专题3.4 最基本的图形--点和线（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题3.4 最基本的图形--点和线 1.同类项的概念及合并同类项（重点） 2.去括号法则的运用（重点） 3.整式加减的运算步骤（重点） 4.同类项的准确判断（难点） 5.去括号时符号的处理（难点） 6.整式加减与实际问题的结合（难点） 知识点1 点和线的概念 1.点 通常用一个点表示一个物体的位置，一个点一般用一个大写字母表示 2.线段、射线、直线 (1)在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线等都给我们以线段的形象; (2)把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做射线； (3)把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做直线 1.线段和射线都是直线的一部分，线段有长短，可以度量和比较，但射线不行， 2.线段、射线、直线的表示方法都一样，只是射线有方向性，故用两个大写字母表示时有顺序，而线段和直线没有顺序性 3.在表示直线、射线、线段时，除两个大写字母外，前面还应加上直线、射线或线段，其中表示线段时“线段”两个字可以省略，而直线、射线不能省略 3.线段、射线、直线的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线或直线或直线 射线或射线 线段或线段或线段 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两端无限延伸 向一端无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分;线段向一端无限延伸就成为射线，向两端无限延伸就成为直线;射线向反方向无限延伸就成为直线 4.点和直线的位置关系 （1）点在直线上，或者说直线经过这个点; （2）点在直线外，或者说直线不经过这个点 知识点2 线段和直线的基本事实 1.线段的基本事实 线段的基本事实 两点间的距离 举例 两点之间线段最短 定义 性质 在所有连结4、B两点的线中，线段AB是最短的，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离 连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 (1)存在性(2)最短性(3)唯一性 2.直线的基太事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线·即两点确定一条直线 两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形，因此不能把两点之间的距离说成是线段 .另外，连结两点是指画出以这两点为端点的线段 知识点3 线段的画法及长短比较 1.线段的长短比较方法 (1)度量法:利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 (2)叠合法:把两条线段中的一条线段移到另一条线段所在直线上，使它们有一个端点重合，另一个端点在重合端点同侧，然后根据另一个端点的位置进行比较 2.画一条线段等于已知线段 (1)方法一:利用刻度尺先量出已知线段的长度，再画一条等于这个长度的线段 (2)方法二:如图，用直尺画射线，再用圆规在射线上截取. 1.当两条线段的长短差别不大，而又不方便放在一起比较时，运用度量法;当两条线段能够放在一起比较而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法 2.度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行比较的，从“数”的方面比较，一般用度量法;从“形”的方面比较，一般用叠合法。 知识点4 线段的和差倍分 1.线段的和与差 如图，已知线段 (1)线段的和:在直线上作线段，在AB的延长线上作线段，则线段就是与的和，记作，如图①所示 (2)线段的差:在直线上作线段，在线段AB上作线段，则线段就是与的差，记作如 图②所示 2.线段的倍与分 如图，射线上有三点，它们的长度关系是，则 1.几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段 2.用尺规作线段的和时，依次向右截取:作线段的差时，从最右边的端点向左截取， 知识点5 线段的中点 1.线段的中点的概念 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点，如图，如果是线段AB的中点，那么 2.线段的三等分点(拓展) 把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点·如图，如果是线段 AB的三等分点，那么 线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上。 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 例1（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图是嘉琪同学完成的作业，每题20分，他的得分是（　　） 判断正确的画“√”，错误的画“×” ①若、互为相反数，则；（　　） ②倒数等于本身的数是、；（　　） ③画射线；（　　） ④比小；（　　） ⑤连接两点间的线段叫两点间的距离（　　） A．40分 B．60分 C．80分 D．100 分 1-1（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 1-2（24-25七年级上·河南商丘·期末）下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 1-3（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下列说法： ①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线；②射线和射线表示的是同一条射线；③单项式的次数是3；④有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的说法有 （填序号）． 1-4（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 题型二、画出直线、射线、线段 例2（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 2-1（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下列语句中，①；②单项式的次数是7；③延长直线至点C；④用一个平面去截一个五棱柱可以截出四边形．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2-2（24-25七年级上·福建厦门·期末）根据“点P是直线a外的一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q”画图，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 2-3（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，平面上有四个点，根据下列语句画图（1）画一条经过点和点的直线；（2）画线段与线段相交于点；（3）画一条以点为端点，并且经过点的射线．以下画出图形正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三、点与线的位置关系 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 3-1（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 3-2（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 题型四、两点确定一条直线 例4（24-25七年级上·全国·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．一个数不是正有理数就是负有理数 B．两点之间，直线最短 C．线段和线段是两条不同的线段 D．过两点有且只有一条直线 4-1（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）下列说法中，①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间直线最短；④线段与线段是同一条线段，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4-2（24-25七年级上·湖南株洲·期末）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 4-3（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．万精确到百分位 B．两点确定一条直线 C．单项式的系数是 D．若，则 4-4（24-25七年级上·福建福州·期末）下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 （填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 4-5（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）请举出一种生活现象以说明“两点确定一条直线”： ． 题型五、直线、线段、射线的数量问题 例5（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定 5-1（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）一趟高铁从西安站出发，沿途经过渭南站、华山站、洛阳龙门站，最后到郑州站，那么从西安站到郑州站这一趟的高铁票最多需要准备（   ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 5-2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）平面上有三个点，过其中每两个点画出一条直线，可以画出的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 5-3（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 5-4（24-25七年级上·河南驻马店·期末）在同一平面内有不重合的四个点，且这四个点不都在同一条直线上，经过这四个点中的任意两点画直线，则一共可以画 条直线． 题型六、直线相交的交点个数问题 例6（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 6-1（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 6-2（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 6-3（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 题型七、线段的应用 例7（24-25七年级上·浙江宁波·期末）生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 7-1（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 7-2（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 题型八、点、线、面、体四者之间的关系 例8（24-25七年级上·全国·期末）下列现象，说明“点动成线”的是（   ） A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹 B．流星划过夜空留下的痕迹 C．酒店旋转门运动的痕迹 D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹 8-1（24-25七年级上·山东青岛·期末）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是属于（    ） A．点动成线的实际应用 B．线动成面的实际应用 C．面动成体的实际应用 D．以上答案都不对 8-2（24-25七年级上·河北邢台·期末）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 8-3（24-25七年级上·湖南湘西·期末）2024年12月19日上午，湘西土家族苗族自治州溶江中学举办“奔跑吧·少年”体育大课间比赛，225名老师和3620名学生精神饱满、步伐一致，跑出“体教融合”加速度．在比赛中，学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为 ． 题型九、作线段(尺规作图) 例9（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 9-1（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 9-2（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 题型十、两点之间线段最短 例10（24-25七年级上·全国·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 10-1（24-25七年级上·全国·期末）关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 10-2（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）锦州市开展冬季研学活动，从市府广场出发，开车去东方华地城，打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为．能解释这一现象的数学知识是 ． 10-3（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为 ． 题型十一、两点间的距离 例11（24-25七年级上·全国·期末）以下说法正确的是（   ） A．两点之间直线最短 B．延长直线到点E，使 C．经过两点有且只有一条直线 D．连结两点的线段就是这两点间的距离 11-1（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）下列叙述正确的是（   ） A．画直线厘米 B．两点之间的线段叫做这两点之间的距离 C．河道改直可以缩短航程，是因为“经过两点有一条直线，并且只有一条直线” D．射线与射线是两条不同的射线 11-2（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 11-3（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 题型十二、最短路径问题 例12（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ）    A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间 12-1（23-24七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 12-2（23-24七年级上·吉林·期末）从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 题型十三、线段的和与差 例13（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 13-1（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（　　） A．点A在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 13-2（24-25七年级上·江苏苏州·期末）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知，，，那么这三个点的位置关系是（   ） A．点A在B、C之间 B．点B在A、C之间 C．点C在A、B之间 D．无法确定 13-3（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 13-4（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知线段，延长至点C，使，D是线段的中点，如果，那么的长为 ． 题型十四、线段中点的有关计算 例14（24-25七年级上·全国·期末）如图，点C、D分别是线段的中点，若，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 14-1（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 14-2（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 14-3（24-25七年级上·全国·期末）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 14-4（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 题型十五、线段n等分点的有关计算 例15（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 15-1（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 15-2（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 题型十六、线段之间的数量关系 例16（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 16-1（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，M是线段的中点，N是线段上一点，下列各式可以表示的长度的是（   ） A． B． C． D． 16-2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图下列说法中不能判定C是线段中点的是（     ） A． B． C． D． 16-3（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）点，在线段上，是线段中点，，若，则长为 ． 16-4（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是10．若点D在数轴上，且，则的长为 ． 题型十七、与线段有关的动点问题 例17（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 17-1（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 17-2（23-24七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 易错点1 在线段的和、差的计算中的忽略分类讨论 典例1（2024•上海校级期末）如图，已知点是线段上一点，且，点是的中点，且． （1）线段的长是 　 　． （2）求的长； （3）若点是线段上一点，且，求的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义进行求解即可； （2）根据可得，则； （3）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况根据求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【解答】解：（1）点是的中点，且， ， 故答案为：12； （2）， ， ； （3）如图所示，当点在线段上时， ，， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， ； 综上所述，的长为7或9． 举一反三1（2024•云南期末）如图，点为线段上一点，点为的中点，且，． （1）求的长； （2）若点在直线上，且，求的长． 易错点2 寻找线段、射线、直线的条数规律出错 典例2（广东揭阳月考）（1）在线段上取一点，共有几条线段？ （2）在线段上取两点，，共有几条线段？ （3）在线段上取三点，，，共有几条线段？ （4）一条直线上有个点时，共有多少条线段？ 【分析】（1）在线段上取一点，线段上有3个点； （2）在线段上取两点、，线段上有4个点； （3）在线段上取三点、、，线段上有5个点； （4）一条直线上有个点时，线段总条数． 【解答】解：（1）线段上有3个点时，线段总条数是3条，即； （2）线段上有4个点时，线段总条数是6条，即； （3）线段上有5个点时，线段总条数是10条，即； （4）直线上有个点时，线段总条数． 举一反第三2已知如图， （1）如图①，两条直线相交，最多有 　　个交点； 如图②，三条直线相交，最多有 　　个交点； 如图③，四条直线相交，最多有 　　个交点； 如图④，五条直线相交，最多有 　　个交点； （2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有 　　个交点． 一．选择题（共4小题） 1．（湖南永州校级自主招生）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则等于　　 A．36 B．37 C．38 D．39 2．（2025•南京期末）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是　　 A． B． C． D． 3．（2025•广东汕头期末）如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以，，，为端点的所有线段长度和不可能为　　 A． B． C． D． 4．（2025•南京秦淮区期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是　　 A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题 5．（2025•山东济宁期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作10次，则　 　 ． 6．（2025•山东菏泽期末）如图，点是线段的中点，点是线段上的一点，厘米，则线段的长为 　 　厘米． 7．（2025•河北唐山期末）【新知理解】如图1，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点是线段的巧点，则 　 　． 三．解答题（共3小题） 8．（浙江宁波期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． （1）若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则　或　． 9．（2025•安徽阜阳期末）已知点在线段上，点在线段上， （1）如图1，若，，为线段的中点，求线段的长度； （2）如图2，若，为线段的中点，，求线段的长度． 10．（2024•山东日照期末）在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点与点之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，0，12． （1）直接写出结果，　 　，　 　． （2）设点在数轴上对应的数为． ①若点为线段的中点，则　 　． ②若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 　　． （3）动点从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间向右运动，同时动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由． 2 / 46 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 最基本的图形--点和线 1.同类项的概念及合并同类项（重点） 2.去括号法则的运用（重点） 3.整式加减的运算步骤（重点） 4.同类项的准确判断（难点） 5.去括号时符号的处理（难点） 6.整式加减与实际问题的结合（难点） 知识点1 点和线的概念 1.点 通常用一个点表示一个物体的位置，一个点一般用一个大写字母表示 2.线段、射线、直线 (1)在日常生活中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线等都给我们以线段的形象; (2)把线段向一端无限延伸所形成的图形叫做射线； (3)把线段向两端无限延伸所形成的图形叫做直线 1.线段和射线都是直线的一部分，线段有长短，可以度量和比较，但射线不行， 2.线段、射线、直线的表示方法都一样，只是射线有方向性，故用两个大写字母表示时有顺序，而线段和直线没有顺序性 3.在表示直线、射线、线段时，除两个大写字母外，前面还应加上直线、射线或线段，其中表示线段时“线段”两个字可以省略，而直线、射线不能省略 3.线段、射线、直线的区别与联系 直线 射线 线段 区别 图形 表示方法 直线或直线或直线 射线或射线 线段或线段或线段 端点个数 0 1 2 延伸情况 向两端无限延伸 向一端无限延伸 不能延伸 度量情况 不能度量 不能度量 能度量 联系 射线和线段都是直线的一部分;线段向一端无限延伸就成为射线，向两端无限延伸就成为直线;射线向反方向无限延伸就成为直线 4.点和直线的位置关系 （1）点在直线上，或者说直线经过这个点; （2）点在直线外，或者说直线不经过这个点 知识点2 线段和直线的基本事实 1.线段的基本事实 线段的基本事实 两点间的距离 举例 两点之间线段最短 定义 性质 在所有连结4、B两点的线中，线段AB是最短的，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离 连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离 (1)存在性(2)最短性(3)唯一性 2.直线的基太事实 经过两点有一条直线，并且只有一条直线·即两点确定一条直线 两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形，因此不能把两点之间的距离说成是线段 .另外，连结两点是指画出以这两点为端点的线段 知识点3 线段的画法及长短比较 1.线段的长短比较方法 (1)度量法:利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 (2)叠合法:把两条线段中的一条线段移到另一条线段所在直线上，使它们有一个端点重合，另一个端点在重合端点同侧，然后根据另一个端点的位置进行比较 2.画一条线段等于已知线段 (1)方法一:利用刻度尺先量出已知线段的长度，再画一条等于这个长度的线段 (2)方法二:如图，用直尺画射线，再用圆规在射线上截取. 1.当两条线段的长短差别不大，而又不方便放在一起比较时，运用度量法;当两条线段能够放在一起比较而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法 2.度量法和叠合法是从“数”和“形”两个方面进行比较的，从“数”的方面比较，一般用度量法;从“形”的方面比较，一般用叠合法。 知识点4 线段的和差倍分 1.线段的和与差 如图，已知线段 (1)线段的和:在直线上作线段，在AB的延长线上作线段，则线段就是与的和，记作，如图①所示 (2)线段的差:在直线上作线段，在线段AB上作线段，则线段就是与的差，记作如 图②所示 2.线段的倍与分 如图，射线上有三点，它们的长度关系是，则 1.几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段 2.用尺规作线段的和时，依次向右截取:作线段的差时，从最右边的端点向左截取， 知识点5 线段的中点 1.线段的中点的概念 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点，如图，如果是线段AB的中点，那么 2.线段的三等分点(拓展) 把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点·如图，如果是线段 AB的三等分点，那么 线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上。 题型一、直线、射线、线段的联系与区别 例1（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图是嘉琪同学完成的作业，每题20分，他的得分是（　　） 判断正确的画“√”，错误的画“×” ①若、互为相反数，则；（　　） ②倒数等于本身的数是、；（　　） ③画射线；（　　） ④比小；（　　） ⑤连接两点间的线段叫两点间的距离（　　） A．40分 B．60分 C．80分 D．100 分 【答案】A 【分析】依次判断嘉琪同学对这5道题的解答是否正确，统计正确的题目数量，再根据每题20分计算得分．本题主要考查了相反数、倒数、射线、有理数大小比较以及两点间距离的相关概念，熟练掌握这些概念是解题的关键． 【详解】解：①题，互为相反数的两个数和为， 该题判断正确． ②题，倒数等于本身的数是， 该题判断正确． ③题，射线是无限长的，不能度量长度， 该题判断错误． ④题，， 该题判断错误． ⑤题，连接两点间的线段的长度叫两点间的距离， 该题判断错误． 嘉琪同学做对了道题，每题分， 得分是分． 故选：A． 1-1（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．画一条长的射线 B．线段和线段不是同一条线段 C．射线是直线的一部分 D．延长直线至点 【答案】C 【分析】依据射线、线段、直线的相关定义和性质，分别对每个选项进行分析，判断其正确性即可．本题主要考查了射线、线段、直线的定义和性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 【详解】解：∵射线是无限延伸的，不可度量长度， ∴不能画一条长的射线，A选项错误； ∵线段和线段端点相同，长度相同，是同一条线段， ∴B选项错误； ∵射线是直线的一部分， ∴C选项正确； ∵直线本身是无限延伸的，无需延长， ∴不能延长直线至点C，D选项错误 故选：C． 1-2（24-25七年级上·河南商丘·期末）下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 【答案】D 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点确定一条直线，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意； B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意； C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，符合题意； 故选：D． 1-3（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下列说法： ①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线；②射线和射线表示的是同一条射线；③单项式的次数是3；④有理数分为正有理数和负有理数；其中正确的说法有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】此题考查了点动成线，射线的定义，单项式的次数，有理数的分类，根据点动成线，射线的定义，单项式的次数，有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：①朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明点动成线，正确； ②射线是以A为端点，向无限延伸，射线是以点B为端点，向无限延伸， ∴射线和射线表示的不是同一条射线，故②错误； ③单项式的次数是3，正确； ④有理数分为正有理数，0和负有理数，错误； 综上所述，其中正确的说法有①③． 故答案为：①③． 1-4（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 【详解】解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 题型二、画出直线、射线、线段 例2（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（　　） A．延长线段到C B．射线经过点A C．直线a与直线b相交于点P D．射线与线段没有交点 【答案】C 【分析】本题考查直线、射线、线段，关键是掌握直线、射线、线段的概念．由直线、射线、线段的概念，即可判断． 【详解】解：A、延长线段到C，故选项不符合题意； B、射线不经过点A，故选项不符合题意； C、几何图形与相应语言描述相符，故选项符合题意； D、射线与线段有交点，故选项不符合题意． 故选：C． 2-1（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）下列语句中，①；②单项式的次数是7；③延长直线至点C；④用一个平面去截一个五棱柱可以截出四边形．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数大小比较，单项式次数，直线的性质以及立体图形的截面相关知识，解题的关键是准确掌握各知识点的概念． 分别对题目中的四个语句进行分析判断，统计正确语句的个数． 【详解】两个负数比较大小，绝对值大的反而小．，因为，所以，故①错误‘’ 单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．在单项式中，的次数是的次数是3，所以该单项式的次数为，并非7，故②错误； 直线本身是向两方无限延伸的，不存在延长的说法，应该是延长线段至点，故③错误； 用一个平面去截一个五棱柱，当平面与五棱柱的四个面相交时，就可以截出四边形，故④正确． 综上，只有④正确，正确的语句有1个， 故选：A． 2-2（24-25七年级上·福建厦门·期末）根据“点P是直线a外的一点，过P有一条直线b与直线a相交于点Q”画图，下列图形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据语句画图问题，掌握基本作图的语句，按要求画图是解题关键．先根据语句作出图形，再根据图形作出判断即可． 【详解】解：根据语句作图如下： 正确的是D． 故选择：D． 2-3（24-25七年级上·山西吕梁·期末）如图，平面上有四个点，根据下列语句画图（1）画一条经过点和点的直线；（2）画线段与线段相交于点；（3）画一条以点为端点，并且经过点的射线．以下画出图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图一复杂作图，直线、射线、线段的知识，掌握直线、射线、线段的特征是解题关键， 根据直线、射线、线段的特征进行画图即可． 【详解】解：（1）画一条经过点和点的直线，如图所示； （2）画线段与线段相交于点，如图所示； （3）画一条以点为端点，并且经过点的射线，如图所示； 故选：D． 题型三、点与线的位置关系 例3（24-25七年级上·湖北武汉·期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是(   ) A．如图1，直线，相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长射线 D．如图4，点在直线上 【答案】A 【分析】本题考查直线、射线、线段，解题的关键是根据图形，能用几何语言描述它们的关系．根据直线、射线、线段的定义与图形逐项判断即可． 【详解】解：①如图1，直线、相交于点，与图相符，故选项A符合题意； ②如图2，直线与线段有公共点，故选项B不符合题意； ③如图3，只能反向延长射线，故选项C不符合题意； ④如图4，点不在直线上，故选项D不符合题意． 故选：A． 3-1（24-25七年级上·湖南邵阳·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的有（   ） A．如图1，直线、相交于点 B．如图2，直线与线段没有公共点 C．如图3，延长线段 D．如图4，直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的语言描述．利用线段、直线和射线，点与直线的关系等语言描述逐一判断即可解题． 【详解】解：A. 如图1，直线、相交于点，描述相符，故该选项不符合题意； B. 如图2，直线与线段有公共点，描述不相符，故该选项符合题意； C. 如图3，延长线段，描述相符，故该选项不符合题意； D. 如图4，直线不经过点，描述相符，故该选项不符合题意； 故选：B． 3-2（24-25七年级上·重庆渝中·期末）如图，直线与直线相交于点，下列说法错误的是（   ） A．点在直线外 B．点在直线上 C．点在线段的反向延长线上 D．直线与线段相交于点 【答案】B 【分析】本题考查了线段，射线，直线的关系．根据线段，射线，直线的特点判断即可． 【详解】解：A、点在直线外，说法正确，本选项不符合题意； B、点在直线外，原说法不正确，本选项符合题意； C、点在线段的反向延长线上，说法正确，本选项不符合题意； D、直线与线段相交于点，说法正确，本选项不符合题意； 故选：B． 题型四、两点确定一条直线 例4（24-25七年级上·全国·期末）下列叙述中，正确的是（    ） A．一个数不是正有理数就是负有理数 B．两点之间，直线最短 C．线段和线段是两条不同的线段 D．过两点有且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，两点之间线段最短，线段的表示，过两点有且只有一条直线，熟练掌握相关知识点是解题的关键；根据有理数的分类，两点之间线段最短，线段的表示，过两点有且只有一条直线，逐项判定即可． 【详解】解：A、0既不是正有理数也不是负有理数，故本选项不符合题意； B、两点之间，线段最短，故本选项不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，故本选项不符合题意； D、过两点有且只有一条直线，故本选项符合题意； 故选：D． 4-1（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）下列说法中，①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间直线最短；④线段与线段是同一条线段，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查直线、射线、线段、两点间距离等知识点，根据直线、射线、两点间距离的相关知识逐一分析即可解答；准确把握相关概念是关键． 【详解】解：①过两点有且只有一条直线，正确； ②连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故②错误； ③两点之间线段最短，故③错误； ④线段与线段是同一条线段，故④正确； 故①④正确，仅有2个． 故选：B． 4-2（24-25七年级上·湖南株洲·期末）经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的黑线，而且只能弹出一条黑线，能解释这一实际应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．过一点，有无数条直线 C．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离 D．两点之间的所有连线中，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了直线的性质，掌握“经过两点有且只有一条直线”是解题的关键．根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【详解】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． ∴能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线． 故选：A． 4-3（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．万精确到百分位 B．两点确定一条直线 C．单项式的系数是 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、直线公理、近似数及单项式，熟记以上知识点是解题的关键． 根据代数式求值、直线公理、近似数及单项式的知识进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 万，精确到百位，该选项错误，不符合题意； B.选项说法正确，符合题意； C. 单项式的系数是，该选项错误，不符合题意； D. 若，则，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 4-4（24-25七年级上·福建福州·期末）下列三个生活生产现象中，可依据“两点之间，线段最短”进行解释的现象有 （填序号）： ①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了两点之间，线段最短以及两点确定一条直线．根据两点之间，线段最短以及两点确定一条直线，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①用两个钉子，就可以把一根木条固定在墙上，依据“两点确定一条直线”； ②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，依据“两点确定一条直线”； ③把弯曲的公路改直，能缩短路程，依据“两点之间，线段最短”． 故答案为：③ 4-5（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）请举出一种生活现象以说明“两点确定一条直线”： ． 【答案】在一面墙上用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动 【分析】本题考查了两点确定一条直线，利用生活现象进行说明即可． 【详解】解：在一面墙上用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动，用数学知识解释这种生活现象为两点确定一条直线， 故答案为：在一面墙上用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动． 题型五、直线、线段、射线的数量问题 例5（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）同一平面内有三个不同的点A，B，C，过其中任意两个点画直线，可以画出的直线的条数是（    ） A．1 B．3 C．1或3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，本题的关键是进行分类讨论，将三个点进行不同的排列，可得两个结果．根据题意画出图形，即可看出答案． 【详解】解：如图可以画3条直线或1条直线， 故选：C． 5-1（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）一趟高铁从西安站出发，沿途经过渭南站、华山站、洛阳龙门站，最后到郑州站，那么从西安站到郑州站这一趟的高铁票最多需要准备（   ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】本题考查排列组合的实际应用，需计算单程路线中不同起点到终点的车票种类数． 【详解】解：高铁从西安出发，依次经过渭南、华山、洛阳龙门，终点为郑州，共5个车站．每张车票对应一个起点和一个终点，且终点必须在起点之后，分类计算如下： 西安为起点，有4个终点（渭南、华山、洛阳龙门、郑州），共4种； 渭南为起点，有3个终点（华山、洛阳龙门、郑州），共3种； 华山为起点，有2个终点（洛阳龙门、郑州），共2种； 洛阳龙门为起点，有1个终点（郑州），共1种； 郑州为起点，无后续车站，共0种． 总车票种类数为：． 因此，最多需要准备10种高铁票， 故选：C． 5-2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）平面上有三个点，过其中每两个点画出一条直线，可以画出的直线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是两点确定一条直线，解答此题的关键是正确分析三点在同一平面内的位置关系，平面上三个点的位置关系有两种情况：三点共线或不共线，分别对应不同的直线条数 【详解】解：若三个点在同一直线上，则每两个点确定的直线均为同一条，此时只能画出1条直线， 若三个点不在同一直线上，则每两个点确定一条不同的直线，共能画出3条直线， 综上，根据点的位置不同，可画出的直线条数为1或3． 故选D 5-3（24-25七年级上·河南郑州·期中）小明从衡阳乘高铁到成都，发现这条火车路线上共有10个站(衡阳东，长沙南，武汉，汉口，宜昌东，荆州，恩施，丰都，重庆北站，成都东)，且任意两站之间的票价都不相同，则有 不同的票价，要准备 不同的车票． 【答案】 45种 90种 【分析】本题考查了线段数量的问题，掌握线段的计数方法是解题的关键．先求出线段的条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序，即可求解． 【详解】解：根据题意，相当于一条直线上有10个点，有多少种不同的票价即有多少条线段：(种)． 故答案为：45种； 有多少种车票是要考虑顺序的，则有(种)． 故答案为：90种． 5-4（24-25七年级上·河南驻马店·期末）在同一平面内有不重合的四个点，且这四个点不都在同一条直线上，经过这四个点中的任意两点画直线，则一共可以画 条直线． 【答案】4或6 【分析】本题考查求直线的条数，分四个点中有三个点在一条直线上和四个点都不在同一条直线上两种情况讨论，根据任意两点确定一条直线，进行求解即可． 【详解】解：若这四个点中有三个点在一条直线上，则可以画（条）直线； 若四个点都不在同一条直线上，过任意一个点与剩下的3个点可以画出3条直线， 4个点共可以画出（条）， 因为每个点重复一次， 所以一共可以画（条）直线； 综上，一共可以画4条或6条直线， 故答案为：4或6． 题型六、直线相交的交点个数问题 例6（24-25七年级上·河南洛阳·期末）我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，……10条直线两两相交最多能有（   ） A．28 B．36 C．45 D．55 【答案】C 【分析】此题考查了直线的交点问题，找到规律是解题关键． 根据题干总结规律即可解题． 【详解】解：由题意可得： 3条直线两两相交最多有3个交点，即， 4条直线两两相交最多有6个交点，即， 5条直线两两相交最多有10个交点，即， 6条直线两两相交最多有15个交点，即， … ∴10条直线两两相交最多能有． 故选：C． 6-1（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 【详解】分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 6-2（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 【答案】 【分析】本题主要考查了相交线，掌握此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有个交点，而，故可猜想，n条直线相交，最多有个交点．据此即可求解答案． 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点， 故答案为：． 6-3（24-25七年级上·江苏盐城·期末）一个平面内3条直线最多可以将这个平面分成 区域． 【答案】7 【分析】本题考查了直线相交对平面区域划分的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据三条直线在平面内的位置关系进行作答，即可求解； 【详解】解：三条平行直线可以把平面分成4部分， 三条直线中，有两条平行时可以把平面分成6部分， 三条相交直线可以把平面分成7部分； 故答案为：7； 题型七、线段的应用 例7（24-25七年级上·浙江宁波·期末）生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 7-1（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 7-2（23-24七年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（    ）种车票，共有（    ）种票价．    A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：，， ∴需印制20种车票，共有10种票价． 故选：C． 【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站． 题型八、点、线、面、体四者之间的关系 例8（24-25七年级上·全国·期末）下列现象，说明“点动成线”的是（   ） A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹 B．流星划过夜空留下的痕迹 C．酒店旋转门运动的痕迹 D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体的关系，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．理解“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”并结合实际问题进行分析是解题关键．根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项的实际意义逐项分析判断即可． 【详解】解：A．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹，说明“线动成面”，不合题意； B．流星划过夜空留下的痕迹，说明“点动成线”，符合题意； C．酒店旋转门运动的痕迹，说明“面动成体”，不合题意； D．在桌面上快速转动一个硬币形成的痕迹，说明“面动成体”，不合题意． 故选：B． 8-1（24-25七年级上·山东青岛·期末）汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，是属于（    ） A．点动成线的实际应用 B．线动成面的实际应用 C．面动成体的实际应用 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体，汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面，正确理解点线面体的概念是解题的关键． 【详解】解：汽车的雨刷实际上是一条线，通过运动把玻璃上的雨水刷干净，所以应是线动成面， 故选：B． 8-2（24-25七年级上·河北邢台·期末）电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”（金箍棒看成一条线）飞速旋转，形成一圆面，这说明了（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查点、线、面、体之间的关系，理解“点动成线、线动成面、面动成体”是解决问题的关键．根据“线动成面”的意义得出答案． 【详解】解：说明了线动成面， 故选：B． 8-3（24-25七年级上·湖南湘西·期末）2024年12月19日上午，湘西土家族苗族自治州溶江中学举办“奔跑吧·少年”体育大课间比赛，225名老师和3620名学生精神饱满、步伐一致，跑出“体教融合”加速度．在比赛中，学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为 ． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了线动成面的知识．根据线与面的关系解答即可． 【详解】解：学生“打开折扇得到扇面”用数学知识可以解释为线动成面． 故答案为：线动成面 题型九、作线段(尺规作图) 例9（23-24七年级上·河北唐山·期末）如图，已知线段、，画出线段，则的长度表述正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图以及两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．结合图形，根据作图即可求解． 【详解】解：由作图知：， 故选：D． 9-1（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，用圆规比较两条线段的长短，其中正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查利用圆规比较两条线段的大小，熟练掌握利用圆规比较两条线段的大小是解题的关键，根据圆规张口的大小即可判断，从而得到答案． 【详解】解：如图可知，用圆规的两个脚分别对准线段，的两个端点， ∵对准线段的圆规张口大于对准线段的圆规张口， ∴， 故选：C． 9-2（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，用圆规比较两条线段和的长短，可知 ．（填写“”，“”，“”） 【答案】 【分析】本题考查了线段的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知， 故答案为：． 题型十、两点之间线段最短 例10（24-25七年级上·全国·期末）如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短 【答案】A 【分析】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短． 利用线段的性质解答即可． 【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短． 故选：A． 10-1（24-25七年级上·全国·期末）关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 【答案】A 【分析】本题考查线段，两点间的距离，线段的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】连接两点的线段只有1条，故A错误； 线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离，故B正确； 连接两点的线段的长度，是两点间的距离，故C正确； 两点之间的距离是连接两点的所有线的长度中，长度最短的，故D正确； 故答案为：A 10-2（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）锦州市开展冬季研学活动，从市府广场出发，开车去东方华地城，打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为．能解释这一现象的数学知识是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，掌握线段的性质两点之间、线段最短是解题的关键． 直接运用线段的性质即可解答． 【详解】解：打开导航，显示两地直线距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，能解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 10-3（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）从A到B有多条道路，人们会走中间的直路，而不会走其他曲折的路，这是因为 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了两点之间线段最短，掌握两点之间线段最短是解题的关键．根据线段的性质即可求解． 【详解】解：人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的道理是：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． 题型十一、两点间的距离 例11（24-25七年级上·全国·期末）以下说法正确的是（   ） A．两点之间直线最短 B．延长直线到点E，使 C．经过两点有且只有一条直线 D．连结两点的线段就是这两点间的距离 【答案】C 【分析】本题考查线段、直线、两点间的距离等知识，是基础考点，根据知识点依次判断即可，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：A：两点之间线段最短，错误，不符合题意； B：延长线段到点E，使，错误，不符合题意； C：经过两点有且只有一条直线，正确，符合题意； D：连结两点的线段的长度就是这两点间的距离，错误，不符合题意； 故选：C． 11-1（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）下列叙述正确的是（   ） A．画直线厘米 B．两点之间的线段叫做这两点之间的距离 C．河道改直可以缩短航程，是因为“经过两点有一条直线，并且只有一条直线” D．射线与射线是两条不同的射线 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线，射线的概念，两点之间的距离，两点之间，线段最短，根据直线长度不可度量可判断A；根据两点之间的距离的定义和两点之间，线段最短可判断B、C，根据射线的定义可判断D． 【详解】解：A、直线可以向两边无限延伸，长度不可度量，原说法错误，不符合题意； B、两点之间的线段的长度叫做这两点之间的距离，原说法错误，不符合题意； C、河道改直可以缩短航程，是因为“两点之间，线段最短”， 原说法错误，不符合题意； D、射线与射线是两条不同的射线，原说法正确，符合题意； 故选；D． 11-2（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查两点间的距离，本题需要分析两种情况，当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的右侧时， ， ∵线段，， ∴， 当点在点的左侧时， ， ∵线段，， ∴， 综上所述，A，C两点间的距离是或， 故答案为：4或8． 11-3（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连接其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了两点之间的距离．由题意得，，求得，，，，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 当，时，，， 符合题意，此时； 当，时，，， 不符合题意， 综上，k的值是12； 故答案为：12． 题型十二、最短路径问题 例12（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ）    A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间 【答案】A 【分析】设、间的路程为，分类讨论，当点在点的左侧和点在点的右侧，用含的代数式表示车站到三个村庄的路程之和，就可以得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 设、间的路程为， 如图，当点在点的左侧，    车站到三个村庄的路程之和为：； 如图，当点在点的右侧，    车站到三个村庄的路程之和为：； 综上所述：车站到三个村庄的路程之和为； ∴当时，路程之和最小为， ∴当车站建在村庄处，车站到三个村庄的路程之和最小． 故选： A． 【点睛】本题考查了分类讨论思想的运用，代数式的运用，解答时求得车站到三个村庄的路程之和是关键． 12-1（23-24七年级上·辽宁盘锦·期中）如图，直线是一条河，、 是两个新农村定居点，欲在上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向 、两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题；利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：作关于的对称点，连接交直线于点，如图所示， 则 根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短． 故选：D． 12-2（23-24七年级上·吉林·期末）从A到B地有①、②、③三条路可以走，每条路长分别为：l，m，n，则第 条路最短，另两条路的长短关系是 ． 【答案】 ② 相等 【分析】题目主要考查线段的和差，理解题意，结合图形求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得①、③两条路线的总长度相等； ②路线的长度最短，因为． 故答案为：②；相等． 题型十三、线段的和与差 例13（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②若，则；③．其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了两点间的距离，能够利用线段中点的性质求解一些线段之间的关系是解题关键． 由可得，由中点的意义推得，进一步得，①正确；由得，由中点的意义可得结论，②正确；由中点的意义可得，，代入，整理后可得③正确． 【详解】解：，， ， 是线段的中点， ， ， ，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，， ，故②正确； 、分别是线段，的中点， ，， ， ，故③正确； 综上所述，正确的有①②③． 故选：D． 13-1（24-25七年级上·四川泸州·期末）如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（　　） A．点A在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．射线与射线是同一条射线 D． 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，线段、射线、直线，掌握线段、射线、直线的定义以及线段的和差关系是正确解答的关键．根据线段、直线、射线的定义以及两点间的距离进行判断即可． 【详解】解：A．点A在直线上或在的延长线上，不在线段上，因此选项A不符合题意； B．点C在线段的延长线上，因此选项B不符合题意； C．射线与射线不是同一条射线，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D符合题意． 故选：D． 13-2（24-25七年级上·江苏苏州·期末）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知，，，那么这三个点的位置关系是（   ） A．点A在B、C之间 B．点B在A、C之间 C．点C在A、B之间 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了两点间的距离，整式的加减．根据题意得，若点A在两点之间，则，代入求解即可判断；若点在两点之间，则，代入求解即可判断；若点在两点之间，则，此时无解，综上，即可得． 【详解】解：∵，，， ∴， A、若点A在两点之间， 则， ， ，符合题意； B、若点在两点之间， 则， ， ，此情况不存在，不符合题意； C、若点在两点之间， 则， ，此时无解，故选项情况不存在； 故选：A． 13-3（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）如图， 直线上从左到右依次有A， B， C， D四点． M，N分别是线段，的中点， 且，， 则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了线段的有关计算，线段中点的有关计算，由线段中点的定义可得出，，由线段的和差可得出，进而可求出，最后根据线段的和差关系即可求出． 【详解】解：∵M，N分别是线段，的中点， ∴，， ∵，又， ∴， 即：， ∴， 故答案为：10． 13-4（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知线段，延长至点C，使，D是线段的中点，如果，那么的长为 ． 【答案】6 【分析】根据图形中线段之间的和差关系进行计算即可． 本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义以及图形中线段之间的和差关系是正确解答的关键． 【详解】解：如图， ∵，即， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 题型十四、线段中点的有关计算 例14（24-25七年级上·全国·期末）如图，点C、D分别是线段的中点，若，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差及线段中点间的计算，熟练运用线段的和与差计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据点D是线段的中点，可得到的长，再根据点C是线段的中点，可得到的长，即可求解． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 故选：C 14-1（24-25七年级上·宁夏银川·期末）已知在一直线上有A、B、C三个点，且线段，，点M是线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的有关计算； 分点在点的左侧和右侧两种情况，分别求出，再根据线段中点的定义计算即可． 【详解】解：如图，当点在点左侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 如图，当点在点右侧时，可有， ∵点是线段的中点， ∴； 综上：的长为或； 故选：C． 14-2（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线．若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫作这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长是（   ） A．4 B．20或10 C．10 D．20或4 【答案】D 【分析】本题考查与线段的中点有关的计算．分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，如图： 由题意，得：，， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图： 则，， ∵， ∴， ∴； 综上，线段的长是20或4． 故选：D． 14-3（24-25七年级上·全国·期末）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ． 【答案】8或10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系．先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故答案为：8或10． 14-4（24-25七年级上·全国·期末）已知线段与在同一直线上，，M为的中点，N为的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义．作出图形，分①点A、C在点B的两侧，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；②点C在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解；③点A在线段上，根据线段中点的定义表示出、，再根据计算即可得解． 【详解】解：①如图1，点A、C在点B的两侧， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②如图2，点C在线段上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； ③如图3，点A在线段BC上， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为． 故答案为：． 题型十五、线段n等分点的有关计算 例15（24-25七年级上·辽宁鞍山·期末）如图，点，在线段上，且，，下列结论正确的是（   ） A．点是线段的中点 B．点是线段的中点 C．点是线段的三等分点 D．点是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据线段中点的定义可以得出点是线段的中点，点是线段的中点，即可判断A选项和B选项说法错误；根据线段等分点的定义，可以得出点是线段的三等分点，点是线段的四等分点，即可判断C选项说法错误，D选项说法正确． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故B选项说法错误； ∵点在线段上，且， ∴点是线段的中点，故A选项说法错误； 即， ∴， ∴，， 即点是线段的三等分点，故D选项说法正确； 点是线段的四等分点，故C选项说法错误． 故选：D． 15-1（24-25七年级上·安徽黄山·期末）如图，点是线段上一点，，．点是线段的中点，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，由，可得，再根据点是线段的中点，即可求出的长，掌握线段中点的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∴， 故选：． 15-2（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图M是线段的中点，，点C是上的一点，且满足，则线段的长度是 ． 【答案】 【分析】此题考查线段的中点性质，线段等分点的计算，线段的和差计算，正确理解图形中线段之间的数量关系是解题的关键． 先根据M是线段的中点，求出，再根据求出的长度，即可得到答案． 【详解】解：M是线段的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 题型十六、线段之间的数量关系 例16（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，线段的长为，是的中点，将线段分为和两部分，且，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点的定义，可求出和的长度，根据和的比例关系，可求出的长度，最后用加上即可求出的长． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中点的定义和成比例线段，熟练地根据中点的定义和线段间的比例关系求出需要线段的长度是解题的关键． 16-1（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，M是线段的中点，N是线段上一点，下列各式可以表示的长度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，根据线段中点的定义和线段的和差倍分关系逐项判断即可求解． 【详解】解：由图可知，，故A选项不合题意； 因为，所以，故B选项不合题意； 因为 是线段的中点， 所以 ， 所以 ，故C选项符合题意； 因为点不一定是线段的中点，所以D选项不合题意． 故选：C. 16-2（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图下列说法中不能判定C是线段中点的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的中点，掌握知识点是解题的关键． 根据线段的中点，结合图形逐一分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴C是线段中点． 故A正确，不符合题意； B．∵， ∴C是线段中点． 故B正确，不符合题意； C．由，无法判定C是线段中点， 故C错误，符合题意； D．∵， ∴C是线段中点． 故D正确，不符合题意； 故选C． 16-3（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）点，在线段上，是线段中点，，若，则长为 ． 【答案】9或15/15或9 【分析】本题考查的是两点间的距离，解题的关键是灵活运用中点的性质，先求出，再分点D在点C的左侧和右侧，两种情况讨论即可． 【详解】解：∵C是线段中点，， ∴， ∴， 当点D在点C的左侧时，则； 当点D在点C的右侧时，则； 综上，长为9或， 故答案为：9或15． 16-4（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，已知A，B为数轴上的两个点，点A表示的数是，点B表示的数是10．若点D在数轴上，且，则的长为 ． 【答案】或40 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，线段和差计算，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出，然后分类讨论，根据线段占比计算即可． 【详解】解：由题意得， ①当点在线段上， ∵， ∴； ②点在线段延长线上， ∵， 则， 故答案为：或40． 题型十七、与线段有关的动点问题 例17（23-24七年级上·山东德州·期末）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段6条，所以出现报警次数最多6次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、、， ∴发出警报的点P最多有6个． 故选：D． 17-1（23-24七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 17-2（23-24七年级上·江西九江·期末）已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则 ． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 易错点1 在线段的和、差的计算中的忽略分类讨论 典例1（2024•上海校级期末）如图，已知点是线段上一点，且，点是的中点，且． （1）线段的长是 　 　． （2）求的长； （3）若点是线段上一点，且，求的长． 【分析】（1）根据线段中点的定义进行求解即可； （2）根据可得，则； （3）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况根据求出的长，再根据线段的和差关系求出的长即可． 【解答】解：（1）点是的中点，且， ， 故答案为：12； （2）， ， ； （3）如图所示，当点在线段上时， ，， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， ； 综上所述，的长为7或9． 举一反三1（2024•云南期末）如图，点为线段上一点，点为的中点，且，． （1）求的长； （2）若点在直线上，且，求的长． 【分析】（1）根据线段中点的性质，可用表示，根据线段的和差，可得关于的方程，根据解方程，可得的长，的长； （2）分类讨论：点在线段上，点在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【解答】解：（1）由点为的中点，得， 由线段的和差，得， 解得：， ； （2）①当点在线段上时， 由线段的和差，得， ②当点在线段的延长线上， 由线段的和差，得． 综上所述：的长为7或13． 易错点2 寻找线段、射线、直线的条数规律出错 典例2（广东揭阳月考）（1）在线段上取一点，共有几条线段？ （2）在线段上取两点，，共有几条线段？ （3）在线段上取三点，，，共有几条线段？ （4）一条直线上有个点时，共有多少条线段？ 【分析】（1）在线段上取一点，线段上有3个点； （2）在线段上取两点、，线段上有4个点； （3）在线段上取三点、、，线段上有5个点； （4）一条直线上有个点时，线段总条数． 【解答】解：（1）线段上有3个点时，线段总条数是3条，即； （2）线段上有4个点时，线段总条数是6条，即； （3）线段上有5个点时，线段总条数是10条，即； （4）直线上有个点时，线段总条数． 举一反第三2已知如图， （1）如图①，两条直线相交，最多有 　　个交点； 如图②，三条直线相交，最多有 　　个交点； 如图③，四条直线相交，最多有 　　个交点； 如图④，五条直线相交，最多有 　　个交点； （2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有 　　个交点． 【答案】（1）1；3；6；10；（2）435． 【分析】（1）仔细观察图形数出各有多少个交点即可； （2）要求30条直线相交最多有多少个交点，就需要找出直线交点的规律；当三条直线相交交点最多时，是用第三条直线穿过前两条直线多出2个交点；当四条直线相交交点最多时，是用第四条直线穿过前三条直线多出3个交点；同理可推后面的更多直线相交的情况，分析可得出规律公式，进而得到30条直线相交得到的最多的交点个数． 【解答】解：（1）由图可知： 两条两条直线相交最多有1个交点； 三条直线相交最多有个交点； 四条直线相交最多有个交点； 五条直线相交最多有个交点； 故答案为：1，3，6，10； （2）由（1）可推出当条线相交时最多有：个交点． 当30条直线相交，最多有个交点． 故答案为：435． 一．选择题（共4小题） 1．（湖南永州校级自主招生）平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有个，最少有个，则等于　　 A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】 【分析】求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得的值． 【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交： 四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交： 五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交： 六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交： 七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交： 八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交： 九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交： 当平面内的9条直线相交于同一点时，交点数最少，即 则 故选：． 2．（2025•南京期末）如图，点是线段上一点，点是线段的中点，则下列等式不成立的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据图形和题意可以分别判断各个选项是否正确，本题得以解决． 【解答】解：点是线段的中点， ，故选项符合题意； 是不是线段的中点， ， ，故选项符合题意； 由图形知，故选项符合题意； 是不是线段的中点， ，故选项不合题意． 故选：． 3．（2025•广东汕头期末）如图，在线段上有、两点，长度为，长为整数，则以，，，为端点的所有线段长度和不可能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据数轴和题意可知，所有线段的长度之和是，然后根据，线段的长度是一个正整数，可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 图中以，，，这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和是：， 以、、、为端点的所有线段长度和为长度为3的倍数多1， 以、、、为端点的所有线段长度和不可能为21． 故选：． 4．（2025•南京秦淮区期末）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是　　 A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】根据线段中点的性质、结合图形计算即可判断． 【解答】解：为的中点，为的中点，为的中点， ，，， ， ，①正确； ，②正确； ，③错误； ，④正确， 故选：． 二．填空题 5．（2025•山东济宁期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；连续这样操作10次，则　 　 ． 【答案】． 【分析】根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【解答】解：线段，线段和的中点，， ． 线段和的中点，； ． 发现规律： ， ； 故答案为：． 6．（2025•山东菏泽期末）如图，点是线段的中点，点是线段上的一点，厘米，则线段的长为 　 　厘米． 【答案】20． 【分析】已知厘米，可得、的长，因为点是线段的中点，所以，可得线段的长． 【解答】解：厘米， 厘米， 厘米， 点是线段的中点， 厘米， 故答案为：20． 7．（2025•河北唐山期末）【新知理解】如图1，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”． 【问题解决】如图2，若，点是线段的巧点，则 　6或9或12　． 【答案】6或9或12 【分析】依题意可知有以下三种情况：①当点靠近点，且时，则点是线段的“巧点”，根据可得出；②当点是线段的中点时，则或，则点是线段的“巧点”，根据线段中点的定义得；③当点靠近点，且时，则点是线段的“巧点”，根据得，综上所述即可得出答案． 【解答】解：点在线段上， 根据“巧点”的定义可知有以下三种情况： ①当点靠近点，且时，如图1所示： 点是线段的“巧点”， ， ， ； ②当点是线段的中点时，则或，如图2所示： 点是线段的“巧点”， ； ③当点靠近点，且时，如图3所示： 点是线段的“巧点”， ， ， ， ， 综上所述：当点是线段的巧点，则的长为6或9或． 故答案为：6或9或12． 三．解答题（共3小题） 8．（浙江宁波期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． （1）若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则　或　． 【分析】（1）根据，，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，根据中点定义即可求的长； ②点（异于，，点）在线段上，，，确定点是的中点，即可求的长； （2）根据，，线段在直线上移动，满足关系式，可以设，，用含和的式子表示线段长，从而得出与的等量关系，即可求出的值． 【解答】解：（1），，， ，， ①如图， 为中点， ， ， ； ②如图， Ⅰ、当点在点的左侧， ，， 点是的中点， ， ， ； Ⅱ、当点在点的右侧， ，， ， ， ． 其他情况不存在，舍去． 综上所述：的长为3或5； （2），，满足关系式， Ⅰ、当点在点右侧时，如图， 设，， 则， 解得，， ． Ⅱ、当点在点左侧时，如图， 设，， 则， 解得，， ． 点在点右侧，及点在点右侧， 无解，不符合题意； 当在线段内部时，如图， 设，， 则， ， ， ， ， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，不符合题意，舍去． 其他情况不存在，舍去． 故答案为或． 9．（2025•安徽阜阳期末）已知点在线段上，点在线段上， （1）如图1，若，，为线段的中点，求线段的长度； （2）如图2，若，为线段的中点，，求线段的长度． 【分析】（1）由线段的中点，线段的和差求出线段的长度为； （2）由线段的中点，线段的和差倍分求出的长度为． 【解答】解：（1）如图1所示： ，， 又为线段的中点 （2）如图2所示： 设 ， ， 又， ， 又， ， 为线段的中点 又， 又 ， 解得：， ． 10．（2024•山东日照期末）在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离可以记作或．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点与点之间的距离表示为．如图，在数轴上，点，，表示的数为，0，12． （1）直接写出结果，　 　，　 　． （2）设点在数轴上对应的数为． ①若点为线段的中点，则　 　． ②若点为线段上的一个动点，则的化简结果是 　　． （3）动点从出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间向右运动，同时动点从出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在，之间往返运动，当点运动到时，和两点停止运动．设运动时间为秒，是否存在值，使得？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10，22；（2）①1，②22；（3）1，，7或11． 【分析】（1）用绝对值计算数轴上两点之间的距离即可； （2）①根据列方程求解即可； ②，表示线段的长度，据此作答即可； （3）写出点表示的数，分别写出当和时点表示的数，根据列绝对值方程并求解即可． 【解答】解：（1），， 故答案为：10，22． （2）①点为线段的中点， ， ，解得． 故答案为：1． ②点为线段上的一个动点， ， 故答案为：22． （3）点表示的数为，； 当时，点表示的数为，； 当时，点表示的数为，． 当时，，解得或； 当时，，解得或11． 存在值，使得，，，7或11． 2 / 46 1 / 46 学科网（北京）股份有限公司 $