湘豫名校2025-2026学年高三上学期入学摸底考试数学试卷

湘豫名校联考 2025年9月高三秋季入学摸底考试 数学参考答案 题号 2 3 5 8 9 10 11 答案 A B A B BD ACD ACD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.A【解析】x·=(2+3i)·(2-3i)=2+32=13.故选A. 2.B【解析】因为集合A={yy=cosx}=[-1,1],所以A∩B=[0,1].故选B. 3.C【解析】将该组数据从小到大排列：5,6,6,7,8,9,10,12，共8项.又8×60%=4.8，所以该组数据的第60百 分位数为第5项，即8.故选C 4.A【解析】设动圆的圆心为P,半径为r,圆O1:x2十y2=1,圆O2:(x-3)2+y2=36,则O1P=r十1， O2P=6-r,O1O2=3.又O1P+O2P=7>O1O2,所以点P在以O1,O2为焦点的椭圆上.故选A. 5.C【解析】由题中条件可得l5(a,十a1=5(2a4十a:),即l15(a1十g+14d=5[2X(a1十3d)十a],整理得 2 2 a6=a1十15d=a16,所以k=16.故选C. 6.B【解析】由导数的定义知li f1+△x)-f=f'(1).故选B. △x 7.D 【解析】方法一：由题易得ND⊥BC.于是有MN·(M店-M心)=(M市+DN)·C= [2M+MC)+D]i=(M访+C)·成=(+M心，·(-心)-名(Mi- M心P)号故选D. 方法二（坐标法）：建立如图所示的平面直角坐标系，设M(x,y),N(0,y1), B(-a,0),C(a,0),则M=(-x,y1-y),M店=(-a-x,-y),M心 (a-x,-y),Ci=(-2a,0),所以M.(M丽-M心)=MN.Ci=2a.x.又 MB=3,MC=2,所以{ x十a)2+y2=9, 两式作差得4a.x=5,所以M· (x-a)2+y2=4, (M店-M心)=5 8.C 【解析】在fx)=2f(） 中，令x=0,得f(0)=0.因为函数f(x)的图象关于点 )对称所以 f(x)+f(1-x)=1.令x=0,则f(1)十f(0)=1,所以f(1)=1.又f(1)=2 (得)所以f(传）=2在 fx)+f1-)=1中，◆x=是得f(合)=2，所以（付）=f(合)2又由巴知)在[0.1门上是 不减的函数，所以当子<≤是时，点有x)=2由fx)=2f(传）得fx)=f3x).所以f(202) 数学参考答案第1页（共7页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BD【解析】对于A,易得直线A1B与DC所成的角即为∠A1BA=45°，A错 D 误.对于B,如图，连接AB1,由正方体可得A!B⊥AB1,AD⊥平面ABB1A1, 又A1BC平面ABB1A1,所以A1B⊥AD.因为AB1∩AD=A,所以A1B H 平面ADB1,所以B1D⊥A1B.同理B1D⊥A1C1,又A:B∩A1C1=A1,所以 B1D⊥平面A1BC1,B正确.对于C,设正方体的棱长为a,则B1D=√3a.因为 BHL丰面AnC,所以V:=号×号×Ea)P×9AH= B 浮得B1HQ,所以BH1HD1·2.C错误.对于D,因为BHL单面A 为正三角形，A1B1=BB1=C1B1,所以H为△A1BC1的中心，即H为△A1BC1的垂心，D正确.故选BD. 10.ACD【解析】由条件知2(sin acos B-+cos asin)=3(sin acos B--cos asin B),即sin acos B=5 cos asin B,因为 a,B为锐角，所以cosa≠0，cosB≠0，等式两边同时除以cos acos B,得tana=5tanB,A正确，B错误.若a十 5kk B三至，则1an(a+B)a"g.又因为ana=5anB,将1anQ5k(k=tanB)代入，可得-50 1,整理得56：十6-1=0.周为k>0(9是锐角，n月>0，所以6=厅-3，即an月=√-3，C正确 5 5 tan(a-B)=tan a-tan p Atan B 42V5 ,即tanB= 5 、1十tan atan B1+5tan'B5tanB+an8 25=写，当且仅当5an月=1 tan 5 时等号成立，所以tan(a一)的最大值为25 ,D正确故选ACD, 1.ACD【解析】对于A,受-是，所以a:=4,A正确对于B当n≥2时，由已知得号-1十十宁十十 ,进而可得 na1-（n+1)a,=十2m十1，C正确.对于D,考虑不等式两边取对数，即判新h(十） n(+d)十+h+2)<h2em∈N)是否成立.已知a:=1,当n≥2时号=1+2+京十…中 11 1 1=1-1,又a≥n2>0,所以 a>aa以所以品<日多知h(》去所以(+)六女所以 0-）)片h0-动)+n0-)h21号+号号片是=h2*1-<h2+1= 数学参考答案第2页（共7页） n即+)(+)(+）2，当m=1时，1+ -=2<2e,原不等式成立，D正确.故选ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12x=答案不隆-）【解标】r)=6反×（停宁s）=6En(+）十晋-受+ k∈Z,得x=子十xk∈Z,故fx)图象的对称轴为x=吾十x∈Z。 13.3 【解析】若按照最后所剩红球的个数分析，需分类讨论如果注意到最后一个球规定了是红球，那么只需 考虑剩余4个红球在前14个位置的放法种数即可.在5个红球，10个白球中，5个红球的放法有Ci种，即基 本事件总数为C.由于最后一个是红球，那么在前14个球中有10个白球，4个红球，其中4个红球的放法 14! 有C1,种，故所求概率P= 41_4!×10则 51 Cis 15！ 15=3· 5!×10! 14.4√2【解析】设A(y,2y1),B(a2,2a),C(y,2y2)(y1,a,y2互不相等).由BA⊥BC,得ka·kx=-1. 因为kBA= 2y1-2a_ 2kc-220-2。所以1%十a(01+)+(a2十4)=0，由A,P,C三 y-a2y1十a yi-a2 y:+a 点共线，得A产∥AC.因为A市=(5-yi,2-2y1),AC=(y-yi,2y:-2y1),所以y1y2-(y1十y2)+5=0. 所以a=一1，所以B为定点(1，-2)，故BP|=4√2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.【解析11)因为h2=9ac,B=三， 9 所以由余弦定理可得：b2=a2十c2-2 accos B=a2十c2-ac= 所以a2+c2=13 a0,即4(a2十c2）=13aC,……6分 (2)由(1)及正孩定理得sin Asin C=号sinB= 1 3 sinAsinCsin Asin C 13 12 所以(sinA+sinC)2=sinA十sinC+2 sin Asin C= 4 因为A,C为三角形内角，所以sinA十sinC>0, 所以sinA+sinC= 2 …………13分 16.【解析】(1)零假设H。:“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”没有关联. 因为X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 50X15X25-5X5)≈17.014>10.828=x01…5分 20×30×20×30 根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立， 数学参考答案第3页（共7页） 即认为“定期锻炼”和“睡眠质量得分高于85分”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.…6分 (2)由题意得X的所有可能取值为0,1,2， P(X=0C=i9P(=10=9 .Ci.Cl-15,P(X-2)-CH.C-21 38 ……………………………13分 C.38 C。 所以X的分布列为 X 0 1 2 力 1 15 21 19 38 8 ……15分 17【解析】(1)当a=1时，f(x)=e2x一x,f(0)=1.…1分 又f'(x)=2e20-1,f'(0)=2-1=1,…… 2分 所以y=f(x)在x=0处的切线方程为y=x十1.……4分 (2)(i)h(x)=f(x)-g(x)=ae2r-x-(2-a)e,定义域为(-o∞，+o∞)， h'(x)=2ae2x十(a-2)e-1=(aer-1)(2e十1)，… ………6分 当a≤0时，ae-1<0,2e十1>0，则h'(x)<0, 所以h(x)在（一0∞，十0∞）上单调递减，h(x)不存在两个零，点，不符合题意.… 7分 当a>0时，令h'(x)=0,得x=-lna. 当x∈(-o∞，-lna)时，h'(x)<0:当x∈(-lna,十o∞)时，h'(x)>0, 所以h(x)在(-o,-lna)上单调递减，在(-lna,十∞)上单调递增. 所以h(x)m=h(-lha)=a·ex(-a十(a-2)·ea+lna=lna-L 十1，…9分 a 令p(a)=lna- 十1(a>0),要满足题意需p(a)<0, 1 易知o(a)在(0，十o∞)上单调递增，且p(1)=0, 所以Q∈(0,1)，即Q的取值范围是(0,1).…………………………11分 3 a 令x(x)=x-lnx十3(x>3),则x'(x)= …………*…13分 x 当x>3时，x'(x)>0,所以x(x)在(3，十∞)上单调递增 所以r>r3》=6-lh3>0.中（加豆）>0，得注，…15分 18【解析】(1)注意到A,Q为定，点，E,F为动，点. 如图，连接EF,BD,AC, 在平面AEQF中，不妨设EF交AQ于点G, D 因为EFC平面PBD,所以G∈平面PBD 因为AQC平面PAC.所以G∈平面PAC. 数学参考答案第4页（共7页） 因为平面PBD∩平面PAC=PH,所以点G也在PH上，即AQ,PH,EF三线交于一点.…3分 (2)(i)因为AB=2,PA=√1T,所以AH=√2，PH=√PA-AH产=√1-2=3. 易得AC⊥BD. 以H为坐标原点，分别以HB,HC,HP所在的直线为x轴、 y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系，……4分 D 第A0.E.0.B5.00.P003.Q(0号2）月 E 设平面PAB的法向量为n=(x,y,之)， D 二二 则n⊥A方，n⊥A立，即 W2x十√2y=0, √2y+3x=0. B 取x=-1,得y=1,之= 3, 中平西PAB的一个法向量为n=(-11,-写) 3 ……7分 所以cos(A,n)1=A·n √30 …9分 IAQIIm 15 (2)+(侵)×+1+() 所以直线AQ与平面PAB所成角的正孩值为V 。 15 ………10分 (i)方法一：由(1)AQ,PH,EF三线交于点G,显然G是△PAC和△PDB的重心， 1 3 同时Vp-Aas=Vp-Ar十Vp-og=VA-PEF+Va-E=3X2 AHX SAPEF √ 2 -S△PEF· 因此，只需要求△PEF的面积的取值范围.………… ………12分 如图，△PDB中，PD=PB=√1I,DB=2√2， 由重心的性质知P心=子p币+子P①， 又F,G,E三点共线， 所以P亡=mP京+(1-m)P克， 且P京=λPD,P元=4Pi(0<入≤1,0<u≤1)， 所以PG=maPi+(1-m)μPB@. 时地D©两大，可得片十士-8 0<λ1， 因为 0<μ=3a≤1. 所以1 数学参考答案第5页（共7页） 所以S△PEF=以·S△pBD=3W2y以.…15分 又λ=入· 入2 3λ-1 故=f(t)= 过片后打 周光Sam=·Saw=3Ee[,婴] 所以Vp-ABQF= s∈[哈] 17分 方法二：由(1)AQ,PH,EF三线交于点G,显然G是△PBD的重心， V-ms=VEe+Vna=专Smad十专d=子Sao（dEg十dr*o, 又S△PaQ= 2dE-PAQ=dEnd=d- 所以Vp-AEQF= (dE-PH十dr-PH). 只需要求dEpH十dF-PH的取值范围.… 12分 如图，在△PBD中， 当EF位于平行于BD位置时，EF的长度最短，即距离和最小，最小距离 为号×2反-4 3 …14分 当EF位于EF'位置时，EF的长度最长，即距离和最大，此时F'为PB的 中点，最大距离和为3区 2 ，……………16分 所以Vp-AEQF 即多面体AEQFP的体积的取值范围为 D B [引 …………………17分 (E) 19.【解析1(1)依条件知么=1，且2a=2, 所以a=1,b=1,所以T的标准方程为x2一y2=1.……3分 (2)(i)联立方程 -y2=1, 得(1-k2)x2-2km.x-(m2+1)=0(k≠士1). (y=kx十m, 因为双曲线与直线有唯一的公共点M, 所以△=(-2km)2十4(1-k2)(m2十1)=0，即m2=k2-1. 北时x=一品 ……………………5分 -m1 数学参考答案第6页（共7页） 所以试点M且与鲁直的直线为y十品=一专(+完) ………………………6分 可得A(器）B一)N(益)即= 2 y=一 *小*…*…7分 m 消去k,m,可得=4=4 m=7（+m)=4+=4十y,即x2-y=4,其中y≠0. 所以南线E的方复是号-苦 =1(y≠0).……………9分 注：y≠0漏写扣一分 (ⅱ)由()知曲线E是焦点在x轴上，实轴长为4，虚轴长为4的双曲线（去掉两个顶点）. 显然，直线l2的斜率存在，设l2:y=ux十1， 代入x2-y2=4(y≠0)，得(1-u2)x2-2ux-5=0. △=4u2+20(1-u2)>0, 1 由题知12与E的左、右两支相交，则“≠士2， 解得<1且a≠士号 1-0, 2u 5 设C(x1,y1),D(x2y2),则x1十x?= 1-2x122= 1-2 ，………………………………11分 又曲线E在，点C,D处的切线方程分别为x1x一y1y=4,x2x一y2y=4, 联立解得点P的坐标为（一4，一4）. 过点P作x轴的垂线交直线l2于点G,则yG=1一4u2.………13分 从而PG=5-4u2, 所以S△PD= PG·x-:=7(5-4a2)aT-4 2 =2(5-4w2) 1-u2 4t3 令t=√5=40（>1且1≠2)，则f八)=S△m=-t>1且t≠2).…15分 因为f'()=4(-3) (-1),所以f)在(1w)上单调递减，在，2，(2，+)上单调递增. 所以f(t)mim=f(√3)=6√3，即△PCD面积的最小值为6V3.………17分 数学参考答案第7页（共7页） 2025.9湘豫联考高三数学评分细则（补充部分） 说明：如无补充的题目按参考答案给分 第14题： 补充其他解法： C所对的边分别为a,b,c,已知v ac; 小苏·女=一1+g0 i. 小：守衫以w》=4义+ =4取)-》16 以为学 六=-2为=|六6(1.2) BP=4 第15题： 第(2)问补充其他解法： T(2)4(o)=4=a-8=gac 9、(o0号8xa 11(ato SLAtsinC=atc 0+( R= SLB (告子 互.-5 第1页共4页 第17题： 第(2)(i)问补充其他解法： 7)hx ·a(eye)-X-2c× 全kw)o2e学eX。Q: xexix 5 ex 况x: 2e'1x pic)Gebeigb) (e'+ex)' eelete-eleeo (ewtex) e2e)-e'x+) ..6 (eiter)' Mx:-t|年图克域且Mo)=o 星o)才：。.方<b9时Px70 X7u0时<08 一乃0p)2/9.上3P-0 X-7-%. P1<7-7-∞ 5有两支之函o610 6t用h(.) 第2页共4页 第18题： 第(2)（ⅱ)问补充其他解法一（几何法)： 84m 洁 6APc中 (必4A(: 立= 2×11 APa中 Aa2lt-2xm吾7 4№=婆 1:Ve-Tee Vp-Aec 冷列南8嘉动七论0：0 网号吃x2以xk=x风3 列B-站( 2k 7 到滞聪话大：名 男 ·A地5而BM杰员0 则Sn&=4 9 3及 10 第(2)（ⅱ)问补充其他解法二（从角平分线角度进行解答）： (8.(词 Vp-AtaF SapeT 1y3 认EXT月.L6fF形0，y6:系音 △T代，5寸5a%-5pM 村：斋行 一 双付2府：的臀 4了f:初g,矫.y友” 明门面销肝动场 入由必 x原 1一55 南54：盖(+)：禁 S知： 新兴离 ,制元[9，单.杯励狱 :():.认 .16分 ,16球]，印4而序明琳8侍 1一7肉 第3页共4页姓 名 准考证号 绝密★启用前 湘豫名校联考 2025年9月高三秋季入学摸底考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证 号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后 认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写 在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.若复数之=2十3i,则之·之= A.13 B.√13 C.5 D.5 2.已知集合A={y|y=cosx},B={x|0≤x≤2π}，则A∩B= A.[-1,1] B.[0,1] c.⑦ D.[1,2π] 3.已知样本数据7,8,6,10,6,5,9,12，则该组数据的第60百分位数为 A.6 B.7 C.8 D.9 4.与圆x2+y2=1外切，同时与圆x2+y2-6x一27=0内切的圆的圆心在 A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D.圆上 5.在等差数列{a,}中，公差d≠0，若总。：=5(a十a4十a6),则k= 1 A.8 B.12 大 C.16 D.18 数学试题第1页（共6页） 扫描全能王创建 6.已知f(x)在R上可导，则'(1)= A.lim f(1-△.x)-f(1) f(1+△x)-f(1) B.lim △x Ax-+0 △x △0 f(1+△x)-f(1-△x) f(1)-f(1-△x) C.lim D.lim △x-+0 -2△x △x+0 2△x 7如图，N为等边三角形ABC的中线AD上任一点，MB=3,MC=2,则 MN.(MB-MC)= A号 9 7 C 8定义在R上的丽数c)的图象关于点[合，)对聚，且有fe)=2(信)，当 1 0≤x1<x2≤1时，恒有f(x1)≤f(x2),则f 2025 1 B64 话 D.256 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于点 H,则 D C A.直线A1B与DC所成的角为60 B.B1D⊥平面A1BC1 C.BH:HD=1:3 D.H为△A1BC1的垂心 10.已知a,3均为锐角，且2sin(a+B)=3sin(a-B),则 A.tan a=5tan B B.5tana=tanβ C若a十B=买，则tan月=-3 D.tan(a一9)的最大值为 5 数学试题第2页（共6页） 扫描全能王创建 1.已知数列1a,}满足a1=1-a≥2》，则 A.a2=4 B.an≤n2(n∈N*) C.n2am+1-(n+1)2an=n2+2n+1(n≥2，n∈N) D(+++<2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数f(x)=3√6sinx十3√2cosx的图象的一条对称轴方程是 13.有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的5个红球和10 个白球，不放回地依次随机取出，每次取出1个球，直到剩下只有一种颜色 的球时结束则最后只剩红球的概率为 14.已知B是抛物线y2=4x上一点，过点B的两条互相垂直的直线分别交抛 物线于A,C两点（异于点B).若直线AC恒过点P(5,2),则|BP|= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知4b2=9ac,B= (1)求证：4(a2+c2)=13ac; (2)求sinA+sinC的值. 数学试题第3页（共6页） 扫描全能王创建 16.(本小题满分15分) 某大学一兴趣小组为探究“是否定期锻炼”与“睡眠质量”之间的关系，随机 选取了50名同学做调查问卷，得到如下数据（其中睡眠质量得分满分为100 分)： 睡眠质量得分 高于85分 不高于85分 合计 是否定期锻炼 定期锻炼 15 5 20 不定期锻炼 5 25 30 合计 20 30 50 (1)依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“定期锻炼”和“睡眠质 量得分高于85分”有关联？ (2)从睡眠质量得分高于85分的20人中随机抽取2人，求这2人中“定期 锻炼”的人数X的分布列. 附：X2= n(ad-bc)2 a+b)(c+d)(a+c)(6+),其中n=a+b十c+d. X2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Ia 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 器 扫描全能王创建 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=ae2x-x,g(x)=(2-a)e. (1)当a=1时，求y=f(x)在x=0处的切线方程. (2)记h(x)=f(x)-g(x),若h(x)有两个零点. (i)求实数a的取值范围； im求证：hh>0, 18.(本小题满分17分) 如图，正四棱锥P-ABCD中，Q是棱PC的中点，H是底面ABCD的中 心.过AQ作平面与棱PB,PD分别交于不同的点E,F(可以是端点). (1)求证：AQ,PH,EF三线交于一点； (2)若AB=2,PA=√1T. (i)求直线AQ与平面PAB所成角的正弦值； (ii)求多面体AEQFP的体积的取值范围. D H 器 扫描全能王创建 19.（本题满分17分) 已知双曲线下，x,=1(a>0,b>0)的渐近线的斜率为士1，且实轴长 y2 为2. (1)求Γ的标准方程； (2)若T与直线l1:y=kx十m(k≠士1)有唯一的公共点M,过点M且与l1 垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x,0),B(0,y)两点.当点M运动时， 点N(x,y)的轨迹为曲线E. ()求曲线E的方程； (ii)过点Q(0,1)的直线l2与曲线E交于C,D两点，且点C,D分别位 于y轴两侧，设E在点C,D处的切线交于点P,求△PCD面积的最 小值. 附：双曲线2 a一62=1(a>0,b>0)上任一点(xo,yo)处的切线方程为 xox_yy=1(a>0,b>0); 2 椭圆十=1(ab0)上任一点(x0y0)处的切线方程为0士 68=1(a>6>0). yoy 器 扫描全能王创建