6.4一次函数的应用 同步习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）（2024）数学七年级上册

6.4一次函数的应用 同步习题 一、单选题 1．购买一些笔记本，单价为5元，总价y（元）与购买笔记本的数量x（本）的函数关系式可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．空中气温与距离地面高度之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．地面的气温为 C．与的函数表达式为 D．当大于时，气温低于 3．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（单位：）与所用的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（   ） A．乙走的路程比甲远 B．甲的平均速度为 C．前，甲的速度比乙快 D．经过，甲、乙都走了 4．要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为32米．要围成的菜园是如图所示的长方形．设边的长为x米，边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 5．某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习，同学们找到了许多生活中的函数．下面实例中，变量之间的关系不是一次函数的是（    ） A．家庭用水的价格为元/，每月的水费支出与用水量之间的关系 B．百米赛跑中，时间与速度之间的关系 C．相同规格的A4纸整齐叠放，纸的厚度与纸的张数之间的关系 D．普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系 6．如图，直线过点和点，则方程的解是（　　） A． B． C． D． 7．某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 8．如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．气温随着高度的增加而下降，其一般规律是：从地面到高空11km处，每升高1km，气温下降6℃；高于11km时，气温几乎不再变化，设地面的气温为30℃，高空中xkm处的气温为y℃，则当0≤x≤11时，y与x之间的函数关系式是 ． 10．铁的密度为，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：)之间的函数关系式为，当时， g． 11．通常婴儿在1~6个月生长发育得非常快，他们的体重y（单位：g）和月龄x（单位：月）之间的关系可以用来表示，其中a是婴儿出生时的体重，根据以上信息判断婴儿在1~6个月内，月份每增加一个月，体重增加 g． 12．如图为某公司统计的停车场当日上班时间（9：00至17：00）内的停车数量（图中时间0对应上班时间9：00），已知场内最多可停放200辆汽车，则该停车场当日停满车辆的持续时间为 小时． 13．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 14．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 三、解答题 15．数学兴趣小组通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 声音在空气中的传播速度 阅读上述材料，回答下列问题： (1)从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了多少？ (2)用含t的代数式表示v； (3)某日的气温为，小莹同学看到烟花燃放后才听到声响，那么小莹同学与燃放烟花所在地大约相距多远？ 16．某容器有一根进水管和两根出水管，进水管的进水速度恒定的．从某时刻开始计时，前5分钟内只打开进水管，在第5分钟时，又打开出水管，第13分钟时关掉两根水管．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示． (1)当时，求y关于x的关系式； (2)求出水管的出水速度． 17．游泳池常需进行换水清洗．下图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水清洗灌水”中水量y（单位：）与时间t（单位：）之间的函数图象． (1)求排水时间． (2)根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程中水量y关于时间t的函数表达式． 18．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D C B D A B 1．A 【分析】本题考查了列函数关系式，根据总价单价数量的基本关系，直接建立函数关系式． 【详解】解：由题意，单价为5元/本，购买x本的总价y（元）应为单价乘以数量，即． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键．对于选项AB观察图象即可；选项C根据变量的变化规律计算即可；选项D，当时，求出对应t的值，再根据该图象的增减性判断即可． 【详解】解：A．随着的增大而减小，A不正确，不符合题意； B．当时，，随着的增大而，B不正确，不符合题意； C．距离地面高度增加，气温下降，则与的函数表达式为，C不正确，不符合题意； D．当时，，随着的增大而减小，当大于时，气温低于，D正确，符合题意． 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解函数图象是解题关键．根据函数关系图得出后，甲的路程比乙的路程远，可判断A； 根据图象可知，甲走了，所以甲的平均速度为，即可判断B；观察函数关系图即可得前时，乙的速度比甲快 ，即可判断C； 观察函数关系图经过，甲、乙走的路程，即可判断D． 【详解】解∶ A．后，甲的路程比乙的路程远， 故A不符合题意； B．根据图象可知， 甲走了，所以甲的平均速度为，故B不符合题意； C．前，甲走了，乙走了，所以乙比甲的速度快，故C不符合题意； D．经过，由函数图象可知，甲、乙都走了，故D符合题意． 故选∶ D 4．C 【分析】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为32米，列出等式．根据题意可得，继而可得出与之间的函数关系式． 【详解】解：由题意得：， 故可得：． 故选：C． 5．B 【分析】本题考查函数关系的识别，包括一次函数和反比例函数的概念，在实际问题中，理解变量之间的关系是解题的关键．判断变量之间的关系是否为一次函数关系，需要看是否满足一次函数的定义：（，均为常数，），据此逐个选项分析判断即可． 【详解】解：A、水费支出单价用水量，是一次函数，故本选项不符合题意； B、速度路程时间，跑完100米，所用时间与平均速度之间的关系不是一次函数，故本选项符合题意； C、A4纸叠放后的厚度每张纸的厚度纸的张数，是一次函数，故本选项不符合题意； D、普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系是一次函数的关系，因为指针每分钟转动的角度是固定的（例如，分针每分钟转动6度），这符合一次函数的定义，其中所用时间是自变量，指针转动的角度是因变量，故本选项不符合题意； 故选B． 6．D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【详解】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 故选：D． 7．A 【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆， 要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6， ∴客车总数为6，， 由题意可得，， 整理可得， 由题意，， 解得， ∵， ∴， ∵中，，y随x的增大而增大， ∴x取最小值时，即，y有最小值， 即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键． 8．B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称最短线段问题，勾股定理．如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长，由一次函数解析式可得，，进而得，再根据轴对称得，，即得，最后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为 ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴周长的最小值是， 故选：B． 9．y=30-6x 【分析】利用地面的气温减去升高xkm下降的温度即可． 【详解】解：根据题意得：y=30-6x（0≤x≤11）． 故答案为：y=30-6x． 【点睛】本题考查了一次函数的实际运用，找出基本数量关系，列出解析式是解决问题的关键． 10． 【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式，求出对应的函数值是解题的关键．将代入m与V的函数关系式，求出对应m的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，． 故答案为：． 11．700 【分析】本题考查一次函数的函数值的求法，掌握知识点是解题的关键． 根据函数值的求法，先求出婴儿出生时的体重和1月的体重，再用1月的体重减去婴儿出生时的体重，即可解答． 【详解】解：当时，； 当时,． ∴． 故答案为：700． 12．4.5 【分析】根据图像得到停车场停满车的起始时间与结束时间，进而该停车场当日停满车辆的持续时间为． 【详解】如图： 设停车开始满时为m时刻， 设， ，解得：， ， ， 设停车结束满的状态时为n时刻， 设， ，解得;, , , , 则该停车场当日停满车辆的持续时间为n-m=4.5 故答案为：4.5 【点睛】本题考查函数图像，正确求出停车场停满车的起始时间与结束时间是关键． 13．4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 14．2 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及光的反射定律是解题的关键． 求出点关于轴的对应点的坐标，根据光的反射定律，点在所在的直线上，根据待定系数法求出所在的直线对应的函数关系式，将点的坐标代入该函数，从而求出的值即可． 【详解】解：设点关于轴的对应点为，则，根据光的反射定律，点在所在的直线上， 设所在的直线对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 所在的直线对应的函数关系式为， 将代入，得， 经整理，得． 故答案为：2． 15．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量或函数值，解题关键是掌握求一次函数解析式的方法． （1）根据表中数据求解； （2）根据表中数据，得出气温每升高，声音在空气中传播的速度提高量，且当时，，由此求得函数解析式； （3）当时，代入函数解析式求出函数值． 【详解】（1）解：从表中数据可知，气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了， 所以气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了． （2）因为气温每升高，声音在空气中传播的速度提高了，且当时，，所以． （3）当时，，， 所以小莹同学与燃放烟花所在地大约相距． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用，根据题意，能正确分析函数图象是解题关键． （1）由图可设当时，y关于x的关系式为，根据待定系数法即可求解； （2）根据图象可求出进水速度，同时打开一根进水管和一根出水管的速度，再用进水速度减去同时打开一根进水管和一根出水管的速度即可得到出水速度． 【详解】（1）解：设， 由图可知点在该段函数图象上， ， ， ∴当时，y关于x的关系式为； （2）解：根据图象可得，进水速度为， 同时打开一根进水管和一根出水管的速度为：， 则出水速度为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，求出当时的值即可； （2）根据图象上点的坐标利用待定系数法得出灌水阶段解析式，即可得出答案． 【详解】（1）解：设排水阶段的关于的函数表达式为． 把点代入， 得， 解得， 所以． 当时，， 解得， 所以排水时间为． （2）解：设灌水阶段的关于的函数表达式为． 把点代入， 得 解得 所以． 当时，， 解得． 故整个换水清洗过程中水量关于时间的函数表达式为 18．（1）；（2）AC=5；（3）当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【分析】（1）把A、B坐标代入一次函数解析式中求解即可； （2）先利用勾股定理求出，由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°，设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m，由，可得，由此求解即可； （3）分当AP=AB=10时，当AB=PB时，当AP=BP时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）∵A（-8，0），B（0，6）， ∴OA=8，OB=6， ∴， 由折叠的性质可知：CD=CO，BD=OD=6，∠CDB=∠COB=90°， ∴∠CDA=90°，AD=AB-BD=4， 设AC=m，则OC=CD=OA-AC=8-m， ∵， ∴， 解得， ∴AC=5； （3）如图3-1所示，当AP=AB=10时， ∵A点坐标为（-8，0）， ∴P点坐标为（2，0）或（-18，0）； 如图3-2所示，当AB=PB时， ∵BO⊥AP， ∴AO=PO=8， ∴点P的坐标为（8，0）； 如图3-3所示，当AP=BP时， 设AP=BP=n，则OP=AO-AP=8-n， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为（，0）； ∴综上所述，当点P的坐标为（2，0）或（-18，0）或（8，0）或（，0），以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质，解题的关键在于能够利用数形结合的思想求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $