论 25．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，，以点为直角顶点，为腰作等腰直角．则点的坐标为 ． 26．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，，连接，现将线段绕点A旋转，点B的对应点为，则点的坐标为 ． 题型四 手拉手模型 解｜题｜技｜巧 重难点一 等腰三角形手拉手模型 27．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)发现问题：如图1，和是顶角相等的等腰三角形，、分别是底边．求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断线段，，之间的数量关系并说明理由． (3)尝试探究：如图3，在（2）问的条件下，延长交于点P，与交于点N，连接，，，，求的长度． 28．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形． 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由． 重难点二 等腰直角三角形手拉手模型 29．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们把有公共顶点且形状相同的两个三角形组成的图形称为“手拉手”图形．数学兴趣小组的几名同学对“手拉手”图形进行了探究． (1)初步探究：如图，与的顶点重合，，，，连接，他们通过测量发现在和绕点转动的过程中，，请你证明他们的结论； (2)大胆猜想：如图，在（）的条件下，连接，他们猜想的面积与的面积相等，请证明他们的猜想是正确的； (3)拓展延伸：如图，在（）的条件下，当时，延长交于点，，的面积为，求的长度． 30．（24-25八年级上·辽宁沈阳·开学考试）综合与实践 某学校的数学兴趣小组发现这样一个模型，两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，会形成一组全等的三角形，具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)[材料理解]如图①，分别以的边，为边向外作等腰直角和，，，．连接、，问与有怎样的等量关系，并说明理由； (2)[深入探究]如图②，连接DE，若，，______； (3)[实际应用]如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得，，，米，米，的长为______． 重难点三 等边三角形手拉手模型 31．（20-21八年级上·广东广州·期中）如图，已知点B，C，D在同一条直线上，和都是等边三角形．交于F，交于G，交于O． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：为等边三角形． 32．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 重难点四 【跨章节】构造手拉手模型 33．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则． (1)如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：． (2)如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)如图④，在四边形中，，，，求的长． 34．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）央视科教频道播放的《被数学选中的人》节目中说到，“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)【模型探究】如图1，和中，，，且，连接，．这一图形称“手拉手模型”．求证，请你完善下列过程． 证明：， ． 即． 在和中 （________）． (2)【模型指引】如图2，中，，，以为端点引一条与腰相交的射线，在射线上取点，使，求的度数．小亮同学通过观察，联想到手拉手模型，在上找一点，使，最后使问题得到解决．请你帮他写出解答过程． (3)【拓展延伸】如图3，中，，为任意角度，若射线不与腰相交，而是从端点向右下方延伸．仍在射线上取点，使，试判断与有何数量关系？并写出简要说明． 35．（23-24七年级下·山东济南·期末）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为 ，位置关系为 ； (2)类比探究 如图 ，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角，， 点，，在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（）（）中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，已经测得，，，米，米，的长为 米． 36．（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． 【问题初探】 （1）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当两个三角板如图1所示的位置摆放时，D、B，C在同一直线上，连接，请证明： 【类比探究】 （2）和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，连接，，，A到直线的距离为7，请求出的面积． 重难点五 【跨章节】正方形手拉手模型 37．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形的边长为3．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ． 38．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知正方形和正方形． (1)如图1，当正方形在正方形在外部时，连接，．求证：； (2)如图2，将（1）中正方形绕点C旋转，使点G落在上． ①若，，求线段的长； ②如图3，与交于点O，连接．判断线段与的数量关系并说明理由． 题型五 半角模型 解｜题｜技｜巧 1)“半角”模型的核心识别条件是“共端点的等线段”和“共顶点的倍、半角”，也可以拓展到邻边相等且对角互补的四边形中. 2) “半角”模型结论在证明过程中有两次重要全等:一次是旋转型全等:一次是对称型全等.只有将两次全等证明完毕，才能继续向下推进. 重难点一 90°半角模型 39．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 40．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 41．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法． (1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到； (2)直接写出线段之间的数量关系 ． (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是4，求的周长． 重难点二 120°半角模型 42．（21-22七年级下·广东湛江·期末）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等或相似三角形，弱化条件，变更载体，而构建模型，可把握问题的本质． (1)问题背景：如图1，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系； (2)探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇与指挥中心O之间的夹角，试求此时两舰艇之间的距离； (4)能力提高：如图，等腰直角三角形中，，，点M、N在边上，且，若，，试求出的长． 43．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 44．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 题型六 对角互补模型 解｜题｜技｜巧 对角互补模型:在四边形中，①一组邻边相等;②另外一组邻边的顶点所在的对角线是这组邻边组成的角的平分线;③对角互补.三者知二推一. 45．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，在四边形对角互补的基础上，它的另一个条件是一条对角线是一个内角的平分线或一组邻边相等方法是构造旋转全等，如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考查． (1)【问题解决】如图①，，，小明同学从点分别向，作垂线，，请你按照小明同学的思路证明； (2)【问题探究】如图②，若，，，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点是正方形外一点，，对角线，交于点，连接，且，求四边形的面积． 46．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）问题背景：“对角互补”是经典的四边形模型，解决相应问题，通常会涉及到旋转构造、全等三角形的证明等综合性较高的几何知识．如果问题中有“，”角度出现，一般会和等腰直角三角形、正方形、等边三角形等特殊图形结合起来考察．    (1)【问题解决】如图①，，平分，小明同学从P点分别向，作垂线，，由此得到正方形，与全等的三角形是________； (2)【问题探究】如图②，若，，平分，，，求的长； (3)【拓展延伸】如图③，点P是正方形外一点，，，对角线，交于点O，连接，且，求正方形的面积． 题型七 婆罗摩笈多模型 重难点一 已知垂直 47．（广东省肇庆市2023-2024学年八年级上学期数学竞赛试题）如图，中，以、为边向外作正方形和正方形，于交于点．求证：． 48．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 重难点二 已知中点 49．（21-22八年级上·湖北鄂州·期中）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就． 婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德． 婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位． 例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论： ①图1中S△ABC＝S△ADE； ②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；   ③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N． （1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程； （2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE． 50．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）【背景问题】老师提出了如下问题： 如图①，在中，是边上的中线，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长__________（写一个即可）； 【感悟方法】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图②，是的中线，交于，交于．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】（3）如图③，在和中，，且，连接为中点，连接并延长交于，则__________． 题型八 与角平分线有关的热考模型 解｜题｜技｜巧 遇到角平分线问题时，牢记以下做辅助线的口诀: 1）图中有角平分线，可向两边做垂直； 2）图中有角平分线，对折一看关系现； 3）角平分线加垂线，三线合一试试看； 4）角平分线平行线，可得等腰三角形. 重难点一 角平分线+垂一边 51．（20-21八年级上·湖北孝感·期末）如图，，点是的中点，平分，，求的大小． 52．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，且，连接． (1)求证：平分； (2)若，且，求的面积． 重难点二 角平分线+分垂线 53．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 54．（2023·山西大同·模拟预测）阅读与思考 下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 通过构造全等三角形来解决图形与几何中的问题 在图形与几何的学习中常常会遇到一些问题无法直接解答，需要作辅助线构造全等三角形才能得到解决，比如下面的题目中出现了角平分线和垂线段，我们可以通过延长垂线段与三角形的一边相交，构造全等三角形，再运用全等三角形的性质解决此问题． 例：如图1，D是内的点，且平分，，连接．若的面积是10，求图中阴影部分的面积． 该问题的解答过程如下： 解：如图2，延长交于点E． ∵平分，∴． ∵，∴． 在和中， ∴． ∴（依据*），． 任务：(1)上述解答过程中的“依据*”是指 ； (2)请将上述解答过程的剩余部分补充完整； (3)如图3，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E，连接．若，请直接写出的长．      重难点三 角平分线+截线 55．（24-25七年级下·河南郑州·期末）（1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 56．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 重难点四 角平分线+平行线 57．（21-22八年级上·贵州遵义·期末）如图：，点P是角平分线上一点，过点P作PC平行OA交OB于点C，于点D，若． (1)求证：是等腰三角形． (2)求的长． 58．（24-25八年级上·辽宁辽阳·期中）如图1，在中，和的平分线相交于点，过点作，分别交和于点和． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的周长． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）一线三垂直模型是初中数学中常见的几何模型，这个模型的关键是抓住“同一直线”和“三个垂直”的特点，通常需要构造三垂直证明三角形全等从而探究出线段的长度，位置关系等问题．    (1)如图1，于点D，，于点E，，求证：； (2)如图2，，，连接，过点A作直线于点F交于点G，若G为的中点，求证：； (3)如图3，，且，，连接，记的面积为，的面积为，的面积为，的面积为，且，． ①求； ②如图3，，的平分线，交于点O，若，的周长为18．求的面积． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期末）【问题初探】 （1）在数学课上，张老师给出如下问题：如图1，平分，求证：．如图2，小颖同学尝试构造“手拉手”模型，给出一种解题思路：过作，交于点，以此来证明阴影部分的三角形全等，得到． 请你参考小颖的解题思路写出证明过程． 【类比分析】（2）张老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答：如图3，，平分，求证：． 【学以致用】（3）如图4，在中，，，D是边的中点，，与边相交于点与边相交于点．请直接写出线段的值：___________． 3．（23-24八年级上·广东珠海·期中）【模型定义】“手拉手模型”是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．如果把小等腰三角形的腰看作是小手，大等腰三角形的腰看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】（1）如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为　　；线段与之间的数量关系是　　． 【模型应用】（2）如图2，，，求证：． 【拓展提高】（3）如图3，两个等腰直角和中，，，，连接，，两线交于点P，则和的数量关系和位置关系是：　　． 【深化模型】（4）如图4，C为线段上一动点（不与A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有　　．（选填序号） 4．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 5．（24-25八年级上·江苏·期末）类比探究∶在中，． 模型建立（1）如图1，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由．小敏认为：可以延长交于点，容易得到与全等，从而解决问题．请你判断线段与的数量关系，并根据她的思路补全证明过程； 模型拓展∶（2）如图2，点在上，点在上，，过点作，交的延长线于点．判断线段与的数量关系，并说明理由 6．（2025·山东济宁·模拟预测）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 如图1，从条件出发：将绕着点D逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点E、F分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 1．（25-26八年级上·湖南长沙·开学考试）平面直角坐标系中，，分别在轴正半轴和轴负半轴上，在第二象限，满足：，． 已知． (1)求，的坐标； (2)求点的坐标； (3)已知是轴的正半轴上一点，，在第一象限，，，连接交轴于点，求证：． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）【问题提出】如图①，直线l：（）与坐标轴分别交于点，．      （1）直线l的函数表达式为 ； （2）过线段的中点作一条直线与x轴交于点F，当为直角三角形时，求出所有满足条件的点F的坐标； 【问题解决】（3）如图②，是某地市政施工的一块区域示意图，其中，米，米．按设计要求，要在直线上任取一点C，连接，在右侧作区域，且为等腰直角三角形，．为了便于确定点D的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，点A的坐标为，点B的坐标为．现对区域进行围挡施工，为节约材料，要求围挡区域的周长最小，请你根据以上信息求出符合要求的的周长，并说明理由． 3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）（1）【问题解决】①如图①，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A，B的坐标分别为A__________，B__________． ②求①中点C的坐标． 小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请借助小明的思路，求出点C的坐标；（2）【类比探究】 数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题，如图②，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标：______． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $