专题3.3 立体图形的表面展开图与平面图形（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题3.3 立体图形的表面展开图与平面图形 1.平面图形与立体图形的本质区别与关联:明确“立体图形的表面展开图是由平面图形组成的”，能举例说明二者的转化(如“正方体的表面展开图由6个正方形(平面图形)组成”)。（重点） 2.常见立体图形表面展开图的特征与判断（重点） 3.“立体一平面”与“平面一立体”的双向转化:能画出简单立体图形的展开图，能根据展开图判断能否围成立体图形。（重点） 4.空间观念的建立:难以想象“平面展开图折叠后对应的立体结构"，导致误判展开图有效性或漏看面的对应关系。（难点） 5.圆柱、圆锥展开图的参数匹配:混淆“展开图中平面图形的关键参数”与“立体图形的特征量”，导致展开图与立体图形无法匹配。（难点） 6.正方体相对面与相邻面的判断:在展开图中，难以通过“面的位置关系”确定折叠后对应的相对面或相邻面，影响对立体图形结构的理解。（难点） 知识点1 立体图形的表面展开图 1.立体图形的表面展开图 有些立体图形是由平面或曲面围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图 1.对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形，如正方体就有多种表面展开图 2.不是所有的立体图形都有表面展开图，如球就没有表面展开图 3.立体图形中相对的两个面在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点 2.常见立体图形的表面展开图 常见立体 图形的表 面展开图 知识点2 正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的表面展开图 表面展开图 图示(共 11 种) “一四一”型 “二三一”型(或“一三二”型） “二二二”型 “三三”型 知识点3 棱柱的展开与折叠 棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 几种常见棱柱的表面展开图: 名称 三棱柱 长方体(四棱柱) 五棱柱 六棱柱 立体图形 表面展开图(举例) 棱柱的表面展开图中，侧面是长方形，上、下底面是多边形，而且长方形的个数和多边形的边数相等 知识点4 圆柱、圆锥的展开与折叠 1.圆柱的表面展开图 (1)组成:由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成. (2)图示:圆柱（图 ①）的侧面展开图如图 ②所示;表面展开图如图③所示 2.员锥的表面展开图 (1)组成:由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成 (2)图示:圆锥(图①)的侧面展开图如图 ②所示；表面展开图如图③所示· 1.圆柱的表面展开图中长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高2.圆锥的表面展开图中扇形的半径是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 知识点5 平面图形 1.平面图形 各部分都在同一平面内的几何图形是平面图形，常见的平面图形有线段、角、三角形、长方形、圆等 2.平面图形与立体图形的关系 平面图形与立体图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的，立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形 平面图形的各个部分都在同一个平面内，立体图形的各个部分不都在同一个平面内。 平面图形没有薄厚之分，更没有体积的存在。 知识点6 多边形及其相关概念 1.多边形的各边都是线段而非曲线，多边形是封闭图形;多 边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形..……..三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由为正整数)条线段组成，那么这个多边形叫做边形 2.圆是由曲线围成的封闭图形，是平面图形，但不是多边形3.任何一个多边形都可以按照一定的方法分割为若干个三角形，一般用以下三种方法(以五边形为例，如图所示)： 多边形是由线段围成的封闭图形，通过分割成三角形可知研究多边形可转化为研究三角形 知识点7 简单平面图形的组合 1.在生活中，有很多图案都是由简单图形组合而成的，这些图案或美化了环境，或具有特殊的含义 2.简单的平面图形的组合问题主要有两类：一类是从简单的组合图形中找出常见的平面图形，另一类是利用简单平面图形按要求设计图案或标志如设计班徽等。 很多图案由平面图形组合而成，可以由一种平面图形经过多种变换组成，也可以由多种平面图形拼接而成 题型一、几何体展开图的认识 例1（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，解决此题的关键是要有一定的空间想象能力．根据棱柱的特点作答． 【详解】解：A.可以围成三棱柱，不符合题意； B.缺少一个底面，不能围成四棱柱，符合题意； C.可以围成四棱柱，不符合题意； D.可以围成五棱柱，不符合题意； 故选：B． 1-1（24-25七年级上·福建福州·期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知三棱柱的特征是解题的关键．根据侧面为三个长方形，底面为两个三角形，即可得到该几何体为三棱柱． 【详解】解：∵该几何体展开图侧面为三个长方形，底面为两个三角形， ∴该几何体为三棱柱， 故选：D． 1-2（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱、五棱柱、正方体的表面展开图的特征进行判断即可． 本题考查展开图折叠成几何体，掌握三棱柱、正方体、五棱柱的表面展开图的特征是正确解答的关键． 【详解】解：A选项A中的图形可以折叠成三棱柱，因此选项A不符合题意； B．选项B中的图形可以折叠成五棱柱，因此选项B不符合题意； C．选项C中的图形不能折叠成四棱柱，因此选项C符合题意； D．选项D中的图形可以折叠成正方体，因此选项D不符合题意． 故选：C． 1-3（24-25七年级上·河南商丘·期末）一个立体图形的展开图如图所示，这个立体图形是 ． 【答案】六棱柱 【分析】本题考查立体图形的展开图，熟记常见立方体的展开图，是解题的关键．根据六棱柱的展开图特征即可解答． 【详解】解：根据展开图可见，中间有六个完全相同的长方形排成一排，它们对应正六棱柱侧面六个矩形面；上、下各有一个正六边形对应正六棱柱的顶部和底部，因此该立体图形是一个六棱柱， 故答案为：六棱柱． 1-4（24-25七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 【答案】/ 【分析】此题考查了正三棱柱（底面为正三角形）的展开图和侧面积，根据题意求解即可． 【详解】根据题意得，该正三棱柱的侧面积为． 故答案为：． 题型二、由展开图计算几何体的表面积 例2（24-25七年级上·北京东城·期末）树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆柱体侧面积的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键．根据圆柱体的侧面积等于底面周长乘以高即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 树体的涂白面积约为： 故选：B． 2-1（23-24七年级上·河南平顶山·期末）棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是认识简单的几何体，正方体的表面积的计算，熟记正方体的表面积公式是解本题的关键． 【详解】解：棱长是的正方体的表面积是， 故选C 2-2（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，将一个边长为的无盖正方体纸盒展开成平面图形．这个平面图形的面积是 【答案】 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方形面积的计算方法是正确解答的关键．根据正方形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：无盖正方体纸盒5个面的面积和为， 故答案为： 题型三、由展开图计算几何体的体积 例3（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 3-1（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 【答案】D 【分析】本题主要考查长方体体积的计算方法，熟练根据图求出长、宽、高是解题关键．利用图形求出长方体的宽及长即可． 【详解】解：∵长方体的底面为正方形，由图可知底面周长为12， ∴长方体的底面边长为：， ∴长方体的高为：， ∴长方体箱子的体积为，， 故选：D． 3-2（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：此无盖长方体盒子的长为，宽为， 此无盖长方体盒子的体积为， 故答案为：． 3-3（24-25七年级上·山西大同·期末）如图是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计）．若该长方体盒子的底面是一个正方形，则它的体积为 ． 【答案】50 【分析】根据展开图，得长方体的高是，底面是正方形，其边长是，根据体积公式解答即可．本题考查了长方体的展开图，体积公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，长方体的高是， ∵底面是正方形， ∴其边长是， ∴长方体的体积是， 故答案为：50． 题型四、正方体几种展开图的识别 例4（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，下列哪个图形经过折叠不能得到正方体（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体展开图，熟悉正方体展开图是解题的关键．根据常见的正方体展开图的11种形式以及不能围成正方体的展开图解答即可． 【详解】解：根据常见的不能围成正方体的展开图的形式是“一线不过四，田、凹应弃之”， 只有C选项不能围成正方体． 故选：C． 4-1（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）下列平面图形不能围成正方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：根据正方体表面展开图的“一线不过四，田凹应弃之”可知，选项A、C、D中属于“1-4-1型”的是正方体的表面展开图，而选项B中含有“田”字，不是正方体的表面展开图， 故选：B． 4-2（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（   ） A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图及学生的空间想象能力，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据正方体展开图特征，进行作答，即可求解． 【详解】解：根据有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图可知：当剪去1或2或6时，剩余的部分恰好能折成一个正方体，当剪去3时，会导致5没有对面； ∴使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是3； 故选：D； 4-3（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与点A重合的点是 ． 【答案】I和K 【分析】本题考查正方体的展开图，根据展开图，还原正方体，进行判断即可． 【详解】解：将正方体表面的展开图，折叠成正方体后，与点A重合的点是I和K， 故答案为：I和K． 4-4（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了正方体展开图，熟记正方体的种展开图是解题的关键． 根据正方体的种展开图解答即可． 【详解】解：根据题意可知：剪去或或可以围成一个正方体，剪去不能围成正方体， 故答案为： ． 题型五、正方体相对两面上的字 例5（23-24七年级上·广东·期末）将如图所示的几何体展开图折成一个正方体，这个正方体与“云”字相对面的汉字是（   ） A．建 B．设 C．美 D．丽 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴这个正方体与“云”字相对面的汉字是“建”． 故选：A． 5-1（24-25七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值和正方体相对两面上的字．熟练掌握代数式求值和正方体相对两面上的字是解题的关键． 先根据正方体的展开图的相对面一定隔着一个小正方形，确定相对面，进而根据相反数的定义，求出的值，进而求出单项式的值即可． 【详解】解：由图可知，与4是相对面，和1是相对面， ∴，， ∴， 故选A． 5-2（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，相反数的意义．根据正方体的表面展开图，找出相对面，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可知：与相对，与相对， ∵正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴，， ∴，， ∴ 故选：D． 5-3（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【详解】本题主要考查的是正方体相对面上的数字． 根据正方体的展开图中相对面不存在公共点可找出5对面的数字，从而可根据相反数的定义求得x的值，进一步求得y的值，最后代入计算即可． 【解答】解：根据展开图可知：5与x是对面，3与y是对面， 相对面上的数互为相反数， ，， 故答案为： 5-4（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“年”字对面的字是 ． 【答案】国 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一般情况相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一般情况相隔一个正方形， “年”与“国”是相对面． 故答案为：国． 题型六、含图案的正方体的展开图 例6（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“科”面相对的面是（   ） A．技 B．造 C．未 D．来 【答案】B 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，依据正方体相对面的核心特征：在展开图中，相对的两个面之间一定相隔一个正方形 (即没有公共边或公共顶点)判断即可． 【详解】解：观察正方体的表面展开图，要找到与“科”面相对的面， ∵根据正方体相对面的特征，相对的面之间 一定相隔一个正方形， 由图得：“科”字相隔一个正方形的面是“造”字所在的面． 故答案为：B． 6-1（24-25七年级上·全国·期末）如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，掌握正方体展开图的特点成为解题的关键． 根据正方体展开图的特征及正方体上的三种图形相邻求解即可． 【详解】解：由正方体展开图的特征及正方形上的三种图形相邻，可得正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是B． 故选：B． 6-2（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列四个展开图中，经过折叠能围成如图所示的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，含△，○和□的三个面是两两相邻的三个面，据此可判断A、C、D错误． 【详解】解：由题意得，含△，○和□的三个面是两两相邻的三个面， ∴四个图形中只有B选项中的图形符合题意， 故选：B． 题型七、求展开图上两点折叠后的距离 例7（23-24七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 7-1（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】D 【分析】根据题意画出立体图形，即可求解． 【详解】解：折叠之后如图所示，    则K与点D的距离最远， 故选D． 【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力． 7-2（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据A、B两点在展开图上的位置，确定其在正方体上的位置是解题关键．将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线，据此即可得到答案． 【详解】解：将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为展开图中，即两倍对角线为8， 那么对角线的长度就是4， 即正方体A、B两点间的距离为4， 故答案为：4． 题型八、补一个面使图形围成正方体 例8（23-24七年级上·北京密云·期末）如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、折叠后才能围成一个正方体，故本选项符合题意； B、含有“田”字形，，故本选项不符合题意； C、折叠后有一行两个面无法折起来，而且都缺个面，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意； D、含有“田”字形，折叠后才不能围成一个正方体，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了几何体的折叠和展开图形，熟练掌握“一线不过四，凹、田应弃之”可以判断所给展开图是否为正方体的表面展开图是解题的关键． 8-1（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟知正方体的11种展开图是解题关键，据此即可求解． 【详解】解：将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有②③⑤三种情况，图1的正方形放在图2中①④的位置，会出现重叠的面，无法围成正方体． 故选：C 8-2（23-24七年级上·山东济宁·期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 【答案】③ 【分析】根据正方体的表面展开图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 故答案为：③． 【点睛】本题考查了正方体的表面展开图，理正方体的表面展开图的模型是解题的关键．正方体的表面展开图用‘口诀’：一线不过四，田凹应弃之，相间、Z端是对面，间二、拐角邻面知． 题型九、截一个几何体 例9（24-25七年级上·山东济南·期末）如图所示，用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是截一个几何体，截面位置与圆柱体的关系， 解答的关键是知道截面位置不同所得截面可能不同；当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同进行判断即可． 【详解】解：平面平行于圆柱底面截圆柱可以得到一个圆，而倾斜截得到椭圆或者长方形， ∴A、C、D选项不符合题意； 故选：B 9-1（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，用一个平面竖直去截圆柱，截面的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了截一个几何体，根据圆柱的特征即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，用一个平面竖直去截一个圆柱，则截面的形状是长方形， 故选：B． 9-2（24-25七年级上·河南郑州·期末）通过读取截面相关的信息，用特定材料将截面逐层打印出来，再将各层截面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体，这就是3D打印技术．某数学兴趣小组读取到某几何体截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么3D打印机可能打出来的是哪一种几何体（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 【答案】D 【分析】本题主要考查几何体的截面，截面截圆柱，截面可能为矩形、圆、椭圆等，但是无法截出六边形；截面截圆锥，截面图形可以是三角形、圆、椭圆等，但是无法截出梯形和六边形；截面截正四棱锥，截面图形可以是三角形、四边形、五边形，但是无法截出六边形；截面截正方体，截面图形可以是三角形、四边形、五边形、六边形．根据此作答即可． 【详解】解：． 圆柱的截面可能为矩形、圆、椭圆等，但是是无法截出六边形，该选项错误，不符合题意； ．圆锥的截面可能为三角形、圆、椭圆等，但是无法截出梯形和六边形，该选项错误，不符合题意； ．三棱锥的截面可能为三角形和四边形，但是无法截出六边形，该选项错误，不符合题意； ．正方体的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，该选项正确，符合题意； 故选：D． 9-3（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一个平面去截一个几何体，截面是圆形，这个几何体可能是 ．（请写出两个） 【答案】圆锥或圆柱答案不唯一 【分析】根据几何体的形体特征以及截一个几何体截面的形状进行判断即可． 本题考查截一个几何体，掌握几何体的形体特征以及截面的形状是正确解题的前提． 【详解】解：①圆锥能截出圆形； ②圆柱可以截出圆形； ③球能截出圆形． 所以截面可能是圆形的几何体有圆柱、圆锥或球等． 故答案为：圆锥或圆柱答案不唯一 9-4（24-25七年级上·河南郑州·期末）用一个平面去截一个圆柱，得到的截面有哪些形状？ （至少写三种）． 【答案】长方形，圆，椭圆（答案不唯一） 【分析】本题考查了截一个几何体，结合圆柱的特点，考虑从不同角度和方向截取是解此题的关键． 【详解】解：当截面与圆柱竖切时，得到的截面的形状可能是长方形； 平面截圆柱，横切就是圆形． 当截面与轴截面斜交时，得到的截面的形状可能是椭圆． 故答案为∶长方形，圆，椭圆（答案不唯一）． 题型十、平面图形形状的识别 例10（24-25七年级上·广西贵港·期末）下列图形中，属于平面图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面图形的定义，解题的关键是认识平面图形与立体图形，根据平面图形的概念逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、圆属于平面图象，符合题意； B、圆锥是立体图形，不符合题意； C、正方体属于立体图形，不符合题意； D、圆柱属于立体图形，不符合题意． 故选：A． 10-1（24-25七年级上·陕西西安·期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为，则最小的扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形的认识．用乘以，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 10-2（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 【答案】A 【分析】本题主要考查了立体图形的定义，根据立体图形占有一定空间，各部分不都在同一平面内的特征一一进行判断即可． 【详解】解：①②④是平面图形，③⑤⑥是立体图形， 故选：A． 10-3（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑥ ①③⑦ 【分析】本题主要考查了平面图形和立体图形的识别，各个部分不都在同一平面内的为立体图形，各个部分在同一平面内的为平面图形，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，平面图形有②④⑤⑥，立体图形有①③⑦， 故答案为：②④⑤⑥；①③⑦． 题型十一、多边形的概念与分类 例11（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 11-1（24-25七年级上·陕西西安·期中）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的概念，将正多边形补齐即可解答，熟知正多边形的概念是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形的意义将图形补充完整如图． ， 由图形可得这个正多边形是八边形． 故选：D． 11-2（24-25七年级上·北京·期中）下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的定义，熟知每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形是解决问题的关键． 根据正多边形的定义依次判定各项后即可解答． 【详解】解：直角三角形，长方形，圆不是正多边形，正方形是正多边形． 故选：B． 题型十二、多边形截角后的边数问题 例12（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体．根据正方体的截面形状判断即可． 【详解】解：正方体的截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形， ∴上列图形中，能通过切正方体得出来的共有：4个， 故选：D． 12-1（23-24七年级上·广东惠州·期中）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形的角，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 12-2（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩 个角． 【答案】3或4或5． 【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变． 【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角， 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键． 题型十三、多边形的周长 例13（24-25七年级上·福建漳州·期中）【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了周长的求解，原正方形边长为30厘米，剪去四个角的小正方形后，虽然原边长被截短，但新增了与原截短部分等长的边，故周长不变． 【详解】解：如图：    因为剪去一个小正方形后，剪掉了与的长度，但又多出了与的长度，并且， 同样在其它的三个角剪正方形也是这样的，所以它的周长与原来相比不变， 故选：B． 13-1（24-25七年级上·全国·期中）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形周长的计算公式求解． 【详解】解：∵2（2m+3n）=4m+6n， 故选C． 【点睛】本题考查长方形的应用，熟练掌握长方形周长的意义和计算公式是解题关键． 13-2（24-25七年级上·北京·期中）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 题型十四、网格中多边形面积比较 例14（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 14-1（23-24七年级上·广东阳江·期中）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 14-2（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 题型十五、多边形对角线的条数问题 例15（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）过七边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线：多边形对角线的条数问题，根据边形有个顶点，且过一个顶点能画条对角线，进行作答即可． 【详解】解：∵过七边形的一个顶点可以画n条对角线， ∴ 故选：B． 15-1（24-25七年级上·重庆·阶段练习）从八边形的一个顶点出发，可以画的对角线条数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．20 【答案】A 【分析】本题考查多边形的对角线．根据n边形一个顶点可以引条对角线，直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， ∴八边形从一个顶点出发最多可以引5条对角线， 故选：A． 15-2（24-25七年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 题型十六、对角线分成的三角形个数问题 例16（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 16-1（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）从一个边形的同一个顶点出发，连接对角线，若这些对角线把这个多边形分割成个三角形，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为个． 根据从一个边形的某个顶点出发，把边形分为个三角形进行作答即可． 【详解】解：∵对角线把这个多边形分割成个三角形， ∴， 解得：， 故选：． 16-2（24-25七年级上·陕西汉中·期末）若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的相关知识，掌握过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形是本题的关键． 根据过边形的一个顶点可以引条对角线，将边形分成个三角形即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为，依题意得， 解得． ∴多边形的边数为9． 故选：C． 16-3（24-25七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形是解题的关键． 从n多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成个三角形，由此计算即可． 【详解】解：从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是， 故答案为：7． 题型十七、用七巧板拼图形 例17（24-25七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形对角线的性质及用七巧板拼图，解题的关键是得出阴影部分与整体的位置关系．读图分析阴影部分与整体的位置关系，易得阴影部分的面积即为原正方形的面积的一半，据此求解即可． 【详解】解：读图可得，阴影部分的面积为原正方形的面积的一半， 则阴影部分的面积为． 故选：C． 17-1（23-24七年级上·湖南常德·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．32 C．34 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了七巧板，根据七巧板的特点，求得图2长方形的长与宽，即可求解． 【详解】解：图1所示边长为4的正方形面积为16， 由图可知图2中，长方形的长为，宽为，面积为， 则图2中阴影部分的面积是， 故选：C． 17-2（24-25七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 【答案】40 【分析】本题考查七巧板，关键是掌握七巧板中各图形之间的面积关系．根据七巧板中各图形之间的面积关系分别得出每个部分的面积，即可求解． 【详解】解：的面积等于， 和的面积为，的面积为，的面积为， 由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于． 故答案为：． 17-3（23-24七年级上·浙江湖州·期末）为了庆祝龙年的到来，小陈将一副七巧板拼成如图所示的“龙”的图案，则 度． 【答案】135 【分析】本题考查七巧板中的角度计算，七巧板中的三角形都是等腰直角三角形，所以每个锐角都是，由此可解． 【详解】解：由图可知， 故答案为：135． 易错点1 误判正方体展开图的无效形式(“田”“凹”字形) 例1下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的11种形式是解题的关键． 根据正方体六个面，展开图的11种形式，对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：第一个图形：正方体是六面体，五个面不是正方体表面展开图； 第二个图形：田字格，五个面都不是正方体表面展开图； 第三个图形：田字格，不是正方体表面展开图； 第四个图形：七个面不是正方体表面展开图． 综上所述，不是正方体表面展开图的图形的个数是4个． 故选：D． 易错点2混淆圆柱、圆圆锥展开图的关键参数(周长/半径匹配) 例2如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱； (2)表面积为；体积为． 【分析】本题主要考查了几何体的展开图； （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的表面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的表面积为 该几何体的体积． 1．以下是圆柱展开图的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱的展开图，熟练掌握圆柱的展开图是解题关键．根据圆柱的展开图特点逐项判断即可得． 【详解】解：圆柱的表面展开图是长方形和圆． A、没有长方形，则此项不符合题意； B、两个圆会重合，所以缺少一个底面，则此项不符合题意； C、是圆柱展开图，则此项符合题意； D、缺少两个底面，则此项不符合题意； 故选：C． 2．如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 【答案】A 【分析】本题考查了展开图折叠成几何体，分别求得剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积即可得到结论． 【详解】解：当剪去的正方形边长从变为后，长方体的纸盒容积从变为． 故长方体的纸盒容积变小了． 即长方体纸盒的容积减少了． 故选：A． 3．图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方体的展开图，整式加减的应用． 根据题意结合正方体的展开图确定哪个面和哪个面相对应是解题关键．根据相对面上的多项式的和相等，列出关于的算式进行计算即可． 【详解】解：根据相对面上的多项式的和相等可得： ． 故选：B． 4．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形和立体图形，把图形围成立体图形求解． 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点距离最远的顶点是， 故选：A． 5．用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（    ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，根据几何体的形状，判断出截面的形状，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有四棱柱、圆锥、五棱柱，共有3个， 故选：A． 6．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了七巧板的知识，熟练掌握七巧板各图形边长之间的关系是解题的关键．根据七巧板的特征求解即可． 【详解】解：根据七巧板的特征可知，图2中小正方形的面积， 图2中阴影三角形的面积， 阴影部分的面积为， 故选：． 7．如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】先根据几何体的三视图可判断其形状，再根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】解：这个几何体是圆柱，从正面看的高为2，从上面看的圆的直径为1， ∴该圆柱的底面直径为1，高为2， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的表面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． 8．如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，请你在图中标注数字的位置选择添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子，则添加的位置可以是 ．（写出一种即可） 【答案】② 【分析】本题主要考查了正方体的侧面展开图的复原，掌握把不同的侧面展开图成功复原成正方体的方法是解题的关键． 结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】解：如图所示， 选择A，B，C，D处的任一正方形，都可以使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体， ∴在②添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子． 故答案为：②． 9．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    【答案】我 【分析】本题以小立方体的侧面展开图为背景，考查学生对立体图形的展开图的认识，在解决本题的过程中，学生可以动手进行具体折纸、翻转活动，根据“立方体中相对面之间，相隔一个正方形”即可解答此题． 【详解】解：由图1可得，“中”和“的”相对；“国”和“我”相对；“梦”和“梦”相对； 由图2可得，小正方体从图2的位置依次翻到第5格时，“国”在下面， 此时小正方体朝上面的字是“我”， 故答案为：我． 10．如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】由七巧板的制作过程可知，阴影部分是用平行四边形和一个小正方形拼成的，所以面积是正方形面积的． 【详解】解：阴影部分面积等于大正方形的面积减去两个大三角形的面积和两个中等三角形的面积所得的值， 而两个中等三角形的面积等于一个大三角形的面积，四个大三角形的面积等于正方形的面积， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的 即． 故答案为：16． 11．某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】（1）根据长方体有6个面，相对两个面的形状大小完全相同可知该几何体为长方体． （2）由该长方体的平面展开图可知宽为，高为，长为，根据才给他体积公式即可可求得该长方体的体积． 本题主要考查了长方体的平面展开图，熟练掌握长方体的特征是解题的关键． 【详解】（1）解：该几何体是长方体. 故答案为：长方体 （2）解：该长方体的宽是，高是，长是， 所以这个几何体的体积是. 12．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． (1)请写出这个食品包装盒的几何体名称______． (2)如果用一个平面去截这个几何体，那么截面有哪些形状？（写出2种即可） (3)若，，，，求这个几何体的侧面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)三角形、四边形（长方形、梯形）、五边形（任选2种即可） (3) 【分析】本题主要考查了三棱柱的展开图与几何体之间的联系和体积的求法，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． （1）根据图示可知有个长方形和个三角形组成，故可知是三棱柱； （2）根据三棱柱所截面即可求解； （3）根据多面体侧面积公式计算即可； 【详解】（1）解：由图形可知，共有个长方形组成侧面， 个三角形组成底面，即组成几何体三棱柱， 故答案为：三棱柱； （2）解：根据题意，用一个平面去截这个几何体，那么截面有三角形、四边形（长方形、梯形）和五边形； （3）解：，，，， ，，， ， 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 立体图形的表面展开图与平面图形 1.平面图形与立体图形的本质区别与关联:明确“立体图形的表面展开图是由平面图形组成的”，能举例说明二者的转化(如“正方体的表面展开图由6个正方形(平面图形)组成”)。（重点） 2.常见立体图形表面展开图的特征与判断（重点） 3.“立体一平面”与“平面一立体”的双向转化:能画出简单立体图形的展开图，能根据展开图判断能否围成立体图形。（重点） 4.空间观念的建立:难以想象“平面展开图折叠后对应的立体结构"，导致误判展开图有效性或漏看面的对应关系。（难点） 5.圆柱、圆锥展开图的参数匹配:混淆“展开图中平面图形的关键参数”与“立体图形的特征量”，导致展开图与立体图形无法匹配。（难点） 6.正方体相对面与相邻面的判断:在展开图中，难以通过“面的位置关系”确定折叠后对应的相对面或相邻面，影响对立体图形结构的理解。（难点） 知识点1 立体图形的表面展开图 1.立体图形的表面展开图 有些立体图形是由平面或曲面围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形这样的平面图形称为相应立体图形的表面展开图 1.对于同一个立体图形，按不同的方式展开，可以得到不同的平面图形，如正方体就有多种表面展开图 2.不是所有的立体图形都有表面展开图，如球就没有表面展开图 3.立体图形中相对的两个面在表面展开图中既没有公共边，也没有公共顶点 2.常见立体图形的表面展开图 常见立体 图形的表 面展开图 知识点2 正方体的表面展开图 正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的表面展开图 表面展开图 图示(共 11 种) “一四一”型 “二三一”型(或“一三二”型） “二二二”型 “三三”型 知识点3 棱柱的展开与折叠 棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成的 几种常见棱柱的表面展开图: 名称 三棱柱 长方体(四棱柱) 五棱柱 六棱柱 立体图形 表面展开图(举例) 棱柱的表面展开图中，侧面是长方形，上、下底面是多边形，而且长方形的个数和多边形的边数相等 知识点4 圆柱、圆锥的展开与折叠 1.圆柱的表面展开图 (1)组成:由两个大小相同的圆(底面)和一个长方形(侧面)组成. (2)图示:圆柱（图 ①）的侧面展开图如图 ②所示;表面展开图如图③所示 2.员锥的表面展开图 (1)组成:由一个扇形(侧面)和一个圆(底面)组成 (2)图示:圆锥(图①)的侧面展开图如图 ②所示；表面展开图如图③所示· 1.圆柱的表面展开图中长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高2.圆锥的表面展开图中扇形的半径是圆锥的母线(即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长 知识点5 平面图形 1.平面图形 各部分都在同一平面内的几何图形是平面图形，常见的平面图形有线段、角、三角形、长方形、圆等 2.平面图形与立体图形的关系 平面图形与立体图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的，立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形 平面图形的各个部分都在同一个平面内，立体图形的各个部分不都在同一个平面内。 平面图形没有薄厚之分，更没有体积的存在。 知识点6 多边形及其相关概念 1.多边形的各边都是线段而非曲线，多边形是封闭图形;多 边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形..……..三角形是最简单的多边形，如果一个多边形由为正整数)条线段组成，那么这个多边形叫做边形 2.圆是由曲线围成的封闭图形，是平面图形，但不是多边形3.任何一个多边形都可以按照一定的方法分割为若干个三角形，一般用以下三种方法(以五边形为例，如图所示)： 多边形是由线段围成的封闭图形，通过分割成三角形可知研究多边形可转化为研究三角形 知识点7 简单平面图形的组合 1.在生活中，有很多图案都是由简单图形组合而成的，这些图案或美化了环境，或具有特殊的含义 2.简单的平面图形的组合问题主要有两类：一类是从简单的组合图形中找出常见的平面图形，另一类是利用简单平面图形按要求设计图案或标志如设计班徽等。 很多图案由平面图形组合而成，可以由一种平面图形经过多种变换组成，也可以由多种平面图形拼接而成 题型一、几何体展开图的认识 例1（24-25七年级上·宁夏银川·期末）下面图形经过折叠不能围成棱柱的是（    ） A． B． C． D． 1-1（24-25七年级上·福建福州·期末）如图是某个几何体的平面展开图，该几何体是（    ） A．圆锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 1-2（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）下列图形经过折叠不能围成棱柱的是（ ） A． B． C． D． 1-3（24-25七年级上·河南商丘·期末）一个立体图形的展开图如图所示，这个立体图形是 ． 1-4（24-25七年级上·江苏常州·期末）正三棱柱（底面为正三角形）的展开图如图所示，则该正三棱柱的侧面积为 ．（用含a，b的代数式表示） 题型二、由展开图计算几何体的表面积 例2（24-25七年级上·北京东城·期末）树体表面涂白可以减少“日烧”和冻害，也可以防治病虫害．如图，一棵树的部分树体的表面被涂白，这部分树体可以看作圆柱，直径约为，高度约为，则该部分树体的涂白面积约为（   ）（注：取） A． B． C． D． 2-1（23-24七年级上·河南平顶山·期末）棱长是的正方体的表面积是（    ） A． B． C． D． 2-2（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，将一个边长为的无盖正方体纸盒展开成平面图形．这个平面图形的面积是 题型三、由展开图计算几何体的体积 例3（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 3-1（23-24七年级上·山东滨州·期末）如图所示的长方形（长为20，宽为12）硬纸板，剪掉阴影部分后，将剩余的部分沿虚线折叠，制作成底面为正方形的长方体箱子，则长方体箱子的体积为（    ） A．40 B．56 C．110 D．126 3-2（24-25七年级上·河南郑州·期末）在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 3-3（24-25七年级上·山西大同·期末）如图是一个无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计）．若该长方体盒子的底面是一个正方形，则它的体积为 ． 题型四、正方体几种展开图的识别 例4（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，下列哪个图形经过折叠不能得到正方体（　　） A． B． C． D． 4-1（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）下列平面图形不能围成正方体的是（   ） A． B． C． D． 4-2（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，将图中剪去一个正方形，使剩余的部分恰好能折成一个正方体，应剪去小正方形的序号不能是（   ） A．2 B．1 C．6 D．3 4-3（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）如图，是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与点A重合的点是 ． 4-4（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是 ．（填序号） 题型五、正方体相对两面上的字 例5（23-24七年级上·广东·期末）将如图所示的几何体展开图折成一个正方体，这个正方体与“云”字相对面的汉字是（   ） A．建 B．设 C．美 D．丽 5-1（24-25七年级上·全国·期末）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字互为相反数，则单项式的值是（    ） A． B． C． D． 5-2（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 5-3（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ． 5-4（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“年”字对面的字是 ． 题型六、含图案的正方体的展开图 例6（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）如图是正方体表面的展开图，将它折叠成正方体后，与“科”面相对的面是（   ） A．技 B．造 C．未 D．来 6-1（24-25七年级上·全国·期末）如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的平面图形是（    ） A． B． C． D． 6-2（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）下列四个展开图中，经过折叠能围成如图所示的立体图形的是（   ） A． B． C． D． 题型七、求展开图上两点折叠后的距离 例7（23-24七年级上·重庆合川·期末）图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7-1（2023·山东·中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（　　）    A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 7-2（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图是正方体的平面展开图，若，则该正方体A、B两点间的距离为 ． 题型八、补一个面使图形围成正方体 例8（23-24七年级上·北京密云·期末）如图需再添上一个面，折叠后才能围成一个正方体，下面是四位同学补画的情况（图中阴影部分），其中正确的是（    ） A． B． C． D． 8-1（23-24七年级上·河北唐山·期末）图1和图2中所有的正方形都相同，将图1的正方形放在图2中①②③④⑤的某一位置，所组成的图形能围成正方体的位置有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8-2（23-24七年级上·山东济宁·期末）小强有6个大小一样的正方形，他已用5个正方形拼成了如图所示的图形（阴影部分），要想使拼接的图形能够折叠成一个封闭的正方体盒子，他的第6个正方形可放在 的位置（填写序号）． 题型九、截一个几何体 例9（24-25七年级上·山东济南·期末）如图所示，用一个平面去截一个圆柱体，截面不可能是（　　） A． B． C． D． 9-1（24-25七年级上·贵州毕节·期末）如图，用一个平面竖直去截圆柱，截面的形状是（    ） A． B． C． D． 9-2（24-25七年级上·河南郑州·期末）通过读取截面相关的信息，用特定材料将截面逐层打印出来，再将各层截面以多种方式粘合起来，从而制造出一个实体，这就是3D打印技术．某数学兴趣小组读取到某几何体截面的相关信息有三角形、梯形和六边形，那么3D打印机可能打出来的是哪一种几何体（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体 9-3（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一个平面去截一个几何体，截面是圆形，这个几何体可能是 ．（请写出两个） 9-4（24-25七年级上·河南郑州·期末）用一个平面去截一个圆柱，得到的截面有哪些形状？ （至少写三种）． 题型十、平面图形形状的识别 例10（24-25七年级上·广西贵港·期末）下列图形中，属于平面图形的是（    ） A． B． C． D． 10-1（24-25七年级上·陕西西安·期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为，则最小的扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 10-2（23-24七年级上·河北石家庄·期末）下面几种图形：①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤圆锥；⑥圆柱．其中属于立体图形的是（　　） A．③⑤⑥ B．①②③ C．①③⑥ D．④⑤ 10-3（24-25七年级上·湖南湘西·期末）你能说出下列所示的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？ 平面图形： （填序号）． 立体图形： （填序号）． 题型十一、多边形的概念与分类 例11（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11-1（24-25七年级上·陕西西安·期中）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 11-2（24-25七年级上·北京·期中）下列图形是正多边形的是（   ） A．直角三角形 B．正方形 C．长方形 D．圆 题型十二、多边形截角后的边数问题 例12（23-24七年级上·广东深圳·期中）下列图形中，能通过切正方体得出来的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12-1（23-24七年级上·广东惠州·期中）如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 12-2（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩 个角． 题型十三、多边形的周长 例13（24-25七年级上·福建漳州·期中）【图形的剪切】将一个边长是30厘米的正方形，在四个角各剪去一个边长为3厘米的小正方形，那么它的周长与原来相比（    ） A．减少 B．不变 C．增加 D．无法确定 13-1（24-25七年级上·全国·期中）若长方形的一边长为，另一边长为，则该长方形的周长为（　） A． B． C． D． 13-2（24-25七年级上·北京·期中）如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于 ． 题型十四、网格中多边形面积比较 例14（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 14-1（23-24七年级上·广东阳江·期中）如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 14-2（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 题型十五、多边形对角线的条数问题 例15（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）过七边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 15-1（24-25七年级上·重庆·阶段练习）从八边形的一个顶点出发，可以画的对角线条数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．20 15-2（24-25七年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 题型十六、对角线分成的三角形个数问题 例16（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16-1（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）从一个边形的同一个顶点出发，连接对角线，若这些对角线把这个多边形分割成个三角形，则的值是（    ） A． B． C． D． 16-2（24-25七年级上·陕西汉中·期末）若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 16-3（24-25七年级上·山东枣庄·期末）在研究多边形的几何性质时，我们通常把它分割成几个三角形进行研究．从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线，把它分割成5个三角形，则这个多边形的边数是 ． 题型十七、用七巧板拼图形 例17（24-25七年级上·河南商丘·期末）用边长为8的正方形，做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为（    ） A．16 B．24 C．32 D．64 17-1（23-24七年级上·湖南常德·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，它来源于4000多年前中国古老的测量工具－矩，张老师把如图1所示边长为4的正方形厚纸板分成七部分(由五块大小不同的等腰直角三角形、一块正方形，一块平行四边形组成），然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大矩形中拼出如图2所示的图案，则图2中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．32 C．34 D．36 17-2（24-25七年级上·山东烟台·期末）七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于 ． 17-3（23-24七年级上·浙江湖州·期末）为了庆祝龙年的到来，小陈将一副七巧板拼成如图所示的“龙”的图案，则 度． 易错点1 误判正方体展开图的无效形式(“田”“凹”字形) 例1下列图形中，不是正方体表面展开图的图形的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟练掌握展开图的11种形式是解题的关键． 根据正方体六个面，展开图的11种形式，对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：第一个图形：正方体是六面体，五个面不是正方体表面展开图； 第二个图形：田字格，五个面都不是正方体表面展开图； 第三个图形：田字格，不是正方体表面展开图； 第四个图形：七个面不是正方体表面展开图． 综上所述，不是正方体表面展开图的图形的个数是4个． 故选：D． 易错点2混淆圆柱、圆圆锥展开图的关键参数(周长/半径匹配) 例2如图所示是一个几何体的表面展开图． (1)该几何体的名称是______，其底面半径为______； (2)根据图中所给信息，求该几何体的表面积和体积（结果保留）． 【答案】(1)圆柱； (2)表面积为；体积为． 【分析】本题主要考查了几何体的展开图； （1）依据展开图中有长方形和两个全等的圆，即可得出结论； （2）依据圆柱的表面积和体积计算公式，即可得到该几何体的侧面积和体积． 【详解】（1）解：该几何体的名称是圆柱，其底面半径为1， 故答案为：圆柱；1； （2）该几何体的表面积为 该几何体的体积． 1．以下是圆柱展开图的是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，把一个边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后把剩下的部分折成一个无盖的长方体盒子，当剪去的小正方形的边长从变为时，长方体纸盒的容积（   ） A．减少了 B．减少了 C．增加了 D．增加了 3．图是正方体的展开图，相对面上的多项式的和相等，则A等于（   ） A． B． C． D． 4．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点最远的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．用一个平面去截四棱柱、圆锥、圆柱、五棱柱、球，截面可能是三角形的几何体有（    ） A．3个 B．2个 C．4个 D．5个 6．数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1所示的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2所示的“天鹅”作品，则该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图是某几何体从不同方向看所得图形，根据图中数据，求得该几何体的侧面积为 （结果保留）．    8．如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，请你在图中标注数字的位置选择添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子，则添加的位置可以是 ．（写出一种即可） 9．如图1是一个正方体的展开图，该正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格，此时这个正方体朝上一面的字是 ．    10．如图，用边长为8的正方形，做了如图1所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图2所示的图形，则图2中阴影部分的面积为 ． 11．某几何体的展开图如图所示． (1)该几何体是 ；(填名称) (2)求这个几何体的体积． 12．如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒侧面展开图． (1)请写出这个食品包装盒的几何体名称______． (2)如果用一个平面去截这个几何体，那么截面有哪些形状？（写出2种即可） (3)若，，，，求这个几何体的侧面积． 2 / 41 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $