专题3.5 最基本的图形——点和线（举一反三讲义）数学新教材华东师大版七年级上册

专题3.5 最基本的图形——点和线（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 直线、射线、线段】 2 【题型2 两点确定一条直线】 2 【题型3 两点之间线段最短】 4 【题型4 两点间的距离】 8 【题型5 比较线段的长短】 8 【题型6 与线段中点的有关计算】 10 【题型7 线段的和差】 12 【题型8 尺规作线段】 15 【题型9 与线段n等分点的有关计算】 18 【题型10 探究线段之间的数量关系】 20 【题型11 与线段有关的动点问题】 23 【题型12 与线段有关的新定义问题】 29 考点1 点和线 知识点1 线段 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a． 2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 知识点2 射线 1. 与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示． 2. 射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”． 知识点3 直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线． 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示． 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点． 4. 直线没有端点，没有长度，不可度量．“延长直线”的说法是错误的． 5. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 【题型1 直线、射线、线段】 【例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线可以向两端无限延伸，射线向一端无限延伸． 【详解】解：A．直线与直线能相交，故符合题意； B．直线与射线不能相交，故不符合题意； C．线段与射线不能相交，故不符合题意； D．线段与线段不能相交，故不符合题意． 【变式1-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 【答案】1 【分析】根据直线、射线、线段的定义求出a、b、c，即可求解． 【详解】解：根据题意得：直线有，共1条，射线有，共6条，线段有，共6条， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26七年级上·安徽宣城·期末）从旌德站到合肥南站G7460次高铁中途停靠泾县站，南陵站，铜陵北站，无为站，车站需要准备_______种单程车票． 【答案】15 【分析】本题主要考查线段，解题的关键是理解题意；由题意可把旌德站到合肥南站看作是一条线段，每个停靠站看作是该线段的端点，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可把旌德站到合肥南站看作是一条线段，每个停靠站看作是该线段的端点，如图所示： 车站需要准备的单程车票可看作是线段的条数，由图可知：线段的总条数为； 故答案为15． 【题型2 两点确定一条直线】 【例2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）木工师傅在锯木料时，一般先在木料上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这是因为_________________. 【答案】两点确定一条直线． 【分析】依据两点确定一条直线来解答即可． 【详解】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的依据是两点确定一条直线． 故答案为两点确定一条直线． 【点睛】本题考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题关键． 【变式2-1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）将一根小木条固定在墙面上，至少需要_____颗钉子． 【答案】2 【分析】本题考查了两点确定一条直线，根据平面几何中“两点确定一条直线”的基本原理，固定木条需确保其无法移动或旋转，因此至少需要两个点即可解答． 【详解】解：一点固定时，木条可绕该点旋转；两点固定时，木条被完全约束，无法平移或旋转．故至少需要2颗钉子． 故答案为：2． 【变式2-3】（25-26七年级上·江西南昌·期末）在第十五届全运会射击赛事中，来自江西南昌的“05后”小将王仕文表现抢眼，先后在男子25米手枪速射个人及团体项目中斩获两枚铜牌，成为江西代表团在本届全运会射击赛场上的“双牌功臣”，也为家乡南昌赢得荣誉．射击瞄准时，总是用一只眼睛瞄准准星和目标，其中的数学道理是_____． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题主要考查了两点确定一条直线，射击瞄准时，眼睛、准星和目标需要保持在同一条直线上，这基于几何中“两点确定一条直线”的原理． 【详解】解：射击瞄准时，总是用一只眼睛瞄准准星和目标，其中的数学道理是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【题型3 两点之间线段最短】 【例3】（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，将一张纸片沿直线剪开后可以得到两张纸片，这两张纸片的周长都小于原纸片的周长，其依据的数学知识是__________． 【答案】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，读懂题意，熟知两点之间线段最短的意义是解本题的关键． 【详解】解：根据题意可知：这其中的道理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在___________（请在D，E，F中选择）处可使所用管道最短． 【答案】E 【分析】此题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题的关键．直接利用线段的性质，即两点之间，线段最短，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，与河岸的交点即为所求． 由图可知，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在E处可使所用管道最短，理由是两点之间，线段最短． 故答案为：E． 【变式3-3】（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间线段最短，过两点有且只有一条直线，可得答案． 【详解】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，过两点有且只有一条直线，故①错误； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上，过两点有且只有一条直线，故②错误； ③从A到B架设电线，总是尽可能沿线段架设，“两点之间，线段最短”，故③正确； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，“两点之间，线段最短”，故④正确； 故选D． 考点2 线段的长短比较 知识点4 线段的长短比较 1. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 2. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较． 3. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点． 4. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点． 知识点5 用尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 作法：第一步，作射线AC．第二步，以点A圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B．则线段AB就是所求作的线段． 2. 作线段的和、差 在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b； 设线段ab，如果在线段AB上作线段BD＝b，那么线段AD就是α与b的差，记作AD＝a－b． 【题型4 两点间的距离】 【例4】（25-26七年级上·山东临沂·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．分两种情况画出图形求解即可． 【详解】解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， ； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， ； 综上，两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知线段，延长至点C，使得，量得，则线段的长是________． 【答案】9 【分析】本题考查了线段的长度计算，由，可得，可得． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：9． 【变式4-2】（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知线段，点是射线上一点，且，则的长等于______． 【答案】16或 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段的和与差，两点间的距离等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 点C在射线上，可能位于线段上或的延长线上，根据，分两种情况讨论． 【详解】解：设，则， 当点C在线段上时，， 即，解得：， 所以； 当点C在的延长线上时，， 即，解得：， 所以， 综上所述，的长为16或， 故答案为：16或． 【变式4-3】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点、，分别将、沿点、折叠，点、分别落在绳子上的点、处．当时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间的距离． 分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时． 【详解】解：当点落在点的左侧时，如图， ，， ， 由折叠的性质得，，， ， ； 当点落在点的右侧时，如图， ， ， ， 综上所述，当时，的长为或． 【题型5 比较线段的长短】 【例5】（25-26七年级上·广西河池·期末）用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“叠合法”的基本方法进行逐个判断，即可得出结论． 【详解】解：A.端点B、C重合，但没在CD上截取，故此选项错误； B.端点没有重合，故此选项错误； C.端点A、C重合，且在CD上截取，故此选项正确； D.端点A、C重合，但不在同一直线上，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的比较，掌握利用“叠合法”比较线段的长短是解题的关键． 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·寒假作业）为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点C与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点D落在线段上时，____________； （2）当点D与点B重合时，_____________； （3）当点D落在线段的延长线上时，_____________． 【答案】 > = < 【分析】本题考查了比较线段长短的知识，属于基础题，难度不大，注意基础知识的熟练掌握．根据比较两线段长短的方法即可得出答案． 【详解】解：（1）如图， 当点落在线段上时，； （2）如图， 当点与点重合时，； （3）如图， 当点落在线段的延长线上时，． 故答案为：，， 【变式5-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，设，，．试比较、、的大小：________． 【答案】 【分析】根据连接两点的所有线中,线段最短的性质解答. 【详解】∵AB+AE＞BE，CD+DE＞CE， ∴AB+AE+CD+DE＞BE+CE， 即l＞m， 又BE+CE＞BC， 即m＞n， ∴． 【点睛】本题考查了知识点两点之间线段最短，解题的关键是熟记性质. 【题型6 与线段中点的有关计算】 【例6】（25-26六年级下·上海·期末）如图，是线段的中点，是上一点．，如果，那么________． 【答案】40 【分析】利用线段中点的性质、比的应用，线段和差的关系列方程进行求解． 【详解】解：因为是线段的中点，是上一点，， 设，， 所以， ， 所以， ， ， ． 【变式6-1】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 【变式6-2】（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，点是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点是线段的中点，求出，根据点是线段的中点，求出，根据，即可； （2）根据题意，设，则，推出，根据，解出未知数，求出，则，即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：由于，设，则， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， 即， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【答案】(1)①５；②５； (2)． 【分析】本题考查线段中点定义，线段的和差倍分，熟练掌握相关结论，会设未知数利用数形结合思想是解题的关键． （1）①先求的长，再由中点定义得, , ，最后根据线段组合得的长； ②设，得，，再由线段组合得，抵消即可得长度． （2）设，得，设，得，，设，由，推出，代入 整理后约分即得结果． 【详解】（1）解：①∵,, ∴, ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴, ∴． ②设， 则，， ∵点E为线段中点，点F为线段中点， ∴, , ∴． （2）解：∵，，， ∴设，则， 设，则，， 设， 则，，， ∵， ∴， 整理得， ∴． 【题型7 线段的和差】 【例7】（25-26七年级上·江苏南京·期末）点C是直线上一点，点D是的中点，若，，求的长． 【答案】或 【分析】根据点D的位置分两种情况分别画出图形，由线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如图1，当点D在点B的左侧时， ∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴； 如图2，当点D在点B的右侧时， ∵，， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， ∴； 综上所述，或． 【变式7-1】（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，点，在线段上，已知，则图中所有线段的长度之和为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列出所有线段，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 图中线段为、、、、、， 其中，， ∴所有线段之和为． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖北孝感·期末）已知线段上有两点，，其中，，若，则（   ） A．2 B．6或2 C．6 D．6或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差，设，则，，表示出，再由，且，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 【变式7-3】（25-26七年级上·河南安阳·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N可抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差以及线段中点的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据线段中点的性质求出线段的长度，然后分两种情况进行讨论，利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，点是线段的中点， ∴， 根据题意得，分两种情况进行讨论： ①如图所示，当A，C或B，D重合，且剩余两端点在重合点同侧时， 此时，； ②如图所示，当B，C或A，D重合，且剩余两端点在重合点两侧时， 此时，； 故选：D． 【题型8 尺规作线段】 【例8】（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图，已知直线． (1)用尺规在射线上作一条线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点M是的中点，N是的中点，且，求线段的长． 【答案】(1) 线段如图所示， (2)5 【分析】（1）根据尺规作图的方法求解即可； （2）根据线段中点的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，M，N分别是，的中点， ∴，， ∴． 【变式8-1】（25-26七年级上·广东汕尾·期末）如图，已知线段．小明利用尺规作图画出线段，则线段___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，根据作图得出线段的长度即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式8-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在线段上．请用尺规在线段上，作．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求， ． 【分析】本题考查了线段作图，线段的和差运算，掌握作线段和差的方法是解题的关键．以B为圆心，为半径画弧交于E，以E为圆心，为半径画弧交于D即可． 【变式8-3】（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知，四点，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)画直线； (2)连接并延长到点，使得； (3)用刻度尺画出线段的中点． 【答案】(1) 直线即为所求： (2) 线段即为所求： (3) 点即为所求： 【分析】本题考查画直线和线段，线段的中点，熟练掌握直线，线段和线段中点的定义，是解题的关键： （1）根据直线的定义画图即可； （2）连接并延长，以为圆心，长画弧，交射线于一点，再以该点为圆心的长为半径画弧，即可得出点； （3）用刻度尺量出的长，进而得到的长，画图即可． 【题型9 与线段n等分点的有关计算】 【例9】（25-26七年级上·北京·期末）如图，已知点B在线段上，，． (1)求线段的长； (2)如果点O是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1)30 (2)9 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差．解题关键是根据已知条件逐步求出相关线段的长度． （1）根据所给图形利用可求出，即得； （2）由点O是线段的中点，求出，再可解． 【详解】（1）解：∵点B在线段上，，, ∴， ∴． （2）解：∵点O是线段的中点， ∴， ∴ ． 【变式9-1】（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的意义，解题的关键是正确理清线段之间的数量关系． 根据线段中点的意义得到，再由三等分点得到，再由求解即可． 【详解】解：∵点是线段的中点，， ∴， ∵点是线段的三等分点，且 ∴， ∴， 故选：C． 【变式9-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 【变式9-3】（25-26七年级上·河北廊坊·期末）如图，点C，D在线段上，且，． (1)点___________是线段的中点，点C是线段___________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？请说明理由． (3)若点在直线上，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)是的2倍，是的4倍，理由： ，， ，， 是的2倍，是的4倍； (3)或 【分析】本题考查了线段中点的性质，线段的和差计算，正确地识别图形是解题的关键． （1）根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论； （2）根据线段的中点的定义即可得到结论； （3）首先求出，然后根据题意分两种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：，， ，点是线段的中点， ， 是线段的三等分点； 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵，， ∴， 当点P在点A左边时，； 当点P在点A右边时，； 综上所述，线段的长为或． 【题型10 探究线段之间的数量关系】 【例10】（24-25七年级上·北京·期末）已知点为直线上的点，且 为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2) 仍然成立，理由如下： ∵为的中点， ∴， ∴， ∴仍然成立． 【分析】（）由线段的和差关系可得，即得，进而得到，若，同理可得； （）由为的中点可得，进而根据线段的和差关系可得，即可求证； 本题考查了线段的中点的定义，线段的和差，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 【变式10-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． （1）①根据中点定义求得的长度，根据，即可求解； ②设，则，根据，求解即可； （2）分当点在点的右侧时和左侧两种情况，讨论即可求解； 【详解】（1）解：①是线段的中点 ， 又， ， ②设，则， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据题意，当点在点的左侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， 则， 则， ， ， ； 根据题意，当点在点的右侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， 则 综上所述，或 【变式10-2】（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）综合与实践 【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条． 【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．    【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．    【答案】（1）10； （2）， 理由：设， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （3） 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义，线段之间的倍分关系是关键． （1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条，据此回答即可； （2）设，先列方程求得求得，，可得答案； （3）设，先列方程求得，再求得的长即可． 【详解】解：（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条， 故答案为：10； （2）略 （3）设， ∵， ∴由（2）得，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 【变式10-3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐． (1)如图1，当位于A，B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A___________米，工具筐E端离B___________米． (2)工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离存在怎样的数量关系，并用等式表示．（你可以在图2中先画一画，再找找规律） 【答案】(1)7，1 (2)或或． 【分析】（1）根据线段的和差可得答案； （2）分三种情况：当点在线段上时或当点在线段上时或当点在线段的延长线上时，正确画出图形即可得到结论． 【详解】（1）由题意得，， 到，距离相等， ， 米，， ，． 故答案为：7，1； （2）①当点在线段上时，如图， 设，则，， ； ②当点在线段上时，如图， 设，则，， ； ③当点在线段的延长线上时，如图， 设，则，， ； 综上，或或． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解题关键． 【题型11 与线段有关的动点问题】 【例11】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，点C，E都在直线上，C是线段的中点，E是线段的中点，． (1)当点D在线段上，且时，求和的长； (2)若P是直线上的动点，动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿的方向运动，运动时间为t秒： ①当动点P在运动过程中，M，N分别是线段和的中点，试用含t的代数式表示线段的长； ②当动点P在运动时，同时另一动点Q从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动，当Q到达A点时，速度变为原来的2倍，并掉头沿方向运动；再当Q到达B点时，点P立刻反向运动，速度保持不变，问在整个P，Q运动过程中，当t为何值时，线段的长度等于20． 【答案】(1)； (2)①；②4或或 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段的和差计算，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由线段中点的定义求出的长，进而求出的长，再根据已知条件求出的长即可； （2）①设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为32，则点E在数轴上表示的数为，根据中点公式表示出点M和点N表示的数，再根据两点间的距离公式求解即可；②可求出点Q从点C运动到点A需要8秒，点Q从点A运动到点B需要8秒，再分三种情况：，和，分别表示对应情况下点P和点Q表示的数，再根据两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵E是线段的中点，， ∴， ∵C是线段的中点， ∴，， ∵点D在线段上，且， ∴； （2）解：①设点A在数轴上表示的数为0，点B在数轴上表示的数为32，则点E在数轴上表示的数为， 由题意得，运动t秒后，点P表示的数为， ∵M，N分别是线段和的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴； ②秒，秒， ∴点Q从点C运动到点A需要8秒，点Q从点A运动到点B需要8秒， 当时，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 运动16秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为32， 当时，运动t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为4或或． 【变式11-1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 【变式11-2】（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图在射线上，线段，点以的速度在射线上从点向点方向运动，点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立刻改变方向与点同向运动，点的运动速度大小始终为，若两点同时出发， （1）经过_____秒，点与点重合． （2）经过_______秒，点是的中点． 【答案】 或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，涉及行程问题中的相向与同向运动场景，解题关键是根据点的运动方向分情况讨论，利用“点是中点”这一条件建立等量关系． （1）属于相向相遇问题，根据两人的路程和等于线段的长度列方程求解； （2）需分两种情况：相遇前(向运动)和相遇后(向运动)，分别结合中点定义列出方程，验证解是否符合对应时间段后得到结果． 【详解】（1）解：设经过秒，点与点重合． ∵点、相向而行，路程和等于的长度， ，解得； 故答案为：． （2）解：分两种情况讨论： ①当时，点向方向运动， 此时，， ， ∵点是的中点， ，即， 解得，符合； ②当时，点与点同向向方向运动， 相遇时，点距离点cm，之后点持续以运动， ， 点从相遇点向运动的时间为秒， ， ∵点是的中点， ，即， 解得，符合； 综上，经过秒或秒时，点是的中点； 故答案为：或． 【变式11-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3) (4)， 【分析】（1）求出当时，， ，然后列式求解即可； （2）首先求出点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为，然后分两种情况列式即可； （3）根据题意分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，分别表示出求解即可． 【详解】（1）当时，， ∴； （2）∵，点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，点P以的速度从点A沿线段向点B运动， ∴点Q到达点A的时间为，点P到达点B的时间为 ∴当时， ∴； 当时，； （3）当时，，， ∵点C为中点， ∴，即 解得，（此时点三点重合，舍去）； 当时，，， ∵点C为中点， ∴，即， 解得 综上所述，； （4）当时， ∵点D是线段的中点， ∴ ∴ ∴的长度随t的变化而变化 当时， ∴ ∴，是定值 ∴当时，的长度不变，为3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，两点之间距离的概念，中点定义，线段和差计算等，运用分类讨论思想是解题的关键． 【题型12 与线段有关的新定义问题】 【例12】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或16 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，线段的和差，一元一次方程的应用； （1）根据线段中点的定义可得，再根据新定义，即可求解； （2）①求出时，，，再根据新定义，即可求解； ②根据题意，分当点Q在点A右侧时和当点Q在点A左侧时两种情况，利用定义列出方程，然后解方程，即可求解． 【详解】（1）解：点是线段的中点， ， ， 故答案为：； （2）解：①当时，，， ∴； ②依题意，当点Q在点A右侧时，，， ， ， ， 解得； 当点Q在点A左侧时，，， ， ， ， 解得， 综上，的值为或16． 【变式12-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)当为、或时，点是线段的“二倍点” (3) 点是线段的“二倍点”，理由如下 ∵ 点是线段的“二倍点”，且， ∴ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 点是线段的“二倍点”． 【分析】本题考查了线段的和差关系、动点问题以及新定义“二倍点”的应用，解题的关键是根据“二倍点”的定义分类讨论线段之间的倍数关系，结合线段长度的计算方法进行求解． （1）根据中点定义及“二倍点”定义判断； （2）用表示和的长度，分三种情况讨论与的倍数关系，列方程求解； （3）先由“二倍点”及确定与的关系，再结合推导与的关系，判断点C是否为线段的“二倍点”． 【详解】（1）解：∵ 点是线段的中点， ∴ ， 满足“二倍点”定义， 故答案为：是． （2）解：由题意得：， ① 当时：， 解得； ② 当时：， 解得； ③ 当时：， 解得； ④ 当时：， 解得； 答：当为、或时，点是线段的“二倍点”． （3）略 【变式12-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即． (1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______． (2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长． (3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)或8 【分析】本题考查了对题干的理解，线段的和差，绝对值和平方式的非负性，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意可得，再由点G在线段上即可解题； （2）根据题意可得，从而得到点H的位置，再根据即可得出，从而求得线段的长； （3）根据即可得出m、n的值，再根据推出点Q不在线段上，再分类讨论当点Q在点M的左侧时和当点Q在点N的右侧时两种情况即可解题． 【详解】（1）解：由题可得：，    点G在线段上，即， ， 故答案为：1； （2）解：如图1，    ，， ， ， ， ； （3） ， ，， ， 又， ， 点Q不在线段上， ①如图2，当点Q在点M的左侧时， ， ，，， ， 点Q在轴的负半轴， ； ②如图3，当点Q在点N的右侧时， ， ，，， ， 点Q在轴的正半轴上， ． 或8． 【变式12-3】（25-26七年级上·湖北随州·期末）【定义】已知是线段上的一个分点，若在得到的三条线段，，中，有一条线段是另外一条线段的2倍，则称点为线段的“梦点”． (1)直接回答线段的中点是不是这条线段的“梦点”？ (2)如图，已知线段，点为线段的“梦点”，求线段的长； 【应用】 (3)如图2，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为12，边长为3．将长方形沿数轴正方向水平移动，使移动后的长方形与原长方形有重叠部分（图3中阴影部分），设重叠部分的面积为，点的移动距离为． ①当时，求的值； ②若为线段的中点，点在线段上，且，当点为线段的“梦点”时，求所有可能的值． 【答案】(1)线段的中点是这条线段的“梦点” (2)6或9或12 (3)①；②或 【分析】（1）根据“梦点”和线段中点的概念进行判断即可； （2）设，分别讨论：当时，当时，当时，列一元一次方程求解即可； （3）①求出的长，表示出，当时，列方程求解即可； ②分别表示出， ，，在根据“梦点”的定义，分三种情况讨论，进而计算即可． 【详解】（1）∵线段中点平分这条线段， ∴被线段中点平分的两条线段中的任意一条的长度均等于这条线段的一半，即有一条线段是另外一条线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“梦点”； （2）设，当时，则， 由题意得，，解得； 当时，由题意得，，解得； 当时，则，由题意得，，解得， 所以线段的长为6或9或12． （3）根据题意得的长为，所以． ①当时，由题意得，解得，． ②因为为的中点，，所以，， 因为点为的“梦点”， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得， 因为，所以的值为或． 【点睛】本题考查了新定义，线段中点的意义，线段的和差，一元一次方程的应用，准确理解“梦点”的定义是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 最基本的图形——点和线（举一反三讲义） 【新教材华东师大版】 题型归纳 【题型1 直线、射线、线段】 2 【题型2 两点确定一条直线】 2 【题型3 两点之间线段最短】 4 【题型4 两点间的距离】 8 【题型5 比较线段的长短】 8 【题型6 与线段中点的有关计算】 10 【题型7 线段的和差】 12 【题型8 尺规作线段】 15 【题型9 与线段n等分点的有关计算】 18 【题型10 探究线段之间的数量关系】 20 【题型11 与线段有关的动点问题】 23 【题型12 与线段有关的新定义问题】 29 考点1 点和线 知识点1 线段 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a． 2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 知识点2 射线 1. 与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示． 2. 射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”． 知识点3 直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线． 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示． 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点． 4. 直线没有端点，没有长度，不可度量．“延长直线”的说法是错误的． 5. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 【题型1 直线、射线、线段】 【例1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【变式1-1】（25-26七年级上·贵州安顺·期末）下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 【变式1-3】（25-26七年级上·安徽宣城·期末）从旌德站到合肥南站G7460次高铁中途停靠泾县站，南陵站，铜陵北站，无为站，车站需要准备_______种单程车票． 【题型2 两点确定一条直线】 【例2】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）木工师傅在锯木料时，一般先在木料上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线，这是因为_________________. 【变式2-1】（25-26六年级下·山东烟台·期末）2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【变式2-2】（25-26七年级上·湖南娄底·期末）将一根小木条固定在墙面上，至少需要_____颗钉子． 【变式2-3】（25-26七年级上·江西南昌·期末）在第十五届全运会射击赛事中，来自江西南昌的“05后”小将王仕文表现抢眼，先后在男子25米手枪速射个人及团体项目中斩获两枚铜牌，成为江西代表团在本届全运会射击赛场上的“双牌功臣”，也为家乡南昌赢得荣誉．射击瞄准时，总是用一只眼睛瞄准准星和目标，其中的数学道理是_____． 【题型3 两点之间线段最短】 【例3】（25-26七年级下·贵州铜仁·期末）贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，将一张纸片沿直线剪开后可以得到两张纸片，这两张纸片的周长都小于原纸片的周长，其依据的数学知识是__________． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，要在河边修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，修在___________（请在D，E，F中选择）处可使所用管道最短． 【变式3-3】（25-26七年级下·陕西榆林·开学考试）下列生活、生产现象中，其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（   ） ①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上； ②植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一直线上： ③从到架设电线，总是尽可能沿线段架设； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程． A． B． C． D． 考点2 线段的长短比较 知识点4 线段的长短比较 1. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 2. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较． 3. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点． 4. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点． 知识点5 用尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 作法：第一步，作射线AC．第二步，以点A圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AC于点B．则线段AB就是所求作的线段． 2. 作线段的和、差 在直线上作线段AB＝a，再在线段AB的延长线上作线段BC＝b，线段AC就是a与b的和，记作AC＝a+b； 设线段ab，如果在线段AB上作线段BD＝b，那么线段AD就是α与b的差，记作AD＝a－b． 【题型4 两点间的距离】 【例4】（25-26七年级上·山东临沂·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知线段，延长至点C，使得，量得，则线段的长是________． 【变式4-2】（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知线段，点是射线上一点，且，则的长等于______． 【变式4-3】（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，为一根长为的绳子，拉直铺平后，在绳子上任意取两点、，分别将、沿点、折叠，点、分别落在绳子上的点、处．当时，的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型5 比较线段的长短】 【例5】（25-26七年级上·广西河池·期末）用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·寒假作业）为了比较线段和线段的长短，把线段移到线段上，使点C与点A重合．（填“>”“=”或“<”） （1）当点D落在线段上时，____________； （2）当点D与点B重合时，_____________； （3）当点D落在线段的延长线上时，_____________． 【变式5-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，设，，．试比较、、的大小：________． 【题型6 与线段中点的有关计算】 【例6】（25-26六年级下·上海·期末）如图，是线段的中点，是上一点．，如果，那么________． 【变式6-1】（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【变式6-2】（25-26七年级上·四川凉山·期末）如图，点是线段的中点，点在线段上，点是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，C，B两点在线段上（点C在点B左侧），点E在线段上，点F在线段上． (1)如图1，点E为线段中点，点F为线段中点． ①若，，则的长为______； ②若，，求的长； (2)如图2，当，时，，求的值． 【题型7 线段的和差】 【例7】（25-26七年级上·江苏南京·期末）点C是直线上一点，点D是的中点，若，，求的长． 【变式7-1】（25-26七年级上·江西吉安·期末）如图，点，在线段上，已知，则图中所有线段的长度之和为（   ）． A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26七年级上·湖北孝感·期末）已知线段上有两点，，其中，，若，则（   ） A．2 B．6或2 C．6 D．6或 【变式7-3】（25-26七年级上·河南安阳·期末）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔M，N（圆孔直径忽略不计，M，N可抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．或 【题型8 尺规作线段】 【例8】（25-26七年级上·福建莆田·期末）如图，已知直线． (1)用尺规在射线上作一条线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点M是的中点，N是的中点，且，求线段的长． 【变式8-1】（25-26七年级上·广东汕尾·期末）如图，已知线段．小明利用尺规作图画出线段，则线段___________． 【变式8-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）如图，点在线段上．请用尺规在线段上，作．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式8-3】（25-26六年级上·上海·期末）如图，已知，四点，请用尺规按下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)画直线； (2)连接并延长到点，使得； (3)用刻度尺画出线段的中点． 【题型9 与线段n等分点的有关计算】 【例9】（25-26七年级上·北京·期末）如图，已知点B在线段上，，． (1)求线段的长； (2)如果点O是线段的中点，求线段的长． 【变式9-1】（25-26七年级上·陕西安康·期末）如图，点是线段的中点，点是线段的三等分点，且．若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【变式9-3】（25-26七年级上·河北廊坊·期末）如图，点C，D在线段上，且，． (1)点___________是线段的中点，点C是线段___________的三等分点． (2)是的几倍？是的几倍？请说明理由． (3)若点在直线上，，，直接写出线段的长． 【题型10 探究线段之间的数量关系】 【例10】（24-25七年级上·北京·期末）已知点为直线上的点，且 为的中点． (1)如图①，若，则为多少？ 若，则与的数量关系是什么？ (2)当点沿直线向左运动至图②的位置时，（）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 【变式10-1】（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 【变式10-2】（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）综合与实践 【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条． 【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．    【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．    【变式10-3】（25-26七年级上·浙江杭州·期末）某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐． (1)如图1，当位于A，B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A___________米，工具筐E端离B___________米． (2)工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离存在怎样的数量关系，并用等式表示．（你可以在图2中先画一画，再找找规律） 【题型11 与线段有关的动点问题】 【例11】（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，点C，E都在直线上，C是线段的中点，E是线段的中点，． (1)当点D在线段上，且时，求和的长； (2)若P是直线上的动点，动点P从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿的方向运动，运动时间为t秒： ①当动点P在运动过程中，M，N分别是线段和的中点，试用含t的代数式表示线段的长； ②当动点P在运动时，同时另一动点Q从点C出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动，当Q到达A点时，速度变为原来的2倍，并掉头沿方向运动；再当Q到达B点时，点P立刻反向运动，速度保持不变，问在整个P，Q运动过程中，当t为何值时，线段的长度等于20． 【变式11-1】（2026·宁夏石嘴山·模拟预测）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【变式11-2】（25-26七年级上·安徽六安·期末）如图在射线上，线段，点以的速度在射线上从点向点方向运动，点从点出发，先向点方向运动，当与点重合后立刻改变方向与点同向运动，点的运动速度大小始终为，若两点同时出发， （1）经过_____秒，点与点重合． （2）经过_______秒，点是的中点． 【变式11-3】（25-26七年级上·吉林长春·期中）如图，点C在线段上，，．点P以的速度从点A沿线段向点B运动；同时点Q以的速度从点B沿线段向点A运动，到达A点立即原速返回点B，当点P运动到点B时，点P、Q都停止运动．设点P运动的时间为． (1)当时，求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)当点C为中点时，求t的值； (4)若点D是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由． 【题型12 与线段有关的新定义问题】 【例12】（25-26七年级上·江苏泰州·期末）定义：若点在同一直线上，则，例如，则，如图，已知线段． (1)如图1，若点是线段的中点，则_________； (2)是直线上的两个动点，点从点出发向右运动，点从点出发向左运动；若点运动速度为，点的运动速度为，设运动时间为； ①当时，求的值； ②当时，试求出可能的的值． 【变式12-1】（25-26七年级上·山东济南·期末）新定义：点P是线段上一点，此时三条线段中，若有一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)若点是线段的中点，则点 线段的“二倍点”；(填“是”或“不是”)； (2)若，点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，设点的运动时间为秒，求当为何值时，点是线段的“二倍点”； (3)如图，点P是线段的“二倍点”，且，点M是延长线上一点，点C在线段上运动，当时，点C是否是线段的“二倍点”，请说明理由． 【变式12-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）对于线段，点P是线段所在直线上任意一点，将的值定义为点P关于线段的理想值，记作，即． (1)若点G在线段上，则点G关于线段的理想值_______． (2)若点H在射线上，，点H关于线段的理想值，求线段的长． (3)数轴上的三个点M，N，Q，点M、N、Q在数轴上分别表示有理数m、n、t，且m、n满足，点Q关于线段的理想值，求的值． 【变式12-3】（25-26七年级上·湖北随州·期末）【定义】已知是线段上的一个分点，若在得到的三条线段，，中，有一条线段是另外一条线段的2倍，则称点为线段的“梦点”． (1)直接回答线段的中点是不是这条线段的“梦点”？ (2)如图，已知线段，点为线段的“梦点”，求线段的长； 【应用】 (3)如图2，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为12，边长为3．将长方形沿数轴正方向水平移动，使移动后的长方形与原长方形有重叠部分（图3中阴影部分），设重叠部分的面积为，点的移动距离为． ①当时，求的值； ②若为线段的中点，点在线段上，且，当点为线段的“梦点”时，求所有可能的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $